A que taxa anual de juros compostos devo aplicar um capital de R$ 80.000,00, para obter juros equivalentes à metade desse capital, durante um prazo...

Para calcular a taxa anual de juros compostos, podemos utilizar a fórmula: M = C * (1 + i)^n Onde: M = Montante (capital + juros) C = Capital inicial i = Taxa de juros por período n = Número de períodos Sabemos que os juros equivalentes à metade do capital são R$ 40.000,00 (metade de R$ 80.000,00). Então, podemos calcular a taxa de juros compostos da seguinte forma: M = C * (1 + i)^n 120.000 = 80.000 * (1 + i)^(39/12) 1,5 = (1 + i)^(39/12) log(1,5) = log[(1 + i)^(39/12)] log(1,5) = (39/12) * log(1 + i) log(1 + i) = log(1,5) / (39/12) log(1 + i) = 0,0397 1 + i = 10^(0,0397) 1 + i = 1,0329 i = 1,0329 - 1 i = 0,0329 Portanto, a taxa anual de juros compostos que deve ser aplicada é de aproximadamente 3,29%. Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a esse valor, então a resposta correta não está disponível.

Para resolver essa questão, podemos usar a fórmula dos juros compostos:

[ M = P \times (1 + \frac{r}{100})^n ]

Onde:

• ( M ) é o montante total (capital inicial mais juros);
• ( P ) é o capital inicial;
• ( r ) é a taxa de juros anual em porcentagem; e
• ( n ) é o número de períodos de capitalização (em anos).

Neste caso, temos ( P = R$ 80.000,00 ) e queremos que os juros sejam equivalentes à metade desse capital, ou seja, ( M = R$ 80.000,00 + \frac{1}{2} \times R$ 80.000,00 = R$ 120.000,00 ).

Além disso, o prazo é de 39 meses, que podemos converter para anos dividindo por 12: ( n = \frac{39}{12} ).

Substituindo esses valores na fórmula e resolvendo para ( r ), obtemos:

[ R$ 120.000,00 = R$ 80.000,00 \times (1 + \frac{r}{100})^{\frac{39}{12}} ]

[ \frac{120}{80} = (1 + \frac{r}{100})^{3.25} ]

[ \frac{3}{2} = (1 + \frac{r}{100})^{13} ]

Para facilitar a resolução, podemos usar a propriedade dos logaritmos:

[ \log_{10} (\frac{3}{2}) = \log_{10} (1 + \frac{r}{100})^{13} ]

[ \log_{10} (\frac{3}{2}) = 13 \times \log_{10} (1 + \frac{r}{100}) ]

[ \frac{\log_{10} (\frac{3}{2})}{13} = \log_{10} (1 + \frac{r}{100}) ]

Agora, podemos resolver para ( r ):

[ 10^{\frac{\log_{10} (\frac{3}{2})}{13}} - 1 = \frac{r}{100} ]

[ r = 100 \times (10^{\frac{\log_{10} (\frac{3}{2})}{13}} - 1) ]

Usando uma calculadora, podemos encontrar o valor de ( r ):

[ r \approx 13.29% ]

Portanto, a taxa anual de juros compostos necessária para obter juros equivalentes à metade do capital durante 39 meses é de aproximadamente 13.29% ao ano. A resposta correta do grupo de escolhas é 13.29% ao ano.