matenatica finaceira simples

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Matemática Financeira CESPE - Prof. Sérgio Carvalho
Olá, Amigos!
Tudo bem?
Há algum tempo escrevi esta aula, sucinta e objetiva, visando atender alunos que 
iriam prestar algum concurso que cobrasse a Matemática Financeira, no estilo 
Cespe/UnB.
Trata-se de uma aula extremamente fácil de ser compreendida, e que contempla - de 
uma só vez - tudo (ou quase tudo!) o que os editais do Cespe costumam cobrar!
Comecemos, pois, tratando do primeiro assunto: Juros Simples!
# JUROS SIMPLES:
Por primeiro, precisamos saber o que é uma operação de Juros!
É aquela em que se projeta um valor monetário conhecido para uma data posterior!
Assim, se eu tenho hoje no meu bolso a quantia de R$ 500,00, e me dirijo ao banco e 
deposito este valor numa conta de "poupança", e deixo este dinheiro lá por alguns 
meses, eu estou, na verdade, submetendo aquele "capital" a uma operação de Juros!
Na linguagem matemática, o valor monetário que é nosso conhecido, e que será 
projetado (transportado) para uma data futura, é o que chamaremos de Capital (C)!
Este ficará aplicado durante um determinado período de tempo (n), ao fim do qual se 
transformará (conforme sabemos!) em um valor maior!
Lembrem-se de que o dinheiro nunca fica parado, não é mesmo?
Este valor maior, no qual se transformou o capital aplicado, será chamado por nós de 
Montante (M).
Esqueceu-me apresentar-lhes a linha do tempo! 
Será costume nosso, de agora em diante, representar os problemas que iremos 
trabalhar por meio de um desenho!
Calma! Não é desenho artístico! É apenas um tracinho na horizontal, e alguns na 
vertical... (E também não precisa de muito preciosismo, Ok? Se os traços não ficarem 
muito bem desenhados, não tem problema! Basta que sirva para você enxergar a 
questão)!
Pois bem! A linha do tempo é uma linha horizontal, que começa, via de regra, com a 
chamada data zero, que corresponde ao dia de hoje!
Vejam:
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O
Reparem que nosso valor monetário conhecido, o Capital, é aquele que inicia, no dia 
de hoje, a operação de juros! (Foi no dia de hoje que você se dirigiu ao banco para 
depositá-lo na conta de poupança).
Assim, teremos:
Ao final da operação, transcorrido o tempo (n) que você deixou seu dinheiro aplicado, 
chegará o dia do resgate! Ora, sabendo que o Montante (a ser resgatado) é um valor 
maior que o Capital, a seta que o representará será também uma seta maior! 
Teremos: 
Ora, você sabe perfeitamente que o elemento da mágica, aquele que faz com que o 
dinheiro nunca fique parado, mas se movimente com o transcorrer do tempo, é 
exatamente a taxa (i)!
Assim, por enquanto, já falamos de 4 elementos de uma operação de Juros: 
- Capital (C): é o valor a ser projetado para o futuro. É ele quem dá início à operação;
- Tempo (n): é a distância cronológica que separa a data em que o capital se 
encontra, e a data para a qual ele será projetado! Em outras palavras, é o quanto vai 
durar a operação de Juros;
- Montante (M): é o valor em quanto se transformou o Capital! Consiste no resultado 
final da operação de Juros; e
- Taxa (i): o elemento da mágica, que movimenta o dinheiro com o passar do tempo!
Mas, professor, o nome do assunto é Juros!
Onde é que os Juros entram nessa história?
Ora, os Juros, também chamados de rendimentos, serão apenas a diferença entre o 
valor do Montante (que será resgatado) e o valor do Capital (aplicado no início)!
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O
C
O
C
M
n
Voltando ao nosso exemplo, se você depositou um Capital de R$ 500 numa conta de 
poupança, e após seis meses de aplicação você resgatou um Montante de R$ 600, 
então diremos que seus rendimentos (ou Juros) foram de R$ 100. 
Vejam no desenho:
Assim, apenas olhando para o desenho acima, seremos capazes de criar a primeira 
equação do nosso Curso! Diremos que:
Estamos dando ênfase a esta equação pelo fato de ela ser deveras importante para 
nós! 
Tanto é assim que lhe atribuiremos um apelido, qual seja, Equação Curinga dos 
Juros!
É chamada assim porque esta equação é sempre verdadeira, e é sempre aplicável, 
para toda e qualquer operação de Juros, seja no regime simples ou no regime 
composto!
Ou seja: será sempre uma alternativa sua utilizar esta equação em qualquer questão 
de Juros! Ok?
Percebam que a equação curinga envolve 3 elementos (juros, montante e capital), 
de sorte que se 2 deles forem conhecidos, então imediatamente descobriremos o 
terceiro desconhecido!
São, portanto, desdobramentos desta equação, os seguintes:
e
Obviamente que você não precisa decorar estas duas últimas equações! São meras 
novas formas de apresentação da equação curinga dos juros! 
Tudo bem até aqui?
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O
C
M
n
J (Juros)
Juros = Montante - Capital
Montante = Capital + Juros Capital = Montante - Juros
Estes, são, portanto, os 5 elementos que estão presentes em qualquer operação de 
juros: Capital, Tempo, Montante, Juros e Taxa.
Fora disso, creiam-me, não há! 
Já podemos agora aprender como se resolvem operações de Juros Simples, pelo 
método dos números representativos!
O que você terá que guardar na lembrança é o seguinte:
- O Capital, elemento que inicia a operação de juros, será sempre 
representado por 100 (cem);
(Vejam que não estou dizendo que o Capital é igual a 100; estou dizendo que ele é 
representado por 100. Há diferença!).
- Os Juros serão sempre representados pelo produto taxa vezes tempo (i.n); 
e
- o Montante, que é a soma de Capital e Juros, será, por sua vez, 
representado pela soma (100+i.n).
Muito mais fácil do que decorar isso em texto, é você memorizar esta mesma 
informação por meio por meio do seguinte desenho: 
Vejam que cada um desses 3 elementos (Capital, Juros e Montante) é representado 
por alguém! Este alguém é o que tem que ficar guardado na sua lembrança! 
Capital, por 100; Juros, por taxa vezes tempo; Montante, por 100 mais taxa vezes 
tempo!
Mas o desenho ainda não está completo! Precisamos completá-lo, traçando 3 traços 
divisores, e criando 3 frações, uma para cada elemento! Assim, o desenho completo 
será o seguinte:
 
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J
M
C
100
i.n
100+i.n
J
M
C
100
i.n
100+i.n
Daí, apenas olhando para o desenho acima, guardaremos conosco que:
- A fração do Capital é C/100;
- A fração dos Juros é J/(i.n); e
- A fração do Montante é M/(100+i.n).
Agora você irá criar equações diversas, apenas igualando uma fração à outra! 
É só igualar, professor?
Sim! E veremos que irão nascer 3 equações novas! 
São 3 equações de Juros Simples!
Teremos:
ni
JC
.100
= e ni
MC
.100100 +
= e ni
M
ni
J
.100. +
=
Vejam, meus amigos: em vez de vocês terem que sair decorando equação, bastará se 
lembrar do desenho dos Juros Simples!
Lembrando do desenho, reconhecerá as 3 frações, e igualando duas quaisquer dessas 
frações, você já criou uma possível equação de Juros Simples!
Obviamente que, quando você for resolver a questão da prova, não vai ter que utilizar 
as 3 equações que estão aí acima! 
Vai ter que usar só uma delas!
Qual delas, então, professor?
Aquela que for conveniente para o caso, de acordo com os dados do enunciado!
Por exemplo, se a questão lhe disser quanto é o Capital e perguntar pelo valor dos 
Juros, você irá trabalhar com esses dois elementos, Capital e Juros, igualando as 
respectivas frações! 
Eteremos: 
ni
JC
.100
=
Se a equação lhe der Juros, e perguntar pelo Montante, igualaremos as respectivas 
frações, e trabalharemos com: 
ni
M
ni
J
.100. +
=
Finalmente, se os elementos envolvidos no enunciado forem Capital e Montante, 
igualando suas frações, teremos: 
ni
MC
.100100 +
=
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Agora é minha vez de perguntar! Pense um pouquinho e me responda: quantas 
equações de Juros Simples nós temos ao nosso dispor?
Ah, professor: são quatro!
Exatamente: as 3 que nasceram aí do desenho acima, e mais a equação curinga dos 
juros (que é sempre verdadeira e sempre aplicável)!
Você vai tentar resolver a questão com uma das 3 equações que nasceram do 
desenho dos juros simples! Porém, se ela sozinha não der conta do recado, aí você 
lançará mão da equação curinga, e esta certamente terminará de resolver o 
problema!
Assim, vejamos novamente nosso arsenal de fórmulas dos Juros Simples:
ni
JC
.100
= e ni
MC
.100100 +
= e ni
M
ni
J
.100. +
=
e
Agora temos algo importantíssimo a aprender!
Aquelas 3 primeiras fórmulas dos Juros Simples, as que nasceram do desenho, trazem 
uma EXIGÊNCIA de aplicação!
Para que possamos aplicar qualquer uma delas, é preciso antes verificar se taxa e 
tempo já estão na mesma unidade!
Esta é a exigência!
Se taxa e tempo estiverem na mesma unidade, ótimo: a fórmula é de aplicação 
imediata!
