prova 2 mat140

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas
Departamento de Matema´tica
2a Prova - MAT140 - Ca´lculo I - 15/10/2016
Nome: Matr´ıcula: Turma:
Todas as questo˜es devem estar justificadas!
Questa˜o 1:
(a) (10 pontos) Determine y para y = (x +
√
x2 + 3)pi
(b) (15 pontos) Determine a reta tangente ao gra´fico de f no ponto (1, 1), onde a func¸a˜o f e´ dada implicita-
mente pela equac¸a˜o 3x2y − 3x3 + y3 = 1.
1
Questa˜o 2: (15 pontos) Seja f uma func¸a˜o bijetora e deriva´vel em todo o seu domı´nio para qual f(4) = 6 e
f ′(4) =
5
4
. Se g = f−1 e´ a inversa de f, tambe´m deriva´vel. Determine o valor da constante k = g′(6) · f ′(4).
2
Questa˜o 3: (15 pontos) Seja h : [−5, 8] → R uma func¸a˜o cont´ınua e duas vezes deriva´vel, com f(−5) =
f(0) = f(4) = 0, f(7) = 5, f(−3) = −3, f(2) = 6. Se o quadro abaixo fornece os sinais da func¸a˜o e suas
derivadas, esboce o gra´fico de h.
x −5 < x < −3 −3 < x < 0 0 < x < 2 2 < x < 4 4 < x < 7
f(x) − − + + +
f ′(x) − + + − +
f ′′(x) + + − − +
3
Questa˜o 4: Considere a func¸a˜o f e suas duas primeiras derivadas f ′ e f ′′, dadas abaixo:
f(x) =
x2 + 1
x2 − 1 , f
′(x) =
−4x
(x2 − 1)2 , f
′′(x) =
12x2 + 4
(x2 − 1)3 .
(a) (10 pontos) Determine os intervalos onde f e´ crescente e decrescente e os pontos de ma´ximo e mı´nimo
local, caso existam
(b) (10 pontos) Determine os intervalos onde f e´ coˆncava para cima e coˆncava para baixo e os pontos de
inflexa˜o, caso existam.
(c) (10 pontos) Esboce o gra´fico de f.
4
Questa˜o 5: (15 pontos) O per´ımetro de um quadrado cresce a uma taxa de 3 m/s no instante de tempo
t = 5s. Neste momento, se observa que sua a´rea e´ de 196 m2. Indique a velocidade com a qual sua a´rea estara´
aumentando no instante t = 5s.
5