Apostila Completa CVGA

Prévia do material em texto

1
ÍÍNDICENDICE
1. Conceitos iniciais
1.1. Conceitos primitivos
1.1.1. O que é conceito primitivo
1.1.2. Ponto
1.1.3. Reta
1.1.4. Plano
1.2. Segmento de reta
1.3. Medida de um segmento AB de Abscissa Xa e Xb
1.4. Ponto MPonto Méédio dio M de um segmento AB
1.5. Divisão de um Segmento AB em Divisão de um Segmento AB em n partes iguais n partes iguais 
1.6. Segmentos Segmentos EquipolentesEquipolentes
1.7. Razão Simples de 3 pontos1.7. Razão Simples de 3 pontos
1.7.1. Divisão 1.7.1. Divisão AureaAurea
1.8. 1.8. Distância entre dois pontos
1.9. Questões
ÍÍNDICENDICE
2. Sistemas de coordenadas no espaço bidimensional
2.1. Sistema Cartesiano ortogonal
2.2. Distância entre dois pontos
2.3. Baricentro de um triângulo
2.4. Questões
2
ÍÍNDICENDICE
3. Vetor e Reta
3.1. Grandezas escalares e vetoriais
3.1.1. Propriedades dos vetores
3.2. Versor
3.3. Multiplicação de um vetor por um escalar
3.4. Adição / Subtração de vetores
3.4.1 Adição de vetores – regra do triângulo
3.4.2 Subtração de vetores – regra do triângulo
3.5. Condição de paralelismo de dois vetores
3.6. Condição de coplanaridade de vetores
3.6.1. Coplanaridade de vetores representados por triplas
3.7. Produto interno ou escalar de vetores
3.8. Produto vetorial
3.8.1. Interpretação geométrica do produto vetorial
3.9. Ângulo de dois vetores
3.10. Produto Misto
3.11. Questões
ÍÍNDICENDICE
4. Planos e retas no E3
4.1. Equação do plano
4.2. Distância de ponto a plano
4.3. Equação da reta no E3
4.4. Ângulo entre duas retas
4.5. Ângulo entre reta e plano
4.6. Ângulo entre planos
4.7. Distância de um ponto a reta
4.8. Distância entre duas retas
4.9. Interpretação Geométrica do módulo do produto misto
4.10. Questões
3
ÍÍNDICENDICE
1. Conceitos iniciais
1.1. Conceitos primitivos
1.1.1. O que é conceito primitivo
1.1.2. Ponto
1.1.3. Reta
1.1.4. Plano
1.2. Segmento de reta
1.3. Medida de um segmento AB de Abscissa Xa e Xb
1.4. Ponto MPonto Méédio dio M de um segmento AB
1.5. Divisão de um Segmento AB em Divisão de um Segmento AB em n partes iguais n partes iguais 
1.6. Segmentos Segmentos EquipolentesEquipolentes
1.7. Razão Simples de 3 pontos1.7. Razão Simples de 3 pontos
1.7.1. Divisão 1.7.1. Divisão AureaAurea
1.8. 1.8. Distância entre dois pontos
1.9. Questões
1. Conceitos iniciais
1.1. Conceitos primitivos
1.1.1. O que é conceito primitivo
Um conceito primitivo Um conceito primitivo éé aquele que aquele que éé aceito como aceito como 
verdadeiro, mas que não possui uma definiverdadeiro, mas que não possui uma definiçção. ão. 
Na Geometria Plana, os conceitos primitivos são: Ponto, Na Geometria Plana, os conceitos primitivos são: Ponto, 
retas e Plano.retas e Plano.
1.1.2. Conceito primitivo: pontoonceito primitivo: ponto
Uma caracterUma caracteríística importante do ponto, stica importante do ponto, éé que ele que ele éé
adimensional. Isto adimensional. Isto éé, não possui dimensão., não possui dimensão.
Para representar de forma algPara representar de forma algéébrica um ponto, nbrica um ponto, nóós s 
usamos uma letra maiusamos uma letra maiúúscula de nosso alfabeto. Ou seja, scula de nosso alfabeto. Ou seja, 
quando escrevemos um texto podemos usar uma expressão quando escrevemos um texto podemos usar uma expressão 
do tipo: do tipo: ““seja A o ponto ...seja A o ponto ...””
4
1.1.3. Conceito primitivo: retaonceito primitivo: reta
As caracterAs caracteríísticas importantes de uma reta são: ela sticas importantes de uma reta são: ela éé
unidimensional (ou seja, possui uma dimensão); ela estendeunidimensional (ou seja, possui uma dimensão); ela estende--
se infinitamente sempre seguindo uma mesma direse infinitamente sempre seguindo uma mesma direçção ão 
(cuidado, não confundir dire(cuidado, não confundir direçção com sentido). ão com sentido). 
Para representar de forma algPara representar de forma algéébrica uma reta, nbrica uma reta, nóós usamos s usamos 
uma letra minuma letra minúúscula de nosso alfabeto. Ou seja, quando scula de nosso alfabeto. Ou seja, quando 
escrevemos um texto podemos usar uma expressão do tipo: escrevemos um texto podemos usar uma expressão do tipo: 
““seja r a reta ...seja r a reta ...””
1.1.4. Conceito primitivo: plano 1.1.4. Conceito primitivo: plano 
As caracterAs caracteríísticas importantes de um plano são: ele sticas importantes de um plano são: ele éé
bidimensional (ou seja, possui duas dimensão); ele estendebidimensional (ou seja, possui duas dimensão); ele estende--se se 
infinitamente em todas as direinfinitamente em todas as direçções.ões.
