P2 PROBEST 2017 1

Prévia do material em texto

P2 - Probabilidade e Estatística – 2017-1 
Dpto. Engenharia Elétrica, PUC-Rio. 
Professores: Reinaldo Castro Souza (3VB); Marco Grivet (3VC – 3VD); Soraida Aguilar (3VA). 
 
 Problema 1 (2.0 pts) 
a) (0.4 pt) Enumere 5 propriedades da função de densidade de probabilidade (fx) de uma v.a. 
 
 
b) (1.6 pts) Seja (X,Y) variável aleatória discreta com a seguinte distribuição de probabilidade 
conjunta: 
 
 
X 
Y 
-3 2 4 
1 0,1 0,2 0,2 
3 0,2 0,2 0,1 
 
Pede-se: 
Calcular COV(X,Y) e o Coeficiente de Correlação (X,Y). 
Observação: 
- Demonstrar a expressão da Covariância. 
- Mostre os resultados considerando 4 casas decimais. 
 
Problema 2 (1.8 pts) Em uma grande rede corporativa de computadores, o intervalo de tempo 
entre duas conexões consecutivas ao sistema pode ser modelada por uma variável aleatória do 
tipo exponencial. Sabe-se que em média, chegam 40 conexões por hora. Pergunta-se: 
a) (0.6 pt) Qual a probabilidade de que o intervalo entre conexões seja superior a 6 minutos? 
b) (0.6 pt) Qual a probabilidade de que o intervalo entre conexões esteja entre 3 e 4 minutos? 
c) (0.6 pt) Determine o intervalo de tempo tal que a probabilidade de nenhuma conexão ocorrer 
neste intervalo seja igual a 0,9. Lembre-se que a distribuição se refere ao intervalo de tempo entre 
duas conexões sucessivas. 
Observação: 
- Mostre os resultados considerando 4 casas decimais. 
 
 Problema 3.1 ( 1.2 pts) Seja “X” e “Y” duas Variáveis aleatórias discretas cuja função de 
probabilidade conjunta é expressa por: 
yx
k
yxf 












3
2
4
11
),(
 , para x = 3,4,5….. e y = 3,4,5.... 
 
a) (0.6 pt) Determine a constante “k” para que ( ,y) seja uma função de probabilidade das 
variáveis aleatórias e Y. 
b) (0.6 pt) Encontre a densidade condicional de X dado . 
 
 
 
 
 
Problema 3.2 (1.6 pts) Seja “X” e “Y” duas Variáveis aleatórias contínuas, das quais se conhece: 
 
 
 
 
 
 
 
Pede-se: 
a) (0.8 pt) Calcule a Média condicional de X dado Y=y. Qual a média condicional de X dado Y=1,2. 
b) (0.8 pt) Calcule a Variância condicional de X dado Y=y. Qual a Variância condicional de X dado 
Y=1,2. 
Observação: 
- Mostre os resultados considerando 4 casas decimais. 
 
Problema 4 (1.4 pts) Seja X uma Variável aleatória continua com densidade Normal de média 
0
 e variância 
 02 
. 
Determine a densidade de 
2
2
2

X
Y
. 
 
Problema 5 (2.0 pts) 
Você chega ao check-in de um aeroporto carregando uma mala que contém 10 pacotes de café, 5 
pacotes de tapioca e 7 pacotes de feijão. Suponha que os pesos desses itens são todos v.a.’s 
independentes com distribuição Normal com as seguintes médias e desvios-padrão: 
Pacotes de café: média e desvio-padrão . 
Pacotes de tapioca: média e desvio-padrão . 
Pacotes de feijão: média e desvio-padrão . 
Suponha que o peso da mala vazia é 1,5 kg e que além disso, você ainda carrega exatos 2,0 kg de 
roupas. 
Pede-se: 
a) (1.0 pt) Determinando o valor esperado e a variância do peso total da bagagem detalhando 
todos os cálculos, qual a probabilidade de que o peso de sua bagagem exceda os 20 kg permitidos 
para o embarque. 
b) (1.0 pt) No counter foram amostradas 25 bagagens com um peso médio de 21 kg e desvio-
padrão de 4 kg. A Aviação aérea deseja saber qual a probabilidade de que o peso médio das 
bagagens esteja entre 22 e 19,5 kg. 
Observação: 
- Mostre os resultados considerando 4 casas decimais. 
- Para utilizar a tabela da normal, ajustar para 2 casas decimais. 
 
 
Observação importante: somente será considerado o resultado mostrando todos os passos da 
solução. 
f x y
x y
x( , )
.
    
3
2 onde 0 < x 1 e 0 y 2 
1 x < 0 onde,
3
.2
.2)( 2 
x
xxf x
 2y 0 onde,
63
1
)( 
y
yf y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORMULÁRIO 
 
 
 
 
 
)()(
),(
,
YVXV
YXCOV
YX 
 
   YX YXEYXCOV   .),( 
 
 
 
 
 
Variáveis Aleatórias Discretas 
 
Distribuição Bernoulli 
Notação : X ~ Bernoulli(p) 
Função de probabilidade: 
 
Distribuição Binomial 
Notação : X ~ Bin (n,p) 
Função de probabilidade: 
 
Distribuição Geométrica 
Notação : X ~ Geom (p) 
Função de probabilidade: 
 
Distribuição Binomial Negativa 
Notação : X ~ NegBin (r,p) 
Função de probabilidade: 
 
Distribuição Poisson 
Notação : X ~ Poisson(μ) 
Função de probabilidade: 
 
 
 
 
 
  1)Pr()( 1 xx ppxXxf 
  )1(
)!(!
!
)1(Pr)( xnxxnx pp
xnx
n
pp
x
n
xXxf  








 .)Pr()( 1 pqxXxf x
 ..
1
1
)Pr()( rxr qp
r
x
xXxf 








 
!
)Pr()(
x
e
xXxf
x  

1 que desde 
1
1
.....1
0
32 




a
a
aaaa
k
k
 





 
1
..
a
u
a
e
dueu
au
au
 
 
 
 
Variáveis Aleatórias Contínuas 
 
- Distribuição Uniforme 
Notação : X ~ Uniforme(a,b) 
 
Função de probabilidade: 
 
 
- Distribuição Exponencial 
Notação : X ~ Exp (λ) 
Função de probabilidade: 
 
- Distribuição Normal 
Notação : X ~ Normal (μ,σ2) 
 
Função de probabilidade: 
 
 
 
 
 
 
 
 Boa sorte! 
 








b)(a, x se 0
b)(a, x se 
1
)( abxf
  0 e 0 onde .exp.)(  xxxf 
 
R 0 onde .
2
1
)( 22
2
2
2


 



eexf
x