Movimento Harmônico em Sistemas Lineares

Prévia do material em texto

Aula expositiva 02 da disciplina GR16035 
– Vibrações. 
Aula 02 
Movimento Harmônico 
Sistemas de equações lineares; movimento harmônico 
Professor: Dr. Eng. Mec. Luis Roberto C. Drehmer 
Área: Vibrações 
RECAPITULANDO... 
Antes de iniciar a aula, é importante relembrar os conceitos e as deduções da 
aula anterior. Logo, pergunta-se 
 
a) O que é GDL? 
b) Consegue identificar a quantidade mínima de GDLs para descrever o 
movimento de um sistema? 
c) Como se faz a associação de molas e/ou amortecedores? 
 
2 Aula 02 - Movimento Harmônico 
RECAPITULANDO... 
Exercício 1. Determine o número de GDL necessários para analisar o sistema 
mecânico composto por uma barra rígida com comprimento L e duas molas k 
da figura, a seguir, e especifique um conjunto de coordenadas generalizadas 
que pode ser usado nesta análise de vibrações. 
 
3 Aula 02 - Movimento Harmônico 
RECAPITULANDO... 
Exercício 2. Dado o sistema da figura abaixo encontre um modelo equivalente 
composto apenas por uma mola fixa ao bloco de massa M. 
4 Aula 02 - Movimento Harmônico 
RECAPITULANDO... 
Exercício 3. Determine a rigidez equivalente do sistema mostrado na figura 
abaixo usando o deslocamento do bloco como uma coordenada generalizada. 
 
5 Aula 02 - Movimento Harmônico 
Dados. Sabe-se que a força aplicada 
na viga é dada por F = kbδ. A rigidez é 
definida como o inverso da deflexão 
com uma carga unitária aplicada tal 
que kb = 3EI/L
3, onde E é o módulo de 
elasticidade, I é o momento de inércia 
e L é o comprimento da viga. 
Dica. A rigidez da viga e da mola 
superior que está presa agem como 
se estivessem em paralelo; ou seja, as 
forças resultam em Fb – Fk1. 
RESUMO DA AULA 
Nesta aula expositiva, desenvolvida e apresentada em slides, resumem-se os 
conceitos pertinentes a 
 
a) Sistemas de equações lineares; 
b) Movimento harmônico. 
 
6 Aula 02 - Movimento Harmônico 
1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
Sistema linear? Afinal, o que é isso? 
7 Aula 02 - Movimento Harmônico 
1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
8 Aula 02 - Movimento Harmônico 
Considerações iniciais 
 
Sistemas de equações lineares são um conjunto finito de equações lineares 
aplicadas num mesmo conjunto, igualmente finito, de variáveis. Por exemplo, 
seja a equação geral de vibrações dada por 
𝑴𝑥 + 𝑪𝑥 + 𝑲𝑥 = 𝑭(𝑡) 
Supondo um sistema de três equações lineares dado por 
𝑚1 0 0
0 𝑚2 0
0 0 𝑚3
𝑥 1
𝑥 2
𝑥 3
+
𝑐1 + 𝑐2 −𝑐2 0
−𝑐2 𝑐2 + 𝑐3 −𝑐3
0 −𝑐3 𝑐3 + 𝑐4
𝑥 1
𝑥 2
𝑥 3
+
𝑘1 + 𝑘2 −𝑘2 0
−𝑘2 𝑘2 + 𝑘3 −𝑘3
0 −𝑘3 𝑘3 + 𝑘4
𝑥1
𝑥2
𝑥3
=
𝐹1
𝐹2
𝐹3
 
1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
9 Aula 02 - Movimento Harmônico 
Substituindo valores do problema abordado nos coeficientes referentes para 
cada elemento nas matrizes, tem-se 
Caracterizando, evidentemente, em um sistema de equações lineares de três 
equações e três incógnitas. Um modelo vibracional do problema seria 
800 0 0
0 1200 0
0 0 1600
𝑥 1
𝑥 2
𝑥 3
+
1200 −800 0
−800 1000 −200
0 −200 800
𝑥 1
𝑥 2
𝑥 3
+
80 000 −60 000 0
−60 000 180 000 −120 000
0 −120 000 240 000
𝑥1
𝑥2
𝑥3
=
6000
18 000
48 000
 
