Apostila de calculo variacional

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA 
DO RIO DE JANEIRO
PUC – RJ
Departamento de Engenharia Civil
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO VARIACIONAL
Paulo Batista Gonçalves
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 2 
2 Conceitos de Máximos e Mínimos de Funções ..................................................... 3 
2.1 Máximos e mínimos de funções de N variáveis ............................................. 3 
2.2 Máximos e mínimos locais ............................................................................. 4 
2.3 Fórmula de Taylor para uma função e várias variáveis ................................. 4 
2.4 Formas Quadráticas ...................................................................................... 6 
2.5 Pontos de Fronteira ....................................................................................... 7 
2.6 Extremos Condicionados ............................................................................... 8 
2.7 Método dos Multiplicadores de Lagrange ...................................................... 9 
3 EQUAÇÃO DE EULER-LAGRANGE ....................................................................... 11 
4 OPERADOR DELTA ............................................................................................. 14 
5 FUNCIONAIS DE VÁRIAS FUNÇÕES E UMA ÚNICA VARIÁVEL INDEPENDENTE. . . . 17 
6 CONDIÇÕES DE CONTORNO .............................................................................. 18 
7 FUNCIONAIS COM DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR ........................................ 22 
8 fUNCIONAIS COM DUAS VARIÁVEIS INDEPENDENTES (SUPERFÍCIE) .................. 25 
9 fUNCIONAIS COM três VARIÁVEIS INDEPENDENTES (volumes) .......................... 28 
10 FUNCIONAIS EM FORMA PARAMÉTRICA ........................................................... 30 
11 A Invariância da Equação de Euler .................................................................. 32 
12 Extremos móveis ............................................................................................. 33 
13 Problemas Variacionais com Restrições .......................................................... 41 
13.1 Problema Isoperimétrico ........................................................................... 41 
13.2 Vínculos Holônomos .................................................................................. 44 
13.3 Restrições não – holonômicas ou reonômicas ........................................... 45 
14 Método de Ritz ................................................................................................ 46 
15 método de galerkin ......................................................................................... 48 
16 Exercícios ........................................................................................................ 49 
16
Exercícios.................................................................................................................
.................55
1
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
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_
1 INTRODUÇÃO
O Cálculo Variacional, pode ser caracterizado como um tópico especial em 
análise matemática, trata de problemas de máximos e mínimos de um tipo 
especial de função, usualmente denominada FUNCIONAL.
Abaixo são destacados alguns motivos que fazem conveniente e 
importante o estudo dos conceitos fundamentais do cálculo variacional:
• O cálculo variacional oferece uma formulação alternativa para a solução 
de muitos problemas de engenharia;
• Através do cálculo variacional pode-se definir com maior clareza certos 
conceitos básicos envolvidos em problemas governados por equações 
diferenciais;
• O cálculo variacional é de grande importância na solução de problemas da 
mecânica dos meios contínuos; através de princípios energéticos 
consegue-se facilmente formular tais problemas em forma variacional;
• Métodos variacionais, tais como o Método de Rayleigh-Ritz, permitem 
dispor de técnicas bastante potentes para a obtenção de soluções 
aproximadas.
No cálculo diferencial estuda-se as condições de existência dos pontos 
estacionários de funções. No cálculo variacional tem-se também como problema 
básico a determinação de pontos estacionários, porem, agora o estudo envolve 
certas funções especiais, conhecidas como FUNCIONAIS, que são funções de 
funções. Especificamente, um funcional é uma expressão que possui um valor 
particular dependente da função usada no próprio funcional.
Uma forma de funcional bastante empregada em muitos problemas de 
engenharia é a integral ( )xffxF ,, entre dois pontos ( )11, yx e ( )22 , yx no 
espaço bidimensional. Denotado este funcional como I, pode-se escrever:
( )∫= 2
1
,,
x
x
x dxffxFI (1.1)
Note que o valor de I, como já foi mencionado, é claramente dependente 
da função f.
No cálculo diferencial considera-se como objetivo de destaque o 
estabelecimento das condições necessárias para um extremo local de f, em 
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Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
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_
algum ponto, pela consideração de valores admissíveis de x. No cálculo 
variacional também é indispensável a obtenção das condições necessárias para 
extremização de I com respeito às funções admissíveis f(x). Grande parte deste 
texto é voltada, portanto, para a determinação das condições
necessárias para 
se alcançar um valor extremo do funcional I.
Pode-se generalizar o funcional I considerando os seguintes aspectos:
a) Várias variáveis independentes e uma variável dependente (função):
( ) dzdydxffffzyxFI zyx∫∫∫= ,,,,,, ;
b) Uma variável independente e várias variáveis dependentes (funções):
( ) dxhgfhgfxFI xxx∫= ,,,,,, ;
c) Derivadas de ordem superior a um:
( ) dxffffxFI xxxxxx∫= ,,,, ;
d) Caso geral:
( ) dydxgggfffggffgfyxFI xyyyxxxyyyxxyxyx∫∫= ,,,,,,,,,,,,,
Este último caso define, por exemplo, o funcional que representa a energia 
potencial total de uma placa ou casca esbelta.
2 CONCEITOS DE MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES
2.1 Máximos e mínimos de funções de N variáveis
Suponhamos que numa região D do Espaço Euclidiano Rn de dimensão n, 
sendo D um conjunto aberto, está definida uma função f(x1, x2, ..., xn), denotada 
de modo abreviado por f(x).
Diremos que X0 é um ponto de máximo (respectivamente, de mínimo) 
absoluto em D da função f(x), se, para qualquer X ∈ D encontramos:
( ) ( )0xfxf ≤ (2.1)
(respectivamente, ( ) ( )0xfxf ≥ ).
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_
2.2 Máximos e mínimos locais
Seja X0 um extremo local de f(x) e seja X um ponto pertencente a uma 
vizinhança Ω (X0) contida em D, tem-se então que X0 é:
a) um mínimo local se ∆ f = f(X) - f(X0) > 0;
b) um máximo local se ∆ f = f(X) - f(X0) < 0,
para qualquer X ∈ Ω (X0) ∩ D e X ≠ X0.
Mínimo 
Local
a x1 b x
f(x)
x2
Máximo 
Local
Ω
Mínimo 
Local
a x1 b x
f(x)
x2
Máximo 
Local
Ω
Figura 1 - Conjunto aberto D ∈ Rn, | X - X0| < δ , X = X0+∆ , 0 < ∆ < δ .
Observação:
Para que se tenha instrumentos de análise do comportamento de uma 
função em torno de um ponto X0, geralmente desenvolve-se a função f(x) em 
série na vizinhança de X0, usando-se a fórmula de Taylor.
2.3 Fórmula de Taylor para uma função e várias variáveis
Se na vizinhança de X0, f(x) possui derivadas parciais de ordem N com 
respeito a todo e qualquer X, temos a seguinte expansão válida na vizinhança de 
X0:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) Rfxxxxxxxxxn
f
x
xx
x
xx
x
xx
f
x
xx
x
xx
x
xxXftHXfxf
X
n
n
nn
X
n
nn
X
n
nn
+


∂
∂
−++
∂
∂
−+
∂
∂
−
−
++


∂
∂
−++
∂
∂
−+
∂
∂
−
+


∂
∂
−++
∂
∂
−+
∂
∂
−+=+=
−
0
1
0
2
0
22
1
0
11
0
2
0
2
0
22
1
0
11
0
0
2
0
22
1
0
11
00
!1
1
!2
1



(2.2)
onde, 10 ≤≤ t , H é um vetor e R é o resto, ou seja,
( ) ( ) ( ) ( )HXf
x
xx
x
xx
x
xx
n
R
n
nn τ+


∂
∂
−++
∂
∂
−+
∂
∂
−=
00
2
0
22
1
0
11!
1
 (2.3)
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_
onde 10 ≤≤τ .
Tem-se então que:
( ) ( ) ( ) Rf
x
xx
r
XfXff X
r
i
n
i
ii
r
+



