Geometria analitica conicas elipse hiperbole parabola

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Cônicas 
 
1. (Espcex (Aman) 2014) Sobre a curva 9x
2
 + 25y
2
 – 36x + 50y – 164 = 0, assinale a 
alternativa correta. 
a) Seu centro é (– 2,1). 
b) A medida do seu eixo maior é 25. 
c) A medida do seu eixo menor é 9. 
d) A distância focal é 4. 
e) Sua excentricidade é 0,8. 
 
2. (Fuvest 2014) Considere a circunferência 
λ
 de equação cartesiana 
2 2x y 4y 0  
 e a 
parábola 
α
 de equação 
2y 4 x . 
 
 
a) Determine os pontos pertencentes à interseção de 
λ
 com 
.α
 
 
b) Desenhe, no par de eixos dado na página de respostas, a circunferência 
λ
 e a parábola 
.α
 
Indique, no seu desenho, o conjunto dos pontos (x,y), que satisfazem, simultaneamente, as 
inequações 
2 2x y 4y 0  
 e 
2y 4 x . 
 
 
 
 
3. (Uem 2013) Sobre a cônica de equação 
2 2x 4y 9, 
 assinale o que for correto. 
01) Trata-se de uma elipse. 
02) A cônica intercepta o eixo das abscissas em (3,0) e (−3,0). 
04) Se A e B são pontos da cônica que não são colineares com os focos D e E da cônica, os 
triângulos ADE e BDE possuem o mesmo perímetro. 
08) A circunferência centrada na origem e de raio 
2
 tangencia essa cônica. 
16) O ponto 
1
2 2,
2
 
 
 
 pertence à cônica. 
 
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4. (Ufpe 2013) A seguir, estão ilustradas partes dos gráficos das parábolas A e B, com 
equações respectivas 
2y x 8x 13   
 e 
2y x – 4x – 3.
 
 
 
 
Analise as proposições abaixo, acerca dessa configuração. 
( ) Um dos pontos de interseção das parábolas A e B tem coordenadas (1,–6). 
( ) O vértice da parábola A é o ponto (4,2). 
( ) A reta que passa pelos pontos de interseção das parábolas A e B tem equação 
y 2x – 6.
 
( ) A distância entre os vértices das parábolas A e B é 
102.
 
( ) A parábola B intercepta o eixo das ordenadas no ponto com coordenadas (0,–3). 
 
5. (Epcar (Afa) 2013) Sobre a circunferência de menor raio possível que circunscreve a elipse 
de equação 
2 2x 9y 8x 54y 88 0    
 é correto afirmar que 
a) tem raio igual a 1. 
b) tangencia o eixo das abscissas. 
c) é secante ao eixo das ordenadas. 
d) intercepta a reta de equação 
4x – y 0.
 
 
6. (Unesp 2013) Os pontos A e C são intersecções de duas cônicas dadas pelas equações 
2 2x y 7 
 e 
2y x –1,
 como mostra a figura fora de escala. Sabendo que 
2 3
tg 49
3

 
 e 
tomando o ponto 
 B 0,– 7 ,
 determine a medida aproximada do ângulo 
ˆABC,
 em graus. 
 
 
 
7. (Fgv 2013) Sendo m o maior valor real que x pode assumir na equação analítica 
2 2(x 2) 4(y 5) 36,   
 e n o maior valor real que y pode assumir nessa mesma equação, 
então, 
m n
 é igual a 
a) 8. b) 7. c) 6. d) 4. e) 3. 
 
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8. (Udesc 2013) A área delimitada por uma elipse cuja equação é 2 2
2 2
x y
1
a b
 
 é dada por 
A ab .π
 Então, a área da região situada entre as elipses de equações 
2 216x 25y 400 
 e 
2 216x 9y 144 
 é: 
a) 
12 u.a.π
 
b) 
20 u.a.π
 
c) 
8 u.a.π
 
d) 
256 u.a.π
 
e) 
u.a.π
 
 
9. (Ufrn 2013) Um arquiteto projetou, para um salão de dimensões 22 m por 18 m, um teto de 
gesso em formato de elipse com o eixo maior medindo 20 m e o eixo menor, 16 m, conforme 
ilustra a figura abaixo. 
 
