Capítulo 3 Introdução às Funções de Variável Complexa

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FUMEC

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evandro junior

22/06/2018

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69

CAPÍTULO III – INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES DE VARIÁVEL COMPLEXA
Ao Professor Antônio Pertence Jr. por ter me presenteado com um livro, que muito me auxiliou
na elaboração deste capítulo.
Sumário
 Conjuntos de pontos no plano Z
 Função de variável complexa
 Transformações
 Função exponencial
 Funções trigonométricas básicas
 Função logarítmica

1- Conjuntos de pontos no plano Z
1.1 – Distância entre dois pontos
Considere dois números complexos quaisquer e indicados na figura 1.

Fig. 1 – Os números e estão separados pela
distância

A definição da distância entre dois pontos do plano Z, isto é, entre dois
números complexos, é a definição euclidiana de distância entre dois
pontos, com a qual já estamos familiarizados.
Teremos então:

1.2 – Disco de raio e centro
Notação:
O disco de raio e centro em é o conjunto dos pontos do plano Z
situados a uma distância inferior a do ponto .

Isso significa que o disco de raio e centro em indicado na figura 2 é
o conjunto dos números complexos situados a uma distância inferior
a do número complexo .
Escrevemos então:

70

Fig. 2 – A distância entre um ponto do disco e o ponto de é menor que

a) Vizinhança de um ponto
É o conjunto dos pontos situados no disco

Aqui o raio possui valor arbitrário, em lugar de um valor específico,
como o raio do disco da figura 2.
A definição de vizinhança de um ponto nos permite formalizar as três
condições que se seguem:
Ponto interior de um conjunto A
Um ponto é um ponto interior de um conjunto de pontos A do plano Z,
se existir uma vizinhança de que contenha apenas pontos do
conjunto A, como mostra a figura 3.

Fig.3ª – O ponto é um ponto interior do conjunto A qualquer
Fig. 3b – O ponto é um ponto interior do conjunto dos pontos do disco

Ponto exterior de um conjunto A
Um ponto é um ponto exterior de um conjunto de pontos A do plano
Z, se existir uma vizinhança de que não contenha nenhum ponto do
conjunto A, como mostra a figura 4.

71

Fig.4ª – O ponto é um ponto exterior do conjunto A qualquer
Fig. 3b – O ponto é um ponto exterior do conjunto dos pontos do disco

Ponto de fronteira de um conjunto A
Um ponto é um ponto de fronteira de um conjunto de pontos A do
plano Z, se qualquer vizinhança de possui pelo menos um ponto do
conjunto A e um ponto que não pertence ao conjunto A.
Confira na figura 5.

Fig.5ª – O ponto é um ponto de fronteira do conjunto A
Fig. 5b – O ponto é um ponto de fronteira do conjunto dos pontos do
disco

b) Conjunto aberto
Um conjunto A de pontos do plano Z é um conjunto aberto se ele não
contém nenhum ponto de sua fronteira, como mostra a figura 6.

Fig. 6a – O conjunto A é um conjunto aberto
Fig. 6b – O disco é um conjunto aberto

72

c) Conjunto fechado
Um conjunto A de pontos do plano Z é um conjunto fechado se ele
contém todos os pontos de sua fronteira, como mostra a figura 7.

Fig. 7a – O conjunto A é um conjunto fechado
Fig. 7b – O conjunto dos pontos é um conjunto
fechado.

Atenção! O conjunto fechado mostrado na figura 7b não é um disco.

Vamos determinar e representar vários exemplos de conjuntos de
pontos do plano Z.

Exemplo 1:

Vamos ler a sentença acima:
é o conjunto dos números complexos , tais que...

o módulo da parte real de é menor ou igual a 3

Eliminando as barras de módulo, concluímos que os números
complexos deste conjunto são tais que, todos possuem a parte real no
intervalo:

é um conjunto fechado: contém todos os pontos da sua fronteira:
.
A representação gráfica correspondente é exibida na figura 8.

73

Fig.8 – Todos os números complexos localizados na faixa indicada do
plano Z possuem , com .

Exemplo 2:

Vamos ler a sentença acima:
é o conjunto dos números complexos , tais que...

o módulo de ou, a distância de à origem, pois
é maior ou igual a 3 e menor do que 5.