Para representar de forma algPara representar de forma algéébrica um plano, nbrica um plano, nóós usamos s usamos 
uma letra maiuma letra maiúúscula grega. Ou seja, quando escrevemos um scula grega. Ou seja, quando escrevemos um 
texto podemos usar uma expressão do tipo: texto podemos usar uma expressão do tipo: ““seja seja pi o plano o plano 
......””
5
1.2. Segmento de reta
Seja uma reta r e dois ponto A e B sobre ela. Definimos 
por segmento de reta, o conjunto formado por A, B e todos os 
pontos de r que estão entre A e B.
Para representar de forma algébrica um segmento de reta, 
nós usamos as letra maiúscula que representam os seus 
pontos extremos, sendo que elas devem ser escritas juntas e 
com uma barra acima delas ou não. Ou seja, quando 
escrevemos um texto podemos usar uma expressão do tipo: 
“seja ou AB o segmento de reta ...”AB
1.2. Segmento de reta
Considerando o segmento de reta representado na 
figura abaixo.
Os pontos extremos desse segmento são A e B. Mas onde 
começa e onde termina esse segmento? Tanto faz! 
AB
6
Segmento Nulo
Um segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide 
com a origem.
Segmentos Opostos
Se é um segmento orientado, o segmento é
oposto a . 
Segmentos Orientados Coincidentes
Dados dois segmentos orientados AB e CD, se diz que o 
primeiro coincide com o segundo se, e somente se, A = C e B 
= D e é escrito (A, B) = (C, D) 
AB
AB
BA
1.3. Medida Algébrica de um Segmento AB de Abscissa XA e XB
Considerando um segmento orientado AB contido no eixo, 
sendo xA e xB as abscissas respectivas dos extremos deste 
segmento.
Quaisquer que sejam as posições dos três pontos sobre o 
eixo, podemos afirmar que:
OA + AB + BO = 0 > AB = -BO – OA > AB = OB – AO. 
Como OB = xB e AO = xA, concluímos que: 
AB = xB - xA
7
Exercício 1: Dados os pontos M(-5) e N(2), determine a 
medida algébrica dos segmentos MN, NM, respectivamente.
Solução:
A medida algébrica de MN é dada por xN - xM = 2 - (-5) = 7 
Já a medida de NM será dada por xM - xN = -5 – 2 = -7
1.4. Ponto Médio M de um Segmento AB 
É o ponto que divide o segmento em dois com o mesmo 
módulo. 
Sejam A(xA), B(xB) e M(xM). Como AM = MB, tem-se
xM - xA = xB – xM;
xM = (xA + xB) / 2
8
1.5. Divisão de um Segmento AB em n partes iguais
É o ponto que divide o segmento em dois com o mesmo 
módulo. 
Sejam C, D, E, ..., N pontos pertencentes ao segmento AB, 
que o divide em n partes iguais. Assim, vemos que: 
AC = CD = DE = ... = NB
xC - xA = xD - xC = xE – xD = ... = xB – xN = k E xB – xa = n.k, 
logo
xC = k + xA; xd = k + xc; ..., onde k = (xb-xa)/n
Exercício 2: Determinar as abscissas dos pontos que 
dividem m o segmento AB em 6 partes iguais, sabendo que 
A(-4) e B(8). 
Solução: Devem ser determinados 5 pontos, C, D, E, F e G, 
tais que AC = CD = DE = EF = FG = GB. 
Primeiramente, determine o valor de k. 
k = (xb – xa) / 6 = (8-(-4)) / 6 = 2
Logo, os pontos procurados são: C(-2), D(0), E(2), F(4) e 
G(6) 
9
1.6. Segmentos Equipolentes
Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes
quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo 
comprimento.
Se os segmentos orientados AB e CD não pertencem à
mesma reta, é necessárioque AB//CD e AC//BD, isto 
é, ABCD deve ser um paralelogramo.
Observações
a. Dois segmentos nulos são sempre equipolentes.
b. A equipolência dos segmentos AB e CD é representada 
por AB ~ CD.
Propriedades da Equipolência
I. AB ~ AB (reflexiva). 
II.Se AB ~ CD, CD ~ AB (simétrica). 
III.Se AB ~ CD e CD ~ EF, AB ~ EF (transitiva). 
IV.Dado o segmento orientado AB e um ponto C, existe um único ponto 
D tal que AB ~ CD 
10
1.7. Razão Simples de 3 pontos
a) Definição
Dados os pontos A, B e P, de uma reta r, denominamos 
razão simples desses pontos, nessa ordem, ao quociente, 
que é simbolizado por (ABP).
Assim:
OBSERVAÇÃO: Se (ABP) = k, diremos que P divide o 
segmento AB na razão k.
b) Sinal
A razão simples (ABP) será positiva se o ponto P for 
externo ao segmento finito AB. Se interno, a razão será
negativa.
11
1.7.1. Divisão Áurea
a. Seja um segmento de reta AB de comprimento k. Um 
ponto P, interno a AB, vai dividir esse segmento em duas 
partes: x e k-x. Essa divisão é chamada de divisão áurea e 
extrema razão se (k-x)/x = x/k ou se corresponder as 
equações demonstradas na apresentação. :
PB / AP = AP / AB > AP2 = AB x PB
Diz-se também que AP é o segmento áureo de AB
1.8. Distância entre dois pontos
Dados dois pontos P =(x1, y1, z1) e Q =(x2, y2, z2), a 
distância d entre P e Q será dada pela fórmula:
2
12
2
12
2
12 )()()( zzyyxxd −+−+−=
12
1.9. Questões
1. Dados os pontos P(5,1) e Q(–2,–9), determine as 
coordenadas do ponto médio do segmento PQ.