 
 
O aplicador do gesso afirmou que saberia desenhar a elipse, desde que o arquiteto informasse 
as posições dos focos. 
Para orientar o aplicador do gesso, o arquiteto informou que, na direção do eixo maior, a 
distância entre cada foco e a parede mais próxima é de 
a) 3 m. 
b) 4 m. 
c) 5 m. 
d) 6 m. 
 
10. (Uftm 2012) Os pontos P e Q estão na parábola dada por y = 4x
2 
+ 7x – 1, e a origem do 
sistema de coordenadas cartesianas está no ponto médio de 
PQ.
 Sendo assim, P e Q são 
pontos que estão na reta 
a) 
15x
y .
2

 
b) 
y 7x.
 
c) 
13x
y .
2

 
d) 
y 6x.
 
e) 
11x
y .
2

 
 
 
 
 
 
 
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11. (Uepb 2012) Deseja-se construir uma praça em forma de elipse em um terreno retangular 
de dimensões x metros e y metros, com 
x y,
 de perímetro 
300 m
 e área 
25000 m ,
 conforme 
nos mostra a figura. 
 
 
 
Estando previstas as instalações de duas torres de iluminação, uma em cada foco da elipse, 
1 2F e F ,
 local de melhor distribuição e aproveitamento das mesmas, concluímos que a 
distância em metros entre as torres é 
a) 
100 3
 
b) 
25 3
 
c) 
50 3
 
d) 
40 3
 
e) 
30 3
 
 
12. (Espcex (Aman) 2012) A representação no sistema cartesiano ortogonal da equação 
   2 29x y 36x 8y 11
 é dada por 
a) duas retas concorrentes. 
b) uma circunferência. 
c) uma elipse. 
d) uma parábola. 
e) uma hipérbole. 
 
13. (Espcex (Aman) 2012) Num estádio de futebol em forma de elipse, o gramado é o 
retângulo MNPQ, inscrito na cônica, conforme mostra a figura. Escolhendo o sistema de 
coordenadas cartesianas indicado e tomando o metro como unidade, a elipse é descrita pela 
equação 
 
2 2
2 2
x y
1.
36 60
 Sabe-se também que os focos da elipse estão situados em lados do 
retângulo MNPQ. 
 
Assim, a distância entre as retas MN e PQ é 
a) 48 m b) 68 m c) 84 m d) 92 m e) 96 m 
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14. (Ufpb 2011) A secretaria de infraestrutura de um município contratou um arquiteto para 
fazer o projeto de uma praça. Na figura a seguir, está o esboço do projeto proposto pelo 
arquiteto: uma praça em formato retangular medindo 80 m x 120 m, onde deverá ser construído 
um jardim em forma de elipse na parte central. 
 
 
 
Estão destacados na figura os segmentos AC e BD que são, respectivamente, o eixo maior e o 
menor da elipse, bem como os pontos F1 e F2, que são os focos da elipse onde deverão ser 
colocados dois postes de iluminação. 
 
