Cap7 sistemas digitais

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Teoria e Projeto de Sistemas Lineares
Realizac¸o˜es Mı´nimas
Valter J. S. Leite1
1CEFET-MG / Campus V Divino´polis, MG – Brasil
Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Engenharia Ele´trica
Associac¸a˜o ampla entre CEFET–MG e UFSJ
Teoria e Projeto de Sistemas Lineares
O que nos espera?
1 Realizac¸a˜o m´ınima e Frac¸o˜es co-primas
2 Introduc¸a˜o
3 Implicac¸a˜o de fatores co-primos
4 Realizac¸a˜o m´ınima
Teoria e Projeto de Sistemas Lineares
Introduc¸a˜o
O problema da realizac¸a˜o e´ definido como:
• Uma matriz de transfereˆncia e´ dita realiza´vel se existe um
conjunto de equac¸o˜es de estado finitas ou
[
A b
c d
]
≡
{
x˙(t) = Ax(t) + bu(t)
y(t) = cx(t) + du(t)
(1)
• Neste caso, {A,b, c,d} ≡
[
A b
c d
]
e´ uma realizac¸a˜o de
G(s).
Teoria e Projeto de Sistemas Lineares
Introduc¸a˜o
Importaˆncia do problema de realizac¸a˜o:
• muitos me´todos e algoritmos sa˜o desenvolvidos para
equac¸o˜es na forma de espac¸o de estado;
• se uma func¸a˜o de transfereˆncia e´ realiza´vel, enta˜o pode ser
implementada por meio de amplificadores operacionais.
Quando o sistema e´ realiza´vel , existem infinitas realizac¸o˜es
poss´ıveis. Na˜o necessariamente de mesma dimensa˜o.
Teoria e Projeto de Sistemas Lineares
Introduc¸a˜o
Qual e´ a realizac¸a˜o de menor dimensa˜o ?
O sistema de menor dimensa˜o e´ chamado realizac¸a˜o m´ınima .
Um conceito diretamente associado ao conceito de realizac¸a˜o
m´ınima e´ o conceito de fatores co-primos .
Definic¸a˜o
Dois polinoˆmios sa˜o chamados co-primos se na˜o possuem fatores
em comum.
Teoria e Projeto de Sistemas Lineares
Implicac¸a˜o de fatores co-primos
Considere
gˆ(s) = gˆ(∞) + gˆsp(s)
sendo gˆ(s) uma func¸a˜o de transfereˆncia pro´pria , gˆsp(s) uma
func¸a˜o de transfereˆncia estritamente pro´pria e gˆ(∞) uma
constante .
A seguir, gˆ(s) sera´ considerada estritamente pro´pria. A parcela
gˆ(∞) sera´ comum em todas as realizac¸o˜es e na˜o tera´ importaˆncia
na discussa˜o.
Teoria e Projeto de Sistemas Lineares
Implicac¸a˜o de fatores co-primos
Seja
gˆ(s) =
β1s
3 + β2s
2 + β3s+ β4
s4 + α1s3 + α2s2 + α3s+ α4
.
Considere
yˆ(s) = N(s)D−1(s)uˆ(s).
Defina a varia´vel v(t) como
vˆ(s) = D−1(s)uˆ(s).
Assim, tem-se que
D(s)vˆ(s) = uˆ(s) (2)
yˆ(s) = N(s)vˆ(s). (3)
Teoria e Projeto de Sistemas Lineares
Implicac¸a˜o de fatores co-primos
x(t) =


x1(t)
x2(t)
x3(t)
x4(t)

 =


v(3)(t)
v¨(t)
v˙(t)
v(t)

 ou xˆ(s) =


xˆ1(s)
xˆ2(s)
xˆ3(s)
xˆ4(s)

