P4 Probest 2017 1

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Solução P4- Probabilidade e Estatística – 2017-1 
Dpto. Engenharia Elétrica, PUC-Rio. 
Professores: Reinaldo Castro Souza (3VB), Marco Grivet (3VC-3VD), Soraida Aguilar (3VA). 
 
Questão 1 (1.0 pts): 
a) (0.2 pts) ( V ) No experimento que consiste em arremessar uma moeda até que ocorra a primeira cara 
pode ser modelado por uma distribuição geométrica. 
b) (0.2 pts) ( V ) Se X é uma v.a. com distribuição U*a ,b+, então para qualquer subintervalo *c,d+, onde a≤ c 
≤ d ≤ b , P(c ≤ X ≤ d) assume o mesmo valor para todos os subintervalos que tenham o mesmo 
comprimento. 
c) (0.2 pts) ( F ) Para estimar o intervalo de confiança da variância de uma população normal, seus 
extremos podem ser obtidos a partir da tabela normal quando os graus de liberdades são maiores do que 
30. 
d) (0.2 pts) ( F ) A distribuição Exponencial “não tem memória”. Essa propriedade indica que a vida 
restante de um equipamento depende da idade atual deste equipamento. Ou seja, um componente usado 
é tão bom quanto um novo (em termos da sua durabilidade). 
e) (0.2 pts) ( F ) O “valor-p” (p-value) indica o menor nível de significância que levaria à rejeição da 
hipótese nula. Por exemplo, se o p-value é 0.04, a hipótese H0 seria rejeitada com nível 10%, 5%, 1% mas 
não com nível 0,5%. 
 
 
Questão 2 ( 2.4 pts) 
O Consumo mensal em minutos por conta de uma determinada operadora de celular numa certa região é 
uma v.a. (variável aleatória) Normal com média 40 minutos e variância 144 (minutos)2. Relacionada a esta 
operadora, pede-se: 
a) (0.6 pts) Qual a probabilidade de que o consumo mensal de um usuário esteja ente 35 e 50 minutos? 
b) (0.6 pts) Quantos minutos por mês alguém deve no máximo utilizar o celular para estar entre os 6% que 
menos usam o aparelho? 
Toma-se uma amostra de 20 usuários de celular: 
c) (0.6 pts) Qual a probabilidade do tempo médio de uso na amostra exceder a 45 minutos? 
d) (0.6 pts) Qual a probabilidade do maior tempo de uso na amostra ser menor que 50 minutos? 
Observação: 
- apresente os resultados considerando 4 casas decimais. 
 
SOLUÇÃO 
 
X consumo mensal de um conta de celular 
X ~NORMAL (40,122) 
 
 
 
 
 
a) (0.6 pts) Qual a probabilidade de que o consumo mensal de um usuário esteja ente 35 e 50 minutos? 
R.: 
 Pr(X>35) Pr(X>50) 
 
  




 





12
4050
12
40
12
4035
Pr5035Pr
X
X 
 
 




 



12
4050
12
4035
Pr Z 
 
16 40 64 
 35 50 
 8333,04167,0Pr  Z 
 
 Então: Pela tabela Z(0,1) 
 Z0 = - 0,4167 Φ(Z0) = 1 – 0,6610 = 0,3390 (tirado pela média) 
 Z0 = 0,8333 Φ(Z0) = 0,7981 (tirado pela média) 
 
 
0,41 - 0,6591 0,83 - 0,7967 
0,4167 0,6610 0,8333 - 0,7981 
0,42 - 0,6628 0,84 - 0,7995 
 
 
 
 
Pr (35<X<50) = 0,7981 – (1– 0,6610) = 0,4591 = 45,91% 
Ou 
Pr (35<X<50) = 1 – [(1-0,7981)+(1– 0,6610)] = 0,4591 = 45,91% 
 
 
b) (0.6 pts) Quantos minutos por mês alguém deve no máximo utilizar o celular para estar entre os 6% que 
menos usam o aparelho? 
R.: 
Pr (X) = 6% 
 Φ(Z0) = 6% 
 
 Φ(Z0) = 6% 
 
 
 
 
 
 Zo=-1,555 
 
0 
 
Então: Pela tabela Z(0,1) 
 Φ(Z0) = 0,06 Z0 = 1,555 (tirado pela média) 
 
 
1,55 - 0,9394 
1,555 - 0,94 
1,56 - 0,9406 
 
 
 
 Z = 

X 
 X = (-1,555 x 12) + 40 = 21,34 
 
 X = 21,34 minutos 
 
 
c) (0.6 pts) Qual a probabilidade do tempo médio de uso na amostra exceder a 45 minutos? 
 
