AP3 2017.2 CEDERJ Gabarito

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AP3 – 2017-2 –GABARITO Pré-Cálculo 
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CEDERJ 
GABARITO da Avaliação Presencial 3 
Pré-Cálculo 
 
Nas questões (1), (2) e (3) considere a função 𝑝(𝑥) = 3𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 − 1 
Questão 1: [1,0 pt] Fatore em ℝ o polinômio 𝑝(𝑥). Justifique todas as suas contas. 
Fatorar 𝑝(𝑥) significa escrever 𝑝(𝑥) como produto de fatores lineares (tipo 𝑎𝑥 + 𝑏) e/ou fatores quadráticos 
irredutíveis (tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, que não possui raízes reais). 
RESOLUÇÃO: 
Seja 𝑝(𝑥) = 3𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 − 1 . Vamos buscar inicialmente as possíveis raízes inteiras de 𝑝(𝑥) , 
que estão entre os divisores do termo independente 1. As possíveis raízes inteiras de 𝑝(𝑥) são: 
 ±1 . 
Testando as possíveis raízes: 
𝑝(−1) = 3(−1)3 − (−1)2 − (−1) − 1 = −3 − 1 + 1 − 1 = −4 ≠ 0 , logo 𝑥 = −1 não é raiz 
de 𝑝(𝑥). 
𝑝(1) = 3(1)3 − (1)2 − (1) − 1 = 3 − 1 − 1 − 1 = 0 , logo 𝑥 = 1 é raiz de 𝑝(𝑥). 
Dividindo 𝑝(𝑥) por 𝑥 − 1. Usando Briot-Ruffini: 
Portanto, 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)(3𝑥2 + 2𝑥 + 1). 
Buscando as raízes do trinômio de 2º grau 𝑦 = 3𝑥2 + 2𝑥 + 1 : 
O discriminante ∆ = (2)2 − 4.3.1 = −8 < 0 , logo 𝑞(𝑥) = −2𝑥2 + 𝑥 − 3 é irredutível, não 
possui raízes reais. 
Portanto, a fatoração do polinômio 𝑝(𝑥) é: , 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)(3𝑥2 + 2𝑥 + 1). 
 
Questão 2: [1,0 pt] Encontre o domínio da função 𝑟(𝑥) =
√9− |𝑥| 
𝑝(𝑥)
 . Responda o domínio na 
forma de união de intervalos disjuntos. 
RESOLUÇÃO: 
Para calcular o domínio de 𝑟(𝑥) =
√9− |𝑥| 
𝑝(𝑥)
=
√9− |𝑥| 
(𝑥−1)(3𝑥2+2𝑥+1)
 é preciso que o radicando 
 9 − |𝑥| seja positivo ou nulo e o denominador (𝑥 − 1)(3𝑥2 + 2𝑥 + 1) não se anule. Temos 
que: 
 3 −1 −1 −1 
1 3 3 − 1 = 2 2 − 1 = 1 1 − 1 = 0 
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▪ 9 − |𝑥| ≥ 0 ⟺ |𝑥| ≤ 9 ⟺ −9 ≤ 𝑥 ≤ 9 . 
▪ denominador (𝑥 − 1)(3𝑥2 + 2𝑥 + 1) = 0 ⟺ 𝑥 − 1 = 0 , pois 3𝑥2 + 2𝑥 + 1 > 0 para 
todo 𝑥 ∈ ℝ ⟺ 𝑥 = 1 .Logo, (𝑥 − 1)(3𝑥2 + 2𝑥 + 1) ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 1 
Portanto, 
 𝐷𝑜𝑚(𝑟) = {𝑥 ∈ ℝ ∶ −9 ≤ 𝑥 ≤ 9 e 𝑥 ≠ 1 } = [−9 , 1) ∪ (1 , 9]. 
 
