A Geometria das Transformacoes Lineares

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A Geometria das Transforma~oes Lineares 
Dependendo de como encaramos uma 11-upla, se como urn 
ponto ou urn vetor, o efeito geornetrico de um operador 
T: R" ~ R" eo de transformar cada ponto (ou vetor) de R" em 
algum novo ponto (ou vetor) (Figura 4.2. I). 
\ T(s) 
\ 
\ 
\ 
' 
' \ \ 
\ x 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
(a) Tlcva pomos em pontos (b) Tlcva vetorcs ern vctores 
Figura 4 .2 . 1 
EXEMPLO 3 A Transforma~~o Nula de R" em R"' 
Se 0 e a matriz zero 111 x 11 e se 0 co vctor nulo de R111 en tao, para 
cada vet or x em R" temos 
't0 (x) =ox = o 
de modo que a rnultiplica<;iio por zero leva cada vetor em R" no 
vcror nulo de R'". ~6s chamamos T0 a transforma~o nula ou 
zero de R" em R"'. As vczcs a transformac;iio nula c dcnotada por 
0. Embora isto seja a mcsma notac;ao usada para a matriz zero, 
a interpretac;iio corrcta fica, gcralmente, clara pelo contexte. + 
TA BELA 2 
Operador Ilustra~o 
Reflexiio em tos·no y 
Capfwlo 4 - EspafOS Vetoriais E11clidianos • • • 1 3 9 
EXEMPLO 4 0 Operador ldentldade de R" 
Se I e a matriz identidade 11 x 11, entiio, para cada vetor x em R" 
Iemos 
T1 (x) = f x = x 
de modo que a multiplicac;ao porI leva cada vetor em R• em si 
mesmo. Nos chamamos T1 o operador identidade de R". As 
vezes o operador idcntidadc e denotado por I. Embora isto seja 
a mesma notac;iio usada para a matriz identidade, a interpreta<;iio 
correta fica, geralmente, clara pelo contexte. + 
Entre os operadorcs lineares rnais importantes de R2 e R3 
esrao os que produzem rellexocs, projcr;oes e rotar;oes. Agora 
nos passamos a estudar estes operadores. 
Reflexoes Considere o operador T: R2 ~ R2 que aplica 
cada vetor na sua imagem simctrica em relac;iio ao eixo y 
(Figura 4.2.2). 
(- .<. )') (x.y) 
·' 
Figura 4 . 2 . 2 
Se escrevermos w = T(x), entiio as equa<;Oes relacionando 
os componenres de x e de w sao 
w 1 = - x = - x + Oy 
102 = y = Ox + y 
Matriz 
Equa~oes Canonica 
111 1 = - x 
(10) 
[ -~ ~ ] do cixo y 1112 = y (-x.y)~ v.(x,y) 
w = T(x) . X 
Re[Jexiio em torno y IVs= X [ ~ -~ J l)/1 (x,y) do cixox I 1112 = -y I X 
./ N (x,-y) w : T(x) 
RcOexiio em tomo >' y : .t lVI = y [ ~ ~ ] (y.x) da rctay = x w=T~ w2 = x 
~(x.y) X 
/ 
1 40 • • • Algebra Linear com Aplica~oes 
TABELA J 
Opc.-.1dor 
Renexiio em 1orno 
do planoxy 
Rcncxiio em 1orno 
do planoxz 
Renex!io em 1orno 
do planoyz 
ou, em fonnalo matricial, 
Matriz 
Uustra~iio Equa~ocs Canonica 
z IVJ= X I 0 0 
71(x.y.z) IV2 = y 0 I 0 
I 0 0 - I I y w3 = -z 
-~ X . (x,y. -z) 
,,~ t?''' IVJ = X I 0 0 IV2 = -y 0 - I 0 y IVJ= 7 0 0 l ~ 
X 
.t (- x,y,z) IVJ =-X r_ l 0 0 
IV2 = y () I () 
• w I w, = z L 0 0 I (x. y. z) 
lP"' X y 
X 
rejlexiies. E.~1es opcradores sao linearcs. As Tabclas 2 e 3 !islam 
algumas das renex5es mais comuns. 