R.: 
X
 ~ NORMAL 






20
12
,40
2 
Pr      


























20
144
4045
20
144
40
Pr45Pr
X
X 
 
 












24
144
4045
Pr Z 
 
  8634,1Pr  Z 
 
 
Então: Pela tabela Z(0,1) 
Z0 = 1,8634 Φ(Z0) = 0,969 (tirado pela média) 
 
 
1,86 - 0,9686 
1,8634 - 0,9690 
1,87 - 0,9693 
 
 
  %1,3031,0969,0145Pr X 
 
 
d) (0.6 pts) Qual a probabilidade do maior tempo de uso na amostra ser menor que 50 minutos? 
R.: 
V = Max 
),...,,,( 20321 XXXX
 
?)50Pr( V
 
)50,...,50,50,50Pr( 20321  XXXX
 
 
sX i
 iid 
  )50,...,50,50,50Pr(50Pr 20321  XXXXV
] 
  2050Pr  iX
 
 
 
 
 
 
  



 

12
4050
12
40
Pr50Pr ii
X
X 
 




 

12
4050
Pr Z 
 8333,0Pr  Z 
 
Então: Pela tabela Z(0,1) 
Z0 = 0,8333 Φ(Z0) = 0,7981 (tirado pela média) 
 
    %10,10110,07981,050Pr 20 iX 
 
 
Questão 3 (2.2 pts): 
Seja “X” e “Y” duas variáveis aleatórias contínuas com a seguinte função de densidade de probabilidade: 
xyyxyxf 22 33),( 
, para 0≤x≤1 
 0≤y≤1 
Pede-se: 
a) (0.6 pts) Calcule  75,05,0Pr  x . 
b) (1.6 pts) Encontre o Coeficiente de Correlação entre “X” e “Y” (
XY
). 
Observação: 
- demonstrar a expressão da Covariância. 
- apresente os resultados considerando 4 casas decimais. 
 
SOLUÇÃO 
 
 
a) (0.6 pts) Calcule 
 75,05,0Pr  x
 . 
 
I- Densidade marginal de X. 
dyyxfxf
y
y
.),()(
1
0




 , onde 0≤y≤1 
 dyxyyxxf .33)(
1
0
22
 
 

 1
0
32
2
3
..3
2
.3)( 






y
x
y
xxf
 

 
x
x
xf 
2
3
)(
2 
  dxxfx
x
x
.)(75,05,0Pr
75,0
5,0



 dxx
x
x
x
.
2
3
75,0
5,0
2










75,0
5,0
23
23
.
2
3



















xx 





































2
5,0
2
5,0
2
75,0
2
75,0 2323 %47,303047,0  
 
 
 
 
b) (1.6 pts) Encontre o Coeficiente de Correlação entre “X” e “Y” (
XY
). 
 
I- Densidade marginal de Y. 
- 
dxyxfyf
x
x
.),()(
1
0




 , onde 0≤x≤1 
 dxxyyxyf .33)(
1
0
22
 
 

 1
0
2
2
3
2
.
3
3
.3)( 






x
y
x
yyf
 

 
2
3
)(
2y
yyf 
 
 
II- Média de “X” e “Y” 
-   dxxfxXE ).(. , onde ]1,0(x 
-   dyyfyYE ).(. , onde ]1,0(y 
 
x
x
xf 
2
3
)(
2 
2
3
)(
2y
yyf 
 
 
- 
  dxx
x
xXE .
2
3
1
0
2
 






 

 
dxx
x
.
2
3
1
0
2
3
 






 1
0
34
342
3



















xx 
24
17
3
1
8
3

 
- 
  dxy
y
yYE .
2
3
1
0
2
 






 

 
dxy
y
.
2
3
1
0
2
3
 






 1
0
34
342
3



















yy 
24
17
3
1
8
3

 
 