∂
∂
−


=−=∆ ∑∑
==
0
1
0
1
0
!
1 (2.4)
Para n = 1, teremos:
( ) ( ) ( ) +−+−+−=∆
===
000
3
3
30
2
2
200
!3
1
!2
1
XXXXXX dx
fdxx
dx
fdxx
dx
dfxxf (2.5)
Partindo-se do fato que o primeiro termo não nulo da série de Taylor é 
dominante, pode-se, a partir da análise dos termos da série, deduzir as condições 
de existência de valores extremos.
Se X0 é um ponto de máximo (mínimo), então ∆ f < 0 (∆ f > 0). Analisando-
se o primeiro termo da série, verifica-se que ( )0ii xx − pode assumir qualquer 
valor; logo as derivadas parciais jxf ∂∂ ( )nj ,1= devem se anular neste 
ponto. Se a função admite uma diferencial total no ponto X0, esta será nula ou 
seja,
( ) 00 =Xdf (2.6)
Se a função f(x) não é derivável em certos pontos, e se X0 é um 
extremante de f(x), temos que as derivadas parciais jxf ∂∂ calculadas no 
ponto ou são nulas ou não existem.
O parágrafo anterior, bem como o teorema abaixo, mostram a condição 
necessária, mas não suficiente, para a existência de um estremo.
Teorema: – Admitamos que f(x) está definida na vizinhança de X0. Se 
neste ponto ocorrer um extremo da função f(x) e se existirem as derivadas 
parciais jxf ∂∂ , então teremos que:
0=
∂
∂
jx
f
 ( )nj ,1=
Exemplo:
22),( yxyxf +=
dyydxxdy
y
fdx
x
fyxdf 22),( +=
∂
∂
+
∂
∂
=
→=== )0,0(0202 0Xyx Ponto critico estacionário.
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_
Condição Suficiente
Vamos agora analisar o segundo termo da série de Taylor. Verificamos que 
o termo:
( )( ) jiijjjii
ji
xxaxxxx
xx
fxA ∆∆=−−
∂∂
∂
=
!2
1
!2
1)( 00
2
é uma forma quadrática,onde em função da comutatividade da diferenciação 
temos que:
ijji xx
f
xx
f
∂∂
∂
=
∂∂
∂ 22
 ou jiij aa =
Pode-se, pois escrever que:
+=∆ XMXf T
2
1 Resto
onde, { }iXX ∆= e M é uma matriz quadrada e simétrica.
2.4 Formas Quadráticas
Diz-se que uma forma quadrática é:
• Positiva definida se A(x) > 0 para qualquer X ∈ Rn e X ≠ 0.
• Negativa definida se A(x) < 0 para qualquer X ∈ Rn e X ≠ 0.
• Positiva semi-definida se A(x) ≥ 0 para qualquer X ∈ Rn.
• Negativa definida se A(x) ≤ 0 para qualquer X ∈ Rn.
• Indefinida se A(x) assume tantos valores positivos quanto negativos.
Exemplos
A(x) = X12 + X22 + ...+ Xn2 positiva definida
A(x) = (X1 + X2 + ...+ Xn)2 positiva semi-definida
A(x) = X12 - X22 indefinida
Teorema: Suponhamos que uma função f(x) está definida e admite 
derivadas segundas na vizinhança de X0 e que X0 é um ponto estacionário de f(x). 
Se a forma quadrática
ji
n
ji ji
n dxdxxx
XfdxdxA ∑
=
∂∂
∂
=
1,
02
1
)(),,( 
a saber a segunda diferencial de f em X0 for positiva definida (respectivamente, 
negativa definida), então o ponto X0 será um ponto de mínimo estrito 
(respectivamente de máximo estrito). Em qualquer outro caso no ponto X0 não 
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_
ocorre um extremo de f(x).
Se A(x) = 0, deve-se analisar os termos de ordem mais alta na série de 
Taylor.
2.5 Pontos de Fronteira
Até o momento analisamos os pontos que se encontram no interior do 
subconjunto D. Um ponto P é denominado ponto de fronteira D se toda bola 
aberta B centrada em P inclui pontos de D e pontos fora de D (Figura 2).
PP
DB
PP
DB
Figura 2 – Pontos de fronteira.
Se um conjunto inclui todos os seus pontos de fronteira, então diremos que 
o conjunto é fechado. Um conjunto é limitado se existe um número b > 0 tal que, 
para todo X do conjunto |X| ≤ b.
Teorema: Seja S um conjunto limitado e fechado. Seja f uma função 
contínua definida em S. Então f tem um máximo e um mínimo em S. Em outras 
palavras, existe um ponto P sem tal que:
( ) ( )XfPf ≥
para todo X em S, e existe um ponto Q sem tal que:
( ) ( )XfQf ≤
Mínimo
a b x
f(x)
Máximo
S[a,b]
Mínimo
a b x
f(x)
Máximo
S[a,b]
Figura 3 - Pontos de Mínimo e Máximo.
Considerando um conjunto fechado, ao tentarmos determinar os extremos 
de uma função f, deve-se primeiro determinar os pontos críticos de f no interior 
da região em consideração. A seguir deve-se investigar a função na fronteira da 
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região. Parametrizando-se a função na fronteira, reduz-se freqüentemente o 
problema de achar um máximo na fronteira a um problema em dimensão mais 
baixa para o qual a técnica dos pontos críticos pode também ser aplicada.
Exemplo: Calcular os extremos da função ( ) 22, yxyxf −= no quadrado 
de vértices ( )1,1 ±± .
x
x
f 2=
∂
∂
 e yy
f 2−=
∂
∂
; ( )0,00 =X
22;
20
02
21 −==


−
= λλ eM , então M é indefinida, X0 é um ponto de 
sela.
Na fronteira, ( ) ( ) 11,1, 2 −=−= xxfxf
( )1,002 0 ±=⇒==
∂
∂ Xx
x
f
mínimodepontoX
x
f
→⇒>=
∂
∂ 0
2
2
02
( ) ( ) 21,1,1 yyfyf −=−=
( )0,102 0 ±=⇒=−=
∂
∂ Xy
y
f
máximodepontoX
y
f
→⇒<−=
∂
∂ 0
2
2
02
Caso Particular para n = 2:



=
BH
HA
M ; seja D = AB – H2 e A≠ 0 então:
a) Se A > 0 e D > 0 ⇒ X0 é um mínimo;
b) Se A < 0 e D > 0 ⇒ X0 é um máximo;
c) Se D < 0 ⇒ X0 é um ponto de sela.
2.6 Extremos Condicionados
Seja ( ) ( )Xfxxxf n =,,, 21  uma função definida em um conjunto D ∈ Rn 
onde as variáveis nxxx ,,, 21  estão correlacionadas por m (m < n) equações:
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_
( ) ( ) ( ) 0,,0,0 21 === XXX mϕϕϕ  (2.7)
chamadas condições suplementares. Diz-se que X0 é um máximo local 
condicionado (mínimo local condicionado) se:
• 0<∆f e X0 atende as condições ( )mii ,1=ϕ .
• 0>∆f e X0 atende as condições ( )mii ,1=ϕ .
Exemplo: Calcular os extremos da função ( ) 22, yxyxf += com a 
condição suplementar 01=−+yx .
Tomando ( ) 122,1 2 +−=⇒−= xxyxfxy ;
( ) 2121,21024 000 ===⇒=−=
∂
∂ xfeyxx
x
f
( )21,210 =X que como pode-se observar é um ponto de mínimo.
Este método exige que expressemos uma variável como função de outras. 
Temos, entretanto, um método mais geral, o método dos multiplicadores de 
Lagrange.
2.7 Método dos Multiplicadores de Lagrange
Admitiremos que:
a) As funções f(X) e ϕ i (i = 1, m e X = (x1, x2, ..., xn)) possuem derivadas 
primeira em D;
b) m < n;
c) O posto da matriz [ ]ji x∂∂ϕ , i = 1, m, j = 1, n é igual a m em qualquer 
ponto de D.
Observação: Posto – maior determinante não nulo.
Formada a seguinte expressão (a chamada função de Lagrange):
( ) ( )∑
=
+=
m
i
ii XXf
1
ϕλφ (2.8)
onde λ i são os chamados multiplicadores de Lagrange, considere o sistema de n 
equações abaixo:
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_
0=
∂
∂
jx
φ nj ,1= (2.9)
juntamente com as m condições suplementares:
0=iϕ mi ,1= (2.10)
Através da solução deste sistema de m + n equações, determinam-se as 
m incógnitas λ i e as n incógnitas xi, dos pontos críticos, isto é, dos pontos 
suscetíveis de serem os extremantes procurados.
A fim de se examinar o caráter de um ponto estacionário X0, da função de 
Lagrange, devemos examinar a forma quadrática:
ji
nm
ji
ij dxdxbdxB ∑−
=
=
1,
)( (2.11)
onde:
0
2
Xji
ij xx
b
∂∂
∂
=
φ (2.12)
obtida da segunda diferencial da função e Lagrange no ponto considerado a das 
relações suplementares:
),1(02
2
1
1
midx
x
dx
x
dx
x nn
iii
==
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂ ϕϕϕ
 (2.13)
Se a forma quadrática for definida em X0 ocorrerá um extremo local 
condicionado, a saber, um máximo estrito, se a forma quadrática for negativa 
definida, e um mínimo estrito se a forma quadrática for positiva definida.
Exemplo: Encontrar o extremo da função zyxxf =)( , com as condições 
suplementares:
08)(
03)(
2
1
=−−−=
=−−+=
zyxX
zyxX
ϕ
ϕ
 


−−
−
=
111
111
M posto = 2
Função de Lagrange : )8()3( 21 −−−+−+++= zyxzyxzyx λλφ
0
0
0
21
21
21
=−−=
∂
∂
=−+=
∂
∂
=++=
∂
∂
λλφ
λλφ
λλφ
yx
z
zx
y
zy
x
32111 =λ ; 321232 −=λ ; 411=x ; 25−=y ; 411−=z .
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_
Forma quadrática:
dzdy
zy
dzdx
zx
dydx
yx
dz
z
dy
y
dx
x
d
∂∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
φφφφφφφ
222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 222
dzdyxdzdxydydxzd 2222 ++=φ
0111 =−+=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ dzdydxdz
z
dy
y
dx
x
ϕϕϕ
0222 =−−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ dzdydxdz
z
dy
y
dx
x
ϕϕϕ
que fornece: dx = dz e dy = 0, então, 0)2/5(22 222 <−== dxdxyd φ .
Logo, o ponto X0 é um ponto de máximo condicionado.
3 EQUAÇÃO DE EULER-LAGRANGE
Considere o funcional abaixo:
( ) dxffxFI
x
x
x∫= 2
1
,, (3.1)
onde F é uma função desconhecida. Deve-se assumir a existência de um 
caminho (trajetória), denominado ( )xf , tendo a propriedade de extremizar I 
com respeito a outros caminhos vizinhos (chamados caminhos variados), 
denominados por ( )xf~ , e mostrados na Figura 4 a seguir: 
x
f (x)
x1 x2
c1
c2
( )xf
( )xf~
Figura 4 Caminho Variado
Introduzindo então uma família de caminhos variados ( )xf~ dependentes 
de um parâmetro pequeno ε , pode-se escreve que:
( ) ( ) ( )xxfxf ηε+=~ (3.2)
onde ( )xη é uma função contínua de x, escolhida arbitrariamente, tal que:
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_
( ) ( ) 021 == xx ηη (3.3)
Note que quando 0=ε , para qualquer ( )xη , o caminho variado coincide 
com o caminho extremizante ( ) ( )( )xfxf =~ . O funcional variado terá então a 
seguinte forma:
( ) dxffxFI x
x
x∫= 2
1
~,~,~ (3.4)
assumindo o valor extremo I quando 0=ε , isto é, quando ( ) ( )xfxf =~ . Usando 
(3.2), veja que é permitido escrever (3.4) como função também do parâmetro ε , 
ou seja:
( ) dxffxFI
x
x
xx∫ ++= 2
1
,,~ ηεηε (3.5)
Desenvolvendo-se agora I~ em série na vizinhança de 0=ε , e adotando-
se o mesmo critério de extremização usado para funções simples, é encontrado 
que:
( ) +



