Produto interno e ortogonalidade em álgebra linear

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Sociedade Brasileira de Matema´tica
Mestrado Profissional em Matema´tica em Rede Nacional
MA33 - Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear
Unidade 15 - Produto interno, aˆngulo entre vetores e ortogonalidade
Exerc´ıcios recomendados
1) Se u e v sa˜o vetores em um espac¸o V com produto interno e k ∈ R. Mostre
que
(i) ||u|| ≥ 0 e ||u|| = 0 se, somente se, u = 0;
(ii) ||k · u|| = |k| · ||u||;
(iii) ||u+ v|| ≤ ||u||+ ||v||.
2) Se u, v e w sa˜o vetores em um espac¸o com produto interno V . Mostre que
(i) d(u, v) ≥ 0 e d(u, v) = 0 se, somente se, u = v;
(ii) d(u, v) = d(v, u);
(iii) d(u, v) ≤ d(u,w) + d(w, v).
3) Sejam A,B ∈ M(n × n). Mostre que 〈A,B〉 = tr (BtA) define um produto
interno em M(n× n).
4) Dados u = (x1, x2) e v = (y1, y2) em R2 defina
〈u, v〉 = x1y1 − 2x1y2 − 2x2y1 + 5x2y2.
(a) Mostre que 〈u, v〉 define um produto interno em R2;
(b) Determinar a norma de (1, 2), utilizando o produto interno do item (a).
5) Dados p(x), q(x) ∈ R[x]2, defina 〈p(x), q(x)〉 =
∫ 1
0
p(x)q(x)dx.
(a) Mostre que 〈p(x), q(x)〉 define um produto interno em R[x]2;
(b) Se p(x) = 1 + x+ 4x2 e q(x) = 2 + 5x2, determine 〈p(x), q(x)〉, ||p(x)||,
||q(x)|| e o aˆngulo entre p(x) e q(x).
6) Sabe-se que ||u|| = ||v|| = 1 e ||u− v|| = 2. Calcule o aˆngulo entre u e v.
1
7) Sejam a, b, c, d nu´meros reais positivos, mostre que
1
a
+
1
b
+
4
c
+
16
d
≥ 64
a+ b+ c+ d
.
8) Sejam a, b, θ nu´meros reais. Mostre que
(a cos θ + b senθ)2 ≤ a2 + b2.
9) Seja W um subespac¸o de um espac¸o com produto interno V . Mostre que:
(a) W⊥ e´ subespac¸o;
(b) W⊥ ∩W = {0}.
10) Seja W o subespac¸o vetorial de R5 gerado pelos vetores u = (1, 2, 3,−1, 2) e
v = (2, 1, 3, 2,−1). Determine uma base de W⊥.
11) Sejam V um espac¸o com produto interno e W um subespac¸o de V , enta˜o
V = W ⊕W⊥.
12) Se A = (aij), B = (bij) ∈M(n× n), defina
〈A,B〉 =
n∑
i,j=1
aijbij.
(a) Mostre que 〈A,B〉 define um produto interno em M(n× n);
(b) Sejam V e U os subespac¸os de M(n × n) formados pelas matrizes
sime´tricas e anti-sime´tricas, respectivamente. Mostre que V ⊥ = U .
2