sc2_20141_equaSistDin_v0

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Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
Equacionamento	
  de	
  Sistemas	
  Dinâmicos	
  
E2	
  
	
  
POLI/UPE	
  
Prof.	
  Roberto	
  Feliciano	
  Dias	
  Filho	
  
	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
Plano	
  de	
  Aula	
  
ObjeIvo	
  Principal	
  
Formulação	
   da	
   modelagem	
   matemáAca	
   dos	
   principais	
  
sistemas	
   dinâmicos	
   lineares	
   a	
   parAr	
   de	
   elementos	
   Dsicos	
  
primiAvos.	
  
Avaliação	
  
Informal,	
   por	
   arguição	
   aos	
   educandos	
   durante	
   a	
   exposicão,	
  
bem	
  como	
  por	
  análise	
  da	
  manifestacão	
  espontânea	
  destes. 	
  
Metodologia	
  
Aula	
   exclusivamente	
   teorica,	
   sendo	
   requerido,	
   para	
   a	
  
exposicão,	
  projetor	
  eletrônico	
  e	
  quadro	
  branco. 	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  Um	
  conjunto	
  de	
  elementos	
  primiAvos	
  os	
  quais	
  formam	
  as	
  bases	
  
para	
   construção	
   de	
   modelos	
   dinâmicos	
   de	
   um	
   sistema	
   Dsico	
  
pode	
   ser	
   definido	
   por	
   meio	
   do	
   fluxo	
   energéAco	
   interno	
   ao	
  
próprio	
   sistema,	
   assim	
   como	
  entre	
  o	
   sistema	
  e	
  o	
   ambiente	
   ao	
  
seu	
  redor.	
  
§  Nesta	
   aula,	
   tais	
   elementos	
   primiAvos	
   serão	
  definidos,	
   os	
   quais	
  
caracterizam	
  a	
  GERAÇÃO,	
  ARMAZENAMENTO	
  e	
  DISSIPAÇÃO	
  de	
  
energia	
  em	
  quatro	
  domínios	
  energéAcos:	
  
a)  MECÂNICO;	
  
b)  ELÉTRICO;	
  
c)  TÉRMICO;	
  e	
  
d)  FLUIDO.	
  
Conservação	
  de	
  Energia	
  em	
  Sistemas	
  Físicos	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  O	
   princípio	
   de	
   conservação	
   da	
   energia	
   provê	
   as	
   base	
  
fundametais	
  para	
  caracterizar	
  e	
  definir	
  os	
  elementos	
  primiAvos.	
  
§  Uma	
   idealização	
  a	
  qual	
   se	
  assume	
  que	
  um	
  sistema	
  Dsico	
   troca	
  
energia	
   com	
   o	
   ambiente	
   através	
   de	
   um	
   número	
   finito	
   de	
  
“PORTAS”	
  ENERGÉTICAS,	
  como	
  mostrado	
  na	
  Fig.	
  1	
  apresentada	
  
seguir…	
  	
  	
  	
  	
  
Conservação	
  de	
  Energia	
  em	
  Sistemas	
  Físicos	
  
Sistema	
  Dinâmico	
  
Genérico	
  
Fig.	
  1	
  –	
  Sistema	
  dinâmico	
  genérico	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  Para	
  o	
   sistema	
  dinâmico	
  apresentado,	
   a	
   lei	
   de	
   conservação	
  da	
  
energia	
  é	
  matemaAcamente	
  dada	
  por	
  (1)	
  
,	
   no	
   qual	
  E(t)	
   é	
   a	
   energia	
   instantânea	
   armazenada	
   no	
   sistema	
   e	
  
P(t)	
  é	
  a	
  potência	
   líquida	
  injetada/absorvida	
  através	
  das	
  fronteiras	
  
do	
  sistema. 	
  	
  
	
  
§  Lembrando	
   que	
   a	
   Eq.	
   (1)	
   estabelece	
   que	
   a	
   taxa	
   de	
   variação	
  
temporal	
   da	
   energia	
   interna	
   armazenada	
   no	
   sistema	
   é	
  
numericamente	
  igual	
  ao	
  fluxo	
  líquido	
  de	
  potência	
  que	
  atravessa	
  
suas	
  fronteiras,	
  supondo	
  que	
  não	
  há	
  geração	
  energéAca	
  interna	
  
ao	
  sistema.	
  	