+



+=
==
=
2
0
2
2
0
0
~
!2
1~~~
ε
ε
ε
ε
εε
ε d
Id
d
IdII (3.6)
ou, sabendo-se que ( ) ,0~ II ==ε
∑
=




=−=∆ nn
n
d
Id
n
III ε
ε
ε 0
~
!
1~ (3.7)
A condição necessária para I~ ser extremo, quando 0=ε , é dada por:
0
~
0
=



=ε
εd
Id (3.8)
Isto significa que:
( ) 0,,
0
2
1
=







++
=
∫
ε
ηεηε
ε
x
x
xx dxffxFd
d (3.9)
ou,
0
~
~
~
~
0
2
1
=











∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∫
ε
εε
x
x
x
x
dxf
f
Ff
f
F (3.10)
e notando que η
ε
=
∂
∂ f~ e que xx
f η
ε
=
∂
∂ ~ , pode-se escrever (3.10) como:
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_
0~~
0
2
1
=











∂
∂
+
∂
∂
=
∫
ε
ηη
x
x
x
x
dx
f
F
f
F (3.11)
Mas, veja que em 0=ε , ff ~= e xx ff
~
= , e assim (3.11) fica:
0
0
2
1
=











∂
∂
+
∂
∂
=
∫
ε
ηη
x
x
x
x
dx
f
F
f
F (3.12)
Integrando-se agora por partes a segunda parcela da integral acima, 
chega-se a:
dx
f
F
dx
d
f
Fdx
f
F
x
x x
x
xx
x
x
x
x
∫∫ ∂∂−∂∂=∂∂
2
1
2
1
2
1
ηηη (3.13)
Onde foi assumido no esquema de integração: dx
f
F
dx
ddu
x




∂
∂
= e ην = . 
Note que como ( ) ( ) 021 == xx ηη , tem-se que (3.13) toma a seguinte forma:
0
2
1
=






∂
∂
−
∂
∂∫ dxfFdxdfF
x
x x
η (3.14)
Sabe-se entretanto, que, ( )xη é uma função arbitrária, de forma que 
(3.14) será sempre satisfeita se a condição mostrada a seguir for considerada 
(lema fundamental do cálculo de variações):
0=



∂
∂
−
∂
∂
xf
F
dx
d
f
F (3.15)
que é a chamada equação de Euler-Lagrange.
Teorema: Para que uma função ( )xff = seja um extremo fraco do funcional 
( ) dxffxFI x∫= ,, no domínio das funções continuamente diferenciáveis, 
satisfazendo as condições de fronteira, é necessário que ( )xff = obedeça à 
equação de Euler-Lagrange.
O exemplo abaixo fornece uma aplicação dos conceitos até agora 
estudados.
Exemplo: Determinar as curvas que extremizam o funcional:
( ) dxyyI x∫ −=
pi2
0
22
13
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_
satisfazendo as condições de fronteira: ( ) 10 =y e ( ) 12 =piy .
Solução:
Da equação (3.15) observe que são necessários os seguintes cálculos:
xx
xx
y
y
F
dx
dy
y
Fy
y
F 2,2,2 =



∂
∂
=
∂
∂
−=
∂
∂
de forma que:
( ) 02 =+−=



∂
∂
−
∂
∂
xx
x
yy
y
F
dx
d
y
F
ou, 0=+ yyxx , que tem solução geral do tipo:
( ) ( ) ( )xsencxcxy 21 cos +=
Aplicando agora as condições de fronteira, ou seja,
( )
( ) 112
110
1
1
=⇒=
=⇒=
cy
cy
pi
chega-se, portanto, à seguinte expressão para a curva procurada:
( ) ( ) ( )xsencxxy 2cos +=
4 OPERADOR DELTA
Objetivando dar maior formalismo ao procedimento de obtenção da 
primeira variação e ao estudo de funcionais mais complexos, é introduzido agora 
o operador δ , conhecido como operador delta. Define-se então ( )[ ]xfδ como 
sendo:
( )[ ] ( ) ( ) fxfxfxf δδ =−= ~ (4.1)
Assuma que o operador delta seja uma pequena variação arbitrária da 
função f para um dado x fixo. Na Figura 5 é mostrado o caminho extremizante 
f(x), um caminho variado ( )xf~ e o operador delta já definido. Veja também 
através da Figura 6 que δ f não é associado a uma variação de x, δ x. Isto 
contrasta com o processo de diferenciação, onde para cada δ f existe um dado 
δ x . Pode-se assim afirmar que δ f é simplesmente a distância vertical entre 
dois pontos em curvas diferentes para um mesmo valor de x, enquanto df é a 
distância vertical entre dois pontos que distam dx na mesma curva.
14
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_
x1 x2x
c2
c1
f (x)
x
fδ
( )xf
( )xf~
Figura 5: O operador Delta – δ .
x1 x2x
c2
c1
f (x)
x
fδ
( )xf
( )xf~
xd
fd
Figura 6: Variação x Diferenciação
Consideram-se também como funções variadas as derivadas dos caminhos 
variados ( )xf~ , ou seja:
( ) ( )
xd
fdff
xd
d
xd
fd
xd
fd
xd
fd δδ =−=−=


 ~~ (4.2)
onde se conclui que o operador δ é comutativo com a diferencial. De forma 
similar considera-se a variação da integral ∫ xdf :
( )∫ ∫ ∫∫∫ =−=−= xdfxdffxdfxdfdxf δδ ~~ (4.3)
e novamente é verificado que o operador δ é comutativo também com a 
integral.
Examine agora a primeira variação do funcional estudado na seção 
anterior usando uma notação incluindo o operador δ . Da equação (3.2), fica 
claro que:
ηεδ =−= fff ~ (4.4)
e analogamente,
xxxx fff ηεδ =−=
~ (4.5)
Segue então que é possível re-escrever F ao longo do caminho variado do 
seguinte modo:
( ) ( ) ( )xxxxx ffffxFffxFffxF δδηεηε ++=++= ,,,,~,~, (4.6)
Numa posição x, resolve-se F em série com relação a f e fx , ou seja:
15
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_
( ) ( )
( )32222222 02!21
,,,,
δδδδδ
δδδδ
+



∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
+



∂
∂
+
∂
∂
+=++
x
x
x
x
x
x
xxx
f
f
Fff
ff
Ff
f
F
f
f
Ff
f
FffxFffffxF
(4.7)
e desta forma define-se a variação total de F, ( ) FTδ , como:
( ) ( ) ( )
( )32222222 02!21
,,,,
δδδδδ
δδδδδ
+



∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
+



∂
∂
+
∂
∂
=−++=
x
x
x
x
x
x
xxx
T
f
f
Fff
ff
Ff
f
F
f
f
Ff
f
FffxFffffxFF
(4.8)
ou,
( ) ( ) ( ) ( )( )321 0
!2
1 δδδδ ++= FFFT (4.9)
onde pode-se chamar:
•
( ) ⇒F1δ primeira variação;
•
( ) ⇒F2δ segunda variação;
•
( ) ⇒Fnδ n-ésima variação.
Integrando agora a Equação (4.8) entre x1 e x2, obtém-se:
( ) dxf
f
Ff
f
FIII
x
x
x
x
T ∫  + ∂∂+∂∂=−=
2
1
~ δδδ (4.10)
Note que II −~ é definido como a variação total de I, e por conseguinte, a 
primeira expressão do lado direito de (4.10) é denominada de primeira variação 
de I, ( ) I1δ . Integrando-se por partes a segunda expressão da primeira variação 
de I, é encontrado que:
dxf
f
F
dx
df
f
Fdxf
f
F
x
x x
x
xx
x
x
x
x
δδδ ∫∫ ∂∂−∂∂=∂∂
2
1
2
1
2
1
(4.11)
onde novamente é assumido: dxf
F
dx
ddu
x




∂
∂
= e dfv = no esquema de 
integração. Como ( ) ( ) 021 == xfxf δδ , tem-se que a primeira variação de (4.10) 
toma a seguinte forma:
( ) dxf
f
F
dx
d
f
FI
x
x x
δδ ∫  ∂∂−∂∂=
2
1
1 (4.12)
16
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_
Da condição de extremo, isto é, da necessidade da primeira variação de I 
ser nula, advém finalmente a equação procurada, ou seja, a equação de Euler-
Lagrange.
0=



∂
∂
−
∂
∂
xf
F
dx
d
f
F (4.13)
É mostrada abaixo a generalização da primeira variação para outros casos 
da função F:
a) ( ) ( ) y
y
x
x
yx ff
Ff
f
Ff
f
FFfffyxF δδδδ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
1:,,,, ;
b) ( ) ( ) x
x
x
x
xx gg
Ff
f
Fg
g
Ff
f
FFgfgfxF δδδδδ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
1:,,,, ;
c) ( ) ( ) xx
xx
x
x
xxx ff
Ff
f
Ff
f
FFfffxF δδδδ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
1:,,, .
5 FUNCIONAIS DE VÁRIAS FUNÇÕES E UMA ÚNICA VARIÁVEL 
INDEPENDENTE.
Considere agora o caso de um funcional com várias variáveis dependentes 
(funções) e uma única variável independente. Caracterize as funções por 
nqqq ,,, 21  , e denomine t a variável independente do problema. O funcional é, 
neste caso, escrito como:
( )∫= 2
1
2121 ,,,,,,,,
x
x
nn dtqqqqqqtFI  (5.1)
onde dtdqqdtdqq nn ==  ,,11 .
O objetivo é então determinar as funções nqqq ,,, 21  que extremizam o 
funcional I com respeito a uma ampla classe de funções admissíveis. Considere 
( )tqi~ como os caminhos variados e chame genericamente ( )tqi para identificar 
as funções extremizantes. Segue, portanto, que:
ηε+= ii qq~ ou iii qqq δ+=~ (5.2)
onde η e δ q são funções arbitrárias adequadamente diferenciáveis, que se 
anulam em 0tt = e 1tt = . Considerando apenas a primeira variação de F, pode-
se escrever:
17
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
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_
( )
n
n
n
n
q
q
Fq
q
Fq
q
Fq
q
Fq
q
Fq
q
FF 