2. Calcule o ponto médio do segmento AB nos seguintes 
casos: a) A(2,6) B(4,10) c) A(3,1) B(4,3) b) A(2,6) 
B(4,2) d) A(2,3) B(4,-2) 
3. Determine o valor de x para que o ponto M(2 , 3) seja o ponto 
médio do segmento de extremos A(x , 5) e B(3 , x).
4. Dado o seguimento AB = a, calcular o comprimento de seu 
seguimento áureo AP
5. O ponto P divide o segmento P1P2 numa certa razão K. 
Calcular K, conhecendo-se respectivamente os pontos pelas 
suas abscissas x = 3, x1 = 6 e x2 = -2
6. Dados (ABP) = 5, xp = 2, xb = 5, calcular xa. 
1.9. Questões
7. Calcular a soma dos comprimentos das medianas do 
triângulo isósceles de vértices A = (3, 3), B = (-3, -3) e C = (-
3,3)
8. Dados os pontos A=(2, y), B =(-8, 4) e C = (5, 3), determinar y 
para que ABC seja um triângulo retângulo com ângulo reto no 
vértice A. 
13
ÍÍNDICENDICE
2. Sistemas de coordenadas no espaço bidimensional
2.1. Sistema Cartesiano ortogonal
2.2. Distância entre dois pontos
2.3. Baricentro de um triângulo
2.4. Questões
2. Sistemas de coordenadas no espaço bidimensional
2.1. Sistema Cartesiano ortogonal
Um sistema de eixos ortogonais no plano é constituído de 
duas retas orientadas x e y, perpendiculares entre si e de 
mesma origem O. A reta orientada x é denominada eixo x 
ou eixo das abscissas; a reta orientada y é denominada 
eixo y ou eixo das ordenadas; os eixos x e y são os eixos 
coordenados e dividem o plano em 4 partes ou quadrantes. 
Por um ponto qualquer do plano traçam-se perpendiculares 
sobre cada um dos eixos, determinando neles os pontos P e 
P , de tal sorte que x=OPx e y=OPy .
Destarte, podemos associar a cada ponto P do plano um 
par ordenado de números reais. Assim o ponto P fica 
determinado por suas coordenadas cartesianas ou também 
chamadas coordenadas retangulares:
P = (x, y) > onde x é abscissa de P e y a ordenada de P.
14
2.2. Distância entre dois pontos
Dados dois pontos P1 =(x1, 
y1) e P2 = (x2, y2), deseja-
se calcular a distância d 
entre P1 e P2. Aplicando o 
teorema de Pitágoras ao 
triângulo retângulo P1AP2, 
tem-se:
2.3. Baricentro de um triângulo
Baricentro ou centro de massa é o lugar onde se aplica 
uma força para se levantar o sistema em equilíbrio.
Geometricamente num triângulo, o baricentro é obtido pela
Intersecção das medianas (reta que liga um vértice ao ponto médio 
do lado oposto a este vértice).
Dado o triângulo de vértices A = (xa,ya), B = (xb,yb) e C = (xc,yc), temos o baricentro G = (xG,yG) dado por:
e 
15
2.4. Questões
2.4. Questões
16
2.4. Questões
9. Determinar as coordenadas dos pontos P1 e P2 que 
dividem o segmento A=(3, - 1) e B=(0, 8) em 3 partes iguais.
ÍÍNDICENDICE
3. Vetor e Reta
3.1. Grandezas escalares e vetoriais
3.1.1. Propriedades dos vetores
3.2. Versor
3.3. Multiplicação de um vetor por um escalar
3.4. Adição / Subtração de vetores
3.4.1 Adição de vetores – regra do triângulo
3.4.2 Subtração de vetores – regra do triângulo
3.5. Condição de paralelismo de dois vetores
3.6. Condição de coplanaridade de vetores
3.6.1. Coplanaridade de vetores representados por triplas
3.7. Produto interno ou escalar de vetores
3.8. Produto vetorial
3.8.1. Interpretação geométrica do produto vetorial
3.9. Ângulo de dois vetores
3.10. Produto Misto
3.11. Questões
17
3. Vetor
3.1. Grandezas escalares e vetoriais
Grandezas escalares: são determinadas apenas por um 
número real, acompanhado pela unidade correspondente.
Ex.: 5 kg de massa, 10m de área, 12 cm de largura, etc...
Grandezas vetoriais: são grandezas constituídas de uma 
direção, um sentido e um número não negativo
Notações de um vetor:
I. Uma letra latina minUma letra latina minúúscula encimada por uma seta.scula encimada por uma seta.
II. Uma letra latina minUma letra latina minúúscula scula sobrelinhadasobrelinhada..
3.1.1 Propriedades dos vetores
1. Dados um ponto A e um vetor v, existe um único ponto B tal que 
A + B = v. O ponto B chamamos soma do ponto A com o vetor 
v.
1.1. A + Ø = A.
1.2. (A - v) + v = A.