Do contrário, teremos que providenciar antecipadamente que a exigência seja 
cumprida! E só depois disso poderemos aplicá-la! Ok?
E como é que se faz isso?
É facílimo! Vamos treinar?
Exemplo 1: Se a aplicação de juros simples durar 6 meses (n=6m) e a taxa fornecida 
for de 10% ao ano (i=10%a.a.), o que podemos fazer para colocá-los (taxa e tempo) 
na mesma unidade?
Ora, basta dizer que 6 meses é metade de um ano. E aí teremos: n=0,5 ano e i=10% 
a.a. 
E já podemos aplicar qualquer fórmula de juros simples!
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Juros = Montante - Capital
Exemplo 2: Se tivermos uma taxa semestral i=15%a.s. e o tempo de aplicação n=18 
meses. O que faremos neste caso? 
Aí simplesmente diremos que 18 meses é o mesmo que 3 semestres! 
E teremos: i=15%a.s. e n=3s. Tudo compatível! Exigência cumprida! E já podemos 
aplicar a fórmula!
Mas, professor, nestes dois exemplos acima, alteramos a unidade do tempo! E se eu 
quiser alterar a unidade da taxa, como farei isso?
Vamos aprender! É tão fácil quanto!
Sempre que você tiver que alterar a unidade de uma taxa de juros simples, fará 
uso do conceito de Taxas Proporcionais!
Trata-se de um conceito intuitivo! Até criança aprende!
Por este conceito de Taxas Proporcionais, faremos apenas uma multiplicação, ou 
uma divisão, conforme o caso: 
- Da unidade maior para a unidade menor, você divide! (O bolo é maior que a fatia: 
então você divide o bolo, para chegar à fatia);
- Da unidade menor para a unidade maior, você multiplica!
Divido por quanto? Multiplico por quanto?
Basta comparar as unidades envolvidas! Vejamos mais alguns exemplos:
Exemplo 3: Se tivermos uma taxa i=36%a.a. (ao ano) e o tempo de aplicação n=7 
meses. O que faremos neste caso? 
Se você decidir deixar tudo na unidade mês, então terá que alterar a unidade da taxa, 
passando-a de uma taxa anual para uma taxa mensal.
E para alterar a taxa de juros simples, usamos sempre o conceito de Taxas 
Proporcionais!
Como será nosso raciocínio?
De taxa ao ano para taxa ao mês; ano para mês; maior para o menor; do maior para 
o menor, eu divido; um ano tem quantos meses? Doze!; então eu divido por 12.
Só isso! E teremos: 36% ao ano = (36/12) = 3% ao mês
Daí, cumprimos a exigência, e passamos a trabalhar com: i=3%a.m. e n=7m.
Exemplo 4: Se tivermos uma taxa i=5%a.t. (ao trimestre) e o tempo de aplicação 
n=2 anos. O que poderíamos fazer? 
Ora, se você decidisse trabalhar com a unidade anual, teria então que alterar a 
unidade da taxa!
Sigamos o raciocínio:
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De taxa ao trimestre para taxa ao ano; trimestre para ano; menor para o maior; do 
menor para o maior, eu multiplico; um ano tem quantos trimestres? 4. Então eu 
multiplico por 4.
E teremos: 5% ao trimestre = (5x4) = 20% ao ano
E a exigência já está cumprida: i=20%a.a. e n=2a.
Professor, neste exemplo acima, eu não poderia apenas ter dito que 2 anos são iguais 
a 8 semestres? Não estaria certo?
Sim! Estaria certíssimo! 
E aí, você trabalharia a questão, dizendo que: i=5%a.t. e n=8t.
E irá chegar na mesmíssima resposta a qual chegaria se usasse os dados i=20%a.a. e 
n=2a. Isto é óbvio, já que 5%a.t. e 20%a.a. são taxas proporcionais, e que 2 anos é 
o mesmo que 8 trimestres!
Então, quer dizer, professor, que não há uma só maneira de resolver uma questão de 
juros? 
Exatamente! Há vários caminhos possíveis! Você, obviamente, buscará aquele que lhe 
parecer mais conveniente, mais prático, e mais rápido! Ok?
Em suma: você usará o bom senso! 
Passemos a mais algumas observações importantes!
Praticamente todo mundo sabe disso, mas não custa lembrar: na Matemática 
Financeira, como regra, todos os meses do ano têm 30 (trinta) dias!
É o chamado ano comercial. 
Daí, se todos os meses têm 30 dias, o ano inteiro terá 360 dias!
Este é o conceito da regra! 
Nos juros, esta consideração é chamada de juros comerciais!
Assim, trabalhando pela regra, ou seja, trabalhando com juros simples comerciais, se 
tivermos, por exemplo, que transformar uma taxa de 18% ao ano numa taxa na 
unidade diária, faremos:
Taxa ao ano para taxa ao dia; ano para dia; maior para o menor; do maior para o 
menor, eu divido; um ano tem quantos dias? 360. Logo, dividirei por 360.
E teremos: 18% ao ano = (18/360)% ao dia.
E eu terei que fazer esta conta na prova, professor? 
De jeito nenhum! Deixe do jeito que está, em forma de fração mesmo, Ok? 
Ficou claro o conceito de Juros Comerciais? Ótimo!
Agora aprendamos o conceito da exceção! 
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Excepcionalmente, somente quando a questão falar de forma expressa em Juros 
Exatos, passaremos a tratar o ano de acordo com nosso calendário convencional. 
Ou seja, considerar Juros Exatos é considerar a contagem dos meses da forma como 
o fazemos em nossa vida cotidiana: janeiro com 31 dias, fevereiro com 28 dias (29, 
se for ano bissexto), março com 31 dias, abril com 30 dias, maio com 31 dias, junho 
com 30 dias, julho com 31 dias, agosto com 31 dias, setembro com 30 dias, outubro 
com 31 dias, novembro com 30 dias e dezembro com 31 dias. 
E o ano inteiro com 365 dias (ou 366 dias, se for ano bissexto)!
Professor, quando é mesmo que eu contarei o ano com 365 dias? 
Somente quando a questão falar expressamente no enunciado que você deve adotar 
os Juros Exatos! 
Do contrário, se a questão não trouxer as palavras Juros Exatos no enunciado, 
trabalharemos com o caminho da regra, qual seja, os Juros Comerciais (1 ano =360 
dias). Ok?
Só para conferir se você entendeu direitinho: se a questão falar em Juros Exatos, e 
você tiver que alterar a unidade da taxa anual, de 15%a.a. para uma taxa diária, 
como seria?
Taxa ao ano para taxa ao dia; ano para dia; maior para o menor; do maior para o 
menor, eu divido; um ano, nos Juros Exatos, tem quantos dias? 365. Logo, dividirei 
por 365.
E teremos: 15% ao ano = (18/365)% ao dia.
Compreendido?
Caminho da regra: juros comerciais! Cada mês com 30 dias; ano com 360 dias!
Caminho da exceção: jurosexatos! (Só se vier expresso na leitura da questão)! Ano 
calendário convencional, com 365 dias!
Vamos aos primeiros exemplos de Juros Simples!
Exercício 1) Um capital de R$ 1000 é aplicado durante 7 meses, a uma taxa de juros 
simples de 24% ao ano. Qual o valor do Montante e qual o valor dos Juros obtidos 
nesta aplicação?
Sol.: Vamos lá! Você leu o enunciado e encontrou nele elementos próprios de uma 
operação de juros! 
Só pode começar a resolver a questão quando se certificar acerca do regime! 
E o enunciado tratou disso expressamente, revelando-nos que a taxa é de natureza 
simples!
Ótimo, já identificamos o assunto juros simples!
Próximo passo: verifique se a exigência (taxa e tempo na mesma unidade) já está 
cumprida! Já?
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Ainda não, professor? 
De fato! Temos i=24%a.a. e n=7m.
Se você decidir trabalhar com a unidade mensal, aplicaremos o conceito de taxas 
proporcionais para dizer que: 24% a.a. = (24/12) = 2% a.m.
Certinho?
Agora, sim, podemos nos lembrar do desenho dos juros simples, e escolher a nossa 
equação! Veja:
 
Neste caso, a questão nos deu o Capital, e nos pede o valor do juros e do montante!
Vamos trabalhar com Capital e Juros! Que tal?
Teremos:
Mais fácil, impossível!
Professor, eu reparei que nestas contas você usou 2 no lugar da taxa! Não seria 0,02 
já que a taxa é 2% ? 
Muito bem observado! Usaremos 2 mesmo! Por este método que lhes estou 
apresentando (o dos números representativos), em todo o regime simples 
trabalharemos com taxas na notação percentual. 
Ou seja, se a taxa é 2%, usaremos 2 nas contas; se a taxa é 7%, usaremos 7 nas 
contas; se é 15%, usaremos 15. E assim por diante! 
Entendido?
Quando chegarmos lá no regime composto, aí tudo muda, e passaremos (somente 
então) a adotar taxas na notação unitária! Por esta última, 2% serão ditos 0,02; 
7% serão ditos 0,07; 15% serão ditos 0,15.
Faça logo, portanto, a seguinte associação:
- Regime Simples: taxas na notação percentual. (Nas contas, 5%=5);
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J
M
C
100
i.n
100+i.n
- Regime Composto: taxas na notação unitária. (Nas contas, 5%=0,05).
Não acabou o exercício ainda, professor! A questão também quer saber o valor do 
Montante!
Bem lembrado!