Lembrando que é um número complexo qualquer do plano Z,
teremos:

(números complexos situados sobre a circunferência com centro na
origem e raio 3 e fora dela).
E, simultaneamente,

(números complexos internos à circunferência com centro na origem e
raio 5)
A representação gráfica do conjunto de números complexos é
mostrada na figura 9.

74

Fig.9 – O conjunto dos números complexos descritos por se situam
sobre o anel:

Exemplo 3:

Temos aqui:
é o conjunto dos números complexos , tais que...

a distância de a é maior
ou igual a .
Sabemos que:

Logo:
é o conjunto dos números complexos do
plano Z, que se situam sobre a linha da circunferência com centro em
e raio e externos a ela, como mostra a figura 10.

Fig.10 – é o conjunto de todos os pontos do plano Z, exceto o disco
com centro em e raio .
Exemplo 4:

é o conjunto dos números complexos que possuem parte imaginária
positiva.

75

Este conjunto é o semiplano representado na figura 11.

Fig.11 – é um conjunto aberto, que não contém o conjunto dos reais.

Exemplo 5:

A sentença acima significa:
é o conjunto dos números complexos tais que...

o argumento (principal) do quadrado de cada
número deve ter seu valor no intervalo fechado entre

e radianos.

Devemos determinar quais são esses números complexos através dos
valores de .
Sendo assim, escreveremos e na forma exponencial:

Logo,

Portanto,

Os números complexos do conjunto estão representados na figura
12.
A bissetriz do 1º quadrante e o semieixo vertical (com são as
fronteiras deste conjunto

76

Fig. 12 – Os números complexos descritos pelo conjunto .

Exemplo 6:

Vamos compreender a proposta do conjunto :

é a distância entre os números complexos e .

é o conjunto dos números complexos tais que...

fique à mesma distância de e de
, ou seja, deve ser equidistante de e .

Sendo assim, teremos:

Elevando os dois lados ao quadrado, simplificando os termos
semelhantes, obtemos:

Esta é a equação de uma reta no plano Z, que apresentamos na figura
13.
Essa reta é o lugar geométrico dos pontos (números complexos)
da forma , no plano Z, como e
.

77

Fig.13 – A reta é a mediatriz do segmento , formada pelo
conjunto dos pontos no plano Z.
2 – Função de variável complexa
Considere um conjunto de números complexos e uma lei (ou
regra) que associa cada elemento do conjunto a um único número
complexo, indicado por:
, onde .

Como mostra a figura 14:
 é uma função com domínio
 O conjunto dos números complexos , obtidos a partir de
todos os elementos de , é chamado de conjunto imagem de ,
através da função .
Atenção!
Tanto a variável independente , quanto a variável dependente de são,
ambas, números complexos.
Isso significa que trabalharemos agora com dois planos complexos: o plano
Z que contém os números e o plano W, que contém os números
.

Fig.14 – O conjunto no plano Z, o conjunto no plano W e a função

78

2.1 – O domínio de
Exceto se houver especificação explícita, tomaremos como domínio da
função o maior conjunto possível de valores de , para os
quais as operações propostas por possam ser realizadas.

Exemplo 7:
Determine o domínio das funções elementares:

a)
Esta é uma função polinomial de variável complexa, para a qual não
existe restrição de operação, para nenhum valor de .
Portanto,

b)
Também aqui o domínio de é todo o plano Z, sem restrições.
Atenção!
É importante você lembrar que, se tivéssemos a função real
, teríamos .

c) A função racional algébrica

O domínio desta função será todo o plano Z, exceto as raízes do
denominador.
Temos então:

A forma polar de é:

Portanto:

, com
As três raízes são:

O domínio da função é:

79

Note que a função real

só não está definida para , a
única raiz real do denominador.
d)

Como vimos no exemplo anterior, temos .
Observe que a função real

possui

2.2 – As partes real e imaginária de
Vimos no capítulo 2, que e que e são números reais.

Sendo assim, substituindo na expressão analítica de
vamos obter:

Onde e são funções reais de e denominadas:

(parte real de )
(parte imaginária de )
Exemplo 8:
Determine a parte real e a parte imaginária das funções indicadas.

a)

Vamos substituir na função acima.

Reordenando as parcelas, escrevemos:

E obtemos: e .

b)

Inicialmente, substituímos na função dada.