 =


s3
s2
s
1

 vˆ(s).
(4)
Assim
x˙2 = x1, x˙3 = x2 e x˙4 = x3. (5)
Para deduzir a equac¸a˜o para x˙1 substitui-se (4) em (2), ou seja,
(
s4 + α1s
3 + α2s
2 + α3s+ α4
)
vˆ(s) = uˆ(s).
Conclui-se que
sxˆ1(s) = −α1xˆ1(s)− α2xˆ2(s)− α3xˆ3(s)− α4xˆ4(s) + uˆ(s).
Teoria e Projeto de Sistemas Lineares
Implicac¸a˜o de fatores co-primos
No dom´ınio do tempo
x˙1(t) = [−α1 − α2 − α3 − α4]x(t) + 1.uˆ(s). (6)
Substitu´ındo (4) em (3) tem-se
yˆ(s) =
(
β1s
3 + β2s
2 + β3s+ β4
)
vˆ(s)
= β1xˆ1(s) + β2xˆ2(s) + β3xˆ3(s) + β4xˆ4(s)
= [β1 β2 β3 β4] xˆ(s).
No dom´ınio do tempo
y(t) = [β1 β2 β3 β4]x(t). (7)
Teoria e Projeto de Sistemas Lineares
Implicac¸a˜o de fatores co-primos
Combinando (5), (6) e (7) tem-se
x˙ = Ax+ bu =


−α1 −α2 −α3 −α4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0

x+


1
0
0
0

u
y = cx = [β1 β2 β3 β4]x. (8)
Esta realizac¸a˜o e´ a forma canoˆnica controla´vel .
A seguir sera´ investigada a controlabilidade e observabilidade de
(8).
Teoria e Projeto de Sistemas Lineares
Implicac¸a˜o de fatores co-primos
Avaliac¸a˜o da controlabilidade
A matriz de controlabilidade de (8) sera´
C =


1 (−α1)
(
α1
2 − α2
) (
−α1
3 + 2α1α2 − α3
)
0 1 (−α1)
(
α1
2 − α2
)
0 0 1 −α1
0 0 0 1

 .
O determinante e´ sempre 1, independentemente dos valores αi.
Assim, conclui-se que a equac¸a˜o de estado e´ sempre controla´vel.
Da´ı o nome forma canoˆnica controla´vel .
Teoria e Projeto de Sistemas Lineares
Implicac¸a˜o de fatores co-primos
Avaliac¸a˜o da observabilidade
Teorema 7.1
A forma canoˆnica controla´vel e´ observa´vel se e somente se os
polinoˆmios que compo˜em a func¸a˜o de transfereˆncia N(s) e D(s)
sa˜o co-primos.
Teoria e Projeto de Sistemas Lineares
Implicac¸a˜o de fatores co-primos
Se a forma (8) e´ uma realizac¸a˜o de gˆ(s), enta˜o, por definic¸a˜o,
gˆ(s) = c(sI−A)−1b.
Tomando a transposta tem-se
gˆ′(s) = gˆ(s) =
[
c(sI−A)−1b
]′
= b′(sI−A′)−1c′.
Assim a equac¸a˜o de estado
x˙ = A′x+ c′u =


−α1 1 0 0
−α2 0 1 0
−α3 0 0 1
−α4 0 0 0

x+


β1
β2
β3
β4

u (9)
y = b′x = [1 0 0 0]x
e´ uma realizac¸a˜o na forma canoˆnica observa´vel .
Teoria e Projeto de Sistemas Lineares
Implicac¸a˜o de fatores co-primos
A equac¸a˜o de estado (9) e´ sempre observa´vel.
De maneira similar ao teorema 7.1, pode-se afirmar que a equac¸a˜o
(9) e´ controla´vel se e somente se D(s) e N(s) sa˜o polinoˆmios
co-primos.
Considere a transformac¸a˜o de equivaleˆncia x = Px sendo
P =


0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0

 . (10)
Teoria e Projeto de Sistemas Lineares
Implicac¸a˜o de fatores co-primos
A transformac¸a˜o de similaridade dada pela matriz (10) transforma
(8) em
x˙ =