  	
  	
  	
  
Conservação	
  de	
  Energia	
  em	
  Sistemas	
  Físicos	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  Suponha,	
  também,	
  a	
  fim	
  de	
  tornar	
  a	
  modelagem	
  mais	
  realísAca,	
  
que…	
  	
  	
  
	
  
,	
   onde	
   ΔW é	
   o	
   trabalho	
   incremental	
   realizado	
   por	
   fontes	
  
energéAcas	
  externas	
  durante	
  o	
  período	
  dt	
  e	
  ΔH é	
  o	
  incremento	
  de	
  
calor	
  transferido	
  ao	
  longo	
  do	
  mesmo	
  período.	
  	
   	
  	
  
Conservação	
  de	
  Energia	
  em	
  Sistemas	
  Físicos	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  Na	
   formulação	
   matemáAca	
   de	
   um	
   sistema	
   dinâmico	
   é	
  
conveniente	
   considerar	
  o	
  fluxo	
  de	
  potência	
   injetado/absorvido	
  
no(pelo)	
   sistema	
   está	
   discreAzado	
   ao	
   longo	
   das	
   fronteiras	
   do	
  
sistema	
  e,	
  assim,…	
  
	
  
Semelhantemente…	
  
	
  
	
  
	
  
,	
  então,	
  tem-­‐se	
  (5),	
  expressão	
  adequada	
  à	
  modelagem	
  de	
  sistemas	
  
à	
  parâmetros	
  concentrados…	
  	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Abordagem	
  por	
  Injeção	
  EnergéAca	
  Concentrada	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  Um	
   sistema	
   mecânico	
   translacional	
   é	
   caracterizado	
   por	
  
movimento	
   em	
   linha	
   reta	
   ou	
  movimento	
   linear	
   com	
   dinâmica	
  
governada	
  por	
  leis	
  mecânicas	
  de	
  conservação	
  de	
  energia.	
  
LEMBRAR:	
   Há	
   duas	
   formas	
   de	
   armazenamento	
   energéAco	
   em	
   sistemas	
  
mecânicos	
   translacionais:	
   CinéAco	
   (associado	
   à	
   massa	
   em	
   movimento)	
   e	
  
Potencial	
  (associado	
  à	
  deformação	
  elásAca	
  ou	
  devido	
  à	
  altura	
  ao	
  solo).	
  	
  	
  
Modelagem	
  Dinâmica	
  de	
  Sistemas	
  Mecânicos	
  Translacionais	
  
Fig.	
  2	
  –	
  Sistema	
  dinâmico	
  translacional	
  com	
  uma	
  porta	
  de	
  potência	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  Para	
   o	
   sistema	
   mecânico	
   translacional	
   com	
   uma	
   porta	
  
energéAca,	
  apresentado	
  na	
  Fig.	
  2,	
  tem-­‐se	
  que	
  a	
  potência	
  e	
  dada	
  
pelo	
  desenvolvimento	
  a	
  seguir…	
  
,	
  onde	
  poAencia	
  P	
  é	
  dada	
  em	
  Wa#s,	
  a	
  velocidade	
  v(t)	
  em	
  m/s	
  e	
  a	
  
força	
  F	
  em	
  Newton.	
  
	
  
Em	
  termos	
  de	
  energia	
  incremental	
  tem-­‐se,	
  então,	
  que…	
  
	
  
	
  
A	
  Eq.	
  (7)	
  pode	
  ser	
  integrada,	
  reultando	
  em	
  
	
  
Potência	
  e	
  Energia	
  Mecânica	
  Translacional	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
Para	
   prosseguir	
   no	
   desenvolvimento	
   é	
   úAl	
   introduzir	
   mais	
   duas	
  
variáveis…	
  
	
  
	
  
	
  
e	
  
	
  
	
  
	
  
,	
  onde	
  x(t)	
  é	
  o	
  deslocamento	
  linear	
  translacional	
  da	
  massa	
  e	
  p(t) o	
  
momento	
  linear.	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
Potência	
  e	
  Energia	
  Mecânica	
  TranslacionalSistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  Desta	
   forma,	
   o	
   trabalho	
   realizado	
   através	
   das	
   fronteiras	
   do	
  
sistema,	
  em	
  um	
  dado	
  intevalo	
  dt, pode	
  ser	
  expresso	
  a	
  parAr	
  das	
  
variáveis	
  velocidade	
  e	
  força,	
  e	
  suas	
  integrais,	
  de	
  três	
  forma:	
  
