Problemas Cap 39

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X 
que os quatro estados cujos números quânticos aparecem na Tabela 39-3 formam uma 
e.amada com simetria esférica, especificada pelo número quântico n. A importância 
das camadas e subcamadas se tornará evidente no Capítulo 40, quando discutirmos 
os átomos co1n mais de um elétron. 
Para completar nossa imagem do átomo de hidrogênio, mostramos na Fig. 39-24 
um gráfico de pontos da densidade de probabilidade radial para um estado do átomo 
de hidrogênio com um número quântico relativamente grande (11 = 45) e o maior 
número quântico orbital possível, de acordo com as restrições da Tabela 39-2 (À = 
n - 1 = 44). A densidade de probabilidade forma um anel simétrico em relação ao 
eixo z. que está muito próximo do plano xy. O raio médio do anel é n2a, onde a é o 
raio de Bohr. Esse raio médio é mais de 2000 vezes maior que o raio efetivo do áto-
mo de hidrogênio no estado fundamental. 
O gráfico da Fig. 39-24 lembra a órbita dos elétrons na física clássica e a órbita 
dos planetas em torno do Sol. Temos aqui mais uma ilustração do princípio de cor-
respondência de Bohr, segundo o qual os resultados da mecânica quântica tendem 
para os resultados na mecânica clássica quando os números quânticos tendem a in-
finito. Imagine como seria um gráfico de pontos como o da Fig. 39-24 para valores 
realmente elevados de n e À, como, por exemplo, n = 1000 e À = 999. 
·11 REVISÃO E RESUMO 
MAIS ONDAS OE MATÉRIA 231 
Figura 39-24 Grúfico de ponto~ 
da densidade de probabilidade radial 
P(r) para o átomo de hidrogênio em 
um estado com um número quântico 
principal (n = 45) e número quântico 
de momento angular (À = n - l == 
44) relativamente grandes. Ü!-. ponto.;, 
fonnam um anel, próximo do plano xy • 
que se parece com uma órbita eletrônica 
clássica. 
O Princípio de Confinamento O princípio de confinamento 
se aplica a ondas de todos os tipos, como as ondas em uma corda, 
as ondas do mar, as ondas luminosas e as ondas de matéria da físi-
ca q • . 
ilE = E,tL, - Ei, "'ª' (.39-5 l 
uantica. De acordo com esse princípio, o confinamento de un1a 
onda leva à quantização, ou seja, à existência de estados discretos 
com energias discretas. Estados intennediários com valores inter-
mediários de energia não são possíveis. 
Um Elétron em um Poço de Potencial Infinito Um elétron 
llO<le ser confinado em um poço de potencial infinito. De acordo 
com o pri , . . 
elé ncip10 de confinamento, a onda de matéria associada a um 
poçtron confinado pode ter apenas estados discretos. No caso de um 
es O de potencial infinito unidimensional, as energias associadas a 
ses estados • . -quantrcos sao dadas por 
( Jt2 ) En == n2 8mL2 ' para 11 = 1, 2, 3, ...• 
(39-4) 
onde L é 1 , A • 
co Q ª argura do poço de potencial e 11 é um numero quant1-
. uand Vatia ã O um elétron passa de um estado para outro, sofre uma 
ç O de energia dada por 
onde E>Ju é a energia do estado de maior energia e E b>,.u ê a energia 
do estado de menor energia. Quando a mudança ocorre por ab,or'-5º 
ou emissão de um f óton, a energia do fóton deve ,er 
hf = .lC = E ,11:, - E t,..uu · 
As funções de onda associadas aos c~t.1do, llUàntico, ,Jo 
( 
117T ) 
t/ln(.t) = 11 scn l~ .\ . para 11 = 1, :!, ~ . . . . (~9-10) 
A probabilidade de que um elétron ,cja dcte\. t.1J\) no inh.:r. ,110 entre 
.\ e t + ,Lt é «J,;(x)cl,. on<lc l/lz(.\) e a densidndc de prob;1bilidade d,, 
estado cm que se encontra o elétron No \.,1,0 de u111 elétl"l.'ll ~·n1 uni 
poço infinito, as dcn:,,idaJc, de prob,1b1liJaJc ,;'i\1 J.,Ja.-. rx1r 
' ' ·("1T ) 1/Jn(.,} = , \ scn /. \ . p.1r.111 1 "I ~ .... '· . 
Pura valore, clc\,1do, do 1111n1cr\" llt1.1n111:,1 " · o cl1.:líl'll l1.nd a 
se comportar co1no un1a p,1rt1c:ul.1 cl.1,,1'"·' v,::npando h)dc, ~, fl<'ll 
to~ do poço con, igual prob.1b1hJ,1Jc E.,,e c1.."'1nrx,nu1ncn1o , 11 di: 
l 1 
1 
1 
1 
1 1 
1 
1 
1 
1 1 
1 
1 
11 
1 
1 
232 CAPÍTULO 39 
acordo com o princípio de correspondência. segundo o qual os 
resultados da mecânica quântica tendem para os resuhados na me-
cânica clá:,,sica quando os números quânticos tendem a infinito. 
Normalização e Energia de Ponto Zero A arnplitudeA1 na Eq. 
