01 Calculo Vetorial 17.02.2016 20.09.31 Derivada Direcional e Aplicacoes 1

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Derivada Direcional e Aplicações
Prof. Onézimo Cardoso
Derivada Direcional
• Dada uma função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), diferenciável
em 𝑥 e y;
• Denominam-se derivadas parciais de 𝑧 em 𝑥0
e 𝑦0, respectivamente como 𝑓𝑥 e 𝑓𝑦, as quais
são expressas por:
𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 = lim
h→0
f 𝑥0 + ℎ, 𝑦0 − f 𝑥0, 𝑦0
h
𝑓𝑦 𝑥0, 𝑦0 = lim
h→0
f 𝑥0, 𝑦0 + ℎ − f 𝑥0, 𝑦0
h
(𝐼)
• Tais derivadas parciais, representam a taxa de
variação de 𝑧 nas direções 𝑥 e 𝑦, ou seja, na
direção e sentido dos versores 𝐢 e 𝐣;
• Suponha que queremos determinar a taxa de
variação de 𝑧 em (𝑥0, 𝑦0) na direção de um
vetor arbitrário 𝐮 = 𝑎, 𝑏 ;
• Para isso, consideremos uma superfície 𝑆, com
equação 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) e 𝑧0 = 𝑓 𝑥0, 𝑦0 ;
• Então o ponto 𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) encontra-se em 𝑆;
(𝐼)
• O plano vertical que passa por 𝑃 na direção de
𝒖, intercepta S em uma curva 𝐶;
• A inclinação da reta tangente 𝑇 a 𝐶 em 𝑃 é a
taxa de variação de 𝑧 na direção e sentido de 𝒖;
• Se 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) é outro ponto sobre 𝐶 e 𝑃′ e 𝑄′
são as projeções de 𝑃 e 𝑄 sobre o plano 𝑥𝑦;
• Então o vetor 𝑃′𝑄′ é paralelo a 𝒖 e portanto:
𝑃′𝑄′ = ℎ𝒖 = ℎ𝑎, ℎ𝑏
• Para algum escalar ℎ;
• Portanto, 𝑥 − 𝑥0 = ℎ𝑎 e 𝑦 − 𝑦0 = ℎ𝑏, então 𝑥 = 𝑥0 + ℎ𝑎 e
𝑦 = 𝑦0 + ℎ𝑏 e
Δ𝑧
ℎ
=
𝑧 − 𝑧0
ℎ
=
𝑓 𝑥0 + ℎ𝑎, 𝑦0 + ℎ𝑏 − 𝑓 𝑥0, 𝑦0
ℎ
• Tomando ℎ → 0, na fração anterior, obtemos a
taxa de variação de 𝑧 (com respeito à distância)
na direção de 𝒖 , denominada derivada
direcional de 𝑓 na direção de 𝒖;
Definição 1: A derivada direcional de 𝑓 em
(𝑥0, 𝑦0) na direção do vetor unitário 𝒖 = 𝑎, 𝑏 é
𝐷𝑢𝑓 𝑥0, 𝑦0 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥0 + ℎ𝑎, 𝑦0 + ℎ𝑏 − 𝑓 𝑥0, 𝑦0
ℎ
se o limite existir.