(II) 
Como as equac;acs em (I 0) sao lineares, T c urn operador linear 
e, por ( II), a malriz canllnica de T c 
Proje~oes Considcre o opcrador T: R2 ~ R2 que leva cada 
velor na sua projcr;iio onogonal sobre o eixo x (Figura 4.2.3). As 
equa~5es relacionando os componentes de x e de w = T (x) siio 
ITI = [ -~ ~] 
WI= X= X +Oy 
w: = 0 = O.r + Oy 
ou, em formalo nullricial, 
Em geral, os operadores em R2 c R3 que levam cada ve1or em seu 
sime1rico em relat;iio a alguma re1a ou plano sao chamados de 
TABELA4 
Operador llustra~o 
Projcc;iio orlogonal y 
sobrc o cixo x /il(x.y) 
I 
I 
(x, 0) 
w 
Proje~iio o11ogonal )' 
X 
sobre o eixo y (O.y) 7 (x.y) 
l 
w 
M11triz 
Equa~oes Canonica 
III J = X [ ~ ~ ] 1t12 = 0 
IIIJ = 0 [~ ~ ] J\12 = y 
X 
( 12) 
(13) 
Capfwlo 4 - EspafOS Vetoriais E11clidianos • • • 1 4 1 
TABELA S 
Matriz 
Ope rador Dustra~o EquafVoes Canonica 
l r I 0 0 Proje~ao ortogonal lVI = X 
sobre o planoxy ;I! (x,y. z) 0 I 0 I IV2 = Y 
y 1V3 = 0 0 0 0 
X ~ (x, y, 0) 
Proje~ao ortogonal (x.O~ t?') lV I = X r I 0 0 sabre o plano xz w2= 0 0 0 0 
~ . 
._ 0 0 I )' "'3 = z 
)' 
Flgur~ 4 .2.3 
Proje~ao ortogonal 
sobre o plano yz 
I 
I 
I 
I 
(x. y) 
(x. 0) 
X 
z 
w 
X 
Como as equa9oes em (12) siio lineares, Te urn operador linear 
c, por ( 13), a rnatriz canonica de T c 
ITI = [~ ~] 
Em geral , uma projefiio (ou, mais precisamente, uma projer;iio 
orlogona[) de R2 ou R' e qualquer operador que leva cada vetor em 
sua projC9aO ortogonal sobre alguma reta ou algum plano pela 
origem. Pode scr mostrado que tais operadorcs siio lincares. As 
Tabelas 4 e 5 listam algumas da~ mais lnlsicas projec;oes em R2 e R3 
Rota(:oes Urn opcrador que gira cada vetor em R2 por urn 
ilngulo fixado e c cham ado uma rotar;iio em R2. A Tabcla 6 da 
TABELA 6 
Operador Uustra~o 
Rotar;ao pelo y (w1• w2) 
angulo e w \ 
\ 
8 
~(x.y) 
X X 
O, y.z) lVI = 0 0 0 0 
(x , y. z) IV2 = y 0 I 0 
y IV3 = Z 0 0 I 
as formulas para as rotac;oos de R2• Para mostrar como dcriva-
mos estes resultados, considere o operador que gira cada vetor 
no sent ido anti-honlrio por urn angulo positivo e fixado. Para 
encomrar as equa~oes relacionando x com w = T (x), seja ¢ o 
ilngulo entre x co cixo x posi tivo c seja r o comprimcnto co mum 
de x e de w (Figura 4.2.4). 