39-I 2 pode ,er determinada a partir da equação de normalização, 
J_: ,j,~(x) dx = I. (39-14) 
segundo a qual o elétron deve ser encontrado em algu,n ponto do 
interior do poço. já que probabilidade 1 significa certeza. 
De acordo com a Eq 39-1-, a n1enor energia permitida para o 
elétron não é zero e sim a energia correspondente a" = 1. Essa ener-
gia n1ínima é chamada de energia de ponto zero do sistema. 
Um Elétron em um Poço de Potencial Finito Em um poço de 
potencial finito. e:\i<;tc uma dif crença de potencial finita, U0, entre a 
energia potencial do lado de fora do poço e a energia potencial no inte-
rior. A função c.lc onda de um elétron confinado em u1n poço desse tipo 
é diferente de zero em pontos fora do poço; isso significa que existe 
uma pn1babilidade finita de que o elétron consiga escapar do poço. 
Armadilhas Eletrônicas Bidime nsionais e Tridimensio-
nais 1\, energia:-. quantizadas de um elétron confinado em um 
poço de potencial infinito bidimensional de forma retangular e di-
mensõe<. L, e L. <;ão dadas por 
/ 
.. ( . ') ,- n· n· 
Eru '" = 8,11 Li + L~ ' (39-20) 
onde 11, é o nú,nero quântico associado ao eixo te II é o número quãn-
th.:o associado ao eixo) . Analogamente, as energias de um elétron con-
fin.1do en1 u,n poço de potencial infinito tridimensional na forma de um 
paralclep1pcdo retângulo de dimensões L,,. L. e L são dadas por 
h2 ( n; n; "? ) 
E 1 "' - = ,:, Ll + L: T L2 • 0111 ~ • (39-21) 
onde 11. é un, 1erceiro número quântico associado ao eixo ::. 
O Átomo de Hidrogê nio Tanto o n1odelo (incorreto) de Bohr 
parJ o Jtomo de h1drogênio como a aphcação (correta) da equação 
de Schrõdinger ao mesmo áton10 mostram que os OÍ\'eis de energia 
quantizado~ do átomo de hidrogênio são dados por 
• 
paran = 1,2,3 .... 
(39-32, 39.33) 
De acordo com as 1:4s. 39-32 ~ 39-33, se o átomo. sofre uma trans,. 
Ção entre dois níve1s de energia causada pela emissão ou abso • 
. rçao de um f óton de luz, o compnmento de onda da luz é dado Por 
.]_ = n( 1 - ; ) 
À llfu1xo flaho ' (39-36) 
onde 
R= = 1,097 373 X 107 m- 1 (39-37) 
é a constante de Rydberg. 
A densidade de probabilidade radial P(r) para um estado do 
átomo de hidrogênio é definida de tal forma que P(r)dr é a proba-
bilidade de que o elétron seja detectado na região entre duas cascas 
concêntricas cujos raios são r e r + dr. No caso do estado funda-
mental do átomo de hidrogênio, 
4 
P(r) = 3 ,2e-2,'". 
a (39-44) 
onde a, o raio de Bohr, é uma unidade de comprimento cujo valor 
é 52,92 pm. A Fig. 39-19 mostra o gráfico de P(r) em função de, 
para o estado fundamental. 
As Figs. 39-21 e 39-23 mostram a densidade de probabili-
dade (e não a densidade de probabilidade radial) para os quatro 
estados do átomo de hidrogênio com n = 2. O gráfico da Fig. 
39-21 (11 = 2, ,\ = O, ,,,Ã = O) tem simetria esférica. Os gráficos 
da Fig. 39-23 (11 = 2, ,\ = 1, ,,,,. = O, + l, -1) são simétricos em 
relação ao eixo ::. mas, quando combinados, também
apresentam 
simetria esférica. 
Os quatro estados com 11 = 2 têm a mesma energia e podem 
ser imaginados como f onnando uma camada, a camada 11 = 2. Os 
três estados da Fig. 39-23 têm o mesmo valor de ,\ e podem ser 
imaginados como formando uma subcamada, a subcamada ,1 = 
2, >.. = 1. Não é possível distinguir experimentalmente os quatro 
estados da camada " = 2 a menos que o átomo de hidrogênio sejJ 
submetido a um campo elétrico ou magnético externo que es1abc!-
leça um eixo de simetria. 
PERGUNTAS 
1 Três elétron~ ~ão aprisionado::. em três diferentes poços de po-
tencial infinito unidimensionais de largura (a) 50 pm: (b) :?00 pm: 
(cl 100 pm. Coloque os eletron::, na ordem das energias dos estados 
funcL.unentai:-. comC1;ando pela maior. 
2 A energia de um próton confinado en1 um poço de potencial infi-
nito unidimensional no estado fundamental é maior. n1enor ou igual 
à de um elétron confinado no me::.mo poço de potencial? 
3 Um elétron confinado em um poço de potencial infmito unidi-
mensional :e encontra no estado 11 = 17. Quanto· pontos (a) de 
probabilidade zero e t b) de probabilid!ide má."tima possui a onda 
de matéria do eletron'? 