Para obtermos na forma

80

Devemos multiplicar o numerador e o denominador de pelo conjugado
do denominador.
Teremos então:

A igualdade acima significa que:

c)

Substituindo em , obtemos:

Observamos que

E substituímos a fórmula de Euler, estudada no capítulo 2:

Reescrevemos como:

Efetuando as operações indicadas e lembrando que , obtemos:

81

Reordenando os termos, separamos as partes real e imaginária de :

Temos então:

3 - Transformações
Vimos na seção 2, que a função estabelece a correspondência
entre pontos (números complexos) do plano Z e pontos (números
complexos) do plano W (figura 14).

Esta correspondência estabelecida entre os dois planos* é usualmente
denominada de transformação ou aplicação.

*Na função real de variável real, , a correspondência é feita entre duas
retas reais: os eixos X e Y situados no mesmo plano, o plano cartesiano.
Esta correspondência é estabelecida pela função através dos pontos
, que constituem o gráfico de neste plano.

A visualização da transformação de conjuntos de pontos do plano Z em
conjuntos de pontos do plano W é possível com as representações
gráficas de e feitas, simultaneamente, nos
respectivos planos Z e W.

Exemplo 9:
Considere a transformação:

a) Escreva na forma

Substituindo em , obtemos:

Identificamos que:

b) Determine o conjunto de pontos do plano Z que foram transformados
na reta .
Substituindo , teremos que:

82

Interpretando, por enquanto, geometricamente, dizemos que os pontos
da reta , situada no plano Z, foram transformados nos pontos
da reta , situada no plano W.
Vamos esboçar simultaneamente, na figura 15, os gráficos em seus
respectivos planos.

Fig. 15 – A reta no plano Z corresponde à reta vertical
no plano W.

Mas lembre-se! Estes não são planos cartesianos!

 A reta é o lugar geométrico dos números complexos da
forma no plano Z (pois e ).

 E a reta vertical é o lugar geométrico dos números
complexos do plano W, que possuem parte real igual a 3, isto é,
(pois e )

Observando agora a transformação de Z W, (do
domínio sobre a imagem) na figura 16, vemos que:

 transformou o conjunto dos números complexos do
plano Z, no conjunto dos números complexos do
plano W, que possuem parte real igual a 3, isto é, .

 Vamos verificar isso, escolhendo um número (ou ponto) da reta
, ou seja, .

Tomemos, por exemplo, .
Isso nos fornece o número ou ponto da reta .
Substituindo em , obtemos:

83

 Genericamente, substituindo em ,
obtemos:

Números complexos com parte real igual 3, .

Ainda através da transformação se escolhermos outra reta no
plano W, este conjunto de pontos corresponderá a outra reta no plano Z,
como veremos na letra c deste exemplo.

Fig.16 – Os números sobre a reta se transformaram nos
números sobre a reta através de .

c) Determine o conjunto de pontos do plano Z que foram transformados
na reta .
Obtivemos na letra a que:

Substituindo na equação acima, obtemos:

A interpretação geométrica nos mostra que os pontos da reta ,
situada no plano Z, foram transformados nos pontos da reta ,
situada no plano W.
Vamos esboçar simultaneamente, na figura 17, os gráficos em seus
respectivos planos.

84

Fig.17 – A reta
no plano Z corresponde à reta horizontal
no plano W.

 A reta é o lugar geométrico dos números complexos do
plano Z, com a forma .
 A reta é o lugar geométrico dos números complexos do plano
W, que possuem parte imaginária igual a , isto é, .

Observando agora a transformação de Z W, na
figura 18, vemos que:

 transformou o conjunto dos números complexos do
plano Z, no conjunto dos números do
plano W, que possuem parte imaginária igual a 1.

Fig.18 – Os números sobre a reta se transformaram nos números
sobre a reta através de .

85

Exemplo 10:
Considere a transformação:

a) Escreva na forma

Substituindo , obtemos:

Identificamos que:

b) Determine o conjunto de pontos do plano Z que foram transformados
na reta .
Neste caso temos:

A equação acima indica que a reta vertical no plano W é o
resultado da transformação dos pontos da hipérbole equilátera
do plano Z, através de , como mostra a figura 19.

