Integral Definida

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C U R S O D E E N G E N H A R I A Q U I M I C A 
APOSTILA TEÓRICA: INTEGRAL DEFINIDA 
 
Disciplina: Cálculo II Professor(a): Andréa Lacerda 
Aluno(a): Data: Turma: 2º SEM 
 
 
Integral Definida e cálculo de Áreas 
Podemos determinar a área de regiões simples como polígonos e círculos usando fórmulas 
geométricas conhecidas. Porém quando a região tem contorno não poligonal não temos fórmulas pré 
estabelecidas para o cálculo dessas áreas precisando assim, de novos métodos para calcular essa 
região. Nessas situações utilizarmos o conceito de Integral Definida, que nada mais é do que a 
área da região delimitada pelo gráfico de uma função f(x), pelo eixo Ox e pelas retas x = a e x = b e 
cuja e a notação é dada por: 
 a = Limite inferior de integração. 
, com b = Limite superior de integração. 
 
Representando graficamente teríamos: 
 
 y y = f(x) 
 
 A - Região sob o gráfico de f . 
 
 
 A 
 
 0 a b x 
 
Vamos tentar preencher a área deste polígono não regular com retângulos de base 
ix
 e altura 
f(xi), portanto obtendo áreas da forma ARetângulo (i) = f(xi).
ix
 para cada retângulo R i 
 y = f(x) 
 y 
 
 
 
 
 
 
 A 
 
 
 0 x0 x1 x2 ....xi-1 xi................. xn x 
 
 a 
ix
 b 
 

b
a
dxxfA )(
0 
 Note que quanto menor 
ix
, maior o número de retângulos ( n ) e mais próximo da área 
sob a curva vai estar a área do polígono, logo quando 
0x
, temos n 

, dessa forma a área 
obtida pelo somatórios de todos os retângulos (



n
i
ii xxf
1
).(
) tenderá a área da região (A) . Assim 
podemos entender o conceito de Integral definida. 
 
Definição: a integral definida da função f, sendo f (x) 0 no intervalo [a,b], é igual ao limite da soma 
das áreas dos n retângulos, quando o número desses retângulos tende a infinito. 
 




n
i
ii
b
a
x
xxfdxxfA
1
0
).(lim)(
 
 
Teorema Fundamental do Cálculo 
 
Historicamente os conceitos básicos da integral foram usados pelos gregos muito tempo antes do 
cálculo diferencial ter sido descoberto. No século XVII, vários matemáticos descobriram como obter 
áreas mais facilmente usando limites. O maior avanço em relação a um método geral para o cálculo da 
área foi feito independentemente por Newton e Leibniz, os quais descobriram que as áreas poderiam 
ser obtidas revertendo o processo da derivação. Esta descoberta vista como o começo do Cálculo, foi 
veiculada por Newton em 1679 e publicada em 1711 num artigo intitulado Sobre a Análise Através 
de Equações com Infinitos Termos; e foi descoberto por Leibniz em cerca de 1673 e declarado num 
manuscrito não publicado datado de 11 de novembro de 1675. 
O que Newton e Leibniz mostraram foi que 

b
a
dxxf )(
 = F(b) F(a), onde F(x) é uma função tal que 
F´(x) = f(x). Este é um dos resultados mais importantes do Cálculo conhecido como Teorema 
Fundamental do Cálculo ou Fórmula de Newton-Leibniz. 
 
Vejamos um exemplo no qual iremos calcular a área de uma figura tanto pela fórmula conhecida como 
por integral definida. 
 
 
Aplicação de integrais definidas 
 
Ex1: Calcule a área da figura formada sob a curva da função f(x) = 3x no intervalo x 

 [ 0, 3 ] . 
 
Resolução :Como a área é de um triângulo podemos usar a fórmula 
2
.hB
A 
. 
 y 
 
 
 9 
 

2
27
2
9.3
2
.alturabase
A
 A = 13,5 u.a . 
 A 
 x 
 3 
 
Utilizando agora o conceito de integral definida obteremos o mesmo resultado: 
 
2
27
)9(
2
3
)03(
2
3
).
2
3
()
2
3(3 22
3
0
2
3
0
23
0
  x
x
dxxA
 
Ex2: Um estudo indica que, daqui a x meses a população de uma cidade estará crescendo a uma 
taxa de 2 + 
x6
 pessoas por mês. Em quanto a população crescerá durante os próximos 4 meses? 
 
Resolução : Seja P(x) a população da cidade daqui a x meses, então a taxa da variação da 
população em relação ao tempo 
dx
dP
 = 2 + 
x6
 e a quantidade pela qual a população crescerá 
durante os próximos 4 meses será a integral definida: 
P(4) – P(0) = 
400.40.24.44.2
426
3
2
2
2
3
6
2)6x2()x62(
2
3
2
3
4
0
2
3
4
0
2
3
4
0
2
3
4
0
2
14
0




















































  xxxx
x
xdxdx
Ex3: Estima-se que, daqui a “x” meses, a população de uma certa cidade variará segundo a taxa 
dx
dP
 = 2 + 
x6
 pessoas por mês. A população atual é de 5.000 pessoas. Qual a população daqui a 
9 meses? 
Resolução : Seja P(t) a população da cidade daqui a t meses. Então, a derivada de P é a taxa de 
variação da população em relação ao tempo, ou seja, 
x
dx
dP
62 
 
Segue-se que a função população P(x) é uma primitiva de 
x62 
, ou seja, 
   ,42)x6(2dx )( 2
3
cxxdx
dx
dP
xP
para alguma constante k. 
Para determinar c, usamos a informação de que a população atual (quando x = 0) é de 5.000, ou 
seja: 
,000.54020000.5 2
3
 cc
 logo 
000.542)( 2
3
 xxxP
 e a população daqui a 9 meses será: 
126.5000.59492)9( 2
3
P
. 
 