1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
10 Aula 02 - Movimento Harmônico 
A solução para um sistema linear é uma atribuição de números às variáveis 
que satisfaz simultaneamente todas as equações do sistema. Ou seja, essas 
equações devem ser consideradas em conjunto, e não de forma individual. 
 
Em um sistema linear, não há potência diferente de um (ou zero). Também 
não há multiplicação entre as incógnitas, pois são variáveis independentes. 
 
Ressalta-se ainda que os graus de liberdade (GDL) referem-se às coordenadas 
independentes que descrevem o sistema. 
 
Muitas vezes, os coeficientes das equações são números reais ou complexos e 
as soluções são procuradas no mesmo conjunto de números. 
1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
11 Aula 02 - Movimento Harmônico 
Forma Geral 
 
A forma geral de um sistema de equações lineares pode ser rearranjada pelos 
coeficientes e pelas variáveis deste sistema tal que 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛
⋮
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛
=
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑚
 
Assim, o sistema linear atente a relação linear; ou seja, a equação da reta 
𝑦𝑛 = 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 + 𝑏𝑚 
E, por superposição de efeitos, pode-se 
𝑦𝑡 = 𝑦1 + 𝑦2 = 𝑎(𝑥1 + 𝑥2) + 𝑏 
1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
12 Aula 02 - Movimento Harmônico 
Equação Vetorial 
 
O espaço vetorial tem uma base de vetores linearmente independentes que 
garantem exatamente uma expressão ou equação. 
 
O número de vetores nessa base (ou dimensão) não pode ser maior do que m 
ou n, mas pode ser menor. Se existe m vetores independentes, a solução é 
garantida, independentemente do lado direito. 
 
Logo, 
𝑥1
𝑎11
𝑎21
⋮
𝑎𝑚1
+ 𝑥2
𝑎12
𝑎22
⋮
𝑎𝑚2
+⋯+ 𝑥𝑛
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑚𝑛
=
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑚
 
1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
13 Aula 02 - Movimento Harmônico 
Formulação Matricial 
 
Ela parte da forma 
𝑨𝒙 = 𝒃 
Em que pode-se rearranjar os termos tal que 
𝑨 =
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
⋯ 𝑎1𝑛
⋯ 𝑎2𝑛
⋮ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2
⋱ ⋮
⋯ 𝑎𝑚𝑛
, 𝒙 =
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
, 𝒃 =
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑚
 
2 MOVIMENTO HARMÔNICO 
O movimento periódico mais simples. 
14 Aula 02 - Movimento Harmônico 
2 MOVIMENTO HARMÔNICO 
15 Aula 02 - Movimento Harmônico 
Considerações iniciais 
 
Um movimento oscilatório pode repetir-se regularmente (pêndulo simples) 
ou pode apresentar considerável irregularidade (perfil de pista). 
 
Se o movimento for repetido a intervalo de tempos iguais, ele é considerado 
movimento periódico. 
 
E o movimento periódico mais simples (aquele cuja função é a mais simples) 
é o movimento harmônico, reescrito na seguinte forma: 
𝑥 𝑡 = 𝐴 cos (𝜔𝑛𝑡 − 𝜙)
𝑥 𝑡 = 𝐴 sen (𝜔𝑛𝑡 + 𝜙)
 
2 MOVIMENTO HARMÔNICO 
16 Aula 02 - Movimento Harmônico 
Ambas as respostas são possíveis, uma delas na forma de cosseno com uma 
defasagem e, outra, na forma de seno com a adição de um ângulo de fase. 
 
O movimento é simétrico em relação à posição de equilíbrio. 
 