Observação
• Comparando 𝑓𝑥 e 𝑓𝑦 expressos em (𝐼) com a
Definição 1, temos que tomando 𝒖 = 𝒊 =
1,0 , então 𝐷𝑖𝑓 = 𝑓𝑥 e se 𝒖 = 𝒋 = 0,1 ,
então 𝐷𝑗𝑓 = 𝑓𝑦;
• Temos portanto que as derivadas parciais de 𝑓
com respeito a 𝑥 e 𝑦 são somente casos
particulares de derivada direcional;
Exemplo 1
• Dado o mapa meteorológico fornecido da
Figura abaixo, estime o valor da derivada
direcional à sudeste da função temperatura na
localidade de Reno, sabendo que a distância
entre Reno e a isotérmica de 60𝑜𝐹 ≅ 15,5𝑜𝐶
à sudeste é 75 milhas ≅ 120,7 𝑘𝑚;
• Aproximamos a derivada direcional 𝐷𝑢𝑇, pela
média de variação de temperatura entre os
pontos onde a reata traçadas intercepta as
isotérmicas 𝑇 = 50𝑜𝐹 ≅ 10𝑜𝐶 e 𝑇 =
60𝑜𝐹 ≅ 15𝑜𝐶;
• Logo a taxa de variação de temperatura na
direção sudeste é:
𝐷𝑢𝑇 ≈
15 − 10
120,7
≈ 0,04𝑜𝐶/𝑘𝑚
Teorema
• De modo geral, computamos a derivada
direcional de uma função definida por uma
fórmula usando o seguinte teorema:
Teorema 1: Se 𝑓 é uma função diferenciável em
𝑥 e 𝑦 , então 𝑓 tem derivada direcional na
direção e sentido de qualquer versor 𝒖 =
𝑎, 𝑏 e:
𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑎 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑏
Prova – Teorema 1
• Definamos uma função 𝑔 de uma única variável ℎ por:
𝑔 ℎ = 𝑓(𝑥0 + ℎ𝑎, 𝑦0 + ℎ𝑏)
• Então, aplicando a definição de derivada direcional,
temos:
𝑔′ 0 = lim
ℎ→0
𝑔 ℎ − 𝑔 0
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑓 𝑥0 + ℎ𝑎, 𝑦0 + ℎ𝑏 − 𝑓 𝑥0, 𝑦0
ℎ
= 𝐷𝑢𝑓 𝑥0, 𝑦0 (𝑇1.1)
Prova – Teorema 1
• Por outro lado, podemos escrever 𝑔 ℎ =
𝑓(𝑥, 𝑦) , onde 𝑥 = 𝑥0 + ℎ𝑎 e 𝑦 = 𝑦0 + ℎ𝑏 e, pela
Regra da Cadeia, temos:
𝑔′ ℎ =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕ℎ
+
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕ℎ
= 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑎 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑏
• Tomando ℎ = 0, então 𝑥 = 𝑥0 e 𝑦 = 𝑦0, e
𝑔′ 0 = 𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 + 𝑓𝑦 𝑥0, 𝑦0 𝑏 (𝑇1.2)
Prova – Teorema 1
• Igualando então os termos determinados para
𝑔′(0) em (T1.1) e (T1.2), concluímos que:
𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑎 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑏
Observação 1
• Se o versor 𝒖 faz um ângulo 𝜃 com o eixo 𝑥
positivo, a exemplo da Figura abaixo:
• Então podemos escrever 𝒖 = cos 𝜃 , 𝑠𝑒𝑛𝜃
Observação 1
• Então,
𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑎 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑏
⇒ 𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 cos 𝜃 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝜃
(𝐼𝐼)
Exemplo 2
• Determine a derivada direcional 𝐷𝑢𝑓(𝑥, 𝑦) se
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥𝑦 + 4𝑦2
• 𝒖 é o versor dado pelo ângulo 𝜃 =
𝜋
6
;
• Determine também 𝐷𝑢𝑓(1,2).
• Pela Formulação (𝐼𝐼), temos que:
𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 cos
𝜋
6
+ 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑠𝑒𝑛
𝜋
6
= 3𝑥2 − 3𝑦
3
2
+ −3𝑥 + 8𝑦
1
2
=
1
2
3 3𝑥2 − 3𝑥 + 8 − 3 3 𝑦
• Em particular, temos portanto que:
𝐷𝑢𝑓 1,2 =
1
2
3 3(1)2−3(1) + 8 − 3 3 (2)
=
13 − 3 3
2
• A derivada direcional 𝐷𝑢𝑓 1,2 representa a
taxa de variação de 𝑧 na direção de 𝒖;
• Tal variação é a inclinação da reta tangente à
curva obtida pela interseção da superfície 𝑧 =
𝑥3 − 3𝑥𝑦 + 4𝑦2 e o plano vertical que passa
por (1,2,0) na direção de 𝒖:
Vetor Gradiente
