Exercícios de Matrizes

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Aula: Matrizes 
Curso: Matrizes 
 
01- (UERJ) A temperatura corporal de um paciente foi medida, em graus Celsius, três vezes ao 
dia, durante cinco dias. Cada elemento aij da matriz abaixo corresponde à temperatura 
observada no instante i do dia j. 
 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
] 
 
Determine: 
a) o instante e o dia em que o paciente apresentou a maior temperatura; 
b) a temperatura média do paciente no terceiro dia de observação. 
 
02- (UFPEL) Cada elemento aij da matriz T indica o tempo, em minutos, que um semáforo fica 
aberto, num período de 2 minutos, para que haja o fluxo de automóveis da rua i para a rua j , 
considerando que cada rua tenha mão dupla. 
 
 [
 
 
 
] 
 
De acordo com a matriz, o semáforo que permite o fluxo de automóveis da via 2 para a 1 fica 
aberto durante 1,5 min de um período de 2 min. Com base no texto e admitindo que é possível 
até 20 carros passarem por minuto cada vez que o semáforo se abre, é correto afirmar que, 
das 8 h às 10 h, considerando o fluxo indicado pela matriz T, o número máximo de automóveis 
que podem passar da rua 3 para a 1 é 
 
 
(a) 300. (b) 1200. (c) 600. (d) 2400. (e) 360. (f) I.R. 
 
 
 
03- (UDESC) Sendo A uma matriz de ordem 3 x 3, cujos elementos são dados pala função 
 {
 
 
 , a soma dos elementos da diagonal principal é: 
 
a) 5 b)6 c)– 6 d)4 e)0 
 
 
 
04- (G1 - CFTMG ) Sendo as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2 com aij = i
2 – j2 e 
bij = – i
2 + j2, o valor de A – B é 
 
 
 *
 
 
+ *
 
 
+ *
 
 
+ *
 
 
+ 
 
05- (UFSM ) Sabendo-se que a matriz 
 
 
 [
 
 
 
] 
 
 
é igual à sua transposta, o valor de 2x + y é 
 
 
a) –23 b) –11 c) –1 d) 11 e) 23 
 
 
 
06- Considerando as matrizes A, B e C ,representadas abaixo, determine a matriz X tal que 
3X = 4A – 2Bt + 5C 
 
 *
 
 
+ *
 
 
+ *
 
 
+ 
 
 
 
07- (ACAFE) Sejam as matrizes A3x2 , B3x3 e C2x3 . A alternativa em que a expressão é possível de 
ser determinada é: 
 
a)B2.(A+C) b)(B. A)+C c)(C.B)+A d)(A.C)+B e)A.(B+C) 
 
 
 
08- (UFSC) Sejam A = (aij)4x3 e B =(bij)3x4 , duas matrizes definidas por aij= i + j e bij = 2i + j , 
respectivamente. Se A.B = C , então o elemento c32 da matriz C, é: 
 
 
 
09- Considerando a matriz *
 
 
+ , obtenha a matriz A2 : 
 
 
 
 
10- (PUC-RS) O valor de x + y, para que o produto das matrizes 
 
 [
 
 
] *
 
 
+ 
 
seja a matriz nula, é 
 
 
a) –1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 4 
 
11- (UFLA) Matrizes são arranjos retangulares de números e possuem inúmeras utilidades. 
Considere seis cidades A, B, C, D, E e F; vamos indexar as linhas e colunas de uma matriz 6 × 
6 por essas cidades e colocar 1 na posição definida pela linha X e coluna Y, se a cidade X 
possui uma estrada que a liga diretamente à cidade Y, e vamos colocar 0 (zero), caso X não 
esteja ligada diretamente por uma estrada à cidade Y. Colocaremos também 1 na diagonal 
principal. 
 
Assinale a alternativa incorreta. 
a) É possível ir, passando por outras cidades, da cidade C até a cidade E. 
b) É possível ir, passando por outras cidades, da cidade A até a cidade C. 
c) A matriz acima é simétrica. 
d) Existem dois caminhos diferentes para ir da cidade A para a cidade D. 
 