A velocidade é um máximo quando a aceleração é um mínimo na posição de 
equilíbrio (máxima energia cinética). 
 
A aceleração é um máximo quando a velocidade é um mínimo nas posições 
extremas (máxima energia potencial). 
17 Aula 02 - Movimento Harmônico 
Mecanismo de Scotch Yoke 
 
Nesse sistema, uma manivela de raio 
A gira ao redor do centro O; a outra 
extremidade dessa manivela P desliza 
por uma haste entalhada (corrediça). 
 
O deslizamento no entalhe reproduz 
o movimento na guia vertical e, por 
sua vez, imprime pontualmente esse 
movimento periódico na massa m. 
O 
A 
𝜃 = 𝜔𝑡 
𝑥 𝑡 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 
P 
x m 
k 2 MOVIMENTO HARMÔNICO 
2 MOVIMENTO HARMÔNICO 
18 Aula 02 - Movimento Harmônico 
Quando a manivela gira a uma velocidade angular ω, o ponto de contato da 
extremidade do mecanismo desloca-se e, por conseguinte, a massa m do 
sistema massa-mola. 
 
Esse deslocamento em função do tempo é dado por 
𝑥 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ≡ 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 
E esse movimento é senoidal, desenvolvido conforme o movimento do ponto 
de centroide da massa m. A velocidade, portanto, fica 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
≡ 𝑥 = 𝜔 𝐴 cos𝜔𝑡 
2 MOVIMENTO HARMÔNICO 
19 Aula 02 - Movimento Harmônico 
Similarmente, a aceleração é dada por 
Percebe-se que a aceleração é diretamente proporcional ao deslocamento. 
 
Essa vibração, com aceleração proporcional ao deslocamento e dirigida à 
posição média é conhecida como movimento harmônico simples (MHS). 
 
De forma análoga, o movimento cossenoidaltambém consiste de um MHS tal 
que 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
≡ 𝑥 = −𝜔2 𝐴 sen𝜔𝑡 = −𝜔2 𝑥 
𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ≡ 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 
2 MOVIMENTO HARMÔNICO 
20 Aula 02 - Movimento Harmônico 
Relações trigonométricas 
A 
A2 
A1 ϕ 
𝐴2 = 𝐴1
2 + 𝐴2
2
𝐴1 = 𝐴cos𝜙
𝐴2 = 𝐴sen𝜙
 
Relações complexas 
 
Seja um vetor X cujas componentes a e b denotam as componentes x e y dele 
e representam a parte real e imaginária tal que 
𝑿 = 𝑎 + 𝑖 𝑏 ∨ 𝑖 = −1 
2 MOVIMENTO HARMÔNICO 
21 Aula 02 - Movimento Harmônico 
Se A denota o módulo ou valor absoluto do vetor X, e θ representa o ângulo 
ou argumento entre o vetor e o eixo, então 
com 
𝑿 = 𝐴cos 𝜃 + 𝑖 𝐴 sen 𝜃 
𝐴 = 𝑎2 + 𝑏2 𝜃 = tg−1
𝑏
𝑎
 
Parte-se da expansão em séries de cossenos e senos tal que 
cos 𝜃 = 1 −
𝑖 𝜃 2
2!
+
𝑖 𝜃 4
4!
+ ⋯ 𝑖 sen 𝜃 = 𝑖 𝜃 +
(𝑖 𝜃)3
3!
+
(𝑖 𝜃)5
5!
+ ⋯ 
2 MOVIMENTO HARMÔNICO 
22 Aula 02 - Movimento Harmônico 
Pode-se somar e 
Essa igualdade indica que todo o vetor cartesiano pode ser escrito na forma 
de senos e cossenos e, consequentemente, também no plano complexo. 
 