 δδδδδδδ
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
= 2
2
1
1
2
2
1
1
1 (5.3)
onde, após a integração entre os pontos 0tt = e 1tt = , obtém-se:
( ) ( )∫= 1
0
11
t
t
dtFI δδ (5.4)
Como iqδ são variáveis arbitrárias, pode-se, por exemplo, fazer todos os 
( )tqiδ iguais a zero, exceto 1qδ . Assim, a Equação (5.4) é reescrita da seguinte 
forma:
( ) dtq
q
Fq
q
FI
t
t
∫  ∂∂+∂∂=
1
0
1
1
1
1
1 

δδδ (5.5)
Como anteriormente, integrando-se por partes o segundo termo do lado 
direito da equação (5.5), chega-se a uma nova expressão para a primeira 
variação de I, ou seja:
( )
1
1
0
11
1 q
q
F
dt
d
q
FI
t
t
δδ ∫  ∂∂−∂∂=  (5.6)
Como 1qδ é arbitrário, conclui-se, pela condição de extremo para (5.1), 
que;
0
11
=



∂
∂
−
∂
∂
q
F
dt
d
q
F

(5.7)
ou, de uma forma mais geral:
ni
q
F
dt
d
q
F
ii
,,2,10 

==



∂
∂
−
∂
∂ (5.8)
As Equações (5.8) constituem as condições necessárias para que as 
funções ( )tqi sejam extremizantes do funcional I.
6 CONDIÇÕES DE CONTORNO
Serão analisadas agora certas condições adicionais, denominadas 
condições de contorno, que devem ser satisfeitas pelas funções f(x) 
candidatas a serem extremizantes do funcional I. As condições de contorno são 
usualmente divididas em dois tipos:
• Condições de contorno essenciais;
• Condições de contorno naturais.
18
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
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_
Antes de caracterizar cada um das condições citadas acima, considere o 
seguinte problema:
Qual curva que extremiza o funcional entre um ponto dado e uma linha 
vertical? Veja que este problema se encontra na Figura 7. Note que os limites de 
integração 1x e 2x são prescritos, sem que contudo se conheça ( )22 xff = , de 
forma que alguns caminhos variados ( )xf~ passarão em ( )11, fx e ( )22 , fx , e 
outros não.
Considere então o seguinte funcional:
( ) dxffxFI
x
x
x∫= 2
1
,, (6.1)
Cuja primeira variação, como já foi estudado, deve ser nula, ou seja: 
( ) 01 =Iδ
x1 x2
f1
(?) f2
f (x)
x
( )xf
( )xf~ ( )2xfδ
Figura 7 – Condições de Contorno
Tem-se do desenvolvimento da seção anterior que:
0
2
1
2
1
=
∂
∂
+






∂
∂
−
∂
∂∫ x
xx
x
x x
f
f
Fdxf
f
F
xd
d
f
F δδ (6.2)
ou seja, 
0
1
2
1 2
=
∂
∂
−
∂
∂
+






∂
∂
−
∂
∂∫
xx
x
x xxx
f
f
Ff
f
Fdxf
f
F
xd
d
f
F δδδ (6.3)
Como o ponto ( )1xxA = é fixo, ( ) 01 =xfδ , pode-se cancelar a última 
parcela de (6.3). Das funções variadas ( )xf~ , aquelas que passam pelos 
extremos ( )11, fx e ( )22 , fx anulam a segunda e terceira parcela de (6.3), e 
obrigam a:
19
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
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_
0=






∂
∂
−
∂
∂
xf
F
dx
d
f
F
(6.4)
Como existem outras funções variadas que não passam pelos extremos 
( )20 xxemf =≠δ haverá então outras condições necessárias para a extremização 
do funcional, a saber:
00
2
=
∂
∂
⇒=
∂
∂
xxx f
Ff
f
F δ (6.5)
A Equação (6.5) é conhecida como condição de contorno natural deste 
problema. Verifique, portanto, que em uma dada extremidade somente uma 
condição de contorno pode ser atribuída, ou seja:
( )
( )


=
∂
∂
=≠
===
=
∂
∂
0,0)
,0)
0
22
222
2 x
f
Fxxemfb
ou
dadoéfxfxxemfa
f
f
F
x
xx δ
δ
δ (6.6)
A condição a) na Equação (6.6) é denominada condição de contorno 
essencial (ou condição de contorno cinemática), e a condição b), como já foi 
declarado, é definida como a condição de contorno natural (ou condição de 
contorno de forças) do problema. É importante destacar que, na mecânica dos 
sólidos, as condições de contorno cinemáticas estão relacionadas com 
deslocamentos (rotações), enquanto que as condições de contorno naturais 
relacionam-se com forças (momento fletor, esforço cortante).
Conclui-se portanto, que para conjunto de condições de contorno, tem-se 
uma função f(x) diferente que extremiza o funcional. Veja na Figura 8 o caso 
mais geral, onde ( )1xfδ e ( )2xfδ podem ser diferentes de zero, de forma que as 
funções candidatas a extremizar I devem satisfazer as condições de contorno 
naturais abaixo:
0
1
=
∂
∂
xxf
F e 0
2
=
∂
∂
xxf
F
20
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
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_
f (x)
x1 x2
x
A
( )1xfδ
( )2xfδ
Figura 8 – O caso mais geral.
O exemplo a seguir caracteriza os tipos de condições discutidas acima.
Exemplo: Considere o funcional abaixo:
( )∫ −=
2
0
22
pi
dxffI x
cuja equação de Euler-Lagrange, 0=+ ff xx , tem solução geral dada por:
( ) ( )xsenCxCf 21 cos +=
Procure determinar a função f(x) capaz de extremizar I. satisfazendo as seguintes 
condições de contorno:
a) Caso 1: A e B fixos, ou seja:
( )
( ) 1
0
12
00
2
1
=
=



=
=
C
e
C
f
f
pi
b) Caso 2: Somente A é fixo: ( ) 00 =f
020 2
2
=⇒=
∂
∂
pi
pi
x
x
f
f
F (tangente nula)
( ) ( )xCxsenCfx cos21 +−= , veja então que:
( )
( ) 0
0
02
00
1
1
=
=



=
=
C
e
C
f
f
x pi
solução: ( )xCf x cos2= (família de funções).
21
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
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_
c) Caso 3: Somente B é fixo: ( ) 12 =pif
020 0
0
=⇒=
∂
∂
x
x
f
f
F (tangente nula)
( ) ( )xCxsenCfx cos21 +−= , veja então que:
( )
( )
⇒
=
=



=
=
1
0
12
00
2
2
C
e
C
f
f x
pi
Não há solução.
f (x)
x
1
pi/2
caso 2
caso 1
caso 2
caso 4
0
Figura 9 - Exemplo de aplicação das condições de contorno.
d) Caso 4: ( )1xf e ( )2xf não são prescritos (veja Figura 9):
( ) 000
0
=⇒=
∂
∂
x
x
f
f
F (tangente nula)
( ) 020
2
=⇒=
∂
∂
pi
pi
x
x
f
f
F (tangente nula)
( )
( ) 0
0
02
00
1
2
=
=



=
=
C
e
C
f
f
x
x
pi
solução: ( ) 0=xf
7 FUNCIONAIS COM DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
Seja o seguinte funcional:
( ) dxfffxFI
x
x
xxx∫= 2
1
,,, (7.1)
22
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
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_
onde agora, além da função f, fx deve ser contínua no intervalo de definição de I. 
Escrevendo-se então a primeira variação de F abaixo:
( )
xx
xx
x
x
f
f
Ff
f
Ff
f
FF δδδδ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
1 (7.2)
e integrando-se entre os pontos 1x e 2x , chega-se à primeira variação de (7.1). 
Da condição de extremo de I, pode-se escrever:
( ) 0
2
1
1
=


∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= ∫
x
x
xx
xx
x
x
dxf
f
Ff
f
Ff
f
FI δδδδ (7.3)
Integrando-se agora por partes a segunda e a terceira parcelas do lado 
direito da equação acima, chega-se a:
a) Segunda parcela:
dxf
f
F
dx
df
f
Fdxf
f
F
x
x x
x
xx
x
x
x
x
∫∫ ∂∂−∂∂=∂∂
2
1
2
1
2
1
δδδ (7.4)
b) Terceira parcela:
dxf
f
F
dx
df
f
Fdxf
f
F
x
x
x
xx
x
x
x
xx
x
x
xx
xx
∫∫ ∂∂−∂∂=∂∂
2
1
2
1
2
1
δδδ (7.5)
Integrando-se por partes ainda a segunda parcela do lado direito da 
Equação (7.5), chega-se a:
dxf
f
F
dx
df
f
F
dx
ddxf
f
F
dx
d
x
x xx
x
xxx
x
x
x
xx
∫∫ ∂∂−∂∂=∂∂
2
1
2
22
1
2
1
δδδ (7.6)
Substituindo então (7.5) em (7.6), segue que:
dxf
f
F
dx
df
f
F
dx
df
f
Fdxf
f
F
x
x xx
x
xxx
x
x
x
xx
x
x
xx
xx
∫∫ ∂∂+∂∂−∂∂=∂∂
2
1
2
22
1
2
1
2
1
δδδδ (7.7)
Verifique que as expressões (7.5) e (7.7) permitem que (7.4) seja 
representada por:
23
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
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_
( )
0
2
1
2
1
2
1
2
2
1
=
∂
∂
+







