Ondas Estacionarias

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Ondas Estacionárias
José Petrúcio Martins Barbosa
Pedro Felype Ferreira Araújo
 CCEN – Departamento de Física – Universidade Federal do Recife – Recife – PE – Brasil 
e-mail: petrucio.martins@ufpe.br
 ped_rofe10@hotmail.com
Resumo. Com o uso deste relatório, apresentamos uma análise da dependência da frequência de ressonância das ondas estacionárias em cordas vibrantes por meio de um método simples e reprodutivo em sala de aula, verificando os resultados obtidos experimentalmente e comparando-os com a teoria.
O método do ajuste manualmente aos dados experimentais também foi utilizado para a confecção de gráficos com os valores obtidos.
Palavras chaves: nós, ventres, ondas, ressonância.
Introdução 
Sabe-se que uma onda progressiva que se propaga ao longo de um eixo obedece a seguinte equação:
Y(x,t)=Asen(kx±ωt)
Quando consideramos uma onda progressiva que se propaga num dado meio ao longo de um eixo positivo e outra idêntica que se propaga no sentido negativo de um mesmo eixo, elas passam a coexistir e vão se superpor. A onda resultante será descrita pela seguinte equação:
Y(t)=2ymsen(kx)cos(ωt)
Neste tipo de situação esta onda deixa de ser uma onda progressiva e passa a ser o que chamamos de onda estacionária, definida como a superposição de duas ondas de mesma frequência e amplitude, mesmo comprimento de onda e direção e sentidos opostos. [1]
Quando passamos a reproduzir ondas estacionárias em uma corda fixa em duas extremidades verificamos que ao criar uma vibração em uma das extremidades, com o uso de uma fonte, a perturbação percorre toda a corda e ao chegar na outra extremidade ela retorna , e essas duas ondas passam a se superpor, dando origem as ondas estacionárias. [2]
Experimentalmente, percebe-se que ao ocorrer esse fenômeno existe a formação de nodos e antinodos. A cada dois nodos existirá um antinodo entre eles, representado pela seguinte equação generalizada para presença de vários antinodos:
L= n.ʎ/2
Sabendo que a frequência ƒ= V/ʎ, temos que:
ƒ = n.V/2L
Visto que a velocidade de propagação da onda na corda é V=, com T sendo igual a tensão na corda e µ a densidade linear a frequência dos harmônicos podem ser expressas por:
ƒ n= 
Este relatório terá como objetivo a determinação da dependência da frequência de ressonância das ondas estacionárias em cordas vibrantes, utilizando um gerador de frequência que formará nós em uma corda fixa em duas extremidades, segurando um determinado peso.
Procedimento Experimental
Os materiais utilizados para a prática foram 7 clipes, um gerador de funções, uma calha com autofalante, uma corda, uma trena com precisão de ±0,05 cm e uma balança com precisão de ±0,01g.	Inicialmente, foram medidas as massas dos 7 clipes, utilizando uma balança analítica. A massa do clipe foi medida de forma indireta: utilizou-se 7 clipes e foi obtida uma média aritmética posteriormente. Após isso, foi determinado, com o auxílio de uma trena, o comprimento da corda utilizada em seu estado de repouso. 
Medida do número de ventres na corda
Nesta etapa procedeu com as medições das frequências variando os modos de ressonância. Um único clipe foi colocado na corda. Ligou-se o gerador de funções, e ajustou-se para uma frequência que foi observada um número maior de ventres do que o desejado e, diminuído lentamente até chegar ao número desejado indicado como a frequência inicial. Seguiu-se diminuindo até que esse número de ventres deixe de ser observado e foi possível verificar a frequência final. Realizou-se esse mesmo procedimento para um número de ventres de 2, 3, 4 e 5. Os valores foram tabelados (tabela 1).
Medida da frequência de ressonância da Corda
 	Utilizando a montagem anterior, observou-se o comportamento do sistema com o uso de 3 ventres, dessa vez variando o número de clipes pendurados na corda em 1, 2, 3, 5 e 7. Verificou-se a frequência inicial e final da mesma forma que na etapa anterior, e com os mesmos cuidados de uso do equipamento Todos os valores foram tabelados na tabela 3.
Resultados e Discussão
Medida do número de ventres na corda
Antes de iniciar as medições, foi notado que a frequência de oscilação do auto-falante, que é controlada pelo gerador de função, equivale a duas vezes a frequência de oscilação da corda, isto é: fgerador= 2fcorda. Além dessa consideração, é importante ressaltar que cada vibração do fio é excitada não por uma frequência única, mas por toda uma faixa de frequências. Essas faixas correspondem à largura em frequência da ressonância.				Nesta etapa, obteve-se a relação experimental entre as duas grandezas: número de ventres e frequência. Primeiramente, encontrou-se como valor médio 2,00 ± 0,01 g da massa de um clipe, e o valor de 45,00 ± 0,05 cm do comprimento do fio, L. 		Com essas medidas, foi investigado a relação entre o os modos excitados, descrito pelo número de ventres n da onda, e a frequência f produzida pelo auto-falante. Os valores foram tabelados (tabela 1).
A expressão da incerteza da νcorda utilizada foi (νinicial + νfinal )/2. A frequência de ressonância da corda segue uma tendência crescente com o aumento do número de ventres, visto que é proporcional a sua frequência fundamental, n=1, dentro do intervalo de erro. 