A partir dessas duas equações anteriores, pode-se operar com funções do 
tipo harmônica. 
cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃 = 1 + 𝑖 𝜃 +
𝑖 𝜃 2
2!
+
𝑖 𝜃 3
3!
+ ⋯ = 𝑒𝑖 𝜃 
𝑿 = 𝐴cos𝜃 + 𝑖 𝐴 sen 𝜃 = 𝐴 𝑒𝑖 𝜃 
2 MOVIMENTO HARMÔNICO 
23 Aula 02 - Movimento Harmônico 
Operações com funções harmônicas 
 
Usando a representação complexa, tem-se 
onde ω denota a frequência de excitação em radiano/s do vetor X no sentido 
anti-horário. Diferencia-se para obter a velocidade e a aceleração tal que 
𝑿 = 𝐴 𝑒𝑖 𝜃 
𝑑 𝑿
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
 𝐴 𝑒𝑖 𝜃 = 𝑖 𝜔 𝐴 𝑒𝑖 𝜔𝑡 = 𝑖 𝜔 𝑿 
𝑑2 𝑿
𝑑𝑡2
=
𝑑
𝑑𝑡
 𝑖 𝜔 𝐴 𝑒𝑖 𝜔𝑡 = −𝜔2 𝐴 𝑒𝑖 𝜔𝑡 = −𝜔2 𝑿 
2 MOVIMENTO HARMÔNICO 
24 Aula 02 - Movimento Harmônico 
O deslocamento, a velocidade e a aceleração podem ser expressos como 
 
Para deslocamento em cosseno (parte real Re) 
𝑥 = Re 𝐴 𝑒𝑖 𝜔𝑡 = 𝐴cos𝜔𝑡 
𝑥 = Re 𝑖 𝜔 𝐴 𝑒𝑖 𝜔𝑡 = −𝜔 𝐴 sen𝜔𝑡 
𝑥 = Re −𝜔2 𝐴 𝑒𝑖 𝜔𝑡 = −𝜔2 𝐴 cos𝜔𝑡 
Para deslocamento em seno (parte imaginária Im) 
𝑥 = Im 𝐴 𝑒𝑖 𝜔𝑡 = 𝐴sen𝜔𝑡 
𝑥 = Im 𝑖 𝜔 𝐴 𝑒𝑖 𝜔𝑡 = 𝜔 𝐴 cos𝜔𝑡 
𝑥 = Im −𝜔2 𝐴 𝑒𝑖 𝜔𝑡 = −𝜔2 𝐴 sen𝜔𝑡 
2 MOVIMENTO HARMÔNICO 
25 Aula 02 - Movimento Harmônico 
As funções harmônicas, por serem escritas em termos de senos e cossenos, 
podem ser representadas trigonometricamente e, por conseguinte, somadas 
vetorialmente. 
 
As relações vetoriais trigonométricas são 
sen 𝛼 ± 𝛽 = sen𝛼 cos 𝛽 ± sen𝛽 cos𝛼 
cos 𝛼 ± 𝛽 = cos𝛼 cos 𝛽 ∓ sen𝛼 sen𝛽
tg 𝛼 ± 𝛽 =
tg 𝛼 ± tg 𝛽
1 ∓ tg 𝛼 tg 𝛽
 
E a Identidade de Euler é dada por 
𝑒± 𝑖 𝜔𝑡 = cos𝜔𝑡 ± 𝑖 sen𝜔𝑡 
RECAPITULAÇÃO DA AULA 
Nesta aula expositiva, apresentada em slides, recapitulam-se os tópicos de 
 
a) Sistemas de equações lineares; 
b) Movimento harmônico. 
26 Aula 02 - Movimento Harmônico 
REFERÊNCIAS 
Sob os ombros de gigantes 
27 Aula 02 - Movimento Harmônico 
REFERÊNCIAS DA AULA 
CHAPRA, S.C. Métodos numéricos aplicados com MATLAB® para engenheiros 
e cientistas. 3ª edição. Porto Alegre, RS: AMGH, McGraw-Hill, 2013. 
 
RAO, S. Vibrações mecânicas. 4a ed. São Paulo: Prentice Pearson Hall, 2008. 
 
28 Aula 02 - Movimento Harmônico