 
12- (UERJ) Observe parte da tabela do quadro de medalhas dos Jogos Pan-americanos do 
Rio de Janeiro em 2007(tabela I). 
Com base na tabela, é possível formar a matriz quadrada A cujos elementos a ij representam o 
número de medalhas do tipo j que o país i ganhou, sendo i e j pertencentes ao conjunto 
{1, 2, 3}. 
Para fazer outra classificação desses países, são atribuídos às medalhas os seguintes valores: 
- ouro: 3 pontos; 
- prata: 2 pontos; 
- bronze: 1 ponto. 
Esses valores compõem a matriz [
 
 
 
]
 
. 
 
 
Tabela I – Quadro de medalhas Jogos Pan-americanos RJ 2007 
 
Determine a partir do cálculo do produto A.V, o número de pontos totais obtidos pelos três 
países separadamente. 
 
 
 
13- (UEL) Dadas as matrizes A = (aij)3x2 definida por aij = i − j ; B = (bij)2x3 , definida por bij = j 
; C = (cij) , definida por C = A.B, é correto afirmar que o elemento c23 é: 
 
a) Igual ao elemento c12 
b) Igual ao produto de a23 por b23 
c) O inverso do elemento c32 
d) Igual à soma de a12 com b11 
e) Igual ao produto de a21 por b13 
 
 
 
14- (UEL-PR) Uma matriz quadrada A se diz antissimétrica se At = –A. Nessas condições, se a 
matriz A a seguir é uma matriz anti-simétrica, então x + y +z é igual a: 
 
 [
 
 
 
] 
 
 
 
a) 3 b) 1 c) 0 d) –1 e) –3 
 
 
 
15- (FGV) A e B são matrizes e At é a matriz transposta de A. 
Se 
 
 [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
 
 
 
então a matriz At . B será nula para: 
 
 
 
a) x + y = –3 b) x . y = 2 c) x/y = – 4 d) x . y2 = –1 e) y/x = – 8 
 
 
16- (UNESP) Considere as matrizes 
 
 (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
 
com x, y, z números reais. 
 
Se A . B = C, a soma dos elementos da matriz A é: 
 
 
a) 9. b) 40. c) 41. d) 50. e) 81. 
 
17- (UFRRJ) Uma fábrica de guarda-roupas utiliza três tipos de fechaduras (dourada, prateada e 
bronzeada) para guarda-roupas em mogno e cerejeira, nos modelos básico, luxo e requinte. A 
tabela 1 mostra a produção de móveis durante o mês de outubro de 2005, e a tabela 2, a 
quantidade de fechaduras utilizadas em cada tipo de armário no mesmo mês. 
 
A quantidade de fechaduras usadas nos armários do modelo requinte nesse mês foi de 
 
a) 170. b) 192. c) 120. d) 218. e) 188. 
 
 
18- (UNESP) Uma fábrica produz dois tipos de peças, P1 e P2. Essas peças são vendidas a duas 
empresas, E1 e E2. O lucro obtido pela fábrica com a venda de cada peça P1 é R$ 3,00 e de 
cada peça P2 é R$ 2,00. A matriz a seguir (figura 1) fornece a quantidade de peças P1 e P2 
vendidas a cada uma das empresas E1 e E2 no mês de novembro. 
A matriz da figura 2, onde x e y representam os lucros, em reais, obtidos pela fábrica, no 
referido mês, com a venda das peças às empresas E1 e E2, respectivamente, é: 
 
 
 
 * 
 
 
 + * 
 
 
 + * 
 
 
 + * 
 
 
 + * 
 
 
 + 
 
 
19- (UFPEL) O iogurte é um alimento derivado do leite, tendo assumido várias cores nas 
prateleiras dos supermercados, dependendo do elemento a ele incorporado. A oferta de 
marcas, cores, sabores e consistência é grande. Os iogurtes fornecem proteínas, vitaminas A, 
D e E, cálcio e fósforo. Alguns recebem ferro e fibras e o mais importante é que dificilmente 
ultrapassam 5% de gordura, fator muito observado pelos usuários, principalmente os que 
cultuam as formas de um corpo ideal, baseado nas proporções divulgadas pela mídia, e 
também os que seguem prescrição médica. 
 