Questão 3 [1,0 pt] Estude o sinal da função 𝑡(𝑥) =
𝑥2−4
𝑝(𝑥)
 Justifique sua resposta! 
Lembre: estudar o sinal de 𝑦 = 𝑡(𝑥) significa responder para quais valores de 𝑥 ∈ ℝ, 𝑡(𝑥) é 
nula, 𝑡(𝑥) é positiva e 𝑡(𝑥) é negativa. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos fazer uma tabela de sinais para estudar o sinal da função 𝑡(𝑥) =
𝑥2−4
𝑝(𝑥)
. 
Justificativas da construção da tabela: 
▪ 𝑥 − 1 > 0 ⟺ 𝑥 > 1 , 𝑥 − 1 < 0 ⟺ 𝑥 < 1 ; 𝑥 − 1 = 0 ⟺ 𝑥 = 1 
▪ 3𝑥2 + 2𝑥 + 1 > 0 para 𝑥 ∈ ℝ , pois o discriminante ∆ = (2)2 − 4.3.1 = −8 < 0 e o 
coeficiente do termo 𝑥2 é positivo. 
▪ 𝑥2 − 4 > 0 ⟺ 𝑥 > 2 ou 𝑥 < −2 . Estamos considerando que o gráfico de 𝑥2 − 4 é 
uma parábola de raízes −2 e 2 e concavidade voltada para cima. Também 𝑥2 − 4 = 0 ⟺
 𝑥 = 2 ou 𝑥 = −2 . 
Tabela de sinais: 
 (−∞,−2) −2 (−2, 1) 1 (1 , 2) 2 (2,∞) 
 𝑥2 − 4 ++ + 0 − − − − − − − 0 ++ + 
𝑥 − 1 − − − − − − − 0 ++ + + + ++ + 
3𝑥2 + 2𝑥 + 1 ++ + + ++ + + ++ + + + ++ + 
𝑡(𝑥) =
𝑥2 − 4
𝑝(𝑥)
 − − − 0 + + + 𝑛𝑑 − − − 0 ++ + 
 
Portanto, 
𝑡(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = −2 ou 𝑥 = 2 
𝑡(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞,−2) ∪ (1, 2) 
𝑡(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−2 , 1) ∪ (2,∞) 
 
 
 
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Nas questões (4) a (6) considere as funções 𝑞(𝑥) = √𝑥 − 3 + 3 , 𝑚(𝑥) = |𝑥| 
e 𝑠(𝑥) = {
|𝑥| , 𝑠𝑒 𝑥 < 3
√𝑥 − 3 + 3 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 3 
 
Questão 4 [1,2] Para a função 𝑞(𝑥) = √𝑥 − 3 + 3 , se possível, calcule as coordenadas dos 
pontos de interseção com os eixos coordenados. Esboce o gráfico de 𝑦 = 𝑞(𝑥). Justifique a 
construção do gráfico de 𝑦 = 𝑞(𝑥) através de transformações no gráfico de ℎ(𝑥) = √𝑥 . Descreva 
essas transformações em palavras. 
RESOLUÇÃO: 
Interseção com eixo 𝒚: 
Como o domínio de 𝑞(𝑥) = √𝑥 − 3 + 3 é {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 ≥ 3 } então o gráfico de 𝑦 = 𝑞(𝑥) não 
intercepta o eixo 𝒚 , pois o seu gráfico não tem pontos do tipo de (0, 𝑦). 
Interseção com eixo 𝒙: 𝑞(𝑥) = √𝑥 − 3 + 3 = 0 ⟺ √𝑥 − 3 = −3 . Como √𝑥 − 3 ≥ 0 
para todo 𝑥 ≥ 3 , então a equação √𝑥 − 3 = −3 não tem solução em ℝ e concluímos que o 
gráfico de 𝑦 = 𝑞(𝑥) não intercepta o eixo 𝒙. 
Para esboçar o gráfico de 𝑞(𝑥) = √𝑥 − 3 + 3 podemos usar a seguinte sequência de 
transformações em gráficos: 
ℎ(𝑥) = √𝑥 
Translação horizontal 
de 3 unidades 
para a direita
⇒ 𝑦 = √𝑥 − 3 
Translação vertical
 de 3 unidades
 para cima
⇒ 𝑞(𝑥) = √𝑥 − 3 + 3 
Para ilustrar vamos esboçar cada gráfico da sequência. 
 
 
Translação horizontal 
de 3 unidades 
para a direita
⇒ 
 
Translação vertical
 de 3 unidades
 para cima
⇒ 
 
 
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Questão 5 [0,6] Para a função 𝑚(𝑥) = |𝑥| , se possível, calcule as coordenadas dos pontos 
de interseção com os eixos coordenados. Esboce o gráfico de 𝑚(𝑥) = |𝑥|. Justifique a construção 
do gráfico. 
RESOLUÇÃO: 
𝑚(𝑥) = |𝑥| = {
−𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 < 0 
 𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 
 
Como |0| = 0 , então o gráfico de 𝑚(𝑥) = |𝑥| intercepta os eixos 𝒙 𝐞 𝒚 na origem 
(0 , 0) . 
 