4 A Fig 3Q-.!5 n10. tra três poço~ de potencial infinito::. unidimen-
,ionat'.> Seo1 e:\e.::ucar nenhum cálculo. determine a função de onda 
l!I de um eh.:tron no e,t.'.ldo f undJ.mental de cada poço. 
-
( 
;-" . --------------.1.....-,x 
o 2l 
(a) 
Figura 39-25 Pergunta 4. 
- ·-
, , X 
'-----' 
o U2 
(b) 
-
. 1 
5 Um próton e um eletron estão continados em poços de patencil 
. fi- ·w ,otrJ.111 1n n1tos uru mens1onais iguais; 35 duas n'lrrtculas ~ enlX 
- - r-. . ,t,..l· 
no estado fundamental No Ct!Dtro do J>O'r-O. a Jens1Jade de píl= 
bitidade plr:l o próton é maior. ntenor ou u?ual à densidade Je pf\l-
babilidade pm o elétron., ~ 
d multiplicamos por 2 a largura de um poço de potencial 
6 Q11311 º·dunensiooal, (a) a energia do estado fundamental de 
fí,,.;10 uni l . 1· d 4 2 ,n 11~ confinado é mu llp 1ca a por , , 1/2. 1/4 ou outro 
elétrOD . d ~ ro? (b) As ener~1as dos outros esta os do elétron são mul-
núJJ_1e das por esse numero ou por algum outro, que depende do 
tiphC3 . ? 
. ro quânuco . 
nume d'lh 'd a1· d d · 
1 ·tor quisesse usar a arma I a 1 e 1za a a F1g. 39-1 para 1 Se O e~ro pósitron, teria que mudar (a) a geometria da armadilha; 
c.ipturJl'tencial elétrico do cilindro do meio; (e) os potenciais elé-
(b) 0 pOd s cilindros das extremidades? (O pósitron é uma partícula 
tricOS O 
a Positiva com a mesma massa que o elétron.) de carg 
Um elétron está confinado em um poço de potencial finito sufi-
8. mente profundo para que o elétron ocupe um estado com n = 
e1e~teantos pontos (a) de probabilidade zero; (b) de probabilidade 
~~~ma possui a onda de matéria associada ao elétron? 
9 
Um elétron que está confinado em um poço de potencial infinito 
'dimensional de largura L é excitado do estado fundamental para 
uru cimeiro estado excitado. Essa excitação aumenta, diminui ou não 
~~ nenhum efeito sobre a probabilidade de detectar o elétron em 
uma pequena região (a) no centro do poço; (b) perto de uma das 
bonlas do poço? 
10 Um elétron, confinado em um poço de potencial finito como o 
dafíg. 39-7, se encontra no estado de menor energia possível. (a) O 
comprimento de onda de de Broglie; (b) o módulo do momento; (c) 
a energia seria maior, menor ou igual se o poço de potencial fosse 
infinito, como o da Fig. 39-2? 
11 Sem fazer nenhum cálculo, coloque os estados quânticos do 
elétron representados na Fig. 39-8 na ordem dos comprimentos de 
onda de de Broglie correspondentes, começando pelo maior. 
12 O leitor está interessado em modificar o poço de potencial finito 
cujo diagrama de níveis de energia aparece na Fig. 39-7 de modo 
a permitir que o elétron confinado possa ocupar mais de quatro es-
tados quânticos. Para isso, é preciso (a) fazer o poço mais largo ou 
mais estreito? (b) Fazer o poço mais profundo ou mais raso? 
13 Um átomo de hidrogênio se encontra no terceiro estado e,cita-
do. Para que estado ( especifique o número quântico n) o átomo teria 
que passar (a) para emitir um fóton com o maior comprimento de 
PARTE 5 
~IS ONDAS OE MATÉRIA 233 
onda po,,ível ; (b) para emitir um fóton com o menor compnmento 
de onda po,sível: (cJ p...i.rn :ibson cr um fóton com o m:uor con1pn-
mento de onda po,<;ívef? 
14 A Fig. 39-26 mo,tra o, pnmeiros ní,e1 ue energ1:1 tem elétron,-
volts) para cinco situações em que o elctron estA confin:ido em um 
poço de potencial infinito un1dimcn ... 1onal. Nos poços B, C. D e E. o 
elétron se encontra no estado fundamental . O elétron do poço \ i.: t::i 
no quarto estado excitado (25 e V). O elétron pode volwr ao e tado 
fundamental emitindo um ou mais f ótons. Que energia: ue e1111ssãn 
associadas a este processo de decaimento coincidem com energias Jc 
absorçcio (a partir do estado fundamental) do ... outro, quatro elétron ) 
Especifique os números quânticos corre.~pondente . 
()-_, 
25 
-
20 
> 19 4J 
- -16 16 C'3 
-~ 12 
u 
e 
w - 9 8 
• 
4 1 
:, 
3 
-1 -2 
1 B e D E 
Figura 39-26 Pergunta 14. 
15 A tabela mostra os números quântico, de cinco estado do to-
mo de h.idrogên10. Quais de.s'-e~ e.,tados não ,ão po ,1,e1 " 
Tabela 39-4 
n I ni 
(a) ' o 
' 
(b) 2 - 1 ' 
{e) • ' ... ~ - .. 