∂
∂
−
∂
∂
+






∂
∂
+



∂
∂
−
∂
∂
=∫
x
x
x
xx
x
xxxx
x
x xxx
f
f
F
f
f
F
dx
d
f
Fdxf
f
F
dx
d
f
F
dx
d
f
FI
δ
δδδ
(7.8)
de modo que, para a satisfação da equação acima, as seguintes condições 
devem ser atendidas:
a) Equação de Euler-Lagrange:
02
2
=



∂
∂
+



∂
∂
−
∂
∂
xxx f
F
dx
d
f
F
dx
d
f
F (7.9)
b) Condições de Contorno:
Essenciais Naturais
( ) 111 0 fxff x =⇒=δ ou 0
1
=



∂
∂
−
∂
∂
xxxx
f
F
dx
d
f
F (7.10a
)
( ) 222 0 fxff x =⇒=δ ou 0
2
=



∂
∂
−
∂
∂
xxxx
f
F
dx
d
f
F (7.10b
)
( ) 111 0 xxxx fxff =⇒=δ ou 0
1
=
∂
∂
xxxf
F (7.10c
)
( ) 222 0 xxxx fxff =⇒=δ ou 0
2
=
∂
∂
xxxf
F (7.10d
)
Observe ainda que para o funcional estudado existem duas condições de 
contorno para cada bordo. Vale destacar que, a condição 0=fδ em um ponto 
implica que a função f seja conhecida neste ponto. De forma similar, se 0=xfδ 
em um certo ponto, implica que a derivada de f é conhecida neste ponto.
Para o caso mais geral, considere o funcional mostrado abaixo:
( ) dxfffffxFI
x
x
nxxxxxx∫= 2
1
,,,,,,  (7.11)
Estabelecendo então a variação de F, integrando-se entre os pontos 1x e 
2x , depois empregando-se a integração por partes para cada termo i
i
f
f
F δ
∂
∂
, 
obtém-se, após a consideração da condição de extremo para I, as seguintes 
equações:
a) Equação de Euler-Lagrange:
24
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_
( ) 01
1
=



∂
∂
−+
∂
∂ ∑
=
n
k k
k
n
k
f
F
dx
d
f
F (7.12)
b) N condições de contorno em cada extremo ( )21 xxexx == :
( )
( )
0
01
01
2
1
1
2
1
2
1 2
2
1
1
1 1
=
∂
∂
=








∂
∂
−+
∂
∂
=








∂
∂
−+
∂
∂
−
−
=
+
−
=
+
∑
∑
x
x
n
n
x
x
x
n
k k
k
k
k
xx
x
x
n
k k
k
k
k
x
f
f
F
f
f
F
dx
d
f
F
f
f
F
dx
d
f
F
δ
δ
δ

 (7.13)
sendo kkk xf ∂∂= . Tomando-se, por exemplo, n =3 como limite do somatório 
das Equações (7.12) e (7.13), chega-se a:
a) Equação de Euler-Lagrange:
03
3
2
2
=



∂
∂
−



∂
∂
+



∂
∂
−
∂
∂
xxxxxx f
F
dx
d
f
F
dx
d
f
F
dx
d
f
F (7.14)
b) Condições de Contorno:
02
1
=
x
xfδ ou 0
2
1
2
2
=






∂
∂
+



∂
∂
−
∂
∂
x
xxxxxxx
f
F
dx
d
f
F
dx
d
f
F
02
1
=
x
xxfδ ou 0
2
1
=






∂
∂
−
∂
∂
x
xxxxxx
f
F
dx
d
f
F (7.15)
02
1
=
x
xxxfδ ou 0
2
1
=


∂
∂
x
xxxx
f
F
8 FUNCIONAIS COM DUAS VARIÁVEIS INDEPENDENTES (SUPERFÍCIE)
Considere o caso de um funcional com duas variáveis independentes 1x e 
2x . O funcional pode ser escrito da seguinte forma:
( ) 21,21 ,,, dxdxuuxxFI
R
jii∫= 2,1, =ji (8.1)
25
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_
onde jiji dxduu =, e R o domínio do funcional no plano 21xx . Escrevendo-se 
então a primeira variação de F e integrando-se no domínio, tem-se que a 
primeira variação de (8.1) toma a seguinte forma:
21,
,
)1( dxdxu
u
Fu
u
FI
R
ji
ji
i
i
∫  ∂∂+∂∂= δδδ (8.2)
Integrando-se a segunda parcela do lado direito da equação (8.2), chega-
se a:
21
,,
21,
,
dxdx
u
F
x
udSu
u
Fdxdxu
u
F
R jij
i
S
i
ji
j
R
ji
ji
∫∫∫ ∂∂∂∂−∂∂=∂∂ δδηδ (8.3)
que corresponde ao Teorema de Green sendo, nj os cossenos diretores. Os 
cossenos diretores são as componentes do vetor unitário normal à curva de 
bordo S, saindo da região R, como pode ser observado na Figura 10.
R S
x2
x1
n1
n2 n

R S
x2
x1
n1
n2 n

Figura 10 – Cossenos Diretores.
Obtêm-se então, pela condição de extremo para (8.1) as seguintes 
equações de Euler-Lagrange
e condições de contorno:
a) Equações de Euler-Lagrange:
0
2,121,111
=



∂
∂
−



∂
∂
−∂
∂
u
F
dx
d
u
F
dx
d
u
F
0
2,221,212
=



∂
∂
−



∂
∂
−∂
∂
u
F
dx
d
u
F
dx
d
u
F
(8.4)
b) Condições de Contorno:
0
,
=
∂
∂
ji
j u
Fn ou 0=iuδ ii uu ˆ= (8.5)
Teorema de Green
26
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_
Considerando um domínio R no plano xy cercado por uma curva fechada 
de bordo S que consiste de um número finito de pequenos arcos, têm-se: 
∫∫∫ += ∂∂−∂∂ CR dyvdxudydxyuxv (8.6)
Escrevendo ηGv= e 0=u e integrando por partes a parcela do lado 
direito da equação encontra-se:
∫∫∫∫∫ −∂∂−=∂∂
CRR
dlxGdydx
x
Gdydx
x
G ),cos( ηηηη (8.7)
onde ∫ dyGη é a integral de linha ao longo do bordo “y”.
Na Figura 11 observa-se dois domínios com diferentes superfícies de bordo 
e seus respectivos cossenos diretores.
x
y
n2
dy
n1
cos(n1, x) = 1 cos(n2, x) = 0
x
y
n2
dy
n1
cos(n1, x) = 1 cos(n2, x) = 0
(a)
x
y
n
α
cos(n, x) = cos α
Varia ao longo do bordo
x
y
n
α x
y
n
α
cos(n, x) = cos α
Varia ao longo do bordo
(b)
Figura 11 - Domínios (a) retangular (b) circular.
Alguns cuidados são necessários serem observados no desenvolvimento 
da variação do funcional com mais de uma variável independente, tais como:
As integrações dydxuu
F
xy
xy
,
,
δ∫∫∂∂ geram resultados “aparentemente” 
diferentes, dependendo da ordem das integrações.
Em estruturas que possuem um contorno não suave, como no caso dos 
cantos das placas, a integral de linha ∫dS tem de ser integrada por partes.
O número de condições de contorno deve ser compatível com o grau das 
equações diferenciais. Se o número das condições de contorno for diferente do 
grau das equações diferenciais provavelmente falta alguma manipulação final.
27
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_
9 FUNCIONAIS COM TRÊS VARIÁVEIS INDEPENDENTES (VOLUMES)
Seja o seguinte funcional:
( ) 321321321 ,,,,,, dxdxdxuuuuxxxFI V xxx∫∫∫= (9.1)
Escrevendo-se então a primeira variação do funcional e integrando no 
volume, chega-se à primeira variação de (9.1). Da condição de extremo de I, 
pode-se escrever:
dVu
u
Fu
u
Fu
u
Fu
u
FI
V
x
x
x
x
x
x
∫∫∫ 



∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= 3
3
2
2
1
1
)1( ,
,
,
,
,
,
δδδδδ (9.2)
Na Figura 12 pode-se observar uma região definida pela superfície no 
espaço 321 xxx e a normal a um dS dessa superfície.
x2
x1
x3
(normal)n

dS
S (Superfície - Fronteira)
x2
x1
x3
(normal)n

(normal)n

dS
S (Superfície - Fronteira)
Figura 12 - Superfície com três variáveis independentes.
Integrando-se a segunda parcela do lado direito da Equação (9.2), 
encontra-se:
321
11
1
1
3211
1
,
),cos(
,
,
,
dxdxdxu
u
F
x
dSxn
u
Fdxdxdxu
u
F
V x
S xV
x
x
∫ ∫ ∫
∫ ∫∫ ∫ ∫




∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
δ
δ
(9.3)
Substituindo (9.3) em (9.2) e generalizando tem-se que:
∫ ∫∫ ∫ ∫ 








∂
∂
+














∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
=
S
i
ixV ixi
dSu
u
Fdxdxdxu
u
F
xu
FI δηδδ
,, 321
)1(
3,2,1=i
(9.4)
Obtêm-se então, as seguintes equações de Euler - Lagrange e condições 
de contorno:
a) Equações de Euler-Lagrange:
28
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_
0
,
=



∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
ixi u
F
xu
F (9.5)
b) Condições de Contorno:
0
,
=
∂
∂
i
ixu
F η ou 0=iuδ 3,2,1=i (9.6)
Teoremas
O gradiente de uma função φ (x1, x2, x3), chamado de ∇ φ é definido 
como:
i
xi