0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
−α4 −α3 −α2 −α1

x+


0
0
0
1

u (11)
y = [β4 β3 β2 β1]x.
Essas equac¸o˜es tambe´m sa˜o chamadas de forma canoˆnica
controla´vel.
Teoria e Projeto de Sistemas Lineares
Implicac¸a˜o de fatores co-primos
A transformac¸a˜o de similaridade dada pela matriz (10) transforma
(9) em
x˙ =


0 0 0 −α4
1 0 0 −α3
0 1 0 −α2
0 0 1 −α1

x+


β4
β3
β2
β1

u (12)
y = [0 0 0 1]x
Esta e´ uma diferente forma canoˆnica observa´vel.
Teoria e Projeto de Sistemas Lineares
Realizac¸a˜o m´ınima
Seja uma func¸a˜o de transfereˆncia racional pro´pria dada por
gˆ(s) =
N(s)
D(s)
=
N(s)Q(s)
D(s)Q(s)
=
N(s)R(s)Q(s)
D(s)R(s)Q(s)
sendo Q(s) um polinoˆmio qualquer e R(s) o ma´ximo divisor
comum de N(s) e D(s).
O polinoˆmio D(s) e´ chamado polinoˆmio caracter´ıstico de gˆ(s) .
Definic¸a˜o
O grau de gˆ(s) e´ o grau do polinoˆmio caracter´ıstico.
Teoria e Projeto de Sistemas Lineares
Realizac¸a˜o m´ınima
Exemplo:
Considere a func¸a˜o
gˆ(s) =
s2 − 1
4(s3 − 1)
=
(s+ 1)(s − 1)
4(s2 + s+ 1)(s − 1)
=
(s+ 1)
4(s2 + s+ 1)
.
O grau da func¸a˜o e´ 2.
Obs. : Se o numerador e denominador sa˜o co-primos enta˜o o
denominador e´ o polinoˆmio caracter´ıstico e o grau do denominador
e´ o grau da func¸a˜o racional.
Teoria e Projeto de Sistemas Lineares
Realizac¸a˜o m´ınima
Teorema 7.2
A equac¸a˜o de estado (A,B,C,d) e´ uma realizac¸a˜o m´ınima da
func¸a˜o racional pro´pria gˆ(s) se e somente se (A,B) e´ controla´vel e
(A,C) e´ observa´vel, ou, se e somente se
dimensa˜o de A = grau de gˆ(s).
Teorema 7.3
Todas as realizac¸o˜es m´ınimas de gˆ(s) sa˜o equivalentes.
Teoria e Projeto de Sistemas Lineares
Realizac¸a˜o m´ınima
Observac¸o˜es:
• Se a frac¸a˜o e´ co-prima enta˜o toda ra´ız de D(s) e´ um po´lo de
gˆ(s) e vice-versa.
Seja (A,B,C,d) a realizac¸a˜o m´ınima de gˆ(s) = N(s)
D(s) .
N(s)
D(s)
= c(sI −A)−1b+ d =
1
det(sI−A)
c[adj(sI−A)]b+ d.
Se N(s) e D(s) sa˜o co-primos enta˜o
o grau de D(s) = grau de gˆ(s) = dimensa˜o de A.
Assim
D(s) = kdet(sI−A).
k = 1 se D(s) e´ moˆnico.
Teoria e Projeto de Sistemas Lineares
Realizac¸a˜o m´ınima
• Se (A,B,C,d) e´ controla´vel e observa´vel enta˜o
estabilidade assinto´tica⇐⇒ BIBO estabilidade.
Equac¸o˜es
de estado controla´veis e observa´veis e frac¸o˜es co-primas
conte´m essencialmente a mesma informac¸a˜o.
	Realização mínima e Frações co-primas
	Introdução
	Implicação de fatores co-primos
	Realização mínima