(J' -; o 
") - -
_, 
.., 
• 
-
PROBLEMAS 
t · -.. O numero de pontos mica o grau de o~ do problem.i 1 : ~ 1 __ ,_,._, ""-' ''f.l.~~ ln' ;: ..... ,:'.!~ """CS. I n,_ ''......,.,.. ad '0003'5 d,spc)(ll' 'e\$ em O e,.. ,::0 \ \:\JOO' C,) Rs. CJ °" ~ 1 •' 'I '-" """ '"" 'V 
•5 Qull , s:r ~J • um """':'C' 
men., :!l p:ir3. .... eteamo 
• 
• 
•• 
1 
234 CAPITULO 39 
uma única , ez; .\ .. = SO, 78 nm, A,. = 33.66 nm. Ac = 19.23 nm. A., = 
12..62 nm e.\, = 8.98 nm. Qual é a largura do poço de potenciaJ? 
~ À..;1 ). 4 À.,; 
il~-,11•~· •----•~~~l~•---1...~----J"--~~•~~.1..-~~•.-- À.(nm) 
11 
Figura 39-27 Problema S. 
••9 Urn elétron confinado ent un1 poço de potencial infinito un1di-
men,1onal com 250 pnt de largura é tran~ferido do primeiro estado 
e~citado par..i o terceiro e,tado e:\citado. (..1) Que energia de,e ser 
lomecida ao elétron para que execute es,e s..ilto quântico·) Se o elé-
tron em ,eguida decai plr.l o e,tado fundamental emitindo fótons. o 
que pode ocorrer de vária.., forma~. determine lb) o n,enor compri-
ntento de onJa. te) o egundo menor, (d) o maior e (e) o 1,egundo 
n,a.ior comprimento de onda que pode .-;er emitido. lO J\fostre as 
várias fom1as po 1, CI', de decaimento em um diagrama de níveis 
de energia. e un1 f oton com um comprimento Je onda de 29,4 nm 
é emitido. dett.:nrune (g) o maior comprimento de onda e (h) o me-
nor con1prin1ento de onda que pode ,er emitido em ~eguida. 
• • 1 O Unt eJi.:tron está confinado en1 un, poço de !X)tencial infinito 
un1d.11nen 1onal. Detemune o valor (a) do número quântico maior e 
(b) do numero quântico menor p.:u-..i que a diferença de energia entre 
o ~-uido eJa 1guaJ 3 três, ezes ..i diferença de energia :lE~3 entre os 
01, c1<. 11 = 4 e 11 = 3 (e) 1ostre que não e:\i te nenhum par de ní\'eis 
de .:nerg1a v1Z1nho-. com UJllj diferença de energi:i igual a 2,;lE~ 
••11 Uni elétron e\lá confinado em um poço de potencial infinito 
un1d11nen:.1onal Determine o ,"3..lor (o.) do numero quântico maior 
e (h) do numero qu;mnco menor para <.JUe a diferença de energi:i 
.:ntrc º" e tado seJa igual à energia do ní, el n = 5. {cl 110:.tre que 
não ex,,te un1 par de n1,e1, ,izinbo, rom uma diferenç:i de energia 
igual à energia do n1, el n = 6. 
• •12 L1m elétron e tá oonfinado em um poço de potencial infinito 
un1d1men ional de 2~-0 pm de J~gur.i e e encontra no estado fun-
damental. D .. tenn1ne (a) o maior. (b) o segundo maior. (c) o terceiro 
maior con1pnn1ento de ond~ que pode ,er ab,on ido pelo elétron.
Seção 39-4 Funções de Onda de um Elétron Aprisionado 
• • 13 L n1 ()O\"'O 1nfinno unid1mens1onal de 200 pm de l~ura contém 
uni elétron no t.:-rce1ru ~tado cxc1t.ado. Ltm detector de elétron~ com 
2.00 pn1 de lar,;ura é 1n!-talru:lo com o centro e,n un1 !X)nto de má.\i-
1na Jcn-idD.dc de prob.:1bilidade. (a) Qual é a probabilidade de que o 
cJ(;tron seja Jc1cctaclo11h) ,.\ cada 1000 ,eze, que realizanno~ essa 
~\perii:nc1a. quantas ,-cze • en1 n1édia, o elétron ,er.i detectado? 
••14 Ll1n eli.:lron ,e enconu-..1 en1 um certo estado de ener2ia de 
~ 
uni poço infinuo un1<l11ncn~ional que ,e e,tende de x = O até .T = 
L = 200 prn .• i.\ den,idade de prob..ibilidade Jo clétron é zero em.t" = 
ú.300L e t = 0.-H)Ol e não é zero para nenhum , alor intermediário 
de x. O cli:tron ,alta para o ni, el de energia imediatamente inferior. 
emitindo un1 fõton. QuJ.1 é a , :uiação de energia do elétron? 
••15 Um elétron e,tá confinado cm un1 poço de potencial infinito 
unidimensional com 100 pm de largura; o elétron ,e encontra no 
e-.tado fundamental. Qual é ..i probabilidade Je que o elétron seja 
detectado em uma região Je 1.ugura :l.t = 5.0 pm no entorno do 
ponh> ta) x = 25 pn1; (b) x = 50 pn1: (e) t = 90 pm'> (S11ge.s1cio: a 
largura :l.\ da região é tão pequena que a densidade de probabilida-
de pode ser considerada constante no interior da região.) 