III- Variância de “X” e “Y” e Média “XY” 
- 
  dxxxxXE .
2
3
1
0
2
22
 






 

 
dxx
x
.
2
3
1
0
3
4
 






 1
0
45
452
3



















xx 
40
22
4
1
10
3

 
- 
  dxyyyYE .
2
3
1
0
2
22
 






 

 
dxy
y
.
2
3
1
0
3
4
 






 1
0
45
452
3



















yy 
40
22
4
1
10
3

 
-    
2880
139
24
17
40
22
)()(
2
22 





 XEXEXVAR 
-    
2880
139
24
17
40
22
)()(
2
22 





 YEYEYVAR 
 
- ),(.)( jiji YXpYXXYE  
xyyxyxf 22 33),(  
   dxdyxyyxyxXYE .33.
1
0
22
 
 
 dxdyxyyx .33
1
0
2323
 
 
dy
x
yy
x
.
3
3
4
3
1
0
1
0
3
32
4
 











 
dyyy 












1
0
32
4
3
 
1
0
43
4
.
3
.
4
3



















yy
 
2
1
4
1
4
1

 
 
 
Onde: 
 
)()(
),(
,
YVXV
YXCOV
YX 
 
   YX YXEYXCOV   .),( 
 YXXY YXYXE  ....  
  YXYY YEXEYXE  .)(.)(..  
 
 
Onde :  
)(YE
XE
Y
X



 
 
  )().()()..()().(. YEXEYEXEXEYEYXE 
 
  )().(. YEXEYXE  
 
Logo: 
  YXXY XYECOV  
2,1.
24
17
.
24
17
2
1






XYCOV
 
 
036,0
)
2880
139
).(
2880
139
(
24
17
.
24
17
2
1











YX
X
XY
XYE

 
 
Questão 4 (2.4 pts) 
Uma máquina “A” produz peças circulares cujos diâmetros “Di” devem obedecer uma determinada 
especificação em mm, e, uma outra máquina “B” foi encontrada no mercado. Quer-se saber se os 
diâmetros médios das duas máquinas são próximos, ou seja, se as máquinas produzem peças que podem 
ser consideradas estatisticamente idênticas em termos dos diâmetros das mesmas. 
Tomou-se uma amostra de 14 peças da máquina “A”, e 16 peças da máquina “B”, tendo sido obtidas as 
seguintes estimativas amostrais: 
Máquina “A” : 
AX
= 97 mm e SA = 10 mm 
Máquina “B”: 
BX
= 94 mm e SB = 9mm 
a) (1.2 pts) Encontre o Intervalo de Confiança para a Diferença das Médias das duas máquinas (µA-µB) ao 
nível de confiança de 95%. Através deste resultado, explique se existe diferença das peças entre as duas 
máquinas. 
b) (1.2 pts) Através do Teste de Hipótese para a Variância, determine com o nível de significância de 5% se 
existe diferença entre as duas máquinas (

22
BA

 ). 
Defina claramente suas hipóteses. Mostre o resultado através do cálculo da estatística do teste. Esboce 
um gráfico da distribuição do teste indicando claramente a área de rejeição e aceitação de H0. 
 
Observação: apresente os resultados considerando 4 casas decimais. 
 
 
SOLUÇÃO 
a) (1.2 pts) Encontre o Intervalo de Confiança para a Diferença das Médias das duas máquinas (µA-µB) ao 
nível de confiança de 95%. Através deste resultado, explique se existe diferença das peças entre as duas 
máquinas. 
 
Máquina “A”: n 14 X A = 97mm SA = 10mm 
Máquina “B”: n 16 X B = 94mm SB = 9mm 
 
Intervalo de confiança para a diferença das médias: 
g = n + m – 2 = 28 
tabela “t” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 95% 
 
 Tabela “t” - 
048,22/1 t
 
 (1-α) 0,95 
 
 
 025,0
2

 
 
 2,048 
 
 
 
 
 
 [ -4,1025 ; 10,1025 ] 
 
Resposta: O Zero está contido no Intervalo de Confiança , portanto, as máquinas produzem peças que 
podem ser consideradas estatisticamente idênticas em termos dos diâmetros das mesmas ao nível de 
confiança de 95%. 
 