Veja que agora você já conhece o Capital (dado da questão) e os Juros (que 
calculamos)! Assim, aplicando a equação curinga dos juros, teremos:
M=C+J M=1000+140 M=1.140,00 
Mais um exercício:
Exercício 2) Um capital de R$ 1000 é aplicado durante 3 meses, gerando um 
montante de R$ 1.210,00. Qual a taxa de juros simples anual desta aplicação?
Sol.: Vamos lá! Não houve dificuldades em identificar que estamos diante de uma 
operação de juros simples! Tudo bem?
Minha pergunta é: com estes dados fornecidos pela questão, já podemos aplicar 
alguma fórmula de juros simples imediatamente?
Ainda não, professor! Ele deu tempo de 3 meses. E pede taxa ao ano...
Eu discordo! 
Eu penso que já podemos aplicar a fórmula agora mesmo! 
Mas, professor, para aplicar a fórmula não é preciso ter taxa e tempo na mesma 
unidade?
Você disse tudo! É exatamente isso! Se eu aplicar a fórmula neste momento, 
trabalhando com o tempo de 3 meses, estou considerando que a taxa também está 
na unidade mensal. 
Assim, faremos as contas, e encontraremos como resultado uma taxa de alguma 
coisa por cento ao mês!
Depois disso, sabendo que a questão pede como resposta uma taxa anual, 
aplicaremos o conceito de taxas proporcionais, e alteraremos a unidade da taxa 
encontrada, de mensal para anual.
Compreendido?
Outro detalhe: sempre que a questão fornecer, ao mesmo tempo, o valor do Capital e 
do Montante, temos, nas entrelinhas, o valor dos Juros. Concordam?
Sim, professor! Basta aplicar a equação curinga...
Exatamente! 
Neste caso, teremos: J=M-C J=1210-1000 J=210 
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Com isso, podemos aplicar a equação que envolve Capital e Juros. 
Teremos:
7 o quê, professor?
7% ao mês!
Ao mês, sim, pois trabalhamos com o tempo em meses! 
Agora, finalmente, aplicando o conceito de taxas proporcionais, vamos alterar essa 
taxa mensal para taxa ao ano, conforme nos pediu o enunciado!
Teremos:
Taxa ao mês para taxa ao ano; mês para ano; menor para o maior; do menor para o 
maior, eu multiplico; um ano tem 12 meses, logo, multiplicarei por 12.
Daí: 7%a.m. = (7x12) = 84% ao ano (Resposta!)
Próximo!
Exercício 3) Um capital é aplicado à taxa de juros simples de 60% ao ano, durante 7 
meses. Calcule o valor dos juros, como porcentagem do capital.
Sol.: Eis aqui uma questão interessante! 
Interessante por quê, professor?
Por causa do modelo de pergunta que ela traz!
E este modelo é o seguinte: calcule este elemento como porcentagem deste outro !
Veja que podem ser elementos quaisquer (capital, juros ou montante)!
Assim, a pergunta poderia ser:
Calcule o capital como porcentagem do montante.
Calcule os juros como porcentagem do capital.
Calcule os juros como porcentagem do montante.
O importante é você guardar o modelo na sua lembrança: 
Calcule este elemento como porcentagem deste outro!
O que fazer neste caso, professor?
É muito fácil. Basta pegar este outro elemento (o último da pergunta do modelo!) e 
adotar para ele o valor 100 (cem).
Só isso!
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Assim, se a pergunta é: Calcule os juros como porcentagem do capital, chamaremos 
o capital de 100.
E resolveremos a questão normalmente! Daí, no final, tomaremos o valor dos juros 
(que teremos calculado) e acrescentaremos apenas o sinal de porcentagem (%).
Por que faremos isso, professor?
Porque a questão não quer saber apenas o valor dos juros. Ela quer juros como 
porcentagem do capital. Ou seja, quer juros em relação ao capital. Se chamamos 
capital de 100, então juros em relação a 100, é juros por cento!
Já sabemos o que tínhamos de saber! Já podemos resolver o problema!
Vejam que a exigência (taxa e tempo na mesma unidade) ainda não está cumprida!
Aplicando o conceito de taxas proporcionais, diremos que: 60%a.a.=5%a.m. 
Trabalhando com a equação que envolve Capital e Juros, teremos:
35 o quê, professor?
Juros = 35% (do Capital) (Resposta!)
Vamos ver mesmo se você entendeu direito! Próximo exercício.
Exercício 4) Um capital de R$ 357.438,29 é aplicado à taxa de juros simples de 60% 
ao ano, durante 7 meses. Calcule o valor dos juros, como porcentagem do capital.
Sol.: É praticamente o mesmo texto do exercício anterior! 
Mudou apenas que agora a questão deu esse valor absurdo de Capital, não foi, 
professor?
Sim! E a pergunta que eu lhe faço é a seguinte: você reconhece, na pergunta da 
questão, algum modelo?
Claro que sim, professor! Eu reconheço! Acabamos de falar sobre ele!
Exatamente! Então, o que você pretende fazer para resolver este problema?
Já sei, professor! Vou apenas chamar o Capital de 100. Posso fazer isso?
Claro que sim!
Sempre que a pergunta da questão obedecer ao modelo (calcule este elemento como 
porcentagem deste outro), podemos tomar este outro (o último elemento da 
pergunta) e atribuir a ele o valor 100, mesmo que a questão lhe tenha atribuído 
um valor diferente de 100.
É a única situação, em todo o nosso Curso, em que teremos esta liberdade de alterar 
algum valor de elemento trazido pelo enunciado. 
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Ficou claro?
Daí, nossa resoluçãotorna-se idêntica ao do exercício passado, e a resposta, 
naturalmente, será exatamente a mesma: Juros = 35% (do Capital).
É provável que algum concorrente seu esteja quebrando cabeça com aquele valor de 
capital fornecido pela questão (R$ 357.438,29)...
Vamos em frente!
# DESCONTO SIMPLES
Operação de Desconto, meus amigos, é aquela em que o valor monetário é conhecido 
numa data posterior, e queremos projetá-la para o dia de hoje (ou outra data 
qualquer anterior).
Suponhamos que você comprou mercadoria para sua loja, e comprometeu-se a pagar 
R$ 10.000 daqui a seis meses por essa compra que fez hoje. 
Ora, essa operação é contratada mediante um documento, um título, que registra 
que naquela data futura há uma obrigação a ser cumprida.
Agora imagine que, faltando ainda três meses para o vencimento daquela obrigação, 
seus negócios estejam indo muito bem, e que por isso você decidiu antecipar o 
pagamento. 
Estão enxergando a situação? 
Se ainda faltavam três meses para vencer e o título será pago hoje, deve haver 
alguma vantagem para você, por ter decidido antecipar o pagamento, concordam? 
Claro! Você vai pagar um valor menor do que o que era devido!
Aquele título sofrerá um Desconto!
Se você devia R$ 10.000 e, em decorrência da antecipação, vai pagar apenas R$ 
9.500,00, então a diferença entre o que era devido no futuro e este valor menor que 
será pago hoje (em virtude da antecipação) é exatamente o que chamamos de 
Desconto.
Neste caso, desconto de R$ 500,00.
Até aqui, tudo bem?
Precisamos aprender a nomenclatura dos elementos de uma operação de desconto:
- Valor Nominal (N): é o valor do título, devido na data futura! É aquele que sofrerá 
o desconto. É também sinônimo de valor de face, expressão já usada algumas vezes 
em prova. (Significa que é valor que está escrito na face do papel, do título)! 
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- Valor Atual (A): é o valor menor em que se transformou o título após o desconto. 
Em outras palavras, é o quanto vale o título após já ter sido descontado! Por isso, 
recebe também o nome de valor descontado! Outros sinônimos de Valor Atual são: 
valor resgatado, valor de resgate ou valor líquido!
- Desconto (D): é a diferença entre o Valor Nominal e o Valor Atual. Só isso!
Os outros dois elementos de qualquer operação de Desconto são o tempo de 
antecipação (n) e a taxa (i).
A exemplo dos Juros, também haverá operações de Desconto nos regimes simples e 
composto! 
Ademais, para cada regime de desconto existem duas modalidades, dois tipos de 
desconto: o Racional (desconto por dentro) e o Comercial (desconto por fora)!
Assim, teremos: Desconto Simples Racional, Desconto Simples Comercial, Desconto 
Composto Racional, Desconto Composto Comercial.
Sobre este último, o Desconto Composto Comercial, algumas bancas elaboradoras de 
prova desconsideram sua existência! E nem o colocam no programa! (É o caso da 
ESAF, por exemplo!).
Vamos aprender como trabalhar as operações de Desconto Simples! 
Precisamos conhecer dois desenhos, e apenas isso! Vejam:
Desconto Simples Racional (ou Por Dentro):
Este é o tipo de Desconto Simples que tem por referência o Valor Atual. Assim, o 
Atual será representado por 100. (Vejam a fração: A/100). Desconto será sempre 
representado por taxa vezes tempo. Nominal, por ser maior que Atual, recebe o sinal 
de +. E sua fração fica N/(100+i.n).
 N / (100+i.n)
 A /100
 D / (i.n)
Assim, são equações de Desconto Simples Racional que nasceram do desenho acima 
são seguintes:
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Com só um pouquinho de observação, você enxerga que são exatamente as mesmas 
equações dos Juros Simples, mudando apenas a nomenclatura dos elementos! (Onde 
havia Capital, passa a ser Atual; onde havia Montante, passa a ser Nominal; e onde 
havia Juros, passa a ser Desconto). 