• • 16 Urna partícula é confinada en1 um p~o de potencial infinito 
unidimen,ional como o da Fig. 39-2 Se a partícula se encontra no 
estado fundamental. qual é a probabilid~de de que seja detectada 
(a) entre x = o e t" = 0.25L; (b) entre .T - 0,75L ex == L; (e) entre 
t = 0.25Le.t = 0.75 L? 
seção 39-5 Um Elétron em um Poço Finito 
• 17 Um elétron no est:ido n = 2 do poço de potencial finito da Fi 
39-7 abson e uma energia de 400 e V de uma fonte externa. Use g. 
diagrama de níveis de energia da Fig. 39-9 para detenninar a ene: 
gia cinética do elétron a~: a absorção, supondo que o elétron seja 
transferido para uma pos1çao na qual x > L. 
• 18 A Fig. 39-9 mostra os níveis de energia de um elétron confina. 
do em um poço de potencial finito com 450 e V de profundidade. Se 
o elétron se encontra no estado n = 3, qual é sua energia cinética? 
• • 19 A Fig. 39-28a mostra o diagrama de níveis de energia de um 
poço de potencial unidimensional finito que contém um elétron. A 
região não quantizada começa em E~ = 450,0 eV. A Fig. 39-28b 
mostra o espectro de absorção do elétron quando se encontra no 
estado fundamental . O elétron pode absorver fótons com os com-
primentos de onda indicados: >.. ,, = 14,588 nm, ,\b = 4,8437 nm e 
qualquer comprimento de onda menor que >..e = 2,9108 nm. Qual é 
a energia do primeiro estado excitado? 
-.. 
·-t:C 
... 
:, 
-
-:.:; 
---Não quantizada 
---E. 
-
0'------
(a) 
Figura 39-28 Problema 19. 
1 
• • 
(b) 
• •20 A Fig. 39-29a mostra um tubo fino no qual foi mont:ido um 
poço de potencial finito, com l':? = O V. Um elétron se move para 
a direita no interior do poço, em uma região onde a tensão é V, = 
-9,00 V. com uma energia cinética de 2,00 eV. Quando o elétron 
penetra no poço, pode ficar confinado se perder energia suficiente 
en1itindo um fóton. Os níveis de energia do elétron no interior do 
poço são E, = 1.0 eV, E., = 2.0 eV e E, = 4.0 eV e a região não 
quantizada começa em i = 9,0 eV. co~o mostra o diagrama de 
ní,eis de energia da Fig. 39-29b. Qual é a menor energia (em e\') 
que o f óton pode possuir? 
Tubo 
'í ,; ' í 
(a) 
Figura 39-29 Problema 20. 
o: 
·5c 
... 
:., 
--ta., 
o 
~ 
~ 
Si 
E, 
(b) 
'a) finitO 
••2~ (a} Mostre que para a região x > L do poço de potenct ... 
11
• 
da Fig. 39-7, 1/J(x) == Deu... é uma solução da equação de Scbrôdi 
'f 
. . ensional, onde D é uma constante e k é um número real 
un1dilll - I - t · · ger .. , . (b) Por que razao as~ uçao ma em~ttcamente aceitável do 
p051U'º -
0 
é considerada fisicamente admissível? 
1telll ( a} 0ª 
9 1 
11_...adilhas Eletrônicas Bidimensionais e 
..ao3 - "''" SC't"' • 
ridirnensionaas 1 U eléuon é confinado no curral retangular da Fig. 39-13, cujas 
•22 1:.,., sa-0 L = 800 pm e L1 = 1600 pm. Qual é a energia do diJDCDS"""' X 
·1.3do fundamental do elétron? 
~ Um eléUOD é confinado na caixa retangular da Fig. 39-14, cujas 
!ensõeS são Li = 800 pm. L, = 1600 pm e Lz = 390 pm. Qual é 
~a do estado fundamental do elétron? 
3coer= 
,,24 A fig. 39-30 mostra um poço de potencial bidimensional Ulfinito situado no plano X)' que contém um el~tron. Quando u~ 
detector é deslocado ao lo~~o da reta x = Lj~, sao o~servados tre~ 
otos nos quais a probabibdade de que o eletron seJa detectado e 
:.'Ullla. Quando o mesmo detector é deslocado ao longo da reta 
1
. = 1.,n. são observados cinco pontos nos quais a probabilidade 
de que o elétron seja detectado é máxima. A distância entre esses 
pantos é 3.00 oro. Qual é a energia do elétron? 
Figura 39-30 Problema 24. 
) 
1 
1 ,_ ___ ; _____ r.., 
• 
--...... ----x 
••25 O curral bidimensional infinito da Fig. 39-31 tem a forma de 
um quadrado de lado L = 150 nm. Um detector quadrado. com 5.00 
de !:ido e lados paralelos aos eL"<os x e y, é instalado com o centro 
no ponto (0,200L; 0,800L). Qual é a probabilidade de que seja de-
le\.iado um elétron que está no estado de energia E1.3? 
J 
Figura 39-31 Problema 25. 