Estas	
   três	
   formulacões	
   de	
   fluxo	
   de	
   potência	
   acima	
   ilustram	
   a	
   origem	
   da	
  
definição	
   dos	
   três	
   elementos	
   primiAvos	
   a	
   parâmetros	
   concentrados	
   mais	
  
uAlizados	
  na	
  modelagem	
  de	
  sistemas	
  mecânicos	
  translacionais:	
  
	
  
a)  Mola;	
  
	
  
b)  Massa;	
  e	
  
	
  
c)  Amortecedor.	
  	
  	
  
Potência	
  e	
  Energia	
  Mecânica	
  Translacional	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  ELEMENTOS	
  ARMAZENADORES	
  DE	
  ENERGIA	
  
	
  
a)  ELEMENTO	
  MOLA	
  TRANSLACIONAL	
  IDEAL	
  (linear):	
  	
  
	
  
	
  
Integrando	
  a	
  primeira	
  equação	
  de	
   (11)	
   chega-­‐se	
  a	
  energia	
  armazenada	
  na	
  
mola	
  …	
  
	
  
Definição	
  de	
  Elementos	
  PrimiAvos	
  Mecânicos	
  Translacionais	
  	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  ELEMENTOS	
  ARMAZENADORES	
  DE	
  ENERGIA	
  
	
  
Se	
  por	
   simplificação	
   for	
   considerada	
  uma	
  mola	
   translacional	
   ideal	
   (linear),	
  
ou	
  seja,	
  …	
  
	
  
	
  
UAlizando-­‐se	
  de	
  (15)	
  tem-­‐se	
  que…	
  
	
  
	
  	
  	
  
	
  
EXEMPLOS	
  DE	
  ELEMENTOS	
  MODELADOS	
  POR	
  MASSA	
  TRANSLACIONAL:	
  
	
  
Definição	
  de	
  Elementos	
  PrimiAvos	
  Mecânicos	
  Translacionais	
  	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  ELEMENTOS	
  ARMAZENADORES	
  DE	
  ENERGIA	
  
	
  
Na	
  práAca,	
  a	
  modelagem	
  de	
  molas	
  translacionais	
  são	
  expressas	
  em	
  termos	
  
de	
  variáveis	
  associadas	
  à	
  portência	
  mecânica,	
  ou	
  seja,	
  velocidade	
  e	
  força.	
  	
  
	
  
Desta	
  forma	
  tem-­‐se	
  a	
  seguinte	
  equação	
  elementar	
  da	
  mola	
  translacional:	
  
	
  
	
  
	
  
b)  ELEMENTO	
  MASSA	
  (mecânica	
  clássica)	
  
	
  
	
  
Definição	
  de	
  Elementos	
  PrimiAvos	
  Mecânicos	
  Translacionais	
  	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  ELEMENTOS	
  ARMAZENADORES	
  DE	
  ENERGIA	
  
	
  
Integrando	
  a	
   segunda	
  equação	
  de	
   (11)	
   chega-­‐se	
  a	
  energia	
   armazenada	
  na	
  
massa	
  em	
  movimento…	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Da	
  mecânica	
   classica	
   sabe-­‐se	
   que	
   o	
  momento	
   linear	
   pode	
   ser	
   formulado,	
  
também,	
  por	
  (21)…	
  
	
  
,	
  assim…	
  
	
  
	
  
	
  
,	
  ou	
  em	
  termos	
  de	
  equação	
  elementar:	
  	
  
	
  
Definição	
  de	
  Elementos	
  PrimiAvos	
  Mecânicos	
  Translacionais	
  	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  ELEMENTO	
  DISSIPADOR	
  DE	
  ENERGIA	
  
	
  
c)  ELEMENTO	
  AMORTECEDOR	
  IDEAL	
  (linear):	
  
	
  
Semelhantemente	
   ao	
   realizado	
   para	
   os	
   elementos	
   anteriores,	
   parAndo	
  da	
  
integração	
   da	
   terceira	
   equação	
   de	
   (11),	
   chega-­‐se	
   a	
   força	
   associada	
   ao	
  
elemento	
  amortecedor…	
  
	
  
	
  
,	
  onde	
  B	
  é	
  a	
  constante	
  de	
  amortecimento	
  translacional	
  ,	
  dado	
  em	
  N-­‐s/m.	
  