y 
• • (.t. y) 
Figur~ 4 . 2 .4 
J>or trigonomctria b"sica, 
x = rcosq, . y = r scn¢ (14) 
e 
w1 = r cos(O + </> ). w2 = r sen (0 + </>) (15) 
Matriz 
Equa~es Canonica 
\111 =X COS e- y sen e [ cose -sene ] 
1V2 = X Sene+ y COS e sen e cos e 
1 4 2 • • • Algebra Linear com Aplica~oes 
Aplicando idenl idades 1rigonom~tricas a ( 15), resulla 
w1 = rcosiJcos¢- rscnllscn¢ 
w2 = rwntlcostf> + rcosOscnrf> 
e substiluindo ( 14) result a 
w1 = xcosO- yscn ll 
Wl = xscn9 + ycos9 ( 16) 
As equa~Ocs em ( 16) sao Ii nearcs, de modo que T e um operador 
linear; alcm disto, segue des1as equa<;Ocs que a matriz canonica 
de Te 
ITI = [
cos 0 - sen OJ 
scnO cosO 
EXEMPLO 5 Rota~lo 
Se cada vctor em R2 c rodado por um i\ngulo de n I 6 (= 30°), 
entiio a imagem w de urn vet.or 
[X] X = y 
w = [cosrr /6 -sen rr /6J [X] = [JJ/2 - I /2] [x] = 
scnrr/ 6 cos rr/6 y 1/ 2 JJ/2 y 
TABELA 7 
Operador 
Rota~ao 
an ti-horaria em 
torno do eixo x 
positivo por urn 
angulo8 
Rotac;ao 
anti -horaria em 
torno do eixo y 
positivo porum 
angulo 8 
Rota~ao 
anti-horaria em 
torno do eixo z 
positivo por urn 
angulo8 
llustra~o 
-
-
y 
)' 
}' 
Por exernplo, a imagern do vetor 
J3 - I 
2 
I+ J3 
2 
• 
Em geral descrevemos uma rola<;ao de vetores em R3 em 
rela<;iio a um raio parlindo da origem, chamado o eixo de 
rota~iio. A medida que urn ve1or gira ern torno do eixo de 
rola<;iio ele varre uma porc;iio de um cone (Figura 4.2.5a). 0 
iingulo de rota~iio , que c medido na base do cone, e descrito 
como sendo no senti do ''hor~rio" ou ··anti-hon'irio" em relac;iio a 
urn ponto de vista ao Iongo do eixo de rola<;iio olhando para a 
origem. Por exemplo, na Figura 4.2.5a o velor w resulta da 
rotac;ao no sen lido anli-horario do vet or x em torno do eixo I por 
um angulo de 8. Assim COiliO em R2, OS angulos sao positivos se 
gerados por rota<;ocs no senticlo anti-horario c negativos se gc-
rados por rotac;ocs no scntido honlrio. 
A mancira mais comum de clescrcvcr um cixo de rotac;iio 
geral e especificando urn ve1or niio-nulo u com pon1o inicial na 
origem e aponlando ao Iongo do eixo de rolac;ao. 0 sentido anti-
hon'irio para a rola<;iio em lorno do cixo pode en tao ser cletermi-
nado pela "regra da miio direi1a" (Figura 4.2.5b): Se o polegar 
cia mao dircita apon1a na dirc<;iio c sen1iclo do velor u entao os 
dedos da mao fechada apon1am no sentido anli-horario. 
Equa~o 
lVI = X 
w2 = y cos 8 - z sen 8 
1V3 = )' Sen 8 + Z COS 9 
w 1 = x cos 8 + z sen 8 
IV2 = )' 
w3 =-xscn8 +zcose 
1V1 = X COS 8 - )' SCn 9 
w2 = x sen8 + y cos 8 
lVJ = z. 
Matri:t 
Canonica 
I 0 
0 cos 8 
0 sen8 
cos e 
0 
-sen 8 
0 
I 
0 
0 
-sen8 
cos8 
sen8 
0 
cos8 
cos 8 -sen 8 0 
sen 8 cos 8 0 
0 0 
(a) Angulo de ro1a~ao 
Figur~ 4 . 2 .5 
X 
Rotacao no sentido 
anti-horMio 
(b) Rcgra da mao direila 
Uma rolaft'io em R3 e um opemdor linear que gira cada 
vetor em R3 em torno de algum eixo de rotac<ao por um angulo 
fixado 8. Na Tabcla 7 n6s descrevemos as rotac;Oes em R 3 cujos 
eixos de rotac;ao sao os cixos coordcnados positivos. Para cada 
uma dcstas rotac;ocs, um dos componcntcs j)ermanece inalterado 
durante a rotar;iio c a rclac;iio entre os dois outros componentes 
poclc scr clcduzida cia mcsma mancira que dcduzimos ( 16). Por 
exemplo, na rotac;1io em torno do eixo z, os componentes z de x 
e de w = T (x) silo os mesmos e os componentes x e y estao rela-
cionados como em ( 16). lsto fornecc as equac;;oes de rota<;iio 
mostradas na ultima coluna da Tabela 7. 