• '-Detector 
' '
26 Um curral retangular de dimensões L = L e L, = 2L contém 
um elétron. Determine. em múltiplos de 1,iÍ8mL~. onde m é a mas-
sa do elétron, (a) a energia do estado fundamental do elétron; (b) 
a cneroia do · . · d · · estad º' pnmetro estado excitado: (c) a energia os pnme1ros 
d 
os degenerados; (d) a diferença entre as energias do segundo 
e oterc · euo estados excitados. 
' '27 
retan Um elé~n (cuja massa é ,11) está confinado em um~~ 
d, gular de dunensões L = L e L, = 2L. (a) Quantas frequenc1as li~Qt X . 
si • es O elétron é capaz de emitir ou absorver ao sofrer uma tran-
Çáo entre d · • . . · ., 
Qu 01s ruve1s que estão entre os cinco de menor energia· e rn ·1 · rn u llplo de h2/8mL2 corresponde (b) à menor, (c) à segunda 
e~~W)à · · aterc. terceira menor. (e) à maior. (f) à segunda ma1ore (g) 
eua maior frequência? 
··2s · 
um 1 Uma caixa cúbica de dimensões L = L, = L. = L contem e étron ( · ' · f '/8 L' onde"' é CUJa massa é ni). Determine, em múltiplos de r 111 . 
do el. ª massa do elétron (a) a eneroia do estado fundamental 
etr0 . (b • o . . , tenra n, ) a energia do segundo estado e,c1tado; (e) a di,e-
• entr . · _ do~ t) e as energias do segundo e do terceiro estados excita 
· ete · . nnine também quantos estados degenerados po5suem 
MAIS ONDAS DE MATERIA 235 
a energia (d) do primeiro estado excitado; (e> do quinto estado 
excitado. 
••29 Um elétron (cuja massa é ,11) está confinado em uma caixa 
cúbica de dimensões L, = L, = L_. (a) Quantas frequências diferen-
tes o elétron é capaz de emitir ou absorver ao sofrer uma tran,ição 
entre dois níveis que estão entre os cinco de menor energia? Que 
múltiplo de h2/8n,L2 corresponde (b) à menor. (c) à segunda menor, 
(d) à terceira menor, (e) à maior. (0 à segunda maior e (g) à terceira 
maior frequência? 
• ••30 Um elétron se encontra no estado fundamental de um poço 
de potencial bidimensional infinito na forma de um quadrado de 
lado L. Uma sonda quadrada, com uma área de .f()() pm"2. é instalada 
com o centro no ponto x = U8, y = U8. A probabilidade de que o 
elétron seja detectado é 0,0450. Qual é o ~alor de L? 
Seção 39-9 A Equação de Schrõdinger e o 
• Atomo de Hidrogênio 
•31 Qual é a razão entre o menor comprimento de onda da série 
de Balmer e o menor comprimento de onda da série de L )'TTl:lll? 
•32 Um átomo (que não é um átomo de hidrogênio) ab.:one um 
fótoo com um comprimento de onda de 375 nm e emite um f óton 
com um comprimento de onda de 580
nm. Qual é a energia absor-
vida pelo átomo no processo? 
•33 Qual é (a) a energia: (b) o módulo do momento: lc ,:, compri-
mento de onda do fóton emiúdo qU3.0do um álomo de hic1rogêruo sofre 
wna tranSição de um estado com n = 3 para um estado com , = 1 '! 
•34 Calcule a densidade de probabilidade r.idial P r) par:i o ãlomo 
de hidrogênio no estado fundamental a em r = O: (b) em r = a: 
(c) em r = 1a. onde a é o raio de Bohr. 
•35 Para o átomo de hidro2ênio no estado fundamental. calcule (a) 
-
a densidade de probabilidade wlr) e lb) a densid:lde de prob:ibil1-
dade radial P(r) parar= a. onde a é o raio de Bohr. 
•36 (a) Qual é a energia E do elétron do átomo de hidrogêmo cuj::i. 
densidade de probabilidade é representada pelo gráfico de pontos 
da Fig. 39-.'.!l? (b) Qual é a menor energia n~~a p3r.1 remover 
esse elétron do átomo? 
•37 Um nêutron com uma enentia cinética de 6,0 e\ colide com um 
-átomo de hidrogênio estacionário no e. t::i.do fundamental. E.,phque 
por que a colisão deve _ er el.btica.. isto é. por que a energia cineuca 
de,e ser conseí\ada {Sugesrão: mo~tre que o átomo de hidro::éruo 
-
não pode ser e-xcitado pela colisão.) 
•38 Um átomo (que não é um átomo de hiJro2ênio) absOf'\e um 
-fóton com uma frequência de 6 • .:! x l O ~ Hz. Qual e o aumento de 
ene~ia do átomo? 
-
• •39 ~tostre que a Eq. 39-'4. que e:\pre sa a den idade de prob.3-
bilidade radial para o estado fundamental dl") átomo de hidro_ ruo 
-
é normalizada. ou seja. que 
J- Ptr) dr= 1 
••40 Determine (a) o inten alo <lc con1pn1nc-otos J oncb e (b) 0 
inteí\alo de frequl!ncaas da ,.:ne d\; L) man Dctcm11ne (e o inter 
valo de compnmento, de onda e (J) o 1ntcl'\alo d\; frc-qu n"a cb 
serie de Balmer. 