Com esses dados, foi realizado um gráfico (gráfico 1 em anexo) em papel milimetrado da νcorda (Hz) versus o numero de ventres n, e a considerando a relação νcorda= k1np, sendo fixado p=1, foi ajustado manualmente a curva descrita por esta equação, aos pontos experimentais deste gráfico. E com isso, através desse ajuste obtivemos o valor de k1= 14,15 s-1. Observamos no gráfico que a função de νcorda x n  é uma reta. O número de ventres cresce em função da frequência.
Comparando com a expressão teórica: νcorda= n x ν1, onde ν1 é a frequência fundamental e n o número de ventres, percebe-se que todas as outras frequências de ressonância são múltiplos inteiros da frequência fundamental. Entretanto, as frequências de excitação de modos diferentes de 1 não foi o esperado, visto no gráfico que não foi possível unir todos pontos do gráfico, ou seja não seguiu a linearidade prevista pela expressão teórica. Utilizando o valor de k1 e a equação seguinte, foi determinada a velocidade da corda, v, plotado na tabela 2.
 com n=1 e a frequência fundamental, k1.
	Tabela 2. Grandezas obtidas através do gráfico 1.
	k1
	v(m/s)
	14,15 s-1
	12,74 m/s
Medida da frequência de ressonância da Corda
 Nesta etapa do experimento, visa obter a relação experimental entre as grandezas frequência e tração F na corda. 						Os dados obtidos e suas respectivas incertezas foram organizados na tabela 3 a seguir.
Para calcular o módulo do valor da tração F foi usado g = 9,78 m/s², exposto no gráfico 2 em anexo. Através da expressão corda = k2 , foi determinado o valor de k2= 314,19 a partir do ajuste manual do gráfico 3 (corda x ,). Comparando com esta expressão teórica: n= , e utilizando o valor de k2, foi determinada a densidade linear da corda μ2= 5,9X10-5.					A partir desse resultado calculado, e comparando com o valor adota de a= 8,6x10-5 kg/m, foi calculado o erro percentual correspondente tabelado abaixo (tabela 4).
	Tabela 4. Frequência de ressonância em função da força de tração F na corda.
	k2
	2
	E%
	314,19
	5,9X10-5
	31,4
	Com os dados, foi construído outro gráfico (gráfico 4 em anexo), desta vez um gráfico Log-Log. A partir do gráfico 4 (corda em função de F) e supondo a expressão corda =k3Fp, determinamos os valores de k3 e p através do método dos mínimos quadrados. Este gráfico evidencia um comportamento linear entre corda e F, então obedece a uma lei de potência. Tomando o logaritmo da expressão acima para escrevê-la como uma relação linear do tipo Y= aX + b, temos, a=p e b= logk3. Assim,
 p= 0,4914 e
k3= 102,47= 297,72.
	A expressão para como função do coeficiente relevante da reta ajustada através do método dos mínimos quadrados é: . Logo, = (11,5 ± 5) x10-6 kg/m
Desses resultados, inferimos que a velocidade de propagaçãode onda v depende da tração F no fio, isto é, proporcional à raiz quadrada da tensão e inversamente proporcional à raiz quadrada da densidade. Ou seja, aumentando-se a tensão, aumenta-se a velocidade da propagação e aumentando-se a densidade da corda, a velocidade diminui. 		Fazendo uma análise dimensional, temos que a velocidade de uma onda transversal em uma corda depende da tração F a que está sujeita a corda, da massa m e do comprimento d da corda é .		O valor de X determinado a partir desta igualdade: A =k3Fp, onde n= 3 e L =0,45 e k3 calculado acima foi X= 1,25x10-4. A2. Diante de corda = 8,6 x 10-5 kg/m, a constante numérica A é igual a 0,93. Assim, a expressão para a frequência da corda é: corda= 0,93. .				Por fim, foi feita uma comparação dos valores de k3, exposta na tabela 5 abaixo.
	Tabela 5. Grandezas obtidas através do gráfico 4
	k3
	p
	k3 teórico
	E%
	297,72
	0,5
	289,98
	0,42
O resultado foi bem satisfatório, uma vez que valor encontrado se assemelhou com teórico esperado. 
Conclusão 
A partir dos resultados obtidos, observamos que as ondas estacionárias em uma corda (fio inextensível), são dependentes da frequência e da vibração da corda com o número de ventres, e como também, da tensão aplicada. Para pequenas oscilações, o modelo ideal da corda vibrante afirma que a velocidade de onda depende da tração F aplicada ao fio.					Foi possível verificar que frequência de oscilação é inversamente proporcional ao tamanho e à densidade linear do fio e que é diretamente proporcional à esta tração aplicada ao fio.
Referências
[1] INTERFERÊNCIA, ONDAS ESTACIONÁRIAS, ONDAS NÃO HARMÔNICAS. Disponível em: <http://www.cesadufs.com.br/ORBI/public/uploadCatalago/15161416022012Fisica_C_Aula_5.pdf>. Acesso em 24 de abril de 2018.
[2] ONDAS ESTACIONÁRIAS EM UMA CORDA. Disponível em: <http://lilith.fisica.ufmg.br/~labexp/roteirosPDF/Ondas_estacionarias_em_corda.pdf>. Acesso em 24 de abril de 2018.