Assim, podemos perfeitamente afirmar que Desconto Racional e Juros são operações 
irmãs! Se equivalem mutuamente. Enquanto os Juros levam, o Desconto Racional traz 
de volta, na mesmíssima medida!
A quarta equação, apropriada para qualquer operação de Desconto, é esta:
A única exigência a ser observada na aplicação destas fórmulas é aquela já nossa 
conhecida: taxa e tempo na mesma unidade!
Se necessário alterar a unidade da taxa, usaremos o conceito de taxas proporcionais, 
já que estamos trabalhando no regime simples!
Desconto Simples Comercial (ou Por Fora):
Tem como referência o Valor Nominal, que será representado por 100. Desconto é 
sempre representado por taxa vezes tempo. E o Atual, por ser menor que o Nominal, 
receberá o sinal de menos (-), sendo representado por (100-i.n).
O desenho do desconto simples por fora é, pois, o seguinte:
 N / 100
 A / (100- i.n)
 D / (i.n)
Daí, são equações de Desconto Simples por Fora:
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DESCONTO = NOMINAL - ATUAL
 
Memorizando o desenho, as equações estão automaticamente memorizadas!
A equação curinga do Desconto também serve, obviamente, para o Desconto Simples 
Comercial. Vejam:
E a única exigência a ser observada na aplicação de qualquer uma dessas equações é 
a mesma de sempre: taxa e tempo na mesma unidade!
Como o regime continua sendo o simples, usaremos o conceito de taxas proporcionais 
para alterar a unidade da taxa, caso necessário!
Vejam esta questão que o CESPE colocou numa prova do ano de 2010:
(CESPE-2010) Se, ao descontar uma promissória com valor de face de R$ 
5.000,00, seu detentor receber o valor de R$ 4.200,00, e se o prazo dessa 
operação for de 2 meses, então a taxa mensal de desconto simples por fora 
será igual a:
A) 5%.
B) 6%.
C) 7%.
D) 8%.
E) 9%.
Sol.: Anotemos os dados desta questão:
- Valor de Face = Valor Nominal = N=5.000,00
- Valor líquido em que vai se transformar o título = Valor Atual = A=4.200,00
- Tempo de antecipação = n=2 meses
- Tipo de desconto = Simples Por Fora = Desconto Comercial Simples!
E o que a questão pergunta é pela taxa mensal.
Algum segredo? Não, nenhum! 
Sempre que a questão fornecer, simultaneamente, o valor nominal e o valor atual, 
podemos imediatamente calcular o valor do Desconto! Teremos:
D = N - A D = 5000 - 4200 D=800
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DESCONTO = NOMINAL - ATUAL
Agora podemos simplesmente aplicar alguma equação própria do desenho do 
Desconto Simples por Fora. Relembremos o desenho e as equações:
O desenho do desconto simples por fora é, pois, o seguinte:
 N / 100
 A / (100- i.n)
 D / (i.n)
Daí, são equações de Desconto Simples por Fora:
 
Resolvi usar a última! Reparem que o tempo está na unidade mensal (n=2 meses) e o 
taxa solicitada também é mensal. Teremos:
 i= (80/10) i = 8% ao mês (Resposta!)
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Agora vamos falar no Regime Composto!
# Juros Compostos:
O que é uma operação de Juros vocês já sabem! Quais seus elementos próprios, 
também! 
Uma vez reconhecendo que a operação de juros ocorre no Regime Composto, o que 
teremos a fazer é aplicar a seguinte equação:
Onde:
- M é o Montante (resultado final da operação de juros);
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M = C . (1+i)n
- C é o Capital (o valor que iniciaa operação de juros);
- i é a taxa de juros compostos da operação;
- n é o tempo quanto durou a operação.
Você facilmente percebe que esta Equação Fundamental dos Juros Compostos não 
apresenta em si o valor dos Juros! Daí, o que fazer se a questão perguntar 
exatamente isso? Ou seja, se ela perguntar pelos juros?
Ora, nesse caso, usaremos a equação curinga dos Juros, sempre verdadeira e sempre 
aplicável, e que diz: JUROS = MONTANTE - CAPITAL.
Assim, conhecendo o valor do Montante e do Capital, conheceremos também os Juros!
Olhe novamente para a Equação Fundamental dos Juros Compostos:
_
Este parêntese em destaque é de suma importância no Regime Composto! Ele estará 
presente em todos os assuntos desse regime, de sorte que daremos a ele um apelido: 
parêntese famoso! Ok?
Importante: a única exigência que deve ser observada para a aplicação da fórmula 
acima é aquela já nossa velha conhecida: taxa e tempo na mesma unidade!
Quando estávamos estudando o regime simples, e precisávamos alterar a unidade da 
taxa, usávamos, para isso, o conceito de taxas proporcionais! Lembrados? Aquele 
conceito que se pratica apenas multiplicando-se ou dividindo-se a taxa original, 
conforme o caso.
Já aqui, no Regime Composto, surge outro conceito para a alteração da unidade da 
taxa! 
No Regime Composto, alteraremos a unidade das taxas mediante o conceito de Taxas 
Equivalentes!
Vamos aprender logo isso!
Taxas Equivalentes:
Este conceito se traduz pela seguinte fórmula:
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M = C . (1+i)n
1 + I = (1+i)k
Onde:
- I é a taxa de unidade maior;
- i é a taxa de unidade menor;
- K é o número de vezes que a unidade menor cabe na unidade maior.
Vamos entender!
Se eu quiser, por exemplo, transformar uma taxa anual (de juros compostos) em uma 
taxa mensal, como analisarei?
Fácil! A transformação que eu pretendo é de taxa ao ano para taxa ao mês. Ano é 
maior do que mês. Logo, I (izão) é a taxa ao ano, i (izinho) é a taxa ao mês. E 
quantos meses cabem no ano? Doze! Então k=12. 
Outro exemplo: se eu quiser transformar uma taxa semestral (de juros compostos) 
numa taxa bimestral, como será?
Ora, queremos transformar uma taxa ao semestre numa outra taxa ao bimestre. 
Semestre é maior que bimestre. Logo, I (izão) é a taxa ao semestre, enquanto i 
(izinho) é a taxa ao bimestre. E quantos bimestres cabem em um semestre? Três! 
Assim, k=3.
Não tem segredo! É só pensar um pouquinho, antes de aplicar o conceito de taxas 
equivalentes.
Agora um exemplo prático: quero transformar a taxa de juros compostos de 10% ao 
mês em uma taxa composta bimestral. Como fazer?
De taxa mensal para taxa bimestral: bimestre é maior que mês. Logo: I=?%a.b. e 
i=10%a.m. Cabem 2 meses em um bimestre, de sorte que k=2.
Aplicando o conceito de taxas equivalentes, teremos:
1 + I = (1 + i)K 1 + I = (1 + 0,10)2 1 + I = 1,21 
 I = 0,21 = 21% ao bimestre! 
Só isso!
Reparem que, neste exemplo, chamamos a taxa 10% de 0,10.
Isso se repetirá em todo o Regime Composto, no qual trabalhamos sempre com as 
taxas na notação unitária, ou seja:
- Se a taxa é 10%, chamaremos nas fórmulas de 0,10;
- Se a taxa é 15%, chamaremos de 0,15;
- Se a taxa é 7%, chamaremos de 0,07.
E assim por diante!
Não esqueçam: taxa composta sempre na notação unitária!
Considere o seguinte exemplo: Um capital de R$ 1000 será aplicado à taxa de juros 
compostos de 10% ao mês, durante o prazo de 3 meses. Qual será o montante e 
quais serão os juros obtidos nesta operação?
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Sol.: A questão falou expressamente que o regime é o composto! Daí, estamos diante 
de um enunciado de Juros Compostos! Imediatamente, você põe no papel a Equação 
Fundamental, que diz: M = C.(1+i)n.
Logo depois disso, você vai verificar se taxa e tempo já estão na mesma unidade! Se 
já estiverem, basta aplicar diretamente a fórmula! Senão(*), teríamos que tomar 
alguma providência prévia!
(*) Dica de Português: senão (junto) significa "do contrário", "caso contrário"...
Mas já estão! A taxa é mensal (10%a.m.) e o prazo também o é (3 meses)!
Aplicação direta da fórmula! Teremos:
M = C.(1+i)n M = 1000 . (1+0,10)3 M = 1000 . 1,331
E: M=1.331,00 
Juros, como sabemos, serão calculados como a diferença entre Montante e 
Capital.Daí:
J = M - C J = 1331 - 1000 J = 331,00 
Alguém pode perguntar assim: Professor, e se o expoente daquele parêntese famoso 
fosse um valor bem elevado, como 13 ou 17, por exemplo. Como faríamos essa conta 
na mão, sem dispor de calculadora?
Neste caso, se o expoente do parêntese famoso fosse muito alto, a banca teria que 
fornecer o seu valor como dado adicional da questão! Ok? Não há como exigir que o 
candidato fizesse na mão uma conta inviável, como (1+0,07)18, por exemplo. 
Concordam? Aí o CESPE dirá: "considere que 1,0718=..." Ok?
Taxa Nominal:
Um tipo de taxa muito frequente em provas de matemática financeira é a Taxa 
Nominal. Vamos conhecê-la e ver como se trabalha com ela.
Se a questão trouxer uma taxa de 36% ao ano, com capitalização mensal, você 
imediatamente saberá que está diante de uma taxa nominal.