••41 Qual~ a probJ.btlid.tdl! J~ qu\; uni cl..:tron no e t d tund:i-
mentaJ do .1ton10 Jc hiJrogenil~ eJ, cncl,ntra lo n. ~g,uo i::ntre 
dua5 cre-ca, e,ferica_, de r.110, r e r + ~r í ) se r O - e ..lr 
1 
1 
1 
236 CAPÍTULO 39 
0.010a; (b) ser= 1,00a e dr= O.Ola, onde a é o raio de Bohr? 
(Sugestão: ó.ré suficientemente pequeno para que a densidade de 
probabilidade radial seja considerada constante entre r e r + 6r.) 
••42 Um átomo de hidrogênio. inicialmente em repouso no estado 
11 = 4, sofre uma transição para o estado fundamental, emitindo um fó-
ton no processo. Qual é a velocidade de recuo do átomo de hidrogênio? 
(Sugestão: este problema é semelhante às explosões do Capítulo 9.) 
• •43 No estado fundamental do átomo de hidrogênio, o elétron 
possui uma energia total de - 13,6 e V. Qual é (a) a energia cinética; 
(b) a energia potencial do elétron a uma distância do núcleo igual 
ao raio de Bohr? 
••44 Um átomo de hidrogênio em um estado com uma energia de 
ligação (energia necessária para remover um elétron) de 0,85 eV 
sofre uma transição para um estado com uma energia de excitação 
(diferença entre a energia do estado e a energia do estado funda-
mental) de 10,2 eV. (a) Qual é a energia do fóton emitido na transi-
ção? Determine (b) o maior número quântico e (c) o menor número 
quântico da transição responsável pela emissão. 
• •45 As funções de onda dos três estados cujos gráficos de pontos 
aparecem na Fig. 39-23. para os quais n = 2, À = 1 em>. = O, + l 
e -1. são 
t/121o(r, 8) = (1/4Y27T)(a - 312)(rla)e-rl2.o cos 8, 
t/121 1(r, 8) = (l/8V7r)(a-312)(r/a)e-rl2.o(sen8)e• 1<>, 
t/121 1(r, 8) = (1/8'V7r)(a- 312)(rla)e-rl2.o(sen8)e- ;<>, 
onde os índices de 1/J(r,8) indicam os valores dos números quânticos 
n, À e mA e os ângulos O e</> são definidos na Fig. 39-22. Observe 
que a primeira função de onda é real, mas as outras, que envolvem 
o número imaginário i. são complexas. Determine a densidade de 
probabilidade radial P(r) (a) para 1/1210 e (b) para 1/121+1 e 1/121 - 1 (que 
são iguais). (c) Mostre que os valores de P(r) estão de acordo com 
os gráficos de pontos da Fig. 39-23. (d) Some as densidades de pro-
babilidade radial 1/1210, 1/121+1 e tJ,21 _ 1 e mostre que o resultado depende 
apenas de r, ou seja, que a densidade de probabilidade radial total 
tem simetria esférica. 
••46 Calcule a probabilidade de que o elétron de um átomo de 
hidrogênio no estado fundamental seja encontrado na região entre 
duas cascas esféricas de raios a e 2a, onde a é o raio de Bohr. 
• •47 Para que valor do número quântico principal n o raio efetivo 
que aparece em um gráfico de pontos da densidade de probabili-
dade radial do átomo de hidrogênio é igual a 1,0 mm? Suponha 
que o valor de A é o maior possível, n - 1. (Sugestão: veja a Fig. 
39-24.) 
••48 Um fóton com um comprimento de onda de 121,6 nm é emi-
tido por um átomo de hidrogênio. Determine (a) o maior número 
quântico e (b) o menor número quântico da transição responsável 
pela emissão. (c) A que série pertence a transição? 
• •49 Qual é o trabaJho necessário para separar o elétron e o próton 
de um átomo de hidrogênio se o átomo se encontra inicialmente (a) 
no estado fundamental; (b) no estado n = 2? 
••50 Um fóton com um comprimento de onda de 102,6 nm é emi-
tido por um átomo de hidrogênio. Determine (a) o maior número 
quântico e (b) o menor número quântico da transição responsável 
pela emissão. (c) A que série pertence a transição? 
••51 Qual é a probabilidade de que, no estado fundamental do 
átomo de hidrogênio, o elétron seja encontrado a uma distância do 
núcleo maior que o raio de Bohr? 
• 
••52 Um átomo de hidrogênio é excitado do estado fund~ ..... 
. . ... ,,en1a1 para O estado com n = 4. (a) Qual é a energia absorvida pelo á 
mo? Considere as energias dos fótons que podem ~er emitidos;~~ 
átomo ao decair para o estado fundamental de várias fonnas po • 
veis. (b) Quantas energias diferentes são ~ossíveis? Dessas energ~s,. 
determine (c) a maior; (d) a segunda maio~; (e) a terceira maior;~ 
a menor; (g) a segunda menor; (h) a terceira menor. 