1.3. Se A + v = B + v, então A = B.
1.4. Se A + u = A + v, então u = v.
1.5. A + AB = B
2. Propriedades da Soma de Vetores:
2.1 Comutatividade: para quaisquer vetores v; w, v+w = w+v
2.2. Associatividade: para quaisquer vetores u; v; w, u+(v+w) = (u+v) 
+w
2.3. Existência do Elemento Neutro da Soma: Seja 0 o vetor nulo, isto 
é, o vetor representado por segmentos orientados nulos. Então, para 
qualquer vetor v; v + 0 = 0 + v = v
2.4. Existência do Elemento Inverso da Soma: Seja v o vetor que tem 
a mesma direção, mesmo comprimento e sentido inverso ao do vetor v. 
Então v + (-v) = 0
2.4.1. da definição 2.4: v – w = v + (-w)
18
3.1.1 Propriedades dos vetores
3. Propriedades da Multiplicação de Vetores por escalares:
3.1. kv tem a direção de v;
3.2. kv tem o mesmo sentido de v se k > 0 e kv tem o sentido oposto ao 
de v se k < 0;
3.3. kv tem comprimento |k| vezes o comprimento de v:
3.4. Definimos ainda 0v = 0 e k0 = 0.
3.5. Associatividade: Para quaisquer escalares k; t e para qualquer 
vetor v:
k(tv) = (kt)v
3.6. Distributividade: para quaisquer escalares r; s e para quaisquer 
vetores v; w
r * (v + w) = r * v + r * w
(r + s) * v = r * v + s * v
3.2. Versor
O versor de um vetor v não nulo é o vetor unitário que tem 
a mesma direção e o mesmo sentido de v
vers v = v / |v|
3.3. Multiplicação de um vetor por um escalar
Seja um escalar e v um vetor. O produto do vetor v pelo 
número real é representado por kv. Então, se:
19
- Se v =(x1, y1, z1), então: mv = m(x1, y1, z1) = (mx1, my1, mz1)
3.4. Adição / Subtração de vetores
Dados os vetores u=(x1, y1, z1) e v=(x2, y2, z2), então:
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
u - v = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)
20
3.4.1 Adição de vetores – regra do triângulo
Seja r = AB, s = BC e t = AC, temos, graficamente t = r + s
O gráfico permite inferir a regra do triângulo para a soma 
dos vetores r e s: para encontrar um representante para r + s, 
escolha representantes para r e s, onde a origem de s 
coincida com a extremidade de s; então a soma r + s será
representanda pelo segmento cujo ponto inicial é a origem de 
r e cujo ponto final é o ponto final de s.
3.4.2 Subtração de vetores – regra do triângulo
Isso permiteinferir a regra do triângulo para a diferença 
dos vetores v e w: para encontrar um representante para v -
w, escolha representantes para v e w que têm a mesma 
origem; então a diferença v - w será representanda pelo 
segmento cujo ponto inicial é o ponto final de w e cujo ponto 
final é o ponto final de v.
EXERCÍCIOS – 1 a 4
APOSTILA – VOL. 1 – FLS. 20 a 22 – EXS. 19 a 25
21
3.5. Condição de paralelismo de dois vetores
Dois vetores não nulos u e v são paralelos se, e somente 
se, existir um escalar k tal que v = ku
Podemos afirmar que v é expresso linearmente em função 
de u.
3.6. Condição de coplanaridade de vetores
Teorema: O vetor v é coplanar aos vetores u e v (não 
nulos e não paralelos entre si) se, e somente se:
Ou seja, se e somente se, v for combinação linear de u e 
v, sendo k1 e k2 escalares
3.6.1. Coplanaridade de vetores representados por triplas
Três vetores v = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) e v = (x3, y3, z3) 
são coplanares se um deles for combinação linear dos outros dois. 
Portanto, o determinante formado pelas coordenadas deles deve 
ser nulo:
Ex.: Os vetores u=(2, 3, 5), v = (3, 0, -1) e w = (7, 6, 9) são 
coplanares.
EXERCÍCIOS 5 a 18; Apostila 1 – fls. 11
22
3.7. Produto escalar ou interno de vetores
Dado u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2), temos que:
u . v (produto escalar) = x1x2 + y1y2 + z1z2
u . v = | u | | v | cos θ 
Geometricamente, define-se produto escalar como sendo 
a medida algébrica da projeção de um vetor sobre a direção do 
outro. Logo:
A'B' = u .v = projuv = projvu
3.8. Produto vetorial ou externo
O produto vetorial ou externo de dois vetores u e v não 
paralelos entre si, é um vetor w com as seguintes características:
a) à direção: o vetor u x v é perpendicular aos vetores u e v.
b) ao módulo: | u x v | = | u | | v | sen θ
Cuidado: u . v = | u | | v | cos θ (verdadeiro)
u x v = | u | | v | sen θ (falso) (o resultado de um 
produto vetorial é um vetor)
23
c) Vetor resultante
3.8.1. Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial 
Sejam dois vetores u e v, não nulos e não paralelos. Logo 
eles determinam um paralelogramo. Área do paralelogramo: AP = 
b × h , onde: 
h = v sen Ø
Logo AP = bvsenØ = |b x v|
24
3.9. Ângulo de dois vetores
O ângulo 0º <= θ <= 180º de dois vetores u e v, é o ângulo 
formado entre suas direções, levando-se em consideração os 
sentidos de u e v.