Fig. 19 – Os números complexos situados sobre a hipérbole
do plano Z, se transformaram nos números do plano W
com parte real igual a 1.

De forma geral, podemos afirmar que, na transformação , os
pontos ou números complexos sobre uma hipérbole da família
, se transforma na respectiva reta vertical
, da família de retas correspondente do plano W.
Confira a representação gráfica na figura 20.

86

Fig.20 – A família de hipérboles no plano Z e a família de retas do plano
W vinculadas entre si pela transformação .

c) Determine também o conjunto de pontos do plano Z que se
transforma na reta .
Identificamos no início deste exemplo que:

Substituindo o valor de obtemos:

A figura 21 mostra, que o conjunto de números complexos localizados
sobre os pontos da função

, no plano Z, se transformam nos
números complexos do plano W, que têm a parte imaginária igual a 2.

Isso significa que os números situados sobre a função

são:

A transformação fornece:

Estes últimos são os números complexos obtidos no plano W nesta
transformação.

87

Fig.21 – Os números

se transformam em

Se quiser, você pode conferir com alguns pontos específicos de Z,
obtidos para :

Da mesma forma como fizemos na letra b, podemos estender a
transformação sobre a família de funções do plano Z:

Que são levadas às retas horizontais de W, , como vemos na
figura 22.

Fig.22 – Cada ponto

em Z se transforma no ponto

de W.

88

4– Funções Elementares
Veremos nesta seção que, funções de uma variável real , podem ser
definidas no plano complexo, como funções de uma variável complexa ,
sendo .
4.1 – Função polinomial
Se for inteiro positivo e constantes complexas com ,
a função polinomial de grau , indicada por é definida em todo o
plano complexo.
Escrevemos:

,
Exemplo 11:
a)
b)

4.2 – Função racional algébrica
São funções da forma

Onde e são polinômios de .
Tais funções são definidas em todos os pontos do plano complexo para os
quais .

Polo de ordem de uma função racional algébrica
Considere uma função racional algébrica

.
Se
com e , teremos:

Nas condições acima, dizemos que é um polo de ordem de .

O polo de ordem é um dos tipos de singularidades que uma função de
variável complexa pode apresentar [2].
A localização dos polos de uma função racional algébrica no plano complexo é
uma informação relevante no estudo da estabilidade de um sistema físico.

Exemplo 12:

89

Determine e classifique quanto à ordem, os polos de cada uma das funções
abaixo:
a)

As raízes do denominador são: e (veja exemplo 7 – letra c)
A função dada pode ser escrita como:

possui três polos simples (polos de ordem 1) em : e e
.
b)

Fatorando o denominador, obtemos:

Este polinômio de 4º grau possui três raízes distintas:
, que é raiz dupla de (observe que )
, que são duas raízes simples de .
A função

possui um polo de ordem 2 em e dois polos
simples em e
c)

Fatorando o denominador, obtemos:

Este polinômio de 6º grau possui duas raízes distintas:
(raiz tripla)
(raiz tripla)
A função

possui dois polos de ordem 3 em e .

4.3 – A função exponencial
Define-se a função exponencial no plano Z como e esta função se
reduz à função usual do cálculo, se tivermos , isto é, se for real.

Substituindo e a fórmula de Euler, teremos:

90

O domínio desta função é todo o plano Z.
Pode-se provar com auxílio da seção 5.1 do capítulo 2, que permanecem
válidas, na análise complexa, as seguintes propriedades para [1]:

Observando que

Teremos ainda que:

e

Atenção!
A função pode assumir qualquer valor complexo não nulo!

Confira essa afirmativa no exemplo a seguir.

Exemplo 13:
Determine o valor de para os valores de indicados.
a)

b)

c)

Este é o valor da função real .

d)

91

Obtivemos um valor negativo!
Lembre-se que a função real > 0 .

e)

Obtivemos um valor imaginário puro.

4.4 – Funções trigonométricas básicas

Vamos retomar à fórmula de Euler, expressa na equação (22), na seção 4.2 do
capítulo II:

Adicionando as duas equações, obtemos:

Subtraindo agora a segunda equação da primeira, obtemos:

As duas relações acima, são definições das funções e , agora
escritas como combinações de exponenciais imaginárias.
Tais relações nos ajudarão a obter os valores destas funções trigonométricas,
que serão estendidas para o plano complexo.