	
  
Definição	
  de	
  Elementos	
  PrimiAvos	
  Mecânicos	
  Translacionais	
  	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  Semelhantemente	
   aos	
   sistemas	
   mecânicos	
   translacionais,	
   o	
  
trabalho	
  incremental	
  rotacional	
  é	
  dado	
  pelo	
  produto…	
  	
  
	
  
LEMBRAR:	
  Há	
  duas	
   formas	
  de	
  armazenamento	
  energéAco	
  em	
  sistemas	
  mecânicos	
  
rotacionais:	
   CinéAco	
   (associado	
   à	
   massa	
   girante)	
   e	
   Potencial	
   (associado	
   à	
  
elasAcidade	
  do	
  eixo).	
  	
  	
  
Modelagem	
  Dinâmica	
  de	
  Sistemas	
  Mecânicos	
  Rotacionais	
  
Fig.	
  3	
  –	
  Sistema	
  dinâmico	
  rotacional	
  com	
  uma	
  porta	
  de	
  potência	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  Para	
  o	
  sistema	
  mecânico	
  rotacional	
  com	
  uma	
  porta	
  energéAca,	
  
apresentado	
   na	
   Fig.	
   3,	
   tem-­‐se	
   que	
   a	
   potência	
   e	
   dada	
   pelo	
  
desenvolvimento	
  a	
  seguir…	
  
,	
  então…	
  
	
  
	
  
,	
  e	
  
	
  
	
  
	
  
SubsAtuindo	
  (38)	
  e	
  (37)	
  em	
  (36)…	
  
Potência	
  e	
  Energia	
  Mecânica	
  Rotacional	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  ELEMENTOS	
  ARMAZENADORES	
  DE	
  ENERGIA	
  
	
  
a)  ELEMENTO	
  MOLA	
  ROTACIONAL	
  IDEAL	
  (linear):	
  	
  
	
  
	
  
Integrando	
  a	
  primeira	
  equação	
  de	
   (39)	
   chega-­‐se	
  a	
  energia	
  armazenada	
  na	
  
mola	
  …	
  
	
  
Definição	
  de	
  Elementos	
  PrimiAvos	
  Mecânicos	
  Rotacionais	
  	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  ELEMENTOS	
  ARMAZENADORES	
  DE	
  ENERGIA	
  
	
  
Se	
  por	
  simplificação	
  for	
  considerada	
  uma	
  mola	
  rotacional	
   ideal	
   (linear),	
  ou	
  
seja,	
  …	
  
	
  
	
  
SubsAtuindo	
  (42)	
  em	
  (41)	
  tem-­‐se	
  que…	
  
	
  
	
  	
  	
  
	
  
E	
   desta	
   forma	
   tem-­‐se	
   a	
   seguinte	
   equação	
   elementar	
   da	
   mola	
   rotacional	
  
ideal:	
  
	
  
	
  
	
  
,	
  onde	
  Ω	
  é	
  velocidade	
  angular	
  de	
  rotação.	
  
Definição	
  de	
  Elementos	
  PrimiAvos	
  Mecânicos	
  Translacionais	
  	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  ELEMENTOS	
  ARMAZENADORES	
  DE	
  ENERGIA	
  
	
  
a)  ELEMENTO	
  MASSA	
  (INÉRCIA)	
  ROTACIONAL:	
  	
  
	
  
Integrando	
  a	
  segunda	
  equação	
  de	
  (39)	
  e	
  considerando	
  
	
  
	
  
,	
   onde	
   	
   J	
   é	
   definido	
   como	
   momento	
   de	
   inércia,	
   chega-­‐se	
   a	
   energia	
  
armazenada	
  na	
  massa	
  girante…	
  
	
  
Definição	
  de	
  Elementos	
  PrimiAvos	
  Mecânicos	
  RotacionaisSistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  ELEMENTOS	
  ARMAZENADORES	
  DE	
  ENERGIA	
  
	
  
E	
  assim,	
  tem-­‐se	
  a	
  seguinte	
  equação	
  elementar	
  da	
  massa	
  rotacional:	
  
	
  
	
  