• •53 A equação de Schrõdinger para os estados do átomo de hi-
drogênio nos quais o número quântico orbital À é zero é 
_!_~(r2 dtJ,) + 87T2,n [E - U(r)]tj, = O. 
r 2 dr dr h2 
Verifique que a Eq. 39-39, que descreve o estado fundamental do 
átomo de hidrogênio, é uma solução dessa equação. 
•••54 A função de onda do estado qu~ntico do átomo de hidrogê-
nio cujo gráfico de pontos aparece na Fig. 39-21, para o qual 11 = 2 
e À = r,iA = O, é 
onde a é o raio de Bohr e o índice de tJ,(r) corresponde aos valores 
dos números quânticos n, À em,.. (a) Plote tJ,'ior,(r) em função de re 
mostre que o gráfico é compatível com o gráfico de pontos da Fig. 
39-21. (b) Mostre analiticamente que tJ,'ior,(r) passa por um máximo 
em r = 4a. (c) Determine a densidade de probabilidade radial Plf1l(r) 
para esse estado. (d) Mostre que 
L"' P200(r) dr = 1 
e que, portanto, a expressão apresentada para a função de onda tf,Ia, 
(r) está normalizada corretamente. 
•••55 A densidade de probabilidade radial para o estado funda-
mental do átomo de hidrogênio é máxima para r = a, onde a é o 
raio de Bohr. Mostre que o valor niédio de r, definido como 
rroéd = J P(r) r dr, 
é igual a 1,5a. Nessa expressão parar~· cada valor de P(r) recebe 
um peso igual ao valor correspondente de r. Observe que o valor 
médio de ré maior que o valor de r para o qual P(r) é máxima. 
Problemas Adicionais 
56 Seja llE a diferença de energia entre dois níveis vizinhos de ~m 
elétron confinado em um poço de potencial infinito unidimensio-
nal. Seja E a energia de um dos níveis. (a) Mostre que a razão Af)E 
tende para 2/n para grandes valores do número quântico n. Para 
n - <Xl, (b) llE tende a zero? (e) E tende a zero? (d) AEIE tende_ª 
zero? (e) O que significam esses resultados em termos do princípio 
de correspondência? 
57 Um elétron está confinado em um poço de potencial infinito 
unidimensional. Mostre que a diferença A.E entre as energias dos 
níveis quânticos n e n + 2 é (h1/2n1L2)(11 + 1). 
58 Como sugere a Fig. 39-8 a densidade de probabilidade na re·
. ' ·se· g1ão O < x < L do poço de potencial finito da Fig. 39-7 vana D 
noidalmente, de acordo com a equação tJ,2(x) = B sen2 kx, onde e 
é uma constante. (a) Mostre que a função de onda tJ,(x) que ~e 
ser calculada a partir dessa equação é uma solução da equaça 
ro&nger unidimensional. (b) Qual deve ser o valor de k para que 
Sch ção do item (a) seja verdadeira? 
3 3fi[1Jlª . . 
e mo sugere a F1g. 39-8, a densidade de probabilidade na re-59 o ' l fi ' d · 
.. > L do poço de potencia n1to a Fig. 39-7 diminui expo-
g1ao J d - .,.2( 
·atinente, de acor o com a equaçao .,, x) = Ce· v.,, onde e 
nenc1 M fu -constante. (a) ostre que a nçao de onda ,t,(x) que pode 
é UJIIª • d - é 1 -a}culada a partir essa equaçao uma so uçao da equação de 
se~~nger unidimensional. (b) Qual deve ser o valor de k para que 
!~rmação do item (a) seja verdadeira? 
60 
Um elétron é confinado em um tubo estreito evacuado com 
J,O JJ1 de co~pri~e~to; o ~bo se comporta co?1o um poço de po-
tencial infinito un1d1mensional. (a) Qual é. a d!ferença de energia 
ntre O estado fundamental do elétron e o pr1me1ro estado excitado? 
~) Para que número quântico n a diferença entre níveis de energia 
vizinhos é da ordem de 1,0 eV [um valor suficientemente grande 
p3f3 ser medido, ao contrário do valor obtido no item (a)J? Para esse 
PARTE 5 
MAIS ONDAS DE MAT~RIA 237 
' . numero quant1co, (e) calcule a encrg1.1 Intui du elé1rnn em tcm10 
da energia de repou<,o e (d) dctcrm1nc se .1 vcloc1Jadc do ch.:1n1n 
é relativística. 
61 (a) Mostre que º" termo, da C(JU:.S'J',•O de SchrtiJ1ngcr C&t 
39-18) têm a mesma dimen-;ão. (b) Qual é., un1d.idc: Je ses lermos 
no SI? 
62 (a) Qual é o comprimento de onda do íóton de men Jr energ1 
emitido na série de Balmcr do átomo <le h1drogcn10? (h1 Qual e o 
comprimento de onda do hmitc da série'/ 
63 (a) Quantos valores do numero quânuco orbtlal .A .io ()O ,, ei 
para um dado valor do número quântico pnncipal n,:, (b) Qunn10 
valores do número quântico magnetico orbital ,nA .io po si-. e, pat:i 
um dado valor de À? (c) Quanto\ valore de n1A ão po 1,e1 pjr.i 
um dado valor de 11? 
64 Verifique que o valor da con\tante da Eq. 39-32 é 13,6 eV