A taxa nominal traz consigo a palavra capitalização. Além disso, a unidade da taxa 
tem que ser diferente da unidade da capitalização.
No exemplo acima, a unidade da taxa é anual, e a da capitalização é mensal. Viram?
Podia ser também: 12% ao semestre, com capitalização bimestral. 
Novamente está presente a palavra capitalização, e a unidade da taxa (semestral) é 
diferente da unidade da capitalização (bimestral). Ou seja, trata-se de outra taxa 
nominal.
A taxa nominal, meus amigos, é sinal indicativo de Regime Composto! Ou seja, se 
aparecer uma taxa nominal num enunciado de uma questão de juros, imediatamente 
saberemos que são Juros Compostos! (Não precisa a questão dizer isso 
expressamente! E nem o fará!).
Se aparecer uma taxa nominal num enunciado de uma operação de Desconto, será 
Desconto Composto, e não precisa a questão dizer mais nada expressamente sobre o 
regime. Ok?
Não esqueça: Taxa Nominal indica sempre o Regime Composto!
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O que fazer diante de uma taxa nominal? Atenção aqui: a taxa nominal não serve 
para ser aplicada diretamente nas fórmulas do regime composto! Assim, a primeira 
providência a ser tomada, tão logo nos deparemos com uma taxa nominal, será 
transformá-la imediatamente em uma taxa efetiva!
E isso é facílimo! Só precisaremos nos lembrar de duas observações:
1a) Na transformação de taxa nominal em taxa efetiva, a unidade desta 
última (da taxa efetiva) será sempre a mesma unidade da capitalização.
Ou seja, se vou transformar a taxa 36% ao ano, com capitalização mensal, a 
taxa efetiva correspondente será uma taxa mensal, pois mensal era a capitalização 
na taxa nominal. 
Ok? Se eu quero transformar a taxa nominal de 24% ao semestre, com 
capitalização bimestral, então a taxa efetiva será, nesse caso, uma taxa bimestral, 
pois bimestral era a capitalização da taxa nominal.
2a) Embora estando no Regime Composto, para transformar Taxa Nominal em 
Taxa Efetiva, utiliza-se o conceito de Taxas Proporcionais, próprio lá do 
Regime Simples.
Assim, na hora de transformar 36% ao ano, com capitalização mensal, 
pensaremos assim: 
- Trata-se de uma Taxa Nominal, já que está presente a palavra capitalização e que a 
unidade da taxa (anual) é diferente da unidade da capitalização (mensal). 
- Terei que transformá-la imediatamente em uma taxa efetiva, cuja unidade serámensal, já que a capitalização é mensal na taxa nominal.
- Vou usar o conceito de taxas proporcionais para fazer essa transformação! É sempre 
assim, para passar de Taxa Nominal para Taxa Efetiva, usarei sempre o conceito de 
taxas proporcionais!
- Daí, por este conceito, de taxa ao ano para taxa ao mês, ano para mês, maior para 
o menor, eu vou dividir! Por quanto? Por 12, já que o ano tem 12 meses! 
Teremos: 36% a.a., com capitalização mensal = (36/12) = 3% ao mês
Apenas isso! Mais fácil que empurrar bêbado ladeira abaixo!
Outro exemplo: vamos transformar 12% ao semestre com capitalização 
bimestral em sua taxa efetiva correspondente.
Raciocinemos juntos:
- Trata-se de uma taxa nominal, já que traz a palavra capitalização e que a unidade 
da taxa é diferente da unidade da capitalização.
- Na transformação, a unidade da taxa efetiva será bimestral, já que a capitalização 
também o é na taxa nominal.
- Usarei o conceito de taxas proporcionais! Daí, de taxa ao semestre para taxa ao 
bimestre, semestre para bimestre, maior para menor, eu vou dividir! Por quanto? Por 
3, já que um semestre tem 3 bimestres.
Teremos: 12% a.s, com capitalização bimestral = (12/3) = 4% ao bimestre
Ótimo! Passemos a uma questão bem interessante.
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Antes, porém, lembrou-me avisar-lhes que a taxa nominal também pode vir expressa 
de uma outra forma, que também já se viu alguma vez em prova.
Tanto faz dizer 36% ao ano, com capitalização mensal, quanto dizer 36% ao ano, 
capitalizados mensalmente. Dá na mesma!
Tanto faz dizer 12% ao semestre, com capitalização bimestral, quanto dizer 12% ao 
semestre, capitalizados bimestralmente. 
Entendido? Ótimo!
Agora passemos à questão:
Exemplo: Um capital de R$ 1.000 será aplicado a uma taxa de 42% ao 
quadrimestre com capitalização bimestral, durante o período de tempo de 3 
meses. Qual o valor do montante apurado nesta operação?
Sol.: Questão simples mas muito interessante! Se você compreendê-la bem, 
demonstrará que está pronto para trabalhar com segurança os conceitos de taxas no 
regime composto! 
Vamos por partes!
O enunciado, em algum momento, falou expressamente se estamos trabalhando no 
regime simples ou no composto? Leia lá de novo! 
Não, professor! A questão não disse nada sobre o regime!
E nem precisaria! Está implícito que o regime é o composto, pela mera presença de 
uma Taxa Nominal! Não é assim? Já havíamos falado sobre isso!
Pois bem! Sempre que aparecer uma taxa nominal no enunciado, nossa primeira 
providência será transformá-la em taxa efetiva!
Neste caso, já que a taxa nominal traz uma capitalização bimestral, a taxa efetiva 
também terá esta unidade! Daí, aplicando o conceito de taxas proporcionais, 
pensaremos assim: taxa quadrimestral para taxa bimestral; quadrimestre para 
bimestre; maior para o menor; dividiremos! Por quanto? Por 2, já que um 
quadrimestre tem dois bimestres! E teremos:
42% a.q. com capitalização bimestral = (42/2) = 21% ao bimestre
Uma vez que a taxa nominal já foi transformada para taxa efetiva, aquela primeira 
não serve para mais nada! Está morta e será portanto excluída do restante da 
resolução! Ok? Agora, só falaremos na taxa efetiva!
Os novos dados da nossa questão são, pois, os seguintes:
- Capital = C=1.000,00
- Taxa = i = 21% ao bimestre (juros compostos!)
- Tempo = n = 3 meses.
- Montante = M = ? (É isso o que a questão quer saber!).
Ora, se a questão é de Juros Compostos, colocaremos no papel a Equação 
Fundamental, que diz: M = C . (1+i)n.
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Todos já sabemos que existe uma exigência a ser observada, a fim de podermos 
aplicar a equação acima! Lembrados? Taxa e tempo têm que estar na mesma 
unidade! 
Já estão? Ainda não! Neste caso, temos taxa bimestral (21% a.b.) e tempo em meses 
(3 meses).
É preciso providenciar, previamente, para que ambos, taxa e tempo, fiquem na 
mesma unidade. 
Poderíamos dizer que 3 meses é 1 bimestre e meio, ou seja, 3 meses = 1,5 bimestre.
Está certo isso? Sim, está certo! Mas na hora de aplicar a fórmula, este 1,5 ficaria no 
expoente do parêntese famoso. Vejam: M = 1000.(1+0,21)1,5.
E não há cristão que, sem calculadora na mão, consiga fazer essa conta... 
Concordam?
Assim, a alternativa que nos restou foi deixar o tempo permanecer em meses (n=3 
meses) e irmos alterar a unidade da taxa, de bimestral para mensal. 
E como é que se altera a unidade de uma taxa efetiva de juros compostos? Já 
sabemos: é por meio do conceito de Taxas Equivalentes!
Teremos: 1 + I = (1 + i)K
Neste exemplo, queremos transformar uma taxa bimestral em taxa mensal. Bimestre 
é maior que mês, daí I (izão) será a taxa bimestral. Mês é menor que bimestre, daí i 
(izinho) será a taxa mensal. Quantos meses cabem em um bimestre? Dois. Daí, k=2. 
Assim, faremos:
1+0,21 = (1+i)2 (1+i)2 = 1,21 (1+i)= 1+i =1,1 
Daí: i = 0,10 = 10% ao mês (taxa efetiva!)
Finalmente, após isso, cumprimos a exigência da fórmula dos juros compostos, de 
sorte que, agora sim, poderemos aplicá-la. Vamos ter que:
M = C.(1+i)n M = 1000.(1+0,10)3 M = 1000 . 1,331
E: M = 1.331,00 (resposta!) 
Um esquema mnemônico que pode ajudá-los na hora de trabalhar com os conceitos 
de taxa no regime composto é o seguinte:
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Taxa 
Nominal
Taxa 
Efetiva
Taxa Efetiva 
(em outra unidade)
Taxas 
Proporcionais
Taxas 
Equivalentes
Multiplica-se ou 
Divide-se
1+I=(1+i)k
# Desconto Composto:
Este é um assunto que se torna extremamente rápido e fácil, desde que você domine 
o desenho acima (sobre os trabalhos com as taxas compostas), e já conheça o 
conceito e os elementos de uma operação de desconto!
E já os conhecemos todos! Operação de desconto é aquela na qual projetamos um 
valor monetário conhecido (Valor Nominal), de uma data futura para uma data 
anterior. 
A exemplo do Desconto Simples, também aqui no composto teremos duas 
modalidades: o Desconto Composto Racional (ou Por Dentro), e o Desconto Composto 
Comercial (ou Por Fora).