	
  
§  ELEMENTO	
  DISSIPADOR	
  DE	
  ENERGIA	
  
	
  
c)  ELEMENTO	
  AMORTECEDOR	
  ROTACIONAL:	
  
	
  
	
  
	
  
Definição	
  de	
  Elementos	
  PrimiAvos	
  Mecânicos	
  Rotacionais	
  	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  ELEMENTO	
  DISSIPADOR	
  DE	
  ENERGIA	
  
	
  
Semelhantemente	
   ao	
   realizado	
   para	
   os	
   elementos	
   anteriores,	
   parAndo	
  da	
  
integração	
   da	
   terceira	
   equação	
   de	
   (39),	
   chega-­‐se	
   a	
   força	
   associada	
   ao	
  
elemento	
  amortecedor	
  rotacional…	
  
	
  
	
  
,	
  onde	
  B	
  é	
  a	
  constante	
  de	
  amortecimento	
  rotacional,	
  dado	
  em	
  N-­‐m/s.	
  
Definição	
  de	
  Elementos	
  PrimiAvos	
  Mecânicos	
  Rotacionais	
  	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  Um	
   sistema	
   mecânico	
   translacional	
   é	
   caracterizado	
   por	
  
movimento	
   em	
   linha	
   reta	
   ou	
  movimento	
   linear	
   com	
   dinâmica	
  
governada	
  por	
  leis	
  mecânicas	
  de	
  conservação	
  de	
  energia.	
  
	
  
LEMBRAR:	
   Há	
   duas	
   formas	
   de	
   armazenamento	
   energéAco	
   em	
   sistemas	
  
elétricos:	
  associado	
  ao	
  campo	
  elétrico	
  e	
  associado	
  ao	
  campo	
  magnéAco.	
  	
  	
  
Modelagem	
  Dinâmica	
  de	
  Sistemas	
  Elétricos	
  
Fig.	
  4	
  –	
  Sistema	
  dinâmico	
  elétrico	
  com	
  uma	
  porta	
  de	
  potência	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  Para	
  o	
  sistema	
  elétrico	
  com	
  uma	
  porta	
  energéAca,	
  apresentado	
  
na	
  Fig.	
  4,	
  tem-­‐se	
  que	
  a	
  potência	
  é	
  dada	
  pelo	
  desenvolvimento	
  a	
  
seguir…	
  
,	
  onde	
  poAencia	
  P	
   é	
  dada	
  em	
  Wa#s,	
   a	
   tensnao	
  v(t)	
   em	
  Volts	
   e	
  a	
  
corrnete	
  elétrica	
  i(t)	
  em	
  Ampère.	
  
	
  
Em	
  termos	
  de	
  energia	
  incremental	
  tem-­‐se,	
  então,	
  que…	
  
	
  
	
  
e	
  uAlizando	
  as	
  seguintes	
  expressões	
  auxiliares…	
  
	
  
Potência	
  e	
  Energia	
  Elétrica	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
e	
  uAlizando	
  as	
  seguintes	
  expressões	
  auxiliares…	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
,	
  onde	
  q	
  é	
  carga	
  elétrica	
  em	
  Coulomb	
  e	
  λ	
  é	
  fluxo	
  concatenado.	
  
	
  
§  Desta	
   forma,	
   o	
   trabalho	
   realizado	
   através	
   das	
   fronteiras	
   do	
  
sistema,	
  em	
  um	
  dado	
  intevalo	
  dt, pode	
  ser	
  expresso	
  a	
  parAr	
  das	
  
variáveis	
  tensão	
  e	
  corrente,	
  e	
  suas	
  integrais,	
  de	
  três	
  forma:	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Potência	
  e	
  Energia	
  Elétrica	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  ELEMENTOS	
  ARMAZENADORES	
  DE	
  ENERGIA	
  
	
  
a)  ELEMENTO	
  INDUTOR	
  (linear):	
  	
  
	
  
Relembrando	
  da	
  teoria	
  de	
  circuito	
  que…	
  
	
  
	
  
Integrando	
   a	
   primeira	
   equação	
   de	
   (59)	
   e	
   considerando	
   (61)	
   chega-­‐se	
   a	
  
energia	
  armazenada	
  no	
  elemento	
  indutor	
  linear…	
  
	
  