Observamos. para completar, que a matriz canonica da 
rotar;ao anti -horaria por urn angulo 9 em torno de um eixo em 
R3, determinado por um vetor arbiml rio mas writario u = 
(a, b, c) com ponto inicial na origem, e 
[
"
2 (1- cosll) + cosO ab(l - cosO) - csenO ac(l-cosO)+bsenOl 
llb(l - cosO) + csenO b2(1 - cosO)+ cosO be( I - cosO) - asen8 
llc( t - cosO) - bsenO bc(l - cosO)+asenO c2(1-cos0)+cosll 
(17) 
A deduc;ao dcsta matriz pode ser encontrada no livro intitulado 
Principles of lmeractive Complller Grcrpltics, deW. M. Newmann 
e R. F. Sproull, editado em 1979 pcla McGraw-Hill, de Nova 
Torque. 0 lei tor podc achar instrutivo deduzir os resultados da 
Tabela 7 como casos espcciais dcstc rcsultado mais geral. 
Dilata~oes e Contra~oes Se k e um escalar nao-ne-
gativo, entao o operador T (x ) = k x de R 2 ou de R 3 c chamado 
uma homotetia de razjio k ; especilicarnente, o operador e uma 
colllrafliO de razt1o k se 0 s; k < I e uma dilalafiiO de raziio k 
se k ~ I. 0 cfc ito gcomctrico de uma conlra<;iio e comprimir 
cada veto~ por tun fator k (Figura 4.2.6a) c o cfcito geometrico 
de uma <hlawc;ao c csticar cada vetor por um l~1tor k (Figura 
TABELA 8 
Operador Ilustra~ao 
Contra<;iio de y 
fa tor k em R2 X 
Capftulo 4 - Esp01;os Vetoriais Euclidianos • • • 1 4 3 
4.2.6b). Uma contrac;iio comprime R 2 ou R 3 unifonnemente de 
todas as dire<;oes na direc;iio da origem e uma dilatac;;iio expande R2 
ou R3 uniformemcnte em todas as direc;iles para Ionge da origem. 
(a) OSk <1 
Flgur~ 4 .2.6 
(b) k> 1 
T(x) = kx 
A contrac;iio mais extrema ocorre com k = 0, caso em que 
T (x) = k x reduz ao opcrador nulo T (x) = 0, que comprime cad a 
vetor a um unico ponto (a origem). Sc k = I entiio T (x) = k x 
rcduz ao opcrador idcntidadc T (x) = x, que deixa cada vetor 
inalterado; isto podcria ser considerado tanto uma contra<;iio 
quanto uma dilata<;ao. As Tabclas 8 c 9 listam as contrac;oes e 
dilata<;oes em R 2 c R 3_ 
Composi~ao de Transforma~oes Lineares Se 
TA: R" ~ Rk e T11 : Rk ~ R"' siio transl'onnm;oes lineares entiio, 
para cada X em R" nos podemos calcular, primeiro, T,\ (x), que e 
um vet or em Rk c depois calcular T0 (T11 (x)), que e um vetor em 
R'". Assim, a aplicac;ao de TA seguida de T0 produz uma trans-
formac;ao de R" em R"'. Esta transformm;ao e chamada a com-
posiflio ou a composta de T8 com TA e e denotada por T8 o TA (podemos ler "T8 bola T11 "). A ssim, 
(T8 o T,;)(x) = T8 (T,; (x)) ( 18) 
A composta Ta 0 TA e linear pois 
(Ta o T,;)(x) = T8 (T,;(X)) = B(Ax) = (BA)x (19) 
de modo que T8 o T11 c a multiplica<;ao por 8 A, que c uma trans-
formac;iio linear. A Formula ( 19) tambem nos diz que a matriz 
canonica de T8 o T11 c 8 A. lsto podc scr dito pcla formula 
Tn o 1;, = TIJA (20) 
OBSERVAC;i\o. A Formula (20) captura uma ideia importante: 
Multiplicar matrizes e equiva/enre a compor as correspondentes 
Matriz 
Equa~oes Can6nica 
(.r,y) w1 = kx 
1V2 = ky 
(0 < k < I ) ~(kx.ky) 
.r 
[ ~ ~ ] Dilatayiio de y \V (kx, ky) w, = kx 
fator kem R 2 X (.r. y) 1V2 = ky (k ~ I) 
.r 
1 4 4 • • • Algebra Linear com Aplica~ocs 
TABELA9 
Matriz 
Operador Ilustra~o Equa9iies Canonica 
Contra~iio de z w1 = kx 
fator kem R3 
r.J(x.y.z) \112 = ky (0 ~ k ~ I) 
y. kz) Y w3 = k z 
X k 0 0 
0 k 0 
Dilata~ao de z (kx, ky. k z) IVJ = kx 0 0 k fator kem RJ w \112 = /.:y 
(k ~ I ) X 
X 
trcm.rformar;oes lineares,.formando os j(l(ores da dire ita para a 
esquerda. 