Exemplos:
O ângulo entre dois vetores é calculado do seguinte modo:
Dado u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2), e sendo θ o ângulo 
formado entre eles, temos que:
u . v (produto escalar) = x1x2 + y1y2 + z1z2 
|u| = (x12 + y12 + z12)1/2
|v| = (x22 + y22 + z22)1/2
cos θ = u . v / (|u|. |v|)
Logo, para comprovar a ortogonalidade de u e v, teremos 
que ter x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0
25
3.10. Produto Misto
Dados os vetores u, v, w, o produto misto entre esses 3 
vetores será dado pela fórmula:
(u x v).w = 
Produto escalar – fls. 28
Produto vetorial – fls. 82
Produto misto – fls. 98
EXERCÍCIOS 19 a 31
VOL. 1 – Pg. 65 – Ex. 139 e Pg. 73 – Ex. 156 a 161
3.11. Questões
1. Determinar a origem A do segmento que representa o vetor
u=(2, 3, -1), sendo sua extremidade o ponto B=(0, 4, 2).
2. Na figura abaixo o vetor s=a+b+c+d é igual a:
3. Dados u = (1, 2, 0), v= (2, 1, -1) e w = (0, 2, 3), achar:
a) 2u - v + 4w
b) 3(u + v) -2(2v - w)
4. Determine o versor dos seguinte vetores
v = (1,2,2) w = (-1,1,1) r = (3,0,4)
26
5. Conhecidos A = (1, 3, 0), B = (5, 5, 2) e v = (1, 3, -2) calcular:
a) A + v
b) 2A - 3B – v
6. Sendo A = (2, 0, 1), B = (0, 3, -2), C = (1, 2, 0), determinar
D = (x, y, z ) tal que BD = AB + CB.
7. Calcular o vetor oposto de AB sendo A = (1, 3, 2) e B = (0, -2, 3).
8. Os vetores u, v e w formam um triângulo, conforme a figura.
Sendo u = (1, 2, 0) e v = (3, 0, 3), então w é igual a:
9. Calcular a sabendo-se coplanares os vetores:
a)u=(1, 3, 0), v=(2, 1, 4) e w=(3, 4, a)
b)u=ai - 3j, v=aj +k e w = i + j +k
10. Provar que os pontos A=(4, 5, 1 ), B = (- 4, 4, 4), C = (0, -1, -1) 
e D=(3, 9, 4) são coplanares.
11. Dados u = 2i, v = i + j + k e w = -2i + 6j + 6k, exprimir w como
combinação linear de u e v.
12. Sendo u1 = (0, 2, -1), u2 = (0, 1, 3) e v = (0, 3, 0) exprimir v 
como combinação linear de u1 e u2.
13. Exprimir w = (-2, 6, 2) como combinação linear de u = (2, 0, 0) 
e v=(1, 1, 1).
27
14. Determinar x, sabendo-se paralelos os vetores :
a) u = (1, 3, 10) e v=(-2, x, -20)
b) v = (0, 2, x) e w=(0, 3, 6)
c) u = 2i -3j -k e v=xi - 9j - 3k
15. Sendo A, B, C, D vértices consecutivos de um paralelogramo,
calcular as coordenadas do vértice D.
Dados:A = (1, 3), B = (5, 11) e C = (6, 15)
16. Provar que os pontos A = (3, 1, 5), B = (2, 0, 1) e C=(4, 2, 9) 
são colineares.
17. Calcular x e y sabendo que os pontos A = (1, -1, 3), B=(x, y, 5) 
e C = (5, -13, 11) são colineares.
18. Calcular | u + v |, sabendo-se que | u | = 4, | v | = 6 e uv=60º.
19. Sendo | u | = 2, | v | = 3, uv = 90º calcular:
a) | u + v |
b) (u + v).(u - v)
20. Calcular o ângulo entre os vetores a + 2b - c e -a + b - 2c, 
sabendo-se que |a| = |b| = |c| = 1 e que a, b e c são mutuamente 
ortogonais.
21. Determine um vetor u tal que 1 u . v = u . w = 1 e | u |= 22, 
onde v = (0,1,1) e w = (1,2 −1).
22. Determine um vetor unitário e ortogonal aos vetores u = ( ,1,3 
−1) e v = (− 1,1,1 )
23. 
28
24. Os vértices de um triângulo são os pontos A(− 4,2,1 ), B( ,3 −
4,3) e C(− 1,6,1). Determine a altura relativa ao vértice B.
25.
26.
27.
28. 
ÍÍNDICENDICE
4. Planos e retas no E3
4.1. Equação do plano
4.2. Distância de ponto a plano
4.3. Equação da reta no E3
4.4. Ângulo entre duas retas
4.5. Ângulo entre reta e plano
4.6. Ângulo entre planos
4.7. Distância de um ponto a reta
4.8. Distância entre duas retas
4.9. Interpretação Geométrica do módulo do produto misto
4.10. Questões
29
4.1. Equação do plano
a) o plano é determinado por um ponto e por dois vetores.
Dados P0 = (x0, y0, z0)
v1 = l1i + m1j + n1k
v2 = l2i + m2j + n2k
O plano ß contém o ponto P e é paralelo aos vetores v1 e 
v2 (v1 não paralelo a v2). O ponto P=(x, y, z) pertencerá ao 
plano ß se, e somente se, os vetores (P – P0), v1 e v2 forem 
coplanares:
30
b)O plano é individualizado por dois pontos e por um vetor.