Vocês estão acaso lembrados qual o tipo de Desconto que é irmão dos Juros? Não? É 
o Desconto Racional (Por Dentro)! 
Daí, meus amigos, se você toma a Equação Fundamental dos Juros Compostos, e 
troca os elementos de uma operação de Juros (Montante e Capital) por seus 
elementos correspondentes de uma operação de Desconto (Nominal e Atual), chegará 
à equação do Desconto Composto Racional.
Compare os desenhos de uma operação de Juros e de Desconto, ao mesmo tempo, 
para ver que, nas duas operações, Atual ocupa a mesma posição que Capital, e que 
Nominal ocupa a mesma posição que o Montante:
 M
 C
 
 N
 A
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Assim, tomando por base a equação 
fundamental dos Juros Compostos, 
construiremos a equação do Desconto 
Composto Racional (Por Dentro).
Da seguinte forma:
Nos Juros: M = C . (1+i)n
No Desconto: N = A . (1+i)n
É esta, pois, a equação do Desconto Composto Racional: N=A.(1+i)n.
E para podermos aplicá-la, temos antes que cumprir aquela velha exigência que diz: 
taxa e tempo na mesma unidade! 
Na hora de cumprir esta exigência, podemos, obviamente, ter que alterar a unidade 
da taxa composta! E isso já aprendemos como se faz! Em se tratando de uma taxa 
nominal, usaremos o conceitode Taxas Equivalentes!
Professor, pode aparecer uma taxa nominal numa questão de desconto?
Claro que sim! E automaticamente saberemos que o regime daquele desconto é o 
composto! Não é verdade? No mais, já aprendemos também como agir diante de uma 
taxa nominal. Vamos transformá-la em taxa efetiva, mediante o conceito de taxas 
proporcionais! 
Por fim, se a equação do Desconto Composto Racional não conseguir resolver a 
questão sozinha, vocês lançarão mão da equação curinga do Desconto, que diz D = N 
- A , e as duas, juntas, certamente darão conta do recado!
Ok?
E sobre o Desconto Composto por Fora, professor?
Bem, para efeitos de memorização mais rápida, lembraremos apenas que o Desconto 
Por Fora é o desconto trocado!
Trocado? Como assim?
Olhem bem! Primeiramente, vocês vão colocar no papel a equação do Desconto 
Composto por Dentro. Depois, basta trocar tudo!
Troca-se o Nominal por Atual; troca-se o Atual por Nominal; e troca-se o sinal de 
mais pelo sinal de menos! 
Assim, teremos:
- Desconto Composto Por Dentro (Racional): N = A . (1 + i)n
 Trocando tudo, teremos:
- Desconto Composto Por Fora (Comercial): A = N . (1 - i)n
Eis, pois, a equação do Desconto Composto ou Comercial: A = N .(1 - i)n.
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Da mesma sorte que todas as demais fórmulas da Matemática Financeira, também 
nesta teremos que observar aquela exigência, que manda que taxa e tempo estejam 
na mesma unidade! Ok?
Se preciso, usaremos o conceito de Taxas Equivalentes para alterar a unidade de 
alguma taxa composta efetiva. 
E se houver alguma Taxa Nominal no enunciado da questão de Desconto Composto 
por Fora, já sabemos exatamente como agir, transformando-a em Taxa Efetiva, 
mediante o conceito de Taxas Proporcionais.
Por fim, se necessário, usaremos também a equação curinga do desconto para matar 
alguma questão mais teimosa! Ok?
Taxa Real x Taxa Aparente
Este é o assunto mais fácil de toda a matemática financeira! 
Costumo ensiná-lo por meio de um exemplo bem simples. Vamos lá!
Dois amigos empresários estão conversando, e um diz ao outro: "Olha, esse ano tive 
lucros FANTÁSTICOS! Meus ganhos chegaram a 80%!"
O outro, conhecendo a mania de grandeza do amigo, pergunta-lhe: "Mas, me diz uma 
coisa: quanto foi a INFLAÇÃO acumulada neste ano?"
"A INFLAÇÃO?", retruca o primeiro, "foi de 50%".
Daí, o balde de água fria: "Amigo, você PENSA que ganhou 80%! Esse seu ganho de 
80% é apenas APARENTE! Seu ganho REAL foi outro, menor que 80%!"
Com esse diálogo, vocês já mataram a charada: TAXA APARENTE é aquela que não 
leva em conta a INFLAÇÃO acumulada no período.
Se levarmos em consideração esta INFLAÇÃO acumulada, então chegaremos à TAXA 
REAL.
Muita gente, na hora da prova, por não ter lido sobre esse assunto, ainda assim 
arrisca um raciocínio, e faz uma mera conta de subtrair. "Ora, se ele pensa que 
ganhou 80%, mas a inflação foi de 50%, então eu faço 80% menos 50%, e dá 30%. 
OLHA!!! Tem 30% nas alternativas!!!"
Essa foi fácil!!!! 
NEM TANTO! 
A fórmula correta é a seguinte:
TAXA REAL = [(1+TAXA APARENTE) / (1+INFLAÇÃO)] - 1
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Vou tentar colocar em forma não linear:
Taxa Real = 
Melhorou?
No nosso exemplo, temos que:
TAXA APARENTE = 80% = 0,8 e INFLAÇÃO = 50% = 0,5. 
Daí: TAXA REAL = [(1+0,8) / (1+0,5)] - 1 
E: TAXA REAL = 1,20 - 1 = 0,20 = 20% --> RESPOSTA!
Pontinho de graça na sua prova!
Só isso, professor?
Quase! 
A questão, para tornar-se mais, digamos, bonita, vai fornecer dados, mediante os 
quais você terá como descobrir qual é a TAXA APARENTE, e qual é a INFLAÇÃO 
acumulada.
Ou seja, em vez de lhe dar essas informações "de bandeja", vai querer que você as 
descubra!
MAS A QUESTÃO CONTINUA FÁCIL!!! Senão, vejamos!
O enunciado vai dizer assim: "O João aplicou R$ 1000 hoje, e resgatou R$ 1200 dois 
meses após".
Pronto! Basta isso para que você descubra qual é a TAXA APARENTE!
Veja: não importa se a questão disse que a aplicação durou 2 meses: você irá 
considerar sempre como sendo apenas 1 PERÍODO! 
Entendido? Podiam ter sido 3 meses, 5 meses, 8 meses, não importa: você 
considerará sempre como sendo 1 período.
E fará: MONTANTE = CAPITAL (1+i) 
Obs.: o expoente do parêntese acima é 1, pois estamos considerando 1 período 
(lembra-se?). Como é 1 o expoente, não precisa aparecer!
Teremos: 1200 = 1000 . (1+i) 
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Daí: 1+i = 1,2 
E: i = 0,2 
Ou seja: a TAXA APARENTE é 0,2 (ou 20%, em termos percentuais)!
Não é fácil? Sim, extremamente fácil.
Depois disso, a questão dirá assim: "No primeiro mês, a inflação foi de 5%, e no 
segundo, 4%".
Com essas informações, você descobrirá a INFLAÇÃO acumulada no período inteiro. 
Para tanto, usaremos a seguinte fórmula:
INFLAÇÃO = [(1+INFLAÇÃO1).(1+ INFLAÇÃO2)] - 1
Onde: INFLAÇÃO1 = inflação no primeiro mês; INFLAÇÃO2 = inflação no segundo 
mês; etc.
Daí, faremos:
INFLAÇÃO = [(1+0,05).(1+0,04)]-1 
E: INFLAÇÃO = 1,092 - 1 = 0,092
Finalmente, meus amigos, já conhecedores da TAXA APARENTE e da INFLAÇÃO 
acumulada no período, podemos agora aplicar a equação lá de cima, e descobrir qual 
é a TAXA REAL desta aplicação!
Teremos:
TAXA REAL = [(1+0,2) / (1+0,092)] - 1
TAXA REAL = 1,0989 - 1 = 0,0989 = 9,89% --> RESPOSTA! 
Pronto! Concluído! E você acaba de ganhar mais um precioso ponto na prova!
Esta é, portanto, a questão MAIS COMPLETA desse assunto: a que exige o cálculo 
prévio da TAXA APARENTE e da INFLAÇÃO acumulada. 
Mesmo assim, o ponto na prova é garantido!
Na sequência, apresento-lhes, para vocês exercitarem, duas questões recentes da 
FCC, tratando deste nosso assunto de hoje:
QUESTÃO 1) (FCC) Um capital de R$ 10.000 foi aplicado no dia primeiro de 
junho e no último dia de julho foi resgatado todo o montante de R$ 
11.082,30. Nesse período, as taxas de inflação foram, respectivamente: 
Junho: 2%; Julho: 2,5%. A taxa real desse investimento, nesse período, foi 
de:
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a) 6,32% b) 6,00% c) 5,50% d) 5,00% e) 4,50%
QUESTÃO 2) (FCC) Um investidor aplicou R$ 80.000 no início de um 
determinado ano e resgatou no final de dois anos o montante de R$ 
98.280,00, esgotando totalmente seu crédito referente a esta operação. 
Sabe-se que a taxa de inflação referente ao primeiro ano da aplicação foi de 
5% e ao segundo, 4%. Então, a correspondente taxa real de juros, no 
período desta aplicação, foi de:
a) 11,25% b) 12,5% c) 12,85% d) 13,65% e) 13,85%
Querem tentar sozinhos? Na sequência, as duas resoluções!