Existe uma forma alternativa para a F6rmula (20): Se 
T1 : R" -7 R k e T2 : Rk -7 R"' sao transformar,:oes lineares, entiio 
temos 
IT2 o T.J = IT2J1Td (2 1) 
pois a matriz canonica da composta T2 o T1 e o produto das 
matrizcs canonicas de T2 e de T1• 
EXEMPLO 6 Composl~lo de Duas Rota~oes 
Sejam T1 :R2 -7 R2 e T2 : R2 -7 R2 operadores lineares que rodam 
os vetores por angulos 81 e ~. respectivamente. Assim, a opera~ao 
(T1 o T1} (x} = T2 (T1(x)} 
primeiro roda x por urn angulo 81 e entao roda T1(x) por urn 
angulo 82• Segue-se que o efeito lfquido de T2 o T1 e rodar cada 
vetor em R2 por urn angulo 81 + 82 (Figura 4.2.7). 
y T2(T1(x)) __ 
.... -
X 
X 
Figura 4 -2 .7 
Assim, as matrizes canonicas destes operadores lineares sao 
1.,. 1_ [cos O, -scn 01] • • _ [coso2 -sen02] " - . 17>1- . sen o, cos O, - sen Oz COS Oz 
IT, 0 To! = [cos(Oo + Oz) - sen(Oo + 02)] 
- scn(O, + 02) cos(01 + 02) 
(x,y. z) w3 = k z 
y 
Estas matrizes deveriam satisfazer (2 1). Com a ajuda de algu-
mas identidades trigonometricas basicas, podemos mostrar que 
isto realmente ocorre: 
- sen o,] 
coso, 
= [cos9) cos01 - scn /lz scn01 - (cos02 scn 01 + scn9)cos01)] 
scn ~ cosO,+ cos~ scnO,- scn Oz- Oo+cosOzcosOo 
[
cos(Oo + Oz} - sen(Oo + 112>] 
= sen(Oo + Oz) oos(O, + Oz) 
= LTzo Tol • 
OBSf.RVA<;AO. Em geral, c importante a ordem pela qual compo-
mos transforma<;oes lineares. I sto era de se espcrar, pois compor 
transfonna<;oes lineares corresponde a multipl icar as correspon-
dentes matrizes canonicas e n6s sabcrnos que e relevante a 
ordem na qual multiplicamos rnatrizes. 
EXEMPLO 7 A Composl~lo nlo e Comutativa 
Scjam T1 : R2 -7 R2 a reflexao em torno da rcta y = x c 
T2 : R2 -7 R1 a proje<;ao ortogonal sobre o eixo y. A Figura 
4.2.8 ilustra graficamente o efeito distinto que T1 o T2 e T2 o T 1 
tem sobre um vet or x. Est a mesma conc lusao pocle ser alcan~a­
da mostrando que as matrizes canonicas de T1 e T2 niio comu-
tam: 
ITo o Tzl = IToiiTzl = [~ ~][~ ~] = [~ ~] 
ITz o To! = ITziiTol = [~ ~] [~ ~] = [~ ~] 
•