Dados P1 = (x1 , y1 , z1)
P2 = (x2 , y2 , z2)
v = li + mj + nk
O plano é passante por P1 e P2 e é paralelo ao vetor v. Um 
ponto genérico P = (x, y, z) pertence ao plano ß se, e somente 
se, os vetores (P – P1 ), (P2 – P1 ) e v forem coplanares:
31
c)O plano é definido por três pontos não colineares.
Dados P1 = (x1 , y1 , z1)
P2 = (x2 , y2 , z2)
P3 = (x3 , y3 , z3)
O plano é determinado pelos pontos P1, P2 e P3. Um ponto 
genérico P = (x, y, z) pertence ao plano ß se, e somente se, 
os vetores (P – P1), (P – P2) e (P – P3) forem coplanares:
32
A resolução de cada determinante representado por (I), (II) 
ou (III) conduz a uma equação linear a três variáveis:
ax + by + cz + d = 0
denominada equação geral do plano.
d. Equação do plano que passa por um ponto Po e é ortogonal a 
um vetor n
Queremos a equação do plano ß que passa pelo ponto Po
= (xo, yo, zo) e seja ortogonal ao vetor n = ai+ bj + ck
Observe que n é o vetor normal a um plano, não 
necessariamente unitário
33
Dedução:
Seja p = (x, y, z) um ponto pertencente ao plano ß, logo P – P0 = 
(x – x0)i + (y – y0)j + (z – z0) k e n são normais, logo seu produto 
interno é nulo, logo:
(x – x0, y – y0, z – z0) x (a, b, c) = 0
ax + by + cz -ax0 – by0 – cz0 = 0
Fazendo (-ax0 – by0 – cz0) = d, temos
ß: ax + by + cz + d = 0
Comparando com n, verificamos que os coeficientes a, b e 
c da equação geral de um plano são, nesta ordem, as 
coordenadas de um vetor normala esse plano.
Exemplo: Determinar a equação do plano que passa pelo 
ponto A = (1, 3, 5) e seja ortogonal ao vetor n = (2, 4, 6).
Solução: Equação do plano: 2x+4y+6z+d=0
A=(1, 3, 5)
2(1) + 4(3) + 6(5) + d = 0 > d = - 44
Resposta: : 2x+4y+6z-44=0
FAZER EXERCÍCIOS 1 a 3
VOL. 2 – Ex. 65 a 77 (Fls. 172 a 175)
Vol. 1 - Equações vetoriais da reta e do plano – fls. 104
Vol. 2 - A reta – fls. 160
Vol. 2 - O plano e a reta – fls. 172
Vol. 2 - Distâncias e ângulos – fls. 187
34
4.2. Distância de ponto a plano
Dados Po = (xo , yo , zo) e ß: ax + by + cz + d = 0, tem-se a 
seguinte situação:
A distância de P0 ao plano ß será a distância entre o ponto 
P0 e o ponto N, que pertence a interseção do plano ß e a 
normal ao plano ß que passa por P0.
Essa distância será dada pela fórmula:
FAZER EXERCÍCIOS 4 a 8
4.3. Equação da reta no E3
Qualquer representação cartesiana de uma reta no espaço 
tridimensional se faz com pelo menos duas equações.
a) Equações paramétricas da reta
Seja r uma reta 
passante por P = (x0, y0, z0) e 
paralela ao não nulo vetor r = 
li +mj + nk. O vetor r é
denominado vetor diretor
da reta r. 
Um ponto P = (x, y, 
z) pertence à reta r se, e 
somente se, os vetores (P –
P0) e r forem paralelos, logo:
35
Esta é a equação vetorial 
paramétrica da reta r no E3 (t é
chamado parâmetro)
lntroduzindo as coordenadas de P, P0 e r em (1), obtém-se:
x= x0 + lt
y= y0 +mt
z= z0 +nt
denominadas equações paramétricas da reta.
b) Equações simétricas da reta
lsolando-se o parâmetro t em cada uma das equações 
paramétricas e igualando as expressões, obtém-se:
Casos particulares das equações simétricas:
I. A nulidade de um denominador implica na nulidade do 
correspondente numerador.
Se, por exemplo, n =0 > z –z0 =0 > z = z0. Neste caso seu vetor 
diretor r = (l, m, 0) é paralelo a tal plano. Por conseguinte:
36
c) Equações simétricas da reta por dois pontos
Considere a reta r individualizada por dois pontos P1 = (x1, y1, z1) 
e P2 = (x2, y2, z2) e seja P = (x, y, z) um ponto genérico de tal reta. Por 
conseguinte, a reta r passa pelo ponto P1 e tem como vetor diretor, o vetor (P2 – P1):
d) Equações reduzidas da reta
Das equações simétricas de uma reta r
temos duas igualdades independentes entre si:
37
Destarte, as equações reduzidas de uma reta, com variável 
independente x, são representadas por:
Geometricamente, a reta intercepta o plano yz no ponto P0 = (0, 
q1, q2) e v = (1, p1, p2)* é o seu vetor diretor. Ademais, cada uma das 
equações reduzidas da reta representa um plano e a reta é portanto 
determinada pela interseção de dois planos, cada um dos quais paralelo a 
um eixo coordenado.
Ex.: Achar as equações reduzidas da reta
com variável independente x
l
n
z-z
 
l
m
-yy
 x- x temosequação, 1ª da * 000 ==
Resposta:
FAZER EXERCÍCIOS 9 a 20
Ex. 34 a 54 – Fls. 162 a 165 – Vol. 2
38
4.4. Ângulo entre duas retas
Dadas as retas r1 e r2 por suas equações simétricas:
O ângulo ß é o formado pelas retas r1 e r2.