 
 
 
Questão 6 [0,9] Qual é o domínio da função 𝑠 ? Esboce o gráfico da função 𝑦 = 𝑠(𝑥). Use as 
informações encontradas nas Questões 4 e 5. Observe o gráfico da função 𝑦 = 𝑠(𝑥) e responda, 
qual é a imagem da função 𝑠. 
RESOLUÇÃO: 
Observando a definição da função 𝑠(𝑥) = {
|𝑥| , 𝑠𝑒 𝑥 < 3
√𝑥 − 3 + 3 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 3 
, 
concluímos que 𝐷𝑜𝑚(𝑠) = (−∞ , 3) ∪ [3 , +∞) 
 
 
 
 
 
Do gráfico da função 𝑠 , concluímos que Im(𝑠) = [0 , +∞). 
 
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Questão 7 [1,3 pt] Se 𝜃 é um ângulo do terceiro quadrante e sen(𝜃) = −
1
4
, calcule: 
tan(𝜃) e sec(𝜃). 
RESOLUÇÃO 
Da identidade sen2(𝜃) + cos2(𝜃) = 1, 
cos2(𝜃) = 1 − (−
1
4
)
2
= 1 −
1
16
=
15
16
, donde cos(𝜃) = ±
√15
4
. 
Como 𝜃 está no terceiro quadrante, sabemos que cos(𝜃) < 0 e concluímos cos(𝜃) = −
√15
4
. 
Da definição de tangente, tan(𝜃) =
sen(𝜃)
cos(𝜃)
=
− 
1
4
−
√15
4
=
1
√15
=
√15
15
. 
Da definição de secante, sec(𝜃) =
1
cos(𝜃)
=
1
−
√15
4
=
−4
√15
= −
4√15
15
. 
 
Questão 8 [1,5 pt] Resolva a equação 2 cos2(𝑥) − 7 cos(𝑥) + 3 = 0, 𝑥 ∈ [0, 2𝜋]. 
A substituição 𝑦 = cos(𝑥) pode auxiliar na resolução dessa questão. 
RESOLUÇÃO 
Fazendo a substituição, 2𝑦2 − 7𝑦 + 3 = 0. Resolvendo essa equação, 
2𝑦2 − 7𝑦 + 3 = 0 ⟺ 𝑦 =
7±√49−4∙2∙3
4
=
7±√25
4
=
7±5
4
 ⟺ 𝑦 =
12
4
= 3 𝑜𝑢 𝑦 =
2
4
=
1
2
. 
Logo, voltando à variável 𝑥, cos(𝑥) = 3 ou cos(𝑥) =
1
2
. 
Resolvendo cada equação, 
cos(𝑥) = 3 não tem solução pois sabemos que −1 ≤ cos(𝑥) ≤ 1. 
Observando o círculo trigonométrico ao lado e dado que 𝑥 ∈ [0, 2𝜋], 
cos(𝑥) =
1
2
 ⟺ 𝑥 =
𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = 2𝜋 −
𝜋
3
=
5𝜋
3
 . 
Portanto a solução da equação é: 𝑆 = {
𝜋
3
,
5𝜋
3
 }.Questão 9 [1,5 pt] 
Considere a função 𝑔(𝑥) = −2 + 𝑒1− 
𝑥
10 e o seu 
gráfico dado ao lado. 
 
Determine, justificando, o domínio da 
função 𝑔(𝑥) = −2 + 𝑒1− 
𝑥
10. 
Determine a abscissa 𝑎 do ponto de interseção do gráfico da função 𝑔 com o 𝒆𝒊𝒙𝒐 𝒙 e a ordenada 
𝑏 do ponto de interseção do gráfico da função 𝑔 com o eixo 𝒚. 
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Sabendo que ln 2 ≅ 0,7 e 𝑒 ≅ 2,7, calcule valores aproximados de 𝑎 e de 𝑏. 
RESOLUÇÃO 
Domínio: o domínio da função exponencial é igual ao conjunto dos reais e não há restrição na 
função 1 − 
𝑥
10
 que está no expoente, portanto 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ = (−∞,∞). 
Interseção com eixo 𝒙: 𝑦 = 𝑔(𝑥) = 0, determinando 𝑥 = 𝑎: 
−2 + 𝑒1− 
𝑥
10 = 0 ⟺ 𝑒1− 
𝑥
10 = 2 ⟺ 1 − 
𝑥
10
= ln 2 ⟺ 10 − 𝑥 = 10 ln 2 ⟺ 
 𝑥 = 10 − 10 ln 2 ⟹ 𝑎 = 10 − 10 ln 2 ⟹ 𝑎 ≅ 10 − 10 × 0,7 = 10 − 7 = 3 ⟹ 𝑎 ≅ 3. 
Interseção com eixo 𝒚: 𝑥 = 0, determinando 𝑦 = 𝑏: 
𝑦 = 𝑔(0) = −2 + 𝑒1− 
0
10 = −2 + 𝑒 ⟹ 𝑔(0) ≅ −2 + 2,7 ⟹ 𝑏 ≅ 0,7.