Com base nessas informações, conclui-se que a distância entre os postes de iluminação será, 
aproximadamente, de: 
a) 68 m 
b) 72 m 
c) 76 m 
d) 80 m 
e) 84 m 
 
15. (Ime 2010) Uma hipérbole de excentricidade 
2
 tem centro na origem e passa pelo ponto 
 5,1
. 
A equação de uma reta tangente a esta hipérbole e paralela a 
y 2x
 é: 
a) 
3 y 2 3 x 6 
 
b) 
y 2x 3 3  
 
c) 
3y 6x 2 3 
 
d) 
3 y 2 3 x 4 
 
e) 
y 2x 3 
 
 
16. (Uft 2010) Considere IR o conjunto dos números reais e 
b IR
. Encontre os valores de b, 
tais que no plano cartesiano xy, a reta y = x + b intercepta a elipse 
2
2x y 1
4
 
em um único 
ponto. A soma dos valores de b é: 
a) 0 
b) 2 
c) 
2 5
 
d) 
5
 
e) 
2 5
 
 
 
 
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17. (Unesp 2010) A figura mostra a representação de algumas das ruas de nossas cidades. 
Essas ruas possuem calçadas de 1,5 m de largura, separadas por uma pista de 7 m de largura. 
Vamos admitir que: 
 
I. os postes de iluminação projetam sobre a rua uma área iluminada na forma de uma elipse de 
excentricidade 0,943; 
II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente abaixo da lâmpada, no meioda rua; 
III. o eixo menor da elipse, perpendicular à calçada, tem exatamente a largura da rua (calçadas 
e pista). 
 
Se desejarmos que as elipses de luz se tangenciem nas extremidades dos eixos maiores, a 
distância, em metros, entre dois postes consecutivos deverá ser de aproximadamente: 
 
Dado: 0,943
2
 ≈ 0,889 e 
0,111 
 
 
 
a) 35. 
b) 30. 
c) 25. 
d) 20. 
e) 15. 
 
18. (Udesc 2009) Analise as afirmações dadas a seguir, classifique-as como verdadeiras (V) 
ou falsas (F). 
 
( ) A equação x
2
 - 2x + y
2
 + 2y + 1 = 0 representa uma circunferência que é tangente, tanto 
ao eixo das abscissas quanto ao eixo das ordenadas. 
( ) A elipse de equação 9x
2
 + 4y
2
 = 36 intercepta a hipérbole de equação x
2
 - 4y
2
 = 4 em 
apenas dois pontos, que são os vértices da hipérbole. 
( ) O semieixo maior da elipse 9x
2
 + 4y
2
 = 36 é paralelo ao eixo real da hipérbole x
2
 - 4y
2
 = 4. 
 
Assinale a alternativa que contém a sequência correta, de cima para baixo. 
a) V - V - V 
b) V - V - F 
c) F - V - F 
d) F - F - V 
e) V - F - F 
 
19. (Ita 2008) Dada a cônica ë: x
2
 - y
2
 = 1, qual das retas abaixo é perpendicular à ë no ponto 
P = (2, 
3
)? 
a) y = 
3
x – 1 b) y = 3
x
2
 c) y = 3
x 1
3

 
d) y = - 3
x 7
5

 
e) y = - 3
x 4
2

 
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20. (Unesp 2008) Suponha que um planeta P descreva uma órbita elíptica em torno de uma 
estrela O, de modo que, considerando um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, 
sendo a estrela O a origem do sistema, a órbita possa ser descrita aproximadamente pela 
equação 2 2x y
 
100 25
   
      
   
= 1, com x e y em milhões de quilômetros. 
A figura representa a estrela O, a órbita descrita pelo planeta e sua posição no instante em que 
o ângulo PÔA mede 
4
π
. 
 
A distância, em milhões de km, do planeta P à estrela O, no instante representado na figura, é: 
a) 2
5
. 
b) 2
10
. 
c) 5
2
. 
d) 10
2
. 
e) 5
10
. 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [E] 
 
9x
2
 + 25y
2
 – 36x + 50y – 164 = 0 
 
9(x
2
 – 4x + 4) + 25(y
2
+ 2y + 1) = 164 + 36 + 25 
 
9(x – 2)
2
 + 25(y + 1)
2
 = 225 
 
2 2(x 2) (y 1)
1
25 9
 
 
 
 
Equação de uma elipse com centro no ponto (2, –1), eixo maior igual a 10, eixo menor igual a 
6, distância focal igual a 8 e excentricidade e = 4/5 = 0,8. 
Portanto, a afirmação [E] é a verdadeira. 
 