Definição	
  de	
  Elementos	
  PrimiAvos	
  Elétricos	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  ELEMENTOS	
  ARMAZENADORES	
  DE	
  ENERGIA	
  
	
  
Reformulando	
   (62)	
   em	
   termos	
   das	
   variáveis	
   tensão	
   e	
   correte,	
   tem-­‐se	
   a	
  
equação	
  elementar,	
  isto	
  é…	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
b)  ELEMENTO	
  CAPACITOR	
  (ideal):	
  	
  
	
  
	
  
	
  
Definição	
  de	
  Elementos	
  PrimiAvos	
  Elétricos	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  ELEMENTOS	
  ARMAZENADORES	
  DE	
  ENERGIA	
  
	
  
Semelhantemente,	
  relembrando	
  da	
  teoria	
  de	
  circuito	
  que…	
  
	
  
	
  
Integrando	
   a	
   segunda	
   equação	
   de	
   (59)	
   e	
   considerando	
   (65)	
   chega-­‐se	
   a	
  
energia	
  armazenada	
  no	
  elemento	
  capacitor	
  ideal…	
  
	
  
	
  
	
  
Reformulando	
   (66)	
   em	
   termos	
   das	
   variáveis	
   tensão	
   e	
   correte,	
   tem-­‐se	
   a	
  
equação	
  elementar,	
  isto	
  é…	
  
	
  
	
  
	
  
Definição	
  de	
  Elementos	
  PrimiAvos	
  Elétricos	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  ELEMENTOS	
  DISSIPADORES	
  DE	
  ENERGIA	
  
	
  
c)  ELEMENTO	
  RESISTIVO	
  (linear):	
  	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Da	
  teoria	
  de	
  circuito…	
  
	
  
	
  
	
  
Integrando	
   a	
   terceira	
   equação	
   de	
   (59)	
   e	
   considerando	
   (65)	
   chega-­‐se	
   a	
  
energia	
  armazenada	
  no	
  elemento	
  capacitor	
  ideal…	
  
	
  
Note	
  que	
  (69)	
  já	
  é	
  a	
  própria	
  equação	
  elementar.	
  
	
  
	
  
Definição	
  de	
  Elementos	
  PrimiAvos	
  Elétricos	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
A	
   tabela	
   abaixo	
   apresenta	
   todas	
   as	
   equação	
   elementares	
   associadas	
   aos	
  
sistemas	
   dinâmicos	
   até	
   então	
   introduzidos:	
   mecânicos	
   (translacionais	
   e	
  
rotacionais)	
  e	
  elétrico.	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Note	
   que	
   todas	
   as	
   equações	
   elementares	
   apresentadas	
   associam	
   as	
  
grandezas	
   velocidade	
   (rotação/translação)	
   a	
   força	
   (torque)	
   ou	
   tensão	
   a	
  
corrente	
  elétrica.	
  
	
  
	
  
	
  
Tipo	
  de	
  Sistema	
  	
  
Dinâmico	
  
Elemento	
  
Armazenador	
  Tipo-­‐A	
  
Elemento	
  
Armazenador	
  Tipo-­‐B	
  
Elemento	
  	
  
Dissipador	
  
Mecânico	
  
Translacional	
  
Mecânico	
  	
  
Rotacional	
  
Elétrico	
  
Resumo	
  dos	
  Elementos	
  PrimiAvos	
  Mecânicos	
  e	
  Elétricos	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
O	
  conceito	
  de	
  variáveis	
  generalizadas	
  “Entre/Através”	
  dos	
  terminais	
  (VGET/
VGAT),	
  apesar	
  de	
  inicialmente	
  parecer	
  estranho	
  éextremamente	
  intuiAvo.	
  	
  
	
  
Acompanhe	
  no	
  sistema	
  diâmico	
  elétrico	
  a	
  seguir…	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Variáveis	
  Generalizadas	
  (VG)	
  
	
  `	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
O	
  conceito	
  de	
  variáveis	
  generalizadas	
  “Entre/Através”	
  dos	
  terminais	
  (VGET/
VGAT),	
  apesar	
  de	
  inicialmente	
  parecer	
  estranho	
  é	
  extremamente	
  intuiAvo.	
  	