QUESTÃO 1) (FCC) Um capital de R$ 10.000 foi aplicado no dia primeiro de junho e no 
último dia de julho foi resgatado todo o montante de R$ 11.082,30. Nesse período, as 
taxas de inflação foram, respectivamente: Junho: 2%; Julho: 2,5%. A taxa real desse 
investimento, nesse período, foi de:
a) 6,32% b) 6,00% c) 5,50% d) 5,00% e) 4,50%
 Sol.:
Com os dados da primeira frase do enunciado, descobriremos qual a taxa 
aparente! Lembrem-se de que consideraremos sempre como sendo de apenas um 
período a aplicação. Faremos:
 M = C . (1+i)  11.082,30 = 10.000 . (1 + i)
 (1 + i) = 1,10823  i = 0,10823 
Ou seja: Taxa Aparente = 10,823% ao período.
Com os demais elementos fornecidos pela questão, calcularemos qual a 
Inflação acumulada no período. Faremos:
 INFLAÇÃO = [(1+0,02).(1+0,025)] – 1  INFLAÇÃO= 0,0455 
Finalmente, aplicando agora a fórmula da Taxa Real, teremos:
 TAXA REAL = [(1 + taxa aparente) / (1 + inflação)] – 1
 TAXA REAL = [(1 + 0,10823) / (1 + 0,0455)] - 1
 TAXA REAL = 1,06 – 1  Taxa Real = 6%  Resposta!
QUESTÃO 2) (FCC) Um investidor aplicou R$ 80.000 no início de um determinado 
ano e resgatou no final de dois anos o montante de R$ 98.280,00, esgotando 
totalmente seu crédito referente a esta operação. Sabe-se que a taxa de inflação 
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referente ao primeiro ano da aplicação foi de 5% e ao segundo, 4%. Então, a 
correspondente taxa real de juros, no período desta aplicação, foi de:
a) 11,25% b) 12,5% c) 12,85% d) 13,65% e) 13,85%
Sol.:
Usando idêntico raciocínio ao da questão anterior, começaremos por descobrir 
qual a Taxa Aparente da aplicação. Faremos:
 M = C . (1+i)  98.280,00 = 80.000 . (1 + i)
 (1 + i) = (98280/80000)  i = 1,2285 – 1  i = 0,2285 
Ou seja: Taxa Aparente = 22,85% ao período.
Depois disso, vamos à procura da inflação acumulada no período. Faremos:
 INFLAÇÃO = [(1+0,05).(1+0,04)] – 1  INFLAÇÃO = 0,092 
Finalmente, aplicando agora a fórmula da Taxa Real, teremos:
 TAXA REAL = [(1 + taxa aparente) / (1 + inflação)] – 1
 TAXA REAL = [(1 + 0,2285) / (1 + 0,092)] - 1
 TAXA REAL = 1,1250 – 1  Taxa Real = 12,5%  Resposta!
O CESPE-UnB também colocou uma questão de Taxa Real numa das provas que 
elaborou neste ano de 2010. Vejamos:
CESPE) Se a quantia de R$ 5.000,00, investida pelo período de 6 meses, 
produzir o montante de R$ 5.382,00, sem se descontar a inflação verificada 
no período, e se a taxa de inflação no período for de 3,5%, então a taxa real 
de juros desse investimento no período será de:
A) 4,5%.
B) 4%.
C) 3,5%.
D) 3%.
E) 2,5%.
Sol.: Vamos ter, a princípio, que descobrir a Taxa Aparente. Para isso, vocês já 
sabem, consideraremos um único período na aplicação! E faremos:
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 M = C . (1+i)  5.382 = 5.000 . (1 + i)
 (1 + i) = (5382/5000)  i = 1,0764 – 1  i = 0,0764 
Ou seja: Taxa Aparente = 7,64% ao período.
Agora, já conhecendo a inflação acumulada ao longo daqueles meses, que é de 3,5% 
(0,035 em termos unitários!), conforme nos disse expressamente o enunciado, resta-
nos aplicar a fórmula da Taxa Real para descobri-la. Teremos:
 TAXA REAL = [(1 + taxa aparente) / (1 + inflação)] – 1
 TAXA REAL = [(1 + 0,0764) / (1 + 0,035)] - 1
 TAXA REAL = 1,04 – 1  Taxa Real = 0,04 = 4%  Resposta!
# AMORTIZAÇÃO:
Muita gente tem me mandado email perguntando se eu acho que pode cair esse 
assunto na prova do MPU, embora não esteja especificado expressamente no 
programa.
Outros professores, meus amigos, acham que não cai. Eu estou tão certo disso...
Pelo sim, pelo não, vou explicar o assunto aqui. Ok? Se não cair, melhor. Se cair, 
ótimo, você vai ganhar o ponto do mesmo jeito!
Tratarei aqui do SISTEMA FRANCÊS de amortização, que é o que julgo com maior 
chance de ser cobrado. Ok?
Pois bem! O que significa amortizar um determinado valor? Ora, é o mesmo que 
diluir em parcelas! 
Imagine que você viu um computador na vitrine de uma loja, e ficou encantado com o 
aparelho! Entrou na loja, assim como quem não quer nada. O vendedor chegou perto 
e disse: “Pois não? Posso ajudar?” Ao que você prontamente responde: “Não! Estou 
só olhando...!”
Daqui a alguns minutos, você cria coragem, chama o vendedor e pergunta: “Quanto é 
mesmo que está custando aquele computador?” 
“É baratinho! Está até na promoção! Custa apenas dez mil reais!”
Você torce o nariz... muito caro! Você não tem esse dinheiro para pagar de uma vez 
só! 
Ou seja, pagamento à vista não cabe no seu bolso! 
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Mas, e se você diluir esse valor à vista em várias parcelas? Talvez assim, o valor 
das prestações caibam no seu bolso, e você possa levar o computador para casa! 
Concorda?
Pois bem! O que você pretende fazer é uma AMORTIZAÇÃO!
Então, professor, quer dizer que qualquer compra a prazo é uma questão de 
amortização?
Não! Para que se caracterize como uma questão de amortização, é preciso que essa 
compra apresente as seguintes três características:
1ª) Prestações de mesmo valor; 
2ª) Mesmo intervalo de tempo entre as prestações;
3ª) Taxa de Juros Compostos.
Vejam o desenho modelo de uma operação de amortização:
 T
 
P P P P P P P
Este é, repito, o desenho modelo para aplicação da fórmula da Amortização!
Reparem que ele não admite parcela de entrada! Estão vendo? É como se fosse, 
então, uma compra a prazo sem entrada!
A fórmula é a seguinte:
T = P . A n,i
Onde:
 T é o “total” que está sendo amortizado, ou seja, que está sendo diluído nas 
parcelas;
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 P é o valor das “parcelas”, que precisam ser todas iguais, conforme a 1ª 
característica;
 An,i é o “fator de Amortização”. O “A” serve apenas para indicar qual é o fator com 
o qual estamos trabalhando. O que terá significado serão o “n” e o “i”:
 n é o número de parcelas. Só isso!
 i é a taxa de juros compostos (3ª característica!).
Esta fórmula faz uma única exigência: é preciso que a taxa tenha mesma unidade de 
tempo que o intervalo entre as parcelas. Por exemplo: se as parcelas forem mensais, 
a taxa terá que ser mensal; se as parcelas forem semestrais, a taxa terá que ser 
semestral; e assim por diante!
IMPORTANTE: De acordo com o desenho modelo da amortização, a primeira 
parcela terá que estar AO FINAL DO PRIMEIRO PERÍODO. 
Estão vendo lá em cima? Se as parcelas forem mensais, a primeira fica no final do 
primeiro mês. Se as parcelas forem trimestrais, a primeira fica no final do primeiro 
trimestre!
Isso deve ser assim, para efeito de aplicação da fórmula!
Haverá, pois, duas situações:
1ª) Quando o desenho da questão está de acordo com o desenho modelo, ou seja, 
quando a primeira parcela está, de fato, ao final do primeiro período;
2ª) Quando o desenho da questão está em desacordo com o desenho modelo, ou 
seja, a primeira parcela não está ao final do primeiro período.
Sabendo disso, precisarei apenas de dois exemplos, para lhes ensinar esta teoria!
Exemplo 1) Um computador custa, à vista, R$ 10.000,00. Será pago, todavia, por 
meio de 7 (sete) parcelas iguais, mensais e sucessivas, vencendo a primeira delas ao 
final do primeiro mês. Considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, 
qual será o valor das prestações?
Sol.: Comecemos pelo desenho da questão. Será o seguinte:
 10.000,
 
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P P P P P P P
Você é capaz de identificar as três características da amortização? 
Claro que sim! As parcelas são iguais (isso foi dito pelo enunciado), são de mesma 
periodicidade (mensais), e a taxa da operação é de juros compostos! Ademais, o 
objetivo das parcelas é o de diluir o valor à vista daquele bem. Concordam?
Concluímos: trata-se de uma questão de Amortização!
Próximo passo: compare o desenho da questão com o desenho modelo da 
Amortização! Já está de acordo? SIM, pois a primeira parcela já está ao final do 
primeiro período!
Próxima verificação: a exigência da fórmula da amortização já está cumprida? SIM, 
pois as parcelas são mensais, e a taxa composta também é mensal.
Falta alguma coisa mais, professor? Nadinha! Apliquemos a fórmula. Teremos:
T = P . A n,i --> 10.000 = P . A7,2% --> P = 10.000 / A7,2%
Esse fatorA7,2% é normalmente fornecido pela prova! A ESAF fornece-o desde 
1998, há mais de dez anos, portanto. 