∂
∂
=∇ φφ 3,2,1=i (9.7)
Dessa forma, pode-se escrever os seguintes teoremas:
a) Teorema de Green:
dSndVdVgrad
SV V
φφφ ∫∫ ∫ =∇=  (9.8)
ou seja:
( ) dSnknjnidzdydxk
x
j
x
i
x S xxxV
φφφφ ∫∫ ++=∂∂+∂∂+∂∂ 321321  (9.9)
onde φ é uma função escalar.
b) Teorema de Gauss
∫ ∫ ∫ •=•∇=V V S dSAndVAdVAdiv  (9.10)
ou seja:
[ ] dSAnAnAndV
x
A
x
A
x
A
SV ∫∫ ++= ∂∂+∂∂+∂∂ 332211332211 (9.11)
onde A
 é uma função vetorial.
c) Teorema de Stokes
∫ ∫ ∫×=×∇=V V S dSAndVAdVArot  (9.12)
u
u
F
x
u
u
Fu
u
F
x x
x
xx
δδδ 



∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=



∂
∂
∂
∂
,
,
,, 11
(9.13)
Na Figura 13 observa-se uma região no espaço x1x2x3:
29
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
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_
x2
x3
x1
ds = dx2 dx3
n
x2
x3
x1
ds = dx2 dx3
n
11 =η ; 032 ==ηη
∫∫ 



∂
∂
32
1,
dxdxu
u
F
i
x
δη
0
, 1
=
∂
∂
xu
F
 ou 0=uδ
Figura 13 – Região no espaço x1 x2 x3.
10 FUNCIONAIS EM FORMA PARAMÉTRICA
Se o funcional compreende curvas que não podem ser dadas como y = 
y(x), será indispensável recorrer à representação paramétrica, a saber:
S
y(x)
x
S
y(x)
x
Representação Paramétrica
x = x(t) 10 ttt ≤≤
y = y(t)
Figura 14 – Representação Paramétrica.
ϕ (t) e ψ (t) continuamente diferenciáveis e satisfazendo a condição 
0
22
≠


+


dt
d
dt
d ψϕ .
O funcional dtyxyxtFdxyyxFJ
Cx ∫∫ == ),,,,(),,,(  não dependerá da 
parametrização adotada se:
1 - não depender explicitamente de t 
),,,(),,,,( yxyxFyxyxtF  =
2 – for homogênea de grau 1 em x e y
),,,(),,,( yxyxFkykxkyxF  =
Se uma curva C parametrizada por x = x(t) e y = y(t) ( 10 ttt ≤≤ ) for um 
extremante do funcional dtyxyxFJ
C∫= ),,,(  na classe de curvas lisas 
ligando o ponto (x0, y0) ao ponto (x1, y1), então x(t) e y(t) obedecerão às 
equações de Euler-Lagrange:
30
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_
0=



∂
∂
−
∂
∂
x
F
dt
d
x
F

(10.1)
0=



∂
∂
−
∂
∂
x
F
dt
d
x
F
 (10.2)
Estas equações não são independentes. Estão interligadas pelo parâmetro 
t e deve-se portanto impor um vínculo a x e y .
No caso de se adotar como parâmetro o comprimento do arco, tem-se:
dx (t)
dy (t)
ds (t)
dx (t)
dy (t)
ds (t)
dy (t)
ds (t)
222 )()()( tdstdytdx =+
st =
222



=


+


ds
ds
ds
dy
ds
dx
122 =+ yx 
Nestas condições só uma equação diferencial é necessária.
Exemplo: 
dtxyyxyxI )(
2
122  −++=∫
Provém do funcional: dxyyxyI xx ),(2
1,1 2 −++=∫ 
x
y
dtdx
dtdy
dx
dyy x 

===
/
/, dtxdx =
1 - ( )yxyxFI  ,,,= não depende explicitamente de t.
2 - ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]dtxkyykxykxkykxkyxFI  −++== ∫ 21,,, 22
[ ] ( )yxyxFkdtxyyxyxK  ,,,
2
122
=−++= ∫
homogênea de grau 1.
0
222
1
2222
=



−
+
=



−
+
−=


∂
∂
−
∂
∂ y
yx
x
dt
dy
yx
x
dt
dy
x
F
dt
d
x
F









=
22
1 y
dt
dy
0
22
=



+
+
−=



∂
∂
−
∂
∂ x
yx
y
dt
d
y
F
dt
d
y
F



31
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_
122
Cy
yx
x
=−
+ 

222
Cx
yx
y
=+
+ 

122 =+yx  Parametrizar pelo comprimento de arco.
Tomando-se:
y = 1 - C1 satisfaz (1) mas não (2).
x = 1 + C2 satisfaz (2) mas não (1). Não possuem extremos.
Introduzindo-se o comprimento de arco como parâmetro, tem-se:
1=+yx  (3)
e o sistema é simplificado.
xCy
ds
dx =+= 1
(
1)
yCx
ds
dy =+−= 2
(
2)
Substituindo-se (1) e (2) em (3), obtém-se:
( ) ( ) 12221 =−++ CxCy
que é uma família de círculos de raio 1 e centro (C2, -C1).
11 A INVARIÂNCIA DA EQUAÇÃO DE EULER
A equação de Euler – Lagrange independe do sistema de coordenadas 
(funcional é invariante).
Mudança de coordenadas: ( ) ( )vuyx ,, → onde ( )vuxx ,= e ( )vuyy ,= , 
com o jacobiano 0,,
,,
≠
vu
vu
yy
xx
.
Uma expressão do tipo ( )dxyyxF x∫ ,,, se transformará segundo:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) duvvuduvxx
vxx
vyyvuyvuxFdxyyxF uuvu
uvu
uvu
x ∫∫∫ Φ=+• ++= ,,,,,,,,, ,,,,,,,,,, (11.1)
sendo:
( )[ ]uvux , ( )[ ]uvuy ,
u
v
v
y
u
y
du
dy
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
 u
v
v
x
u
x
du
dx
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
(11.2)
A equação 0
,
=



∂
∂
−
∂
∂
xy
F
dx
d
y
F se transformará em 0
,
=



∂
Φ∂
−
∂
Φ∂
uvdu
d
v
Em geral se usa mudanças de coordenadas para facilitar a resolução do 
problema.
Exemplo:
32
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_
( )∫ −= −2ln
0
22, dxyeyeI xx
x
Equação de Euler – Lagrange: 0,, 2 =+− yeyy xxxx .
Por conveniência, usar a mudança de coordenadas:
( ) 210
10
01
ln ≤≤≠==== u
u
Jvueuux x
( ) uxu vuud uud xd uvd y ,,1, ===
O funcional toma a forma:
[ ] ueue
u
duvevueI uuuu
u
==−=
−−∫ lnln2
1
2ln22ln /1,
( )duvvI u∫ −=2
1
22,
Equação de Euler-Lagrange: 0, =+vv uu
Solução: usenCuCv 21 cos +=
Voltando às coordenadas primitivas, tem-se: xx esenCeCy 21 cos +=
12 EXTREMOS MÓVEIS
Seja o seguinte funcional:
( ) dxffxFI
x
x
x∫= 1
2
,, (12.1)
e a sua variação:
( ) ( )
( ) ( )[ ] ( )
III
dxffffxFdxffxFffffxF
dxffxFdxffffxFI
xx
x
xx
x
x
xxx
x
x
x
xx
x
xx
∫∫
∫∫
+
+
+++−++
=−++=∆
11
1
1
0
1
0
11
0
,,,,,,
,,,,
δ
δ
δδδδ
δδ
(12.2)
A parcela II se transforma pelo teorema do valor médio.
33
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_
f0
f
x
(x1, f1)
(x1+δx1, f1+δx1)
x0
Af0
f
x
(x1, f1)
(x1+δx1, f1+δx1)
x0
A
f
x
(x1, f1)
(x1+δx1, f1+δx1)
x0
A
Figura 15 – Extremos.
Teorema: Seja a < b e f uma função contínua no intervalo fechado[a, b] e 
derivável em a < x < b. Então existe um ponto c tal que a < c < b e 
ab
afbfcf
−
−
=′
)()()( .
111
11
1
,
11
),,,,(
xxx
dxffffxF
F
xx
x
xx
xx
−+
++
=
∫+
+ δ
δδ
δ
θδ
( ) 10,, 111
11
0
<<=++
+=
+∫ θδδδ δθδ xFdxffffxF xxxxx
x
xx (12.3)
Em virtude da continuidade de F, tem-se que
( ) 1111 ,, ∈+= =+= xxxxxx ffxFF δθ
onde 01→∈ quando 01 →xδ e 01 →fδ
(12.4)
Daí tem-se que:
( ) 1111111 ,, xxffxFxF xxxxxx δδδδθ ∈+= =+= (12.5)
A parcela I que já foi estudada nos dá:
1
)1(
1
0
~ RFdxFF
x
x
+=−∫ δ (12.6)
Onde R1 é um infinitésimo de ordem superior.
1
0
1
0
)1( x
x
x
x
x x
f
f
Fdx
f
F
dx
d
f
FF δδ
∂
∂
+






∂
∂
−
∂
∂
=∫ (12.7)
Como (x0, f0) é fixo 00 ==xxfδ e assim tem-se 1
)1(
xx
x
f
f
FF
=∂
∂
= δδ .
34
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_
x1+δx1
f
x
D
A
x1
C
E
FB
δf1δf
C
ED δx1
δf1-δf
fx
x1+δx1
f
x
D
A
x1
C
E
FB
δf1δf
f
x
D
A
x1
C
E
FB
δf1δf
C
ED δx1
δf1-δf
fx
δf1
x1+δx1
f
x
D
A
x1
C
E
FB
δf1δf
C
ED δx1
δf1-δf
fx
x1+δx1
f
x
D
A
x1
C
E
FB
δf1δf
f
x
D
A
x1
C
E
FB
δf1δf
C
ED δx1
δf1-δf
fx
δf1
CE = δ f1 – δ f ≈ f,x 
δ x1
BD = FC – EC = δ f
1111
, xfffBD xxxxx δδδ == −≈=
(12.8)
Daí tem-se que:
11
11
1
~ xFdxF xx
xx
x
δ
δ
=
+
≈∫ (12.9)
( )111
1
)1(
1
0
)(,
,
~ xxff
f
Ff
f
FFdxFF x
xxxx
x
x
δδδδ −
∂
∂
≈
∂
∂
=≈−
=
∫ (12.10)
Tem-se pois que, salvo um infinitésimo de ordem superior:
( )11111 )(,, xxfffFxFF xxxx δδδδ −∂∂+= = (12.11)
Reagrupando-se os termos:
0
,,
,
111
1 =