  
	
  
Acompanhe	
  no	
  sistema	
  diâmico	
  mecânico	
  translacional	
  a	
  seguir…	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Variáveis	
  Generalizadas	
  (VG)	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  Para	
  o	
  sistema	
  mecânico	
  translacional,	
  tem-­‐se	
  a	
  seguinte	
  classificação:	
  
-  FORÇA:	
   é	
   um	
   Apo	
   de	
   variável	
   generalizada	
   “através”	
   do	
   terminais	
  
(VGAT),	
   dado	
   que	
   sua	
   medição	
   se	
   dá	
   em	
   série	
   com	
   o	
   elemento	
  
primiAvo.	
  
-  VELOCIDADE:	
  é	
  um	
  Apo	
  de	
  variável	
  generalizada	
  “entre”	
  os	
  terminais	
  	
  
(VGET),	
  dado	
  que	
  sua	
  medição	
  se	
  dá	
  entre	
  os	
  terminais	
  do	
  elemento	
  
primiAvo.	
  
	
  
§  Para	
  o	
  sistema	
  elétrico	
  define-­‐se,	
  tem-­‐se	
  a	
  seguinte	
  classificação:	
  
-  CORRENTE	
   ELÉTRICA:	
   é	
   um	
   Apo	
   de	
   variável	
   generalizada	
   “através”	
  
dos	
  terminais	
   (VGAT),	
  dado	
  que	
  sua	
  medição	
  se	
  dá	
  em	
  série	
  com	
  o	
  
elemento	
  primiAvo.	
  
-  TENSÂO:	
   é	
   um	
   Apo	
   de	
   variável	
   generalizada	
   “entre”	
   os	
   terminais	
  	
  
(VGET),	
  dado	
  que	
  sua	
  medição	
  se	
  dá	
  entre	
  os	
  terminais	
  do	
  elemento	
  
primiAvo.	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Variáveis	
  Generalizadas	
  (VG)	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
Integral	
  da	
  VGET:	
  
VGET:	
  
Integral	
  da	
  VGAT:	
  
VGAT:	
  
§  Relembrando	
  o	
  cálculo	
  da	
  potência	
  nos	
  diversos	
  sistemas	
  dinâmicos…	
  
	
  
,	
  pode	
  ser	
  visto	
  que,	
  de	
  modo	
  geral,	
   a	
  potência,	
  em	
  sistemas	
  dinâmicos	
  é	
  
DADA	
   PELO	
   PRODUTO	
   DAS	
   VARIÁVEIS	
   GENERALIZADAS,	
   ou	
   seja,	
   a	
   VGET	
  
mulAplicada	
  pela	
  VGAT.	
  	
  
	
  
Generalizando	
   o	
   conceito	
   de	
   VGs,	
   para	
   permiAr	
   de	
   modelagem	
   de	
  
quaisquer	
  sistemas	
  dinâmicos,	
  propõe-­‐se	
  as	
  seguinte	
  notação:	
  
	
  
	
  
	
   	
   	
   	
   	
  e	
  	
   	
   	
  	
  
Potência	
  em	
  Termos	
  de	
  Variáveis	
  Generalizadas	
  
(Mec.	
  Translacional)	
   (Mec.	
  Rotacional)	
  (Elétrico)	
  
NOTA:	
  Será	
  visto	
  que	
  para	
  sistemas	
  dinâmicos	
  
térmicos	
  esta	
  abordagem	
  tem	
  uma	
  ressalva.	
  	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  CAPACITÂNCIA	
  GENERALIZADA	
  
	
  
São	
  quaisquer	
  elementos	
  cuja	
  equação	
  elementar	
  é	
  regida	
  por:	
  
	
  
	
  
São	
   exemplos	
   de	
   capacitâncias	
   generalizadas	
   para	
   sistemas	
   dinâmicos	
  
mecânicos	
  (translacionais/rotacionais)	
  e	
  elétricos.	
  	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Note	
  que	
  em	
  todos	
  estes	
  elementos,	
  de	
  fato,	
  a	
  taxa	
  de	
  variação	
   	
  temporal	
  
das	
  VGETs	
  origina	
  as	
  VGATs	
  	
  
Elementos	
  PrimiAvos	
  Generalizados	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  CAPACITÂNCIA	
  GENERALIZADA	
  
	
  
Note	
  que	
  em	
  todos	
  estes	
  elementos,	
  de	
   fato,	
  a	
   taxa	
  de	
  variação	
  temporal	