• Baseado no Teorema 1, temos que a derivada
direcional pode ser escrita como o produto
escalar de dois vetores:
𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑎 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑏
= 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 , 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) ⋅ 𝑎, 𝑏
= 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 , 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) ⋅ 𝒖
(𝐼𝐼𝐼)
Vetor Gradiente
• O vetor 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 , 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) é denominado
gradiente de 𝒇 e é representado pela seguinte
notação:
𝛻𝑓 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 , 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)
Definição
Definição 2: Se 𝑓 é uma função de duas
variáveis 𝑥 e 𝑦, o gradiente de 𝑓 é a função
vetorial 𝛻𝑓 definida por:
𝛻𝑓 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 , 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝐢 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝐣
Observação 2
• Aplicando a Definição 2 na formulação (𝐼𝐼𝐼),
conclui-se que:
𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 ⋅ 𝐮
• Que expressa a derivada direcional na direção
e sentido de 𝐮 como a projeção escalar do
vetor gradiente sobre 𝐮;
(𝐼𝑉)
Exemplo 3
Determine a derivada direcional da função
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦3 − 4𝑦 no ponto (2, −1) na
direção do vetor 𝑣 = 2𝐢 + 5𝐣;
• De início, calculemos o gradiente de 𝑓 no ponto
(2, −1):
𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦3𝐢 + 3𝑥2𝑦2 − 4 𝐣
⇒ 𝛻𝑓 2,−1 = −4𝐢 + 8𝐣
• No exemplo em questão, 𝐯 = 2𝐢 + 5𝐣 não é um
vetor unitário;
• Mas já que 𝐯 = 29, o vetor unitário na
direção e sentido de 𝐯 é:
𝐮 =
𝐯
𝒗
=
2
29
𝐢 +
5
29
𝐣
• Portanto, aplicando a formulação (𝐼𝑉), temos:
𝐷𝑢𝑓 2,−1 = 𝛻𝑓 2,−1 ⋅ 𝐮
= −4𝐢 + 8𝐣 ⋅
2
29
𝐢 +
5
29
𝐣
• Concluímos portanto que:
𝐷𝑢𝑓 2,−1 =
−4 ⋅ 2 + 8 ⋅ 5
29
=
32
29
• Na figura a seguir são exibidos o vetor
gradiente de 𝛻𝑓(2,−1) e o vetor 𝐯 , que
fornece a direção e sentido da derivada
direcional;
• Ambos os vetores 𝛻𝑓(2,−1) e 𝐯 estão
sobrepostos ao mapa de contornos do gráfico
de 𝑓;
Funções de Três Variáveis
• Para funções de três variáveis, podemos definir
derivadas direcionais de modo semelhante;
• Novamente, 𝐷𝑢𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) pode ser interpretado
como a taxa de variação da função na direção e
sentido de um versor 𝐮;
Definição 3: A derivada direcional de 𝑓 em
(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) na direção e sentido do vetor unitário
𝒖 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 é
𝐷𝑢𝑓 𝑥0, 𝑦0 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥0 + ℎ𝑎, 𝑦0 + ℎ𝑏, 𝑧0 + ℎ𝑐 − 𝑓 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0
ℎ
se o limite existir.
• Se utilizarmos a notação vetorial, poderemos
escrever a derivada direcional de forma
compacta, tanto para o caso de duas como de
três variáveis:
𝐷𝑢𝑓 𝐱0 = lim
ℎ→0
𝑓 𝐱0 + ℎ𝑢 − 𝑓 𝐱0
ℎ
• Onde 𝐱0 = 𝑥0, 𝑦0 se 𝑛 = 2 e 𝐱0 =
𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 se 𝑛 = 3;
• Se 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) for diferenciável e 𝐮 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 , então
com argumento análogo ao usado na prova do
Teorema 1, pode-se demonstrar que:
𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑎 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑏 + 𝑓𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑐
• Para uma função de três variáveis o vetor gradiente,
denotado por 𝛻𝑓 é expresso por:
𝛻𝑓 = 𝑓𝑥 , 𝑓𝑦 , 𝑓𝑧 =
𝜕𝑓𝜕𝑥
𝐢 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝐣 +
𝜕𝑓
𝜕𝑘
𝐤
(𝑉)
• Então, aplicando a formulação do vetor
gradiente em (𝑉), concluímos que, assim como
para as funções de duas variáveis, a derivada
direcional pode ser reescrita como:
𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 ⋅ 𝐮 (𝑉𝐼)
Exemplo 4
Se 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 ⋅ sen 𝑦𝑧 , determine o
gradiente de 𝑓 no ponto (1,3,0) na direção e
sentido de 𝐯 = 𝐢 + 2𝐣 − 𝐤;
• Nesse caso, o gradiente de 𝑓 é:
𝛻𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑓𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧
= sen 𝑦𝑧, 𝑥𝑧 ⋅ cos 𝑦𝑧 , 𝑥𝑦 ⋅ cos 𝑦𝑧
• Portanto,
𝛻𝑓 1,3,0 = 0,0,3
• O vetor unitário na direção e sentido de 𝐯 = 𝐢 + 2𝐣 − 𝐤
é:
𝐮 =
1
6
𝐢 +
2
6
𝐣 −
1
6
𝐤
• Portanto, aplicando a equação (𝑉𝐼), obtemos:
𝐷𝑢𝑓 1,3,0 = 𝛻𝑓 1,3,0 ⋅ 𝑢
= 3𝐤 ⋅
1
6
𝐢 +
2
6
𝐣 −
1
6
𝐤
= 3 ⋅ −
1
6
= −
3
2
Maximização da Derivada Direcional
• Dada uma função 𝑓 de duas ou três variáveis;
• Consideremos todas as possíveis derivadas
direcionais de 𝑓 em um determinado ponto;
• O teorema a seguir indica em qual das
direções ocorre a máxima taxa de variação;
Teorema 2
Teorema 2: Suponha que 𝑓 seja uma função
diferenciável de duas ou três variáveis. O valor
máximo da derivada direcional 𝐷𝑢𝑓(𝑥) é
𝛻𝑓(𝑥) e ocorre quando 𝐮 tem a mesma
direção e sentido que o vetor gradiente 𝛻𝑓(𝑥).
Prova - Teorema 2
• Das formulações (𝐼𝑉) e (𝑉𝐼), temos:
𝐷𝑢𝑓 = 𝛻𝑓 ⋅ 𝐮 = 𝛻𝑓 𝐮 cos 𝜃 = 𝛻𝑓 cos 𝜃
• Onde 𝜃 é o ângulo entre 𝛻𝑓 e 𝐮;
• O máximo valor de cos 𝜃 é 1, e isso ocorre
quando 𝜃 = 0;
• Portanto, o valor máximo de 𝐷𝑢𝑓 é 𝛻𝑓 e
ocorre quando 𝑢 tem a mesma direção e
sentido de 𝛻𝑓.
Exemplo 5
• Seja 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑒𝑦 . Determine a taxa de
variação de 𝑓 no ponto 𝑃(2,0) na direção de
𝑃 a 𝑄(
1
2
, 2);
• Em que direção 𝑓 tem a máxima taxa de
variação? Qual é a taxa máxima de variação?
• Calculemos inicialmente o vetor gradiente:
𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 , 𝑓𝑦 = 𝑒
𝑦, 𝑥𝑒𝑦
⇒ 𝛻𝑓 2,0 = 1,2
• Já que 𝑃(2,0) e 𝑄
1
2
, 2 , temos:
𝑃𝑄 =
1
2
− 2,2 − 0
= −
3
2
, 2
• Portanto,
𝐮 =
𝑃𝑄
𝑃𝑄
=
−
3
2 , 2
5
2
= −
3
5
,
4
5
𝐷𝑢𝑓 2,0 = 𝛻𝑓 2,0 ⋅ 𝐮 = 1,2 ⋅ −
3
5
,
4
5
= 1 −
3
5
+ 2
4
5
= 1
• De acordo com o Teorema 3, 𝑓 aumenta mais
depressa na direção e sentido do gradiente
𝛻𝑓 2,0 = 1,2 ;
• A máxima taxa de variação é:
𝛻𝑓(2,0) = 1,2 = 5
• Temos portanto que no ponto (2,0) aumenta
mais rapidamente na direção e sentido do
gradiente 𝛻𝑓 2,0 = 1,2 ;
(2𝐷) (3𝐷)
Plano Tangente às Superfícies de Nível
• Seja 𝑆 uma superfície com equação
𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑘 , ou seja, uma superfície de
nível da função 𝐹 de três variáveis;
• Seja 𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) um ponto sobre 𝑆;
• Seja 𝐶 uma curva qualquer contida na
superfície 𝑆 que passe pelo ponto 𝑃, descrita
por 𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧 𝑡 ;
Plano Tangente às Superfícies de Nível
• Seja 𝑡0 o parâmetro correspondente ao ponto
𝑃, ou seja:
𝑟 𝑡0 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0
• Uma vez que 𝐶 pertence a 𝑆, qualquer ponto
𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧 𝑡 precisa satisfazer a equação
se 𝑆:
𝐹 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧 𝑡 = 𝑘
Plano Tangente às Superfícies de Nível
• Se 𝑥, 𝑦 e 𝑧 são diferenciáveis em função de 𝑡 e
𝐹 também é diferenciável, então, pela Regra
da Cadeia, temos:
𝜕𝐹
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝐹
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+
𝜕𝐹
𝜕𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 0 (𝑉𝐼𝐼)
Plano Tangente às Superfícies de Nível
• Temos que:
𝛻𝐹 = 𝐹𝑥, 𝐹𝑦, 𝐹𝑧 e 𝑟
′ 𝑡 = 𝑥′ 𝑡 , 𝑦′ 𝑡 , 𝑧′ 𝑡
• Portanto, a equação (𝑉𝐼𝐼) pode ser escrita
como:
𝛻𝐹 ⋅ 𝑟′ 𝑡 = 0
Plano Tangente às Superfícies de Nível
• Em particular, quando 𝑡 = 𝑡0 , temos 𝑟 𝑡0 =
𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 , e assim
𝛻𝐹 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 ⋅ 𝐫
′ 𝑡0 = 0
• Note que, pela equação (𝑉𝐼𝐼𝐼), o vetor gradiente
em 𝑃, 𝛻𝐹(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) , é perpendicular ao vetor
tangente 𝑟′ 𝑡0 a qualquer curva 𝐶 em 𝑆 que passe
por 𝑃, como expressa a figura a seguir:
(𝑉𝐼𝐼𝐼)
Plano Tangente às Superfícies de Nível
• Desse modo, quando 𝛻𝐹 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 ≠ 0 é
natural definir o plano tangente à superfície de
nível 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑘 em 𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) como o
plano que passa por 𝑃 e tem vetor normal
𝛻𝐹 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 ;
• Sabemos que um plano no espaço é
determinado por um ponto e por um vetor 𝐧
ortogonal ao plano;
Plano Tangente às Superfícies de Nível
• Mediante a seguinte equação:
𝑎 𝑥 − 𝑥0 + 𝑏 𝑦 − 𝑦0 + 𝑐 𝑧 − 𝑧0
• Onde 𝐧 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) é o vetor é o vetor normal ao
plano, (𝑥, 𝑦, 𝑧) variam ao longo do plano
e (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) é um ponto fixado.
• Utilizando então o equacionamento padrão do plano
em nosso caso específico, temos que:
𝐹𝑥 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 𝑥 − 𝑥0 + 𝐹𝑦 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 𝑦 − 𝑦0 + 𝐹𝑧 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 = 0
• A linha normal a 𝑆 em 𝑃, é a que passa através de 𝑃 e é
perpendicular ao plano tangente;
(𝐼𝑋)
• A direção da linha normal é então dada pelo vetor
gradiente 𝛻𝑓(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) e então as equações simétricas
da linha normal são:
𝑥 − 𝑥0
𝐹𝑥 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0
=
𝑦 − 𝑦0
𝐹𝑦 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0
=
𝑧 − 𝑧0
𝐹𝑧 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0
𝑋
Exemplo 6
• Encontre as equações da reta tangente ao
plano e reta normal à:
𝑥2
4
+ 𝑦2 +
𝑧2
9
= 3
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)
• Nesse caso, temos que:
𝐹𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 =
𝑥
2
𝐹𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2𝑦 𝐹𝑧 =
2𝑧
9
• E portanto:
𝐹𝑥 −2,1,3 = −1
𝐹𝑦 −2,1,3 = 2
𝐹𝑧 −2,1,3 = −
2
3
• Para esse caso, temos, pela equação (𝑉𝐼𝐼𝐼)
que o plano tangente em −2,1, −3 é:
−1 𝑥 + 2 + 2 𝑦 − 1 −
2
3
𝑧 + 3 = 0
• E, pela decorrente simplificação da equação
acima, temos:
3𝑥 − 6𝑧 + 2𝑧 + 18 = 0 (Plano Tangente)
• Por fim, a formulação 𝑋 fornece as
equações simétricas da linha normal:
𝑥 + 2
−1
=
𝑦 − 1
2
= 𝑧 + 3 (−
2
3
)