Resposta da questão 2: 
 a) Resolvendo o sistema formado pelas equações de 
λ
 e 
,α
 obtemos 
 
2 2 2
2 2
2
2
2
x y 4y 0 x 4 y
y 4 x y 5y 4 0
x 4 y
y 5y 4 0
x 4 y
y 1 ou y 4
( 3,1) ou (0, 4).
      
 
      
  
 
  
  
 
 
 
 
 
b) Completando os quadrados, obtemos 
 
2 2 2 2x y 4y 0 (x 0) (y 2) 4.        
Logo, 
λ
 possui centro em 
(0, 2)
 e raio 
2.
 
 
Por outro lado, a equação canônica de 
α
 é 
2y (x 0) 4.   
 Assim, o ponto de máximo do 
gráfico de 
α
 é 
(0, 4).
 Além disso, de (a) sabemos que 
α
 intersecta 
λ
 em 
( 3, 1)
 e 
( 3, 1).
 
 
Portanto, o conjunto dos pontos 
(x, y),
 que satisfazem, simultaneamente, as inequações 
2 2x y 4y 0  
 e 
2y 4 x 
 pertencem à região sombreada da figura abaixo. 
 
 
 
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Resposta da questão 3: 
 01 + 02 + 04 + 16 = 23. 
 
[01] Correto. Reescrevendo a equação, obtemos 
 
2 2
2 2
x y
1,
3 3
2
 
 
 
 
 
 
que é a equação de uma elipse centrada na origem, com 
a 3
 e 
3
b .
2

 
 
[02] Correto. De (01), segue que a elipse intersecta o eixo das abscissas nos pontos 
(a,0) (3,0)
 e 
( a,0) ( 3,0).  
 
 
[04] Correto. Pela definição de elipse, temos 
AD AE BD BE.  
 Logo, como 
DE
 é lado 
comum, segue o resultado. 
 
[08] Incorreto. De [01], sabemos que a elipse intersecta o eixo das ordenadas no ponto de 
ordenada 
3
y .
2

 Por outro lado, a circunferência centrada na origem e de raio 
2
 
intersecta o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 
2.
 Daí, como 
3
2 1,4 1,5 ,
2
  
 
concluímos que a elipse e a circunferência não se intersectam. 
 
[16] Correto. Temos 
 
2
2 1(2 2) 4 8 1 9.
2
 
     
 
 
 
Resposta da questão 4: 
 V – F – F – F – V. 
 
Resolvendo o sistema formado pelas equações das parábolas, encontramos: 
 
2
2
y x 8x 13 x 1 e y 6
.
x 5 e y 2y x 4x 3
        
 
    
 
 
Logo, os pontos de interseção das parábolas são 
(1, 6)
 e 
(5, 2).
 
 
A reta que passa pelos pontos de interseção das parábolas tem por equação 
 
6 2y 2 (x 5) y 2x 8 2x 6.
1 5
         

 
 
Completando o quadrado, obtemos: 
 
2 2
Ay x 8x 13 (x 4) 3,       
 
 
donde concluímos que o vértice da parábola 
A
 é o ponto 
(4,3) (4, 2).
 
 
Completando o quadrado, vem 
 
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2 2
By x 4x 3 (x 2) 7.     
 
 
Daí, segue que o vértice da parábola 
B
 é o ponto 
(2, 7).
 
 
A distância entre os vértices das parábolas 
A
 e 
B
 é dada por 
 
2 2(4 2) [3 ( 7)] 104 102.     
 
 
A parábola 
B
 intersecta o eixo das ordenadas no ponto em que 
x 0,
 ou seja, 
(0, 3).
 