   
468,3
28
9151013
.
16
1
14
1 22





 







xx
R















2
)1()1(11 22
2
1
mn
SnSm
mn
R
 RzYXRzYXRzYXIC 2/12/12/1 ;        
  















2
S.1S.1
.
11
2
B
2
A
mn
mn
mn
R
    RtYXRtYXRtYXIC ttt 222 ;   
IC
    468,3048,2949721 xRtXXIC BA  
 
b) (1.2 pts) Através do Teste de Hipótese para a Variância, determine com o nível de significância de 5% se 
existe diferença entre as duas máquinas (

22
BA

 ). 
Defina claramente suas hipóteses. Mostre o resultado através do cálculo da estatística do teste. Esboce 
um gráfico da distribuição do teste indicando claramente a área de rejeição e aceitação de H0. 
 
Observação: apresente os resultados considerando 4 casas decimais. 
 
SOLUÇÃO 
Máquina “A”: n 14 X A = 97mm SA = 10mm 
Máquina “B”: n 16 X B = 94mm SB = 9mm 
 
 
Teste de Hipótese 
 
 
 
 
Estatística do Teste: 
 
 
 
 
Decisão: 
 
-Pela tabela “f” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 025,0
2


 
 
 Φinf=1/2,925 1,2346 ϕsup=2,925 
 
Resposta: 
Como f = 1,2346 < 2,925, não cai na região crítica, então, aceita H0 ao nível de significância de 5%. 
 
 
 
 
2346,1
81
100
2
2

s
s
B
Af
2222 9;10  BA SS
%5
)(bilateral:
:
22
1
22
0


BA
BA
H
H


15116
131141


B
A n


 
Questão 5 (2.0 pts) 
Um camponês comprou na feira um lote de cebolas novas a um preço exorbitante, porque lhe garantiram 
que a probabilidade de cada uma delas germinar era (independentemente das outras) 0.95. Quando 
chegou em casa, a mulher ficou furiosa e atirou-lhe com uma cebola velha que tinha à mão. Devido à sua 
má pontaria, esta misturou-se com o lote de cebolas novas e não foi possível distingui-la das outras. Assim 
o camponês plantou as 51 cebolas (50 cebolas novas e 1 cebola velha). Sendo 0.4 a probabilidade da 
cebola velha germinar, pede-se: 
a) (1.2 pts) Qual a probabilidade de uma cebola escolhida ao acaso germinar? Mostre o evento 
correspondente através do Diagrama de Venn. 
b) (0.8 pts) Escolhe-se ao acaso uma cebola plantada e verifica-se que ela não germinou. Qual a 
probabilidade de que esta cebola seja uma das novas? 
Observação: apresente os resultados considerando 4 casas decimais. 
Solução 
 
a) (1.2 pts) Qual a probabilidade de uma cebola escolhida ao acaso germinar? Mostre o evento 
correspondente através do Diagrama de Venn. 
 
Definição dos acontecimentos: 
-
   """" aelhV CebolaVNova CebolaN  
-
 "" erminarG CebolaG 
 
 
 Dados do exercício: 
95.0)|( NGP
; 
40VGP .)|( 
; 
5150NP /)( 
 e 
511NPVP /)()(  
 
A probabilidade da cebola germinar é calculada e é facilmente deduzida com o auxilio do Diagrama de 
Venn: 
 

N
V
G
 
 
- Por simples observação sabemos que podemos escrever: 
)()( VGNGG  
 
“Aplicando probabilidades” a ambos os membros desta igualdade e usando o facto de os acontecimentos do 
segundo membro serem, naturalmente, mutuamente exclusívos podemos escrever: 
      9392,0510/47951/1*4,051/50*95,0)().|()().|()()()(
..
 VPVGPNPNGPVGPNGPGP
definição
condprob
 
 
 
ou 
)(1)( GPGP 
      0608,051/1*6,051/50*05,0)().|()().|()()()(
..
 VPVGPNPNGPVGPNGPGP
definição
condprob
9392,00608,01)(1)(  GPGP 
 
 
b) (0.8 pts) Escolhe-se ao acaso uma cebola plantada e verifica-se que ela não germinou. Qual a 
probabilidade de que esta cebola seja uma das novas? 
Observação: apresente os resultados considerando 4 casas decimais. 
 
