Álgebra Linear: Espaços Vetoriais, Subespaços e Bases

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
FACULDADE DE FÍSICA 
Disciplina: Álgebra Linear 
Professor Dr. Valcir João da Cunha Farias 
 
TRABALHO 2 
 
1) Dado um conjunto de objetos junto com as operações de adição e multiplicação por 
escalar. Determine quais dos conjuntos são espaços vetoriais com as operações dadas. 
Para os que não são, liste pelo menos uma propriedade que falha. 
 
a) S={(x,y,z)  R3 com x,y,z  R} com as operações 
(x1,y1,z1) + (x2,y2,z2) = (x1+ x2,y1+ y2,z1+ z2) 
k (x1,y1,z1) = (kx1,y1,z1) 
 
 
b) O conjunto de todas as matrizes 22 da forma 







bba
baa
, com a, b R, e com as 
operações usuais de adição matricial e multiplicação matricial por escalar. 
 
2) Determine quais dos seguintes subconjuntos são subespaços do R3. 
a) Todos os vetores da forma (a,0,0) 
b) Todos os vetores da forma (a,1,1) 
c) Todos os vetores da forma (a,b,c), com b=a+c 
d) Todos os vetores da forma (x,y,z), com x-y+z = 1. 
 
3) Seja S o conjunto de todas as funções que satisfazem a equação diferencial f’’+ f = 0 
Prove que S é um subespaço vetorial de F (conjunto de todas as funções a valores reais). 
 
4) Quais dos seguintes vetores são combinações lineares de u = (0,2,-2), v = (1,3,-1)? 
 
a) (2,2,2) b) (0,4,5) 
 
5) Quais dos seguintes conjuntos de vetores são LD? 
a) {(-3,0,4), (5,-1,2), (1,1,3)} 
b) {(4,-1,2), (-4,10,2)} 
c) {(-2,0,1), (3,2,5), (6,-1,1), (7,0,-2)} 
 
8) Quais dos seguintes conjuntos de vetores são base do R2? 
a) {(4,1), (-7,-8)} b) {(3,9),(-4,-12)} 
 
9) Encontre uma base e as dimensões para os subespaços dados de R3 
a) Todos os vetores da for (a,b,c) com b=a+c 
b) Todos os vetores da forma (a,b,c) com 2a+b-c=0. 
 
10) Sejam  = {(1,0),(0,1)}, 1 = {(-1,1),(1,1)}, 2 = {(2,0),(0,2)} bases ordenadas de R2. 
Quais as coordenadas do vetor [v] = (3,-2) em relação à base: 
 
a) 1 b) 2