Os teores de magnésio e sódio, presentes em 100 ml de iogurte feito com leite integral ou com 
leite desnatado, estão representados pelas variáveis x,y, z, t na matriz 
 
 
 
 {
 
 
 
 
 
Com base no texto e em seus conhecimentos, determine 
 
a) a quantidade de magnésio encontrada em 100 ml de leite desnatado e a quantidade de 
sódio encontrada em 100 m l de leite integral. 
 
b) a matriz representada pela soma do triplo da matriz M e de 2/3 da matriz oposta de M. 
 
 
20- (Itens UFSC) Classifique em V ou F: 
 
 
( ) Sejam as matrizes M e P, respectivamente, de ordens 5 x 7 e 7 x 5. Se R = 
M.P, então a matriz R2 tem 625 elementos. 
( ) Chamamos “traço de L” e anotamos tr(L) a soma dos elementos da diagonal 
principal de uma matriz quadrada L; então tr(L) = tr(Lt). 
( ) O elemento b23 da matriz B = A
t, onde A = (ai j)3x 2, e ai j = 2i + j, é 8. 
( ) Se A e B são matrizes tais que A.B é a matriz nula, então A é a matriz nula ou B é a matriz 
nula. 
( ) Para duas matrizes A e B de mesma ordem, vale sempre: (AB)t = At Bt. 
 
21- Determine as matrizes A e B que satisfazem o sistema abaixo: 
 
{
 *
 
 
+
 *
 
 
+
 
 
 
22- (UEL) Uma das formas de se enviar uma mensagem secreta é por meio de códigos 
matemáticos, seguindo os passos: 
 
1) Tanto o destinatário quanto o remetente possuem uma matriz chave C; 
2) O destinatário recebe do remetente uma matriz P, tal que MC = P, onde M é a matriz 
mensagem a ser decodificada; 
3) Cada número da matriz M corresponde a uma letra do alfabeto: 1 = a, 2 = b, 3 = c,..., 23 = z; 
4) Consideremos o alfabeto com 23 letras, excluindo as letras k, w e y; 
5) O número zero corresponde ao ponto de exclamação; 
6) A mensagem é lida, encontrando a matriz M, fazendo a correspondência número/letra e 
ordenando as letras por linhas da matriz conforme segue: m11m12m13m21m22m23m31m32m33 
 
Considere as matrizes: 
 
Com base nos conhecimentos e nas informações descritas, assinale a alternativa que 
apresenta a mensagem que foi enviada por meio da matriz M. 
 
a) Boasorte! b) Boaprova! c) Boatarde! d) Ajudeme! e) Socorro! 
 
23- (UEG) Duas matrizes A e B são comutativas em relação à operação multiplicação de matrizes, 
se A . B = B . A. Dada a matriz B (figura 1), para que uma matriz não nula A (figura 2) comute 
com a matriz B, seus elementos devem satisfazer a relação 
 
 
a) a = c + d e b = 0. 
b) c = a + d e b = c. 
c) a = c + d e b = 1. 
d) c = a + d e d = c. 
 
 
24- (FGV) Uma fábrica decide distribuir os excedentes de três produtos alimentícios A, B e C a 
dois países da América Central, P1 e P2. As quantidades, em toneladas, são descritas mediante 
a matriz Q: 
 
 
 
Para o transporte aos países de destino, a fábrica recebeu orçamentos de duas 
empresas, em reais por tonelada, como indica a matriz P: 
 
 
 
500 300 1ºempresa
P
400 200 2ºempresa
 
  
 
 
 
a) Efetue o produto das duas matrizes, na ordem que for possível. Que representa o elemento 
a13 da matriz produto? 
 
b) Que elemento da matriz produto indica o custo de transportar o produto A, com a segunda 
empresa, aos dois países? 
 
c) Para transportar os três produtos aos dois países, qual empresa deveria ser escolhida, 
considerando que as duas apresentam exatamente as mesmas condições técnicas? Por 
quê? 
 
 
 
25- (IBMECRJL) Considere os pontos P1, P2 e P3 e a matriz: 
 
onde cada aij é o valor da distância entre o ponto Pi e o ponto Pj. 
No triângulo formado por esses pontos, a mediana relativa a P2 mede: 
 
 
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14