 
Resposta da questão 5: 
 [B] 
 
 
 
2 2x 9y 8x 54y 88 0     
 
x
2
 – 8x + 16 + 9

(y
2
 – 6y + 9) = –88 + 16 + 81 
 
 
(x – 4)
2
 + 9

(y – 3)
2
 = 9 
2(x 4) (y 3)
1
2 23 1
 
 
 
 
Como o eixo maior da elipse mede 6 (3 + 3), concluímos que a circunferência de menor raio 
possível que circunscreve a elipse possui centro no (4, 3) e raio 3; portanto, tangente ao eixo x. 
 
Resposta da questão 6: 
 Determinando os pontos A e C através da resolução de um sistema com as equações da 
parábola e da circunferência. 
 
2 2
2
x y 7
,
y x 1
  

 
 
A( 3,2) e C( 3,2)
 (figura abaixo) 
 
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Considerando, agora, o triângulo CDO: 
 
2 2 3
tg
33
α  
 
ˆ ˆ49 COD 41 AOC 82α      
 
 
ˆAOC 82ˆABC 41
2 2

   
(ângulo inscrito) 
 
Resposta da questão 7: 
 [C] 
 
Reescrevendo a equação 
2 2(x 2) 4(y 5) 36,   
 obtemos 
 
2 2
2 2
(x 2) (y 5)
1,
6 3
 
 
 
 
que é a equação de uma elipse centrada em 
(2, 5),
 com o semieixo maior paralelo ao eixo 
das abscissas. Logo, como 
a 6
 e 
b 3,
 temos 
m 2 6 8  
 e 
n 5 3 2.    
 Portanto, 
m n 8 ( 2) 6.    
 
 
Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
Reescrevendo as equações das elipses, obtemos 
 
2 2
2 2
2 2
x y
16x 25y 400 1
5 4
    
 
e 
2 2
2 2
2 2
x y
16x 9y 144 1.
3 4
    
 
 
Logo, traçando os gráficos dessas elipses, vem 
 
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e, portanto, a área sombreada é dada por 
 
(5 4 4 3) 8 u.a.π π    
 
 
Resposta da questão 9: 
 [C]Adotando convenientemente um sistema de coordenadas cartesianas, com origem no ponto 
médio do segmento 
1 2F F ,
 considere a figura. 
 
 
 
Temos 
1A ( 10, 0), 
 
2A (10, 0),
 
1B (0, 8),
 
2B (0, 8), 
 
1F ( c, 0) 
 e 
2F (0, c),
 com 
c 0.
 Logo, da relação fundamental da elipse, vem 
 
2 2 2 2 2 2
1 2 2 1B F OF OB 10 c 8
c 6.
    
 
 
 
Portanto, a distância pedida é dada por 
 
2 2OP OF 11 6 5 m.   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 10: 
 [B] 
 
Considere a figura, com 
, . 
 
 
 
 
Como 
P( , ) 
 e 
Q( , ) 
 pertencem ao gráfico da parábola 
2y 4x 7x 1,  
 segue que 
 
2 2
2 2
1
4 7 1 8 2 2
.
74 7 1 4 7 1
2

            
   
                

 
 
Portanto, a equação da reta que passa por 
P
 e 
Q
 é dada por: 
 
7
2y x x 7x.
1
2

  

 
 
Resposta da questão 11: 
 [C] 
 
Sabendo que o perímetro do terreno mede 
300 m
 e sua área 
25000 m ,
 temos 
 
2(x y) 300 x y 150
xy 5000 xy 5000
x 100 e y 50
 ou .
x 50 e y 100
   

 
 

 
 
 
Porém, como 
x y,
 segue-se que 
x 100
 e 
y 50.
 
 
Daí, sendo 
2OF f,
 pelo Teorema de Pitágoras, vem 
 
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2 2
2 2 2 2
2
x y
f 50 25 f
2 2
f 25 3
f 25 3 m.
   
       
   
  
 
 
 
Portanto, o resultado é 
2f 2 25 3 50 3 m.  
 