A FCC faz um pouco diferente: a tabela que costuma fornecer é a do inverso do 
fator An,i.
Isso é bom para nós, pois trocaremos divisão por multiplicação! Enxergaram? Dividir 
10.000 por A7,2% é o mesmo que multiplicar 10.000 pelo inverso de A7,2%.
E esse inverso, encontraremos numa tabela que a FCC fornece na prova! A FCC 
chama o inverso do An,i de Fator de Recuperação de Capital. Daí, teremos que:
P = 10.000 . (1 / A7,2%) --> P = 10.000 . (1,1487)
E: P = 11.487,00  Resposta!
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Exemplo 2) Um computador custa, à vista, R$ 10.000,00. Será pago, todavia, 
por meio de 7 (sete) parcelas iguais, mensais e sucessivas, mas com carência 
de 5 meses, ou seja, a primeira parcela só será paga ao final do quinto mês. 
Considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, qual será o valor 
das prestações?
Sol.: Comecemos novamente pelo desenho da questão. Teremos:
 10.000,
 
 
 P P P P P P P
E agora?
Agora, comparemos este desenho da questão com o desenho modelo da amortização! 
Já está de acordo?
Claro que não! Pois o desenho modelo nos diz que a primeira parcela deve estar ao 
final do primeiro período, e aqui nós temos que a primeira parcela está lá na frente, 
após vários períodos! 
Daí, o que fazer? Vamos usar a facílima solução das parcelas fictícias! Como é que 
funciona? Ora, você terá simplesmente que acrescentar ao desenho da questão 
parcelas fictícias, tantas quantas sejam necessárias, para que o desenho da questão 
fique adequado ao desenho modelo da amortização!
Ou seja, acrescentaremos parcelas fictícias até que a primeira delas fique ao final do 
primeiro período! Para não causar confusão, vou desenhar as fictícias de vermelho! 
Teremos:
 10.000,
 
 P P P P P P P P P P P
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Agora, contem comigo quantas parcelas – no total – ficaram neste desenho acima?
São 11, concordam? (Sendo 7 reias e 4 fictícias).
Agora, atenção à pergunta: se eu quisesse aplicar a fórmula da amortização para este 
desenho acima, e fizesse assim...
 T = P . A n,i
 T = P . A11,2%
... estaria certo?
Você dirá: está errado, professor! Pois este cálculo, com n=11 (11 parcelas), está 
considerando, além das parcelas reais, algumas que não existem (fictícias)!
Muito bem! E para ficar com o cálculo perfeito, teremos que reduzir desta conta outro 
fator de amortização, referente às parcelas fictícias!
Assim, teremos:
 T = P . (A11,2% – A4,2% )
Agora, sim! Estamos com a conta PERFEITA!
Assim, para a solução das parcelas fictícias, a fórmula completa da 
amortização será a seguinte:
T = P . (ATODAS, i – AFICTÍCIAS, i )
Desenvolvendo a resolução, teremos:
 10.000 = P . (A11,2% – A4,2% )
 P = 10.000 / (A11,2% – A4,2% )
Consultando na Tabela Financeira os valores de A11,2% e de A4,2%, teremos:
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 P = 10.000 / (9,7868 – 3,8077)
 P = 10.000 / 5,9791
 P = 1.672,00  Resposta!
Tudo corria bem até aqui, não era mesmo, meus amigos?
Esperei até esse momento, até que vocês compreendessem o assunto amortização, 
para dizer-lhes que o CESPE não costuma trazer tabela financeira... Tampouco 
costuma trazer de graça a informação de quanto vale o fator de Amortização (An,i).
Em outras palavras, o CESPE quer que façamos muitas contas, e que tenhamos a 
fórmula do An,i decorada na cabeça!
Vamos decorá-la, pois! Vejam:
An,i = 
Assim, se tivermos que encontrar, por exemplo, quanto vale o fator A4,2%, teremos 
que fazer as seguintes contas:
An,i = A4,2% = 
Chegaríamos a: A4,2% = 2,8273
Temos que ficar muito atentos, para verificar se a elaboradora nos fornecerá algum 
dado que facilite esta conta. Ela poderia dizer, por exemplo, que 1,024=1,061218. 
Isso já ajudaria!
Nos últimos concursos do CESPE, o que se tem visto é que ele está, sim, fornecendo 
um dado adicional. Só que é algo diferente: um valor elevado a um expoente 
negativo! 
Ora, esta fórmula que aprendemos não apresenta expoente negativo em lugar 
nenhum! 
Assim, teremos que fazer uma pequena adaptação! 
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Destarte, convém muitíssimo decorar esta outra forma de apresentação da fórmula 
da Amortização: 
An,i = 
Vejamos duas questões que o CESPE colocou em provas que elaborou ainda neste ano 
de 2010:
CESPE) Uma dívida no valor de R$ 10.000,00, contraída pelo sistema francês 
de amortização (tabela Price), com juros de 1,29% ao mês, será paga em 4 
prestações mensais. Nesse caso, considerando-se 0,95 como valor 
aproximado de 1,0129-4, cada prestação será igual a:
A) R$ 2.620,00.
B) R$ 2.610,00.
C) R$ 2.600,00.
D) R$ 2.590,00.
E) R$ 2.580,00.
CESPE)_Um computador é vendido em 8 prestações mensais, consecutivas e 
iguais a R$ 350,00. Os juros cobrados no financiamento desse computador 
correspondem a juros compostos mensais de 7% sobre o preço à vista. Nesse 
caso, considerando-se 0,582 como valor aproximado para 1,07-8, se a 
primeira prestação for paga um mês após a compra, o preço à vista do 
computador será igual a:
A) R$ 2.050,00.
B) R$ 2.060,00.
C) R$ 2.070,00.
D) R$ 2.080,00.
E) R$ 2.090,00.
Querem tentar sozinhos? Por favor!
Agora, vamos juntos:
CESPE) Uma dívida no valor de R$ 10.000,00, contraída pelo sistema francês 
de amortização (tabela Price), com juros de 1,29% ao mês, será paga em 4 
prestações mensais. Nesse caso, considerando-se 0,95 como valor 
aproximado de 1,0129-4, cada prestação será igual a:
A) R$ 2.620,00.
B) R$ 2.610,00.
C) R$ 2.600,00.
D) R$ 2.590,00.
E) R$ 2.580,00.
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Sol.: Quando a questão fala em tabela Price, está querendo dizer apenas que estamos 
trabalhando com o Sistema Francês de amortização, e que já está tudo ok em termos 
de desenho, ou seja, a primeira parcela já está mesmo ao final do primeiro período!
Assim, se ele nos deu uma taxa mensal e o as parcelas também já são mensais, 
resta-nos apenas aplicar a fórmula da amortização.
Antes, porém, teremos que descobrir quanto vale o fator A 4, 1,29% que não foi 
fornecido pelo enunciado!
Aplicando a fórmula adaptada que aprendemos acima, teremos:
An,i = A4,1,29% = 
 Vejam por que tivemos que aplicar esta fórmula alternativa! Foi porque a questão nos 
disse que 1,0129-4=0,95. Ele, o elaborador, queria que usássemos essa informação 
para facilitar nossas contas!
Assim, teremos:
A4, 1,29% = = 0,05 / 0,0129 = 3,875968
Tudo isso fizemos, meus amigos, para agora podermos aplicar a equação da 
Amortização. Teremos:
T = P . A n,i  10.000 = P . A4,1,29%  P = 10.000 / A4,1,29% 
P = 10.000/3,875968  P = 2.580,00  Resposta!
Vamos à próxima (e última, ufa!) questão:
CESPE)_Um computador é vendido em 8 prestações mensais, consecutivas e 
iguais a R$ 350,00. Os juros cobrados no financiamento desse computador 
correspondem a juros compostos mensais de 7% sobre o preço à vista. Nesse 
caso, considerando-se 0,582 como valor aproximado para 1,07-8, se a 
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primeira prestação for paga um mês após a compra, o preço à vista do 
computador será iguala:
A) R$ 2.050,00.
B) R$ 2.060,00.
C) R$ 2.070,00.
D) R$ 2.080,00.
E) R$ 2.090,00.
Sol.: Vejam que a primeira parcela já está ao final do primeiro período, e que elas, as 
parcelas, são mensais, assim como é mensal a taxa composta desta operação (7% 
a.m.). 
Ou seja, tudo já está de acordo para podermos aplicar a fórmula da Amortização! 
Antes, porém, vamos usar o recurso que aprendemos para descobrir o valor de An,i. 
Faremos:
An,i = A8,7% = 
Aproveitando o dado fornecido pela questão, 1,07-8=0,582, faremos:
A8,7% =  A8,7% = 5,971428
Feito isso, já podemos agora podermos aplicar a equação da Amortização. Teremos:
T = P . A n,i  T = 350 . A8,7%  T = 350 . 5,971428 
 T = 2.090,00  Resposta!
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
É isso! Gastei um dia inteiro preparando esta aula para vocês!
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Tentei fazer o mais esmiuçado possível, para facilitar a leitura e o entendimento de 
todos! Espero que este material os ajude, juntamente com minhas videoaulas aqui do 
Olá Amigos, a conquistar os pontos nas próximas provas!
Que Deus os abençoe a todos!
Um forte abraço do seu amigo aqui.
Sérgio Carvalho
olaamigos@gmail.com
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