∂
∂
+


∂
∂
−=
== xxxxxx
x f
Ff
f
FfFxF δδδ (12.12)
Se as variações δ x1 e δ f1 são arbitrárias e independentes, tem-se pela 
condição de extremo que 0,
, =
∂
∂
−
x
x f
FfF e 0,
=
∂
∂
xf
F
 em x = x1.
Se as variações δ x1 e δ f1 são dependentes: supondo-se que o ponto 
fronteira transforma-se ao longo de certa curva ϕ (x).
δ f1≈ ϕ ,x δ x1
f
x
δ(x1)
ϕ(x)
δ(f1)
dϕ/dx=ϕ,x
f
x
δ(x1)
ϕ(x)
δ(f1)
dϕ/dx=ϕ,x
E a condição de contorno tem a forma:
35
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
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_
( ) 0
,
,, 1
1
=
∂
∂
−+
=
x
f
FfF
xxx
xx δϕ (12.13)
como δ x1 é arbitrário, tem-se a condição de transversalidade 
( ) 0
,
,, =
∂
∂
−+
x
xx f
FfF ϕ em x = x1.
Esta condição estabelece a relação entre os coeficientes angulares ϕ ,x e 
f,x.
Caso geral
( ) 0
,
,, =


∂
∂
−+
x
xx f
FfF ψ em x = x0. 
( ) 0
,
,, =


∂
∂
−+
x
xx f
FfF ϕ em x = x1.
Problema: A partir da equação de Euler – Lagrange determina-se a família 
de soluções f = f(x,C1, C2) e; a partir das condições de contorno 
(transversalidade) e das relações: 
f = f(x0,C1, C2) = ψ (x0)
f = f(x1,C1, C2) = ϕ (x1)
(12.14)
determina-se x0, x1, C1 e C2.
Exemplo: Determinar a condição de transversalidade para funcionais do 
tipo:
dxffxAI
x
x
x∫ += 1
0
2,1),(
Equação de Euler – Lagrange:
( ) 0,,
,1
,),(,1),(
2
2
=−
+
++ xx
x
x
x f
f
ffxAffxA ϕ
[ ] ( )
2
22
2 ,1
,,1),(0,,,,1
,1
,),(
x
xx
xxxx
x
x
f
ffxAfff
f
ffxA
+
+
==−++
+
ϕϕ
Se 0),( ≠fxA , tem-se a condição de ortogonalidade: ( ) 0,,1 =+ xxf ϕ .
Exemplo: Determinar a distância mínima entre a parábola 2xy= e a reta 
5=−yx .
36
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_
y = x 2
y = x - 5(x0,y0)
(x1,y1)
y = x 2
y = x - 5(x0,y0)
(x1,y1)
Minimizar o funcional:
dxfI
x
ox
x∫ += 1 2,1
Sujeito às condições ( ) 2xx =Ψ em 0xx = e ( ) 5−=xxϕ em 1xx= .
Solução da Equação de Euler – Lagrange: 21 CxCf += .
Condições de Transversalidade:
021,,1
010
=⋅+=+
== xxxxxx Cxfψ 012 01 =+xC
011,,1
111
=⋅+=+
== xxxxxx Cfϕ 011 =+C
Daí tem-se que: 11 −=C e 210 =x .
Dos vínculos tem-se as relações:
( ) ( )00 xxf ψ= 20201 xCxC =+
( ) ( )11 xxf ϕ= 51211 −=+ xCxC
Daí tem-se que: 433 =C e 8231 =x
A função minimante será 43+−= xf e a distância será:
( )
8
219211
823
21
823
21
2
min ==−+= ∫ xdxϕ
Vários problemas podem ser resolvidos usando-se o conceito de fronteira 
móvel, como, por exemplo:
1- Extremantes com pontos angulares
x
C (x1, f1)
ϕ(x)
B (x2, f2)
A (x0, f0)
x
C (x1, f1)
ϕ(x)
B (x2, f2)
A (x0, f0)
Figura 16 – Extremantes com pontos angulares.
Refração, reflexão, solução descontínua, solução de problemas com 
fronteira, etc.
f(x) é contínua com derivadas descontínuas em certos pontos (pontos 
angulares).
37
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_
Em C a derivada à esquerda ( )0, 1 −xf x e a derivada à direita ( )0, 1 +xf x 
são diferentes.
Tem-se, pois o funcional:
( ) ( )dxffxFdxffxFI
x
x
x
x
x
x ∫∫ += 2
1
2
1
0
1 ,,,,,,
(12.15
)
Em cada intervalo, sendo f,x uma função contínua, podem-se empregar 
todos os resultados anteriores.
• x0, x2 pontos fixos.
• x1 fronteira móvel.
A condição necessária de extremo toma a forma:
( ) ( )dxffxFdxffxFv
x
x
x
x
x
x ∫∫ += 2
1
2
1
0
1 ,,,,,, δδδ (12.16)
com o ponto (x1, f1) sobre a curva ( )xϕ .
f(x) atende a equação de Euler – Lagrange tanto em AC quanto em CB.
Tem-se, assim, dois problemas com fronteira móvel.
( ) ( ) 1
011
1
11
1
0
1 ,
,,,,, x
f
FfFdxffxF
xxx
xx
x
x
x δϕδ
−=



∂
∂
−+=∫ (12.17)
( ) ( ) 1
012
2
22
2
1
1 ,
,,,,, x
f
FfFdxffxF
xxx
xx
x
x
x δϕδ
+=



∂
∂
−+−=∫ (12.18)
• 01 −x tende a x1 pela esquerda.
• 01 +x tende a x1 pela direita.
0=Iδ
( ) ( ) 0
,
,,
,
,,
012
2
22
011
1
11 =


∂
∂
−+−


∂
∂
−+
+=−= xxx
xx
xxx
xx f
FfF
f
FfF ϕϕ (12.19)
Já que 1xδ é arbitrária.
Exemplo: Refração de luz.
38
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
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_
ϕ(x)
A
B
C
Luz
φ2
φ1
Meio 1
Meio 2
velocidade v1
velocidade v2
ϕ(x)
A
B
C
Luz
φ2
φ1
Meio 1
Meio 2
velocidade v1
velocidade v2
Figura 17 – Refração de Luz.
Princípio de Fermat – O caminho entre A e B minimiza o tempo de 
percurso.
Velocidade dtdsv= .
Tempo de propagação da luz entre dois pontos ∫= vdst .
Tem-se, então: dxv
f
dx
v
f
I
B
C
x
C
A
x ∫∫ +++=
2
2
1
2 ,1,1
. Para cada trecho f(x) é 
solução do funcional dxf
x
ox
x∫ +1 2,1 .
Tem-se pois: 
qpxf
nmxf
+=
+=
2
1 .
A condição de contorno em C será:
2
11
2
11
1
1
1
2
1
1
1
11
,1
1
,1
,,
,1
,
,
xx
x
x
x
x
x
fvfv
ff
v
f
f
FfF
+
=
+
−
+
=
∂
∂
−
2
222
2
22
,1
1
,
,
xx
x
fvf
FfF
+
=
∂
∂
−
2
11
1
1
1
,1
,,
,
,
x
xx
x
x
fv
f
f
F
+
=
∂
∂ ϕϕ 2
22
2
2
2
,1
,,
,
,
x
xx
x
x
fv
f
f
F
+
=
∂
∂ ϕϕ
A
C
α β1
C
B
β2
A
C
α β1
C
B
β2
( )αϕ tgx =,
( )11, βtgf x =
( )22 , βtgf x =
2
22
2
2
11
1
,1
,,1
,1
,,1
x
xx
x
xx
fv
f
fv
f
+
+
=
+
+ ϕϕ
t
39
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
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_
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )22
2
11
1
1
1
1
1
β
βα
β
βα
tgv
tgtg
tgv
tgtg
++
++
=
++
++
 sendo ( ) ( )11 sec1 ββ =+tg , então:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) 1
111
1
1
1
cos
cos
cos
coscoscos
coscos
1
v
sensensensen
α
βα
α
βαβαββα
βα −
=
+
=


+ , 
assim:
( )
( )
( )
( ) 2
2
1
1
cos
cos
cos
cos
vv α
βα
α
βα −
=
−
( )
( ) ==−
−
2
1
2
1
cos
cos
v
v
βα
βα
constante. Como: 
( ) ( )
( ) ( )22
11
cos
cos
φβα
φβα
sen
sen
=−
=−
, temos:
( )
( ) 2
1
2
1
v
v
sen
sen
=φ
φ
 Lei de Snell.
Outros problemas como funcionais com solução descontínua segue o 
mesmo raciocínio.
Função f(x) é descontínua.
A
C B
x0 x1 x2
A
C B
x0 x1 x2
Figura 18 – Função descontínua
∫∫∫ +== 2
1
1
0
2
0
x
x
x
x
x
x
dxFdxFdxFI
1
01
1
01
1
01
1
01
,
,
,
,,
,
f
f
F
x
f
FfFf
f
Fx
f
FfFI
xxx
xxx
x
xxxxxx
x
δ
δδδδ
+=
+=−=−=



