P1 2014/2 - Jaime

Prévia do material em texto

MAT0355 - Álgebra Linear I - A - Turma A2
Primeira Prova - 24/04/2014 - Fila 1
TODAS AS RESPOSTAS DEVEM SER JUSTIFICADAS.
1)
(a) (2,0) Comprove que o conjuntoG = f(�1; 2; 0) ; (1; 2; 3) ; (�1; 6; 3)g
não é uma base do R3:
Solução:
Este conjunto não será uma base se seus vetores forem LD. Vamos com-
provar que estes vetores são LD. Para isso discutimos a equação
x (�1; 2; 0) + y (1; 2; 3) + z (�1; 6; 3) = (0; 0; 0) (1)
que é equivalente a
�x+ y � z = 0
2x+ 2y + 6z = 0
3y + 3z = 0
:
Determinando x e y em função de z obtemos x = �2z e y = �z:
Como z pode ser qualquer este sistema admite soluções além da nula. Logo
(�1; 2; 0) ; (1; 2; 3) ; (�1; 6; 3) são LD.
(b) (1,0) Seja S o subespaço do R3 gerado por G: Encontre dois
vetores de G que geram S: Existe um único vetor de G que gera S? Interprete
geometricamente suas respostas.
Solução.
Tomando z = 1 obtemos x = �2 e y = �1 de modo que, de (1):
�2 (�1; 2; 0)� (1; 2; 3) + (�1; 6; 3) = (0; 0; 0)
donde concluímos, por exemplo, que
(�1; 6; 3) = 2 (�1; 2; 0) + (1; 2; 3) ;
ou seja, (�1; 6; 3) é uma combinação linear de (�1; 2; 0) e (1; 2; 3) (podería-se
escolher qualquer um dos três vetores para escrever como combinação linear
dos demais): Logo o subespaço S gerado por (�1; 2; 0) ; (1; 2; 3) ; (�1; 6; 3) é o
mesmo que o gerado por (�1; 2; 0) ; (1; 2; 3) ; ou seja, estes dois vetores geram
S:
1
Como nenhum dos vetores (�1; 2; 0) ; (1; 2; 3) é múltiplo do outro eles são
LI, logo formam uma base de S: Decorre que dimS = 2 e, sendo assim, S
não pode ser gerado por um único vetor.
Geometricamente, S é um plano do espaço R3 passando pela origem do
R3: Se S fosse gerado por um único vetor ele seria uma reta.
2) (1,0) Determine as coordenadas do vetor v = (�1; 3) com relação à
base B = f(�1; 2) ; (0; 2)g do R2:
Solução:
Resolvemos a equação
(�1; 3) = �(�1; 2) + �(0; 2)
que é equivalente ao sistema
�� = �1
2�+ 2� = 3
que tem como solução � = 1 e � = 1
2
: Logo
[(�1; 3)]� =
�
1
1
2
�
:
3) Sabendo que podemos dotar R de uma estrutura de espaço vetorial
através da soma
x� y = x+ y + 2
e com uma multiplicação por escalar conveniente, denotada por �; resolva o
que se pede a seguir.
(a) (1,0) Determine o elemento neutro de �
Solução:
Sendo e o elemento neutro devemos ter x�e (1)= x para todo x: A igualdade
(1) é equivalente a x+ e+ 2 = x o que nos dá e = �2:
(b) (1,0) Usando as propriedades que um espaço vetorial tem, deter-
mine 2 � x e 3 � x: Generalize para obter uma fórmula para n � x onde n é um
número natural qualquer.
Solução:
2 � x = x� x = x+ x+ 2 = 2x+ 2
3 �x = x�x�x = x� (x� x) = x� (2x+ 2) = x+2x+2+2 = 3x+2:2
2
Percebe-se um padrão de formação que nos leva a fórmula
n � x = nx+ 2 (n� 1) :
4) Seja E2�2 o subconjunto de todas as matrizes de ordem 2�2 dado por
E2�2 =
�
X 2M2�2 j X t + 2X = 0M2�2
	
sendo 0M2�2 a matriz nula 2� 2:
(a) (2,0) Obtenha uma descrição de E2�2 através de equações nas
entradas a; b; c e d de X supondo
X =
�
a b
c d
�
:
Solução:
E2�2 =
(�
a b
c d
�
2M2�2 j
�
a b
c d
�t
+ 2
�
a b
c d
�
=
�
0 0
0 0
�)
=
��
a b
c d
�
2M2�2 j
�
a c
b d
�
+
�
2a 2b
2c 2d
�
=
�
0 0
0 0
��
=
��
a b
c d
�
2M2�2 j a+ 2a = 0; c+ 2b = 0; b+ 2c = 0; d+ 2d = 0
�
:
Como as 4 igualdades acima só valem para a = b = c = d = 0 concluímos
que
E2�2 =
��
0 0
0 0
��
:
(b) (2,0) Comprove que E2�2 é um subespaço vetorial de M2�2; us-
ando (a) ou usando a própria de…nição de E2�2:
Solução:
Sendo E2�2 formado apenas pelo vetor nulo (ou seja, a matriz 2�2 nula)
E2�2 é um subespaço vetorial de M2�2; o subespaço nulo.
Obs: quem comprovou as três propriedades que caracterizam um sube-
spaço vetorial também está ok.
(c) Determine uma base de E2�2:
Anulada
3