Obtêmo-lo pela aplicação do produto escalar entre os 
vetores diretores r1 = (l1, m1, n1) e r2 = (l2, m2, n2):
cos ß = onde ß é ângulo do 1º quadrante
39
4.5. Ângulo entre reta e plano
Dados: ß: ax+by+cz+d=0
Onde r tem a direção do vetor r= li +mj + nk.
Considere n=ai + bj + ck um vetor normal ao plano ß.
O ângulo agudo entre os vetores n e r calculado através da 
definição de produto escalar
Procura-se no entanto, o ângulo Ø (agudo) entre a reta r 
(que tem a direção do vetor r ) e o plano . Depreende-se da figura 
que cos θ = sen Ø, haja visto que os ângulos e são 
complementares.
Face ao exposto:
FAZER EXERCÍCIOS 21 a 25.
Ex. 122 a 137 – Vol. 2 – Fls. 195 a 198
40
4.6. Ângulo entre planos
Dados: θ1: a1x + b1y + c1z +d = 0
θ2: a2x + b2y + c2z +d = 0
Sejam: n1 = a1i +b1j +c1k e n2 = a2i + b2j + c2k os vetores 
normais dos planos, respectivamente. Considere θ o menor ângulo 
entre os vetores n1 e n2. Por construção, θ também é o menor 
ângulo entre os planos θ1 e θ2. Do produto escalar:
Em particular:
1. se θ = 90º, temos cos θ = 0; donde a1a2 + b1b2 + c1c2 = 
0, que indica condição de ortogonalidade de dois planos.
2. Se a razão entre a1, a2, a3 e b1, b2, b3 é constante, de 
modo que , logo:k
b
a
b
a
b
a
===
3
3
2
2
1
1
41
Portanto é condição de paralelismo entre dois 
planos
FAZER EXERCÍCIOS 26 a 33
k
b
a
b
a
b
a
===
3
3
2
2
1
1
=
++
++
=
++++
++
= )c b (a*k
|ka ka ka|
ck bk ak*c b a
|ka*a ka*a ka*a|
 cos 2
1
2
1
2
1
222
2
1
22
1
22
1
22
1
2
1
2
1
332211 321θ
1)c b (a*k
kc kb ka*kc kb ka
 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
=
++
++++
=
4.7. Distância de um ponto a reta
Consideremos um ponto A e uma reta r, esta individualizada por 
um ponto P e por um vetor unitário n, que tem a sua direção. Buscamos a 
distância do ponto A à reta r.
d(A, r) = |(A - P) x n |
42
Ex.: Dados os pontos A = (0, 1, 2), B = (1, 1, 3), C = (1, 3, 4), determinar a 
distância do ponto A a reta formada pelos pontos B e C.
Resolução: podemos dizer que a reta BC e a reta determinada pelo ponto 
B e pelo versor do vetor BC
vers BC = (0,2,1) / 51/2
Logo a distância d = |(A-B) x BC| / 51/2
|i j k |
|-1 0 -1| = (2,1,-2)
|0 2 1 | 
Logo d = |(2,1,-2)| / 51/2 = 3 / 51/2
4.8. Distância entre duas retas
a)A reta r1 é passante por P1 e paralela ao vetor r1. A reta 
r2 contém o ponto P2 e tem a direção do vetor r2. Nosso escopo é
obter a fórmula da distância entre as retas r1 e r2.
(cujo módulo será o valor a ser 
considerado)
Ex.: As retas r1 e r2 são determinadas por:
- determinar a distância entre as retas r1 e r2;
43
P2 – P1 = (1,1,0)
r1 x r2 = |i j k||1 0 1| = (-1, -1, 1).
|1 1 2|
d(r1, r2) = (1,1,0) . (-1,-1,1) = 1.(-1)+1.(-1) = 2
31/2 31/2 31/2
FAZER EXERCÍCIOS 34 a 37
Ex. 152 a 157 – Vol. 2 – Fls. 204 e 205
4.9. Interpretação Geométrica do módulo do produto misto
Sejam u, v e w. Então [u, v, w] = u.(v x w) = | u |.|v ×
w|.cosθ, onde θ é o ângulo entre os vetores u e v x w. Na figura 
abaixo temos um paralelepípedo determinado pelos três vetores u, 
v e w. Vamos calcular o volume deste paralelepípedo denotado por 
VP.
44
O volume VP = Ab . h, onde a área da base Ab é um 
paralelogramo determinado pelos vetores v e w. Então Ab = |v x w|. 
No triângulo retângulo da figura temos h =|u| cosθ. Logo:
Vp =|u| |v x w| cosθ
Portanto, o produto misto [u,v, w] de vetores LI é igual em 
módulo ao volume do paralelepípedo cujas arestas são os vetores 
u, v e w. 
Vp = |[u,v, w]|
Note que os vetores u, v e w determinam também um 
tetraedro, cujo volume é VT = VP / 6, 
VT = |[u,v, w]| / 6
Vol. 2 - Área do triângulo e volume do tetraedro – fls. 212
FAZER EXERCÍCIOS 38 a 41
4.10. Questões
1. Determine a equação geral do plano que contém o ponto A = (3, 
0, 1) e é paralelo aos vetores u=(1, 2, 0) e v=(0, 3, 1).
2. Achar a equação do plano que passa pelos pontos P = (1, 2, 3)
e Q=(1, 2, 0) e tem a direção do vetor v = 2i + 3k.