Define-se e escritas na forma:
Pode-se verificar com auxílio das definições acima, que [2]:
 e estão definidas em todo o plano complexo Z

92

 Propriedades familiares para essas funções, no domínio dos
números reais, permanecem inalteradas:

a) é uma função par
b) é uma função ímpar
c)
d)
e)
f) é periódica com período
g) é periódica com período

Vamos obter agora os valores de e , onde é um
número complexo qualquer do plano Z.

Como calcular e ?
De acordo com as propriedades (d) e ( e)acima teremos:

Precisamos obter e :

Sabemos que

Substituindo e lembrando que obtemos:

Como:

Escrevemos:

Da mesma forma, temos:

Substituindo novamente , obtemos:

93

Multiplicando o numerador e o denominador por – , chegamos ao seguinte
resultado:

Como

Concluímos que:

Portanto, concluímos que os valores de e são os
números complexos:

Observação:
As funções

e

estão relacionadas entre si pela relação fundamental:

Demonstração:

Atenção! Importante!
Diferentemente do que ocorre com as funções reais correspondentes, nas
quais e , as funções e não
são funções limitadas.

O quadrado do módulo de é:

94

Substituindo , obtemos:

Colocando em evidência:

Logo,

Utilizando um procedimento semelhante, obtemos também que:

Como

, concluímos que as
funções e podem assumir qualquer valor no plano W,
como veremos no exemplo a seguir.

Exemplo 14:
Determine o valor da função trigonométrica indicada:
a)

b)

c) Obter sendo

95

d) Obter para

4.5 – A função logarítmica

Seja um número complexo qualquer do plano Z, escrito na forma
exponencial:

Onde

A função logarítmica no plano W é definida como:

Logo:
, com

 é o valor usual da função de variável real , uma vez
que temos .

 assume valores no intervalo – .
Observação:

96

Vimos na seção 3 do capítulo II, que podemos também localizar o número
adicionando ao ângulo , um número inteiro de voltas completas, expressas
como , onde ,etc.
Desta forma, teremos a forma exponencial de escrita como:

A função logarítmica torna-se:

Desta forma, com mais de um argumento para um número complexo ,
teremos também mais de um valor de para o mesmo número , se
utilizarmos diferentes valores de .

Entretanto, a definição de função exige que cada valor de deve ser associado
a um único valor de , através da operação definida na função logarítmica.

Para contornar esse impasse, a análise complexa “desmembra” a função
logarítmica em ramos definidos para cada valor de e, consequentemente,
para cada valor do argumento de , correspondente.

E ainda, cada ramo da função logarítmica é uma função que contém em seu
domínio um intervalo de valores do argumento, com extensão de radianos.

Desta forma, a função correspondente a um ramo conduz cada número do
seu domínio a um único valor de .

Ramo principal de
O ramo principal de corresponde ao valor de

 A função correspondente é
 (valor principal)
 O respectivo domínio é e – .

Outros ramos de
Os outros ramos da função correspondem aos demais valores de

 A função correspondente é

 O respectivo domínio é e

97

Exemplo 15:
a) Ramo de para
A função é

Domínio: e

b) Ramo de para
A função é

Domínio: e

Exemplo 16:
Calcule o valor principal da função logarítmica indicada.
a)

Inicialmente, devemos obter a forma exponencial de

Temos então:

Logo:

b)

Escrevendo na forma exponencial:

Lembre-se que o ângulo fornecido pela calculadora com valor de
não localiza , porque este número se situa no 2º
quadrante do plano Z.

Obtemos , portanto:

c)
Temos:

98

A forma exponencial de é .
Logo:

Observe que, no plano Z, podemos obter o logaritmo de números reais
negativos!

d)

Escrevemos e obtemos:

Exemplo 17:
Determine de forma que

Tomando o logaritmo natural de ambos os lados da equação, obtemos:

A forma exponencial de é .
Portanto,
99

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. BROWN, James. W.; CHURCHILL, Ruel V. Variáveis complexas
e aplicações. 9. ed. Porto Alegre: AMGH Editora Ltda., 2015.

2. ÁVILA, Geraldo S. S.. Variáveis complexas e aplicações. Rio de
Janeiro: LTC Editora, c1990.