 
Resposta da questão 12: 
 [E] 
 
Completando os quadrados, obtemos 
 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
9x y 36x 8y 11 9(x 4x) (y 8y) 11
9[(x 2) 4] [(y 4) 16] 11
9(x 2) (y 4) 9
(x 2) (x 2)
1,
1 3
         
       
    
 
  
 
 
que é a equação de uma hipérbole com eixo real paralelo ao eixo 
Ox.
 
 
Resposta da questão 13: 
 [E] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Sejam 
1F
 e 
2F
 os focos da elipse. 
Queremos calcular 
1 2 1F F 2 OF . 
 
Sabendo que 
2 2
1 1FB 60
 e 
2 2
1OB 36 ,
 da relação fundamental, vem 
 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
1
1
F B OB OF OF 60 36
OF 2304
OF 48 m.
    
 
 
 
Portanto, 
12 OF 2 48 96 m.   
 
 
 
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Resposta da questão 14: 
 [D] 
 
 2 2 2
2
d 30 50
d 1600
d 40m
2d 80m (distância focal)
 



 
 
Resposta da questão 15: 
 [A] 
 
 
 
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
c
2 c a 2(I)
a
c a b (II).
De (I) e (II), temos:
a = b, logo a equação da hipérbole será
x y a .
Substituindo o ponto ( 5,1) na equação acima, temos:
5 1 a a 4.
Logo, a equação da hipérbole será dada p
   
 
 
   
2 2or: x y 4. 
 
 
 
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A equação da reta pedida é da forma y = 2x + k, já que é paralela à reta y = 2x. 
 
Considerando o sistema 
2 2x y 4 (I)
y 2x k (II)
  

 
 e substituindo (II) em (I), encontraremos a seguinte 
equação: 
 
3x
2
 + 4kx + k
2
 – 4 = 0 que deverá ter o discriminante igual a zero, já que a reta deve ser 
tangente à circunferência. 
 
   2 2
2 2
2
4k 4 3 k 4 0 
16k 12K 48 0 
4K 48 0 
K 2 3.
   
  
 
 
 
 
Considerando k =
2 3
 e multiplicando a equação +
y 2x 2 3 
 por 
3
 temos a equação 
3y 2 3x 6 
 apresentada alternativa [A]. 
 
Resposta da questão 16: 
 [A] 
 
Resolvendo um sistema com as equações temos: 
1)(
4
2
2
 bx
x
 
12
4
22
2
 bxbx
x
 
8016
04485
04484
2
22
222



b
bbxx
bxbxx
 
Para que a reta seja tangente o delta deverá ser zero. 
0
 
-16b
2
 + 80 = 0 
-16b
2
 = - 80 
b
2
 = 5 
b=
5
 
Logo, a soma será 0 . 
 
Resposta da questão 17: 
 
 
 
0,943ac0,943
a
c

 
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a
2 
= 5
2
 + c
2
  a
2
 = 25 + (0,943a)
2 
 a
2
 = 25 + 0,889a
2 
0,111a
2
 = 25  a = 

111,0
25
a = 
15
3
1
5
...3333,0
5

 
 
A distância é 2ª = 2.15 = 30m 
 
Resposta da questão 18: 
 [B] 
 
i) Verdadeira. 
1e)1,1(1)1()1(0122 2222  rCyxyyxx
 
 
 
ii)
 
Verdadeira. 
 
)0,2(e)0,2(
44
3649
22
2







yx
yx
 
 
)0,2(e)0,2(241
4
21
22
2
AAaayx 
 
 
 
iii) Falsa. 
 
OxBBOyAAba
yx  2121
22
22
e4e91
94 
 
OxAAbayx  21
222
2
''1e41
4
 
 Portanto, 
.'' 2121 AAAA 
 
 
 
Resposta da questão 19: 
 [E] 
 
Resposta da questão 20: 
 [B]