Ex4: Uma partícula desloca-se sobre o eixo x e sabe-se que no instante t, 0t , a velocidade é 
v(t) = 2t + 1. Sabe-se, ainda, que no instante t = 0 a partícula encontra-se na posição x = 1. 
Determine a posição x = x(t) da partícula no instante t. 
Resolução : Equacionando, temos:







1)0(
12
x
t
dt
dx
 
De 
12  t
dt
dx
  x = 
  dt )12( t
  x = t2 + t + k, como 1 = x(0)  1 = 02 + 0 + k  k =1 
 
1)( 2  tttx
 
 
Propriedades das Integrais Definidas 
Sejam f e g funções contínuas e integráveis no intervalo [a,b] então: 
1 ) 
dxxfkdxxfk
b
a
b
a
  )(.)(.
 ; k : cte. 
2 ) 
  dxxgdxxfdxxgxf
b
a
b
a
b
a
  )()()()(
. 
 
3 ) 
  
c
a
b
c
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
 ; a < c < b . 
 
4 ) 
0)( 
a
a
dxxf
 . 
 
5 ) 
 
a
b
b
a
dxxfdxxf )()(
 
6 ) se f(x) ≤ g(x) para todo x no intervalo [a,b], então 
 
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
 
 
Exemplos: 
1 ) 
01012 22
1
0
2
1
0
 xdxx
 = 1 
2 ) 



 22
1
22222
2020.21.21
0
21
0
2 eeeeeedxe
x
x
 
)1.(
2
1 2 e3) 
  

)2.(53.55.656)56(
3
2
3
2
2
3
2
3
2
2
3
2
2 dxdxxdxdxxdxx
 
  










 
 2570251654)1015(
3
8
9.6)2.(53.5
3
)2(
3
)3(
.6
33 45. 
 
Teorema do Valor Médio para Integrais 
 
Se f é contínua em [a,b], então existe um número c em [a,b] tal que 

b
a
dxxfabcf )()).((
 ou 


b
a
dxxf
ab
cf )(.
)(
1
)(
, 
 fcf maxmin 
 
 
Obs: A área sob a curva y = f(x) entre x = a e x = b é igual a área do retângulo cuja base é (b-a) e 
altura f(c). 
 
 
Ex: Seja f(x) = x2, achar c no intervalo [1,4]: 
721.
3
1
3
1
3
64
3
1
3
1
3
4
3
1
3
.
3
1
.
)14(
1
)(
33
4
1
34
1
2 























 
x
dxxcf
, 
65,277)()( 22  cccfxxf
, veja que 
 465,21 
 
 
Caso 1: Se f (x) é contínua e positiva no 
intervalo [a,b], então a área limitada por f (x), 
o eixo x e as retas x=a e x=b é dada por: A=

b
a
dxxf )(
 
 
 
 
Caso 2: Se f (x), g(x ) são contínuas e positivas 
em [a,b] com f (x) g (x) , x a,b, então a 
área limitada por f (x), g (x) e as retas x =a e 
x =b é dada por: 
A=
   
b
a
b
a
b
a
dxxgxfdxxgdxxf )()()()(
 
 
 
 
Caso 3 : Se f (x) e g(x ) são contínuas com f 
(x) e g (x) 

em [a,b] com f (x) g (x) , 
x a,b, então a área limitada por f (x) , g 
(x) e as retas x =a e x =b é dada por: 
A=
   
b
a
b
a
b
a
dxxgxfdxxgdxxf )()()()(
 
 
 
 
Caso 4 : Se f (x), g(x ) são contínuas, com 
f (x) 

 g (x) 

em [a,b] com f (x) g (x) , 
x a,b, a área limitada por f (x) , g (x) e as 
retas x =a e x =b é dada por: 
 



b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxgxfA
dxxgdxxfdxxfdxxgA
)()(
)()()()(
 
 
 
 
Ex1: .Calcular a área da região limitada pela curva y = 9 − x
2
 e pelo eixo OX. 
Resolução : Primeiro determinamos os pontos de interseção entre os gráficos e construimos os mesmos em 
um sistema de coordenadas cartesianas.
 
 
 
Como a parábola e simétrica em relação ao eixo 
OY, a área será igual ao dobro da área 
comprendida entre x = 0 y x = 3. 
 
 
Ex2: :Calcular a área da região limitada pela curva 
 xy = 36, pelo eixo OX e pelas retas x =6 e x =12: 
 
·