3. CHURCHILL, Ruel V. Variáveis complexas e suas aplicações.
São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, c1975.

4. SPIEGEL, Murray R. Variáveis complexas: com uma introdução
as transformações conformes e suas aplicações : resumo da
teoria, 379 problemas resolvidos, 973 problemas. . São Paulo:
McGraw-Hill do Brasil, 1973.

100

INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES DE VARIÁVEL COMPLEXA - SÍNTESE

1) Distância entre dois pontos

2) Disco de raio e centro :

3) Plano Z e plano W

4) Função polinomial

, com
5) Função racional algébrica

6) Função exponencial

7) Fórmulas de Euler

8) Funções trigonométricas

101

e

Função logarítmica

Ramo principal de :

Outros ramos de :

102

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Descreva e represente graficamente os conjuntos de pontos indicados
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

Identifique o lugar geométrico do plano Z determinado pela sentença indicada.
Determine também a forma dos números complexos , que pertencem
ao respectivo conjunto. (Se necessário, retorne ao exemplo 6)

10)

11)

12)

13)

Dadas as funções abaixo, determine e

14)

15)

16)

17) (Utilize a forma exponencial de e a fórmula de Euler)

103

18)

(Utilize a forma exponencial de e a fórmula de Euler)

Considere a transformação nos exercícios 19, 20, 21, 22 e 23.
19) Determine para . Represente e .

20) Determine para
(use a forma exponencial de i)
Represente e .

21) Determine e represente o conjunto dos pontos do plano Z que foram
transformados na reta do plano W.

22) Considere o conjunto de pontos da reta do plano Z.
Substituindo em , determine e represente o conjunto
de pontos obtido no plano W.

23) Observando seus resultados e representações nos exercícios 19 a
22, qual foi a operação geométrica que a transformação
realizou sobre um ponto ou sobre um conjunto de pontos do plano
Z?

Considere a transformação nos exercícios 24 e 25.

24) Determine e represente o conjunto de pontos do plano Z que foram
transformados na reta do plano W.

25) Determine e represente o conjunto de pontos do plano Z que foram
transformados na reta do plano W.

Considere a transformação nos exercícios 26 e 27.

26) Determine e represente o conjunto de pontos do plano Z que foram
transformados na reta do plano W.

27) Determine e represente o conjunto de pontos do plano Z que foram
transformados na reta do plano W.

28) Considere a transformação .
Determine e represente o conjunto dos pontos do plano Z que foram
transformados: a) Na reta ; b) Na reta .

29) Considere a transformação .

104

Determine e represente o conjunto dos pontos do plano Z que foram
transformados: a) Na reta ; b) Na reta .

Determine os valores indicados da função exponencial nos exercícios 30
a 33.

30)

31)

32)

33)

Determine os valores das funções trigonométricas indicadas nos
exercícios 34 a 37.

34)

35)

36)

37)

38) Sabendo que

e

Verifique a relação fundamental da trigonometria:

Determine os valores indicados da função logarítmica nos exercícios 39
e 40.

39)

40)
Determine o valor de nas equações dos exercícios 41 e 42.
41)

105

42)

RESPOSTAS

1) Anel com centro em e raio entre

2) Faixa vertical situada entre

3) Faixa horizontal situada entre

4) Área retangular situada entre as retas e

5) Setor situado no intervalo

6) Circunferência com centro em e raio

7) Parábola

8) Mediatriz do segmento entre os pontos e

9) Quadrantes situados entre

ou

10) Reta , com

11) Reta

, com

12) Hipérbole

, com

13) Reta , com

14)

15)

106

16)

17)

18)

19) , no plano W.

20)
, no plano W.

21) Reta vertical , no plano Z.

22) Reta vertical , no plano W.

23) Rotação no sentido anti-horário de

24) , no plano Z.

25) , no plano Z.

26) , no plano Z.

27) , no plano Z.

28) Circunferências concêntricas no plano Z, com centro em (0,0) e:
a) raio igual a 1; b) raio igual a 3.
E ainda, esta é uma função de variável complexa com valores reais, pois
temos

29) a) Circunferência com centro em (2,0) e raio 3, no plano Z.
b) Reta , no plano Z.

30)

31)

32)

107

33)

34)

35)

36)

37)

38) ------

39)