Lista_2 Derivadas

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UFPB/CCEN/Departamento de Matema´tica
Ca´lculo Diferencial e Integral I - Semestre 2013.2
2a Lista de Exerc´ıcios
1. Calcular a derivada.
(a) f(x) = 10(3x2 + 7x− 3)10
(b) f(x) =
1
3
(2x5 + 6−3)5
(c) f(t) = (7t2 + 6t)7(3t− 1)4
(d) f(x) = (5x− 2)6(3x− 1)3
(e) f(x) = 3
√
(3x2 + 6x− 2)2
(f) f(t) = (4t2 − 5t+ 2)−1/3
(g) f(x) =
2x√
3x− 1
(h) f(x) = 2e3x
3+6x+7
(i) f(x) = e
√
x
(j) f(x) = 23x
2+6x
(k) f(t) =
√
et − 1√
et + 1
(l) f(x) = log2(2x+ 4)
(m) f(s) = log3
√
s+ 1
(n) f(x) =
1
2
ln(7x2 − 4)
(o) f(x) = ln
(
1 + x
1− x
)
(p) f(t) = (2t+ 1)t
2−1
(q) f(x) = sin(2x+ 4)
(r) f(u) = cos
(pi
2
− u
)
(s) f(α) =
1 + cos 2α
2
(t) f(x) = sin3(3x2 + 6x)
(u) f(x) = 3tg(2x+ 1) +
√
x
(v) f(x) =
3 sec2 x
x
(w) f(x) = −−cosec2x3
(x) f(x) = (arcsin x)2
(y) f(x) = arccos
2x
3
(z) f(x) = sinh(2x− 1)
2. Encontrar f ′(x).
(a) f(x) =
1− x, se x ≤ 0e−x, se x > 0
(b) f(x) = ln |3− 4x|
(c) f(x) = e|2x−1|
3. Calcular f ′(0), se f(x) = e−x cos 3x.
4. Dada f(x) = e−x, calcular f(0) + xf ′(0)
5. Mostra que a func¸a˜o y = xe−x satisfaz a equac¸a˜o xy′ = (1− x)y.
6. Obtenha a regra do produto para (uv)′ derivando a fo´rmula ln(uv) = ln(u) + ln(v).
7. Provar que:
(a) Se y = cotg x, enta˜o y′ = −cosec2x
(b) Se y = secx, enta˜o y′ = secx · tgx
(c) Se y = cosecx, enta˜o y′ = −cosecx · cotg x
8. Nos exerc´ıcios de (a) ate´ (g) calcular as derivadas sucessivas ate´ a ordem n indicada.
(a) y = 3x4 − 2x; n = 5
(b) y = 3− 2x2 + 4x5; n = 10
(c) y =
√
3− x2; n = 2
(d) y = e2x+1; n = 3
(e) y =
1
x− 1; n = 4
(f) y = ln 2x; n = 2
(g) y =
1
ex
; n = 4
9. Sejam f(x) e g(x) func¸o˜es deriva´veis ate´ 3a ordem. Mostre que:
(a) (fg)′′ = gf ′ + 2f ′g′ + fg′′
2
(b) (fg)′′′ = gf ′′′ + 3f ′′g′ + 3f ′g′′ + fg′′′
10. Calcular y′ =
dy
dx
das seguintes func¸o˜es definidas implicitamente.
(a) x3 + y3 = a3
(b) y3 =
x− y
x+ y
(c) ey = x+ y
(d) tgy = xy
11. Determinar as retas tangente e normal a` circunfereˆncia de centro (2,0) e raio 2, nos pontos
de abscissa 1.
12. Em que pontos a reta tangente a` curva y2 = 2x3 e´ perpendicular a` reta 4x− 3y + 1 = 0
obs.: Todas as questo˜es sa˜o do livro Ca´lculo A. (Gabarito esta´ no livro).
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