3. Obter a equação do plano que contém os pontos A = (3, 0, 1), 
B=(2, 1, 1) e C=(3, 2, 2).
4. Calcular a distância do ponto P =(1, 0, 1) ao plano ß: 2x+2y-2z+ 
3=0
5. Os planos ß1:x + y + z - 4 = 0 e ß2: 2x + 2y + 2z - 3 = 0 são 
paralelos. Determinar a distância entre eles. (Dica: a distância
entre dois pontos paralelos será a distância entre um ponto de um 
dos planos ao outro plano)
45
6. Achar o ponto do eixo das cotas eqüidistante do ponto A = (1, -
2, 0) e do plano 2x+3y+6z-9 = 0 (lembrar abscissa = eixo x, onde 
y=z=0; ordenada = eixo y, onde x=z=0; cota = eixo z, onde x=y=0)
7 . Quaisos valores de k para que o plano x + 2y - 2z + k = 0 diste
da origem 4 unidades?
8. Encontrar um ponto do eixo y cuja distância ao plano ß: x + 2y -
2z – 2 = 0 é de 2 unidades.
9. Achar as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A = 
(1, 3, 0) e é paralela ao vetor v =(3, 4, -1).
10. Obter as equações simétricas da reta individualizada pelos 
pontos A=(1, 3, 2) e B=(5, 2, 2).
11. A reta r passa pelo ponto P = (1, 2, 0) e tem a direção do vetor
v = 3i + j - k. Determinar as equações reduzidas de r (com variável 
independente x).
12. Estabelecer as equações reduzidas da reta que passa pelos 
pontos P = (0, - 4, - 5) e Q = (1, - 2, - 2).
13. Dadas as equações paramétricas de r:
Obter as equações simétricas de r.
14. Verificar se os pontos P=(4, 2, 0) e Q=(1, 0, -1) pertencem à
reta
15. Determinar vetor diretor de r e o ponto da reta r que tenha 
ordenada 5.
46
16. O ponto A = (0, x, y) pertence à reta determinada pelos pontos
P=(1, 2, 0) e Q=(2, 3, 1). Achar A.
17. Complete
18. Dada a reta r como interseção de dois planos, obter a sua
equação simétrica. Dada
19. Pede-se a equação simétrica de
20. Equação do plano que contém a reta r e o ponto A. Dados A = 
(1, 0, 2) e r: x-1 = y+3 = z.
21. Achar o ângulo entre as retas
22. 
47
23. Achar o ângulo que a reta r forma com o eixo das cotas:
24. Achar as equações simétricas da reta que passe pelo ponto A 
= (1, 0, 2), seja paralela ao plano ß: x - z + 2 = 0 e forme um 
ângulo de 30º com o plano Ø: x + y - z + 4 = 0.
25. Calcule o ângulo que a reta r forma com o plano xy
26. Calcular a e b para que os planos ß1: 2x + 3y + 3 = 0 e ß2: (a -
2)x + 6y + (b - 1)z + 5 = 0 sejam paralelos.
27. Determinar k para que os planos ß1: 2x + 3z – 1 = 0 e ß2: 3x + y 
+ kz + 2 = 0 sejam ortogonais.
28. Equação do plano que contenha P = (0, 1, 2) e seja paralelo a
Ø1: 2x+3y-z+5=0.
29. Equação do plano que passa pelo ponto A=(3, 5, 0) e é:
a) paralelo ao plano θ1: 2x + y - 3z + 1 = 0;
b) ortogonal aos planos θ1: x + y + 2z – 2 = 0 e θ2: x - y + z - 3 = 0
30. Obter a equação do plano que passa pelos pontos P =(1, 3, 0)
e Q =(2, 0, 1) e é ortogonal ao plano θ: x + y - z + 3 = 0.
31. Dados os planos θ1: x + 2y - 3z - 1 = 0 e θ2: 3x - y + 2z - 5 = 0,
obter o ângulo agudo entre eles
32. Determinar o valor de "k" para que seja de 60º o ângulo entre
os planos θ1: kx + 2y + 2z + 1 = 0 e θ2: x - y + z + 3 = 0.
48
33. Calcular o ângulo entre o plano coordenado yz e o plano x + y + z – 3 
= 0.
34. Os pontos A=(2, 4, 0),B=(0, 2, 4) e C=(6, 0, 2) são vértices de
um triângulo. Pede-se:
a. a altura relativa ao vértice B;
b. a área do triângulo
35. Calcular a distância do ponto P = (1, 2, 0) à reta determinada
pelos pontos A=(0, 1, 2) e B=(3, 0, 1).
36. Calcule a distância entre as retas r1 e r2, sendo:
37. Sejamos pontos A = (3, 0, 0), B = (2, 2, 1) e C = (1, 1, -1), determinar:
a. a medida do lado a;
b. a medida do ângulo A
c. a área do triângulo ABC
d. a altura relativa ao vértice A do triângulo ABC
38. 
39. Determine o volume do tetraedro de vértices A(2,1,3), B(2,7,4), 
C(3,2,3) e D(1,-2,3).
40. Um tetraedro ABCD tem volume igual a 3 u.v. Sendo A(4,3,1), B(6,4,2) 
e C(1,5,1), determine o vértice D que pertence ao eixo Ox.
41. Seja um tetraedro de vértices A(2,0,2), B(0,4,2), C(2,6,4) e D(4,4,0). 
Determine a altura relativa ao vértice C. (ps.: Vt = Ab x h / 3)