- Na realidade a probabilidade pedida é imediatamente dada pela Fórmula de Bayes, na qual no 
denominador aparece a expressão da probabilidade total. 
 
Pretendemos saber: 
?)|( GNP
 
 
    
 
%62,808062,0
9392,01
51/50*95,01
)(1
)()).|(1(
)(1
)().|(
)(
)(
)|( 










GP
NPNGP
GP
NPNGP
GP
GNP
GNP
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORMULÁRIO PARA PROVA 
 
 
Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas 
 
Distribuição Bernoulli - X ~ Bernoulli(p) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Binomial - X ~ Bin (n,p) 
Função de probabilidade: 
 
Distribuição Geométrica - X ~ Geom (p) 
Função de probabilidade: 
 
Distribuição Binomial Negativa - X ~ NegBin (r,p) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Poisson - X ~ Poisson(μ) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Exponencial - X ~ Exp(λ) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Normal - X ~ N(μ,σ2) 
Função de probabilidade: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  1)Pr()( 1 xx ppxXxf 
  )1(
)!(!
!
)1(Pr)( xnxxnx pp
xnx
n
pp
x
n
xXxf  








 .)Pr()( 1 pqxXxf x
 ..
1
1
)Pr()( rxr qp
r
x
xXxf 








 
!
)Pr()(
x
e
xXxf
x  

  0 e 0 onde .exp.)(  xxxf 
 
R 0 onde .
2
1
)( 22
2
2
2


 



eexf
x
 
 
 
 
TEOREMA DE BAYES: 
 
 
 
 
MÉDIA E VARIÂNCIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 = E (X2) - E(X)2 
 
 
SÉRIE GEOMÉTRICA 
 
 
 
)()(
),(
,
YVXV
YXCOV
YX 
 
   YX YXEYXCOV   .),( 
 
 
 
 
 
 
 
 






0
32 1
1
1
.....1
k
k a
a
aaaa que desde 
 
 
   
 
 discreta v.a.é X se Pr..
contínua v.a.é X se .
 xtodo xtodo








 



xXxxfx
dxxfx
XE   
  
       
 
 discreta v.a.é X se Pr..
contínua v.a.é X se .
 xtodo xtodo








 



xXxuxfxu
dxxfxu
XuE  
 
 
 
   
   
   






k
j
jj
ii
k
j
jj
ii
i
BBA
BBA
BBA
AB
A
AB
AB
11
Pr|Pr
Pr|Pr
Pr|Pr
Pr
Pr
Pr
|Pr   
   
       
2
22
2 2
todo x todo x
. se X contínua
( ) 
. .Pr se X discreta 
x f x dx
VAR X E X
x f x x X x

 
 




    
    


 
 





 
1
..
a
u
a
e
dueu
au
au
 
 
 
Intervalos de Confiança 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teste de Hipótese 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 






 
n
zX
n
zX
n
zXIC

 2/12/12/1 ; 





 
n
s
tX
n
s
tX
n
s
tXIC nnn 2/1,12/1,12/1,1 ;  





 




  
)ˆ1(ˆ
ˆ , 
)ˆ1(ˆ
ˆ 
)ˆ1(ˆ
ˆ 2/12/12/1
n
pp
zp
n
pp
zp
n
pp
zpIC 
 RzYXRzYXRzYXIC 2/12/12/1 ;   















2
)1()1(11 22
2
1
mn
SnSm
mn
R
aaSnbSn  1]/)1(/)1Pr[( 222 
 
2
0
2
* .1


Sn

s
s
Y
Xf
2
2

)1,0(~
)()(
22
N
nn
yx
Z
Y
Y
x
x
Yx





)1,0(~0 N
n
x
Z





t
ns
x
t 

 0 
2~
11
)(




yx nn
Yx
c
t
nn
S
yx
t    
2
.1.1
22



yx
yyxx
c
nn
SnSn
S
 




n
i
i XX
n
s
1
22
1
1



n
i
iX
n
X
1
1
 
 
Tabelas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
.