∂
∂
−



∂
∂
−−


∂
∂
+


∂
∂
−=
(12.20)
ou seja,
012
2
011
1
,,
+=−=
∂
∂
=
∂
∂
xxxxxx f
F
f
F
(12.21)
012
2
22
011
1
11 ,
,
,
,
+=−=
∂
∂
−=
∂
∂
−
xxx
x
xxx
x f
FfF
f
FfF (12.22)
Condições de Weierstrass – Erdmann.
40
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
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_
13 PROBLEMAS VARIACIONAIS COM RESTRIÇÕES
Exemplos:
a) Problema da catenária só possui solução quando se especifíca o 
comprimento da corda.
b) Problema como vibrações inextensionais são formulados 
estabelecendo-se que a deformação é nula.
Dado um funcional F as restrições ao mesmo podem ser dados por:
1) Funcionais – problema isoparamétrico.
2) Equações algébricas - vínculos holônomos.
3) Equações diferenciais – vínculos não-holônomos ou reônomos.
Como no caso do extremo de funções usaremos aqui os multiplicadores de 
Lagrange (um número λ no caso (1) e uma função λ (xi) das variáveis 
independentes xi nos casos (2) e (3)).
13.1 Problema Isoperimétrico
Teorema de Euler: qualquer ponto estacionário f = f(x) de:
[ ] ( )dxffxFfI
x
x
x∫= 1
0
,,, (13.1)
No domínio das funções sujeitas às condições:
( ) 00 fxf = e ( ) 11 fxf = (13.2)
e à restrição:
[ ] ( )dxffxGfK
x
x
x∫= 1
0
,,, (13.3)
e que não for ponto estacionário para o funcional K[f], será, ao se escolher 
convenientemente o multiplicador de Lagrange λ , um ponto estacionário para:
[ ] ( )dxffxHfL
x
x
x∫= 1
0
,,, , ( ) 00 fxf = e ( ) 11 fxf = (13.4)
onde:
( ) ( ) λ+= xx ffxFffxH ,,,,,, (13.5)
(incógnitas C1,C2, λ ).
Exemplo: Encontrar a função f(x) com f(-a) = f(a) = 0 e comprimento l (l > 
2a) que delimita junto com o segmento –a ≤ x ≤ a a região de área máxima.
41
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
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_
f
f(x)
Amax
a-a
x
f
f(x)
Amax
a-a
x
Área ∫
−
a
a
dxxf )(
Comprimento ∫
−
+
a
a
x dxf
2,1
Funcional ∫
−
=
a
a
dxxfI )( ; Restrição ldxfK a
a
x =+=∫
−
2,1 ; Condição de contorno 
0)()( ==− afaf .
2,1)( xfxfGFH ++=+= λλ
∫
−
++=
a
a
x dxfxfL
2,1)( λ
1=
∂
∂
f
L 2,1
,
,
x
x
x f
f
f
L
+
=
∂
∂ λ
Equação de Euler – Lagrange: 0
,1
,1
2
=



+
−
x
x
f
f
dx
d λ
Solução: 1
,1
,
2
=



+ x
x
f
f
dx
d λ
( ) 2112 ,1,,1
,
xx
x
x fCxfCx
f
f
++=→+=
+
λλ
( ) ( )22122 ,1, xx fCxf ++=λ
( )[ ] ( ) 212122, CxCxf x +=+−λ
( )
( ) dx
df
Cx
Cxf x =
+−
+
=
2
1
2
1,
λ
( ) ( ) 22122 λ=+++⇒ CxCxf
Centro (-C1, -C2); raio λ.
λ,,,1
0)()(
212 CCldxf
afaf
a
a
x 


=+
==−
∫
−
22
21 0 aCC −== λ
( )aC == λ,02 neste exemplo.
No caso do problema isoperimétrico não há qualquer limitação quanto ao 
número de restrições.
Caso Geral: Dado o funcional:
42
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
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_
[ ] ( )dxffffxFffJ
x
x
xnxnn ∫= 1
0
,111 ,,,,,,,,,  (13.6)
com as condições de contorno:
( ) 00 ii fxf = ; ( ) 11 ii fxf = ( )ni ,,2,1 = (13.7)
e as restrições:
( ) j
x
x
xnxnj ldxffffxG =∫1
0
,,11 ,,,,,,  ( )mj ,,2,1 = (m qualquer); (13.8)
constrói-se o funcional:
dxHdxGF
x
x
x
x
m
j
jj ∫∫ ∑ =



+=Φ
=
1
0
1
0 1
λ (13.9)
que nos fornece o sistema de n equações:
0
,
=



∂
∂
−
∂
∂
xii f
H
dx
d
f
H ni ,,2,1 = (13.10)
As constantes de integração C1, C2, ..., Cn e os multiplicadores de Lagrange 
λ 1, λ 2, ..., λ m (m+2n incógnitas) são obtidas através das condições de contorno 
e das restrições.
A formulação pode ser aplicada a qualquer tipo de funcional e valem todas 
as regras determinadas para condições de contorno naturais e móveis.
Exemplo:
( )dxyyyxfI
x
x
∫ ′′′= 2
1
,,,
( ) CdxyyyxgJ
x
x
=′′′=∫2
1
,,,
dxfIgff
x
x
∫ ∗∗∗ =⇒+= 2
1
λ
Equação de Euler – Lagrange: 02
2
=



′′∂
∂
+



′∂
∂
−
∂
∂ ∗∗∗
y
f
dx
d
y
f
dx
d
y
f
Condições de contorno: y dado ou 0=



′′∂
∂
−
′∂
∂ ∗∗
y
f
dx
d
y
f
 y′ dado ou 0=
′′∂
∂ ∗
y
f
43
Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
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_
13.2 Vínculos Holônomos
Determinação dos extremantes do funcional
( )dxffffxF
x
x
xnxn∫1
0
,11 ,,,,,,,  (13.11)
satisfazendo às condições de fronteira especificadas e sujeito a restrição do tipo:
( ) 0,,, 1 =ni ffx ϕ ; ( )nmmi <= ;,,1 (13.12)
admitindo-se que os vínculos são independentes, isto é, que não se anula pelo 
menos um dos Jacobianos:
( )
( ) j
i
m
m
fff ∂
∂
∂
∂ ϕϕϕ
,,
,,
1
1

 (13.13)
Pode-se construir a função:
∑
=
+=
m
i
ii xFH
1
)( ϕλ (13.14)
Onde λ i(x) são funções da variável independente e vale o teorema:
Qualquer ponto estacionário de (13.11) no domínio das funções sujeitas 
aos vínculos (13.12) será, ao se escolher convenientemente os multiplicadores 
λ i(x) (i = 1, ..., m) um ponto estacionário do funcional.
∑
=
+=
m
i
ii xFH
1
)( ϕλ (13.15)
Exemplo: Achar a função extremante do funcional d xzyI 2
1
0
2
′+′= ∫ sujeito 
às condições de contorno 0)0()0( ==zy e 1)1()1( −==zy e à restrição 
031 =++= zyxϕ .
Solução: m = 1, n = 2 m < n Jacobianos 01≠=∂∂ yϕ
Função auxiliar ( ) ( )( )zyxxzyH +++′+′= 322 λ .
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Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
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_
( ) dxzyzyxHL ∫ ′′=1
0
,,,, 2 equações de Euler Lagrange.
0=


′∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
y
F
xy
F 02 =′′−yλ 2λ=′′y
0=


′∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
z
F
xz
F 02 =′′− zλ 2λ=′′z
0=′′−′′ zy 1Czy =′−′
das restrições tem-se que:
23xzy −=′−′
2
1 32 xCy −=′ → 223 12 Cxy +−=′
21
3 22 CxCxy ++−=
00)0( 2 == Cy
10)1( 1 == Cy
2/)( 3xxy −=
2222
33
33 xxxxxyxz −−=+−−=−−=
2/)( 3xxz −−=
xxzy 6)3(222 −==′′=′′=λ
x6−=λ
13.3 Restrições não – holonômicas ou reonômicas
Dado o funcional 
( )dxffffxFI xnxn
x
x
,,11
1
0
,,,,,, ∫= (13.16)
com restrições do tipo:
( )xnxni ffffx ,,11 ,,,,,, ϕ )(,1 nmmi <= (13.17)
considere o funcional
dxHdxxFL
x
x
x
x
m
i
ii ∫∫ ∑ =



+=
=
1
0
1
0 1
)( ϕλ (13.18)
como no caso anterior.
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Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
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_
Para que as equações diferenciais ϕ i sejam independentes é necessário 
que pelo menos um dos jacobianos
0≠
∂
∂
i
i
y
ϕ
 
( )
( )xmxx
m
fff ,,2,1
21
,,,
,,,


∂
∂ ϕϕϕ
(13.19)
seja diferente de zero.
14 MÉTODO DE RITZ
Dado o funcional:
( )[ ]xyI (14.1)
Considera-se y(x), não como uma curva arbitrária admissível, mas como 
combinações lineares.
( )∑
=
=
n
i
iin xWy
1
α (14.2)
α i são constantes (a determinar) de membranas de uma certa família de funções 
linearmente independentes Wi(x).
Para que yn(x) sejam funções admissiveis Wi(x) deve atender certas 
limitações assegurando a suavidade e o cumprimento das condições de fronteira 
(ao menos das cinemáticas).
Substituindo-se yn no funcional e processando-se a integração, um 
funcional ( )[ ]xyJ se transforma em uma função das variáveis α i:
( )[ ] ( )ixyJ αΦ= (14.3)
Os coeficientes α i se escolhem de modo que a função ( )iαΦ tenha um 
extremo; em conseqüência, α 1, α 2, ..., α n devem ser determinados através do 
sistema:
( )ni
i
,,2,10 ==
∂
∂
α
ϕ
(14.4)
Passando ao limite ∞→n , se obtém - no caso em que o limite existe – a 
função.
( ) ( )∑∞
=
=
1i
ii xWxy α (14.5)
que é a solução exata.
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Introdução ao Cálculo Variacional – Paulo Batista Gonçalves
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_
Veja que se ( )[ ] ( )[ ]xyIxyIn n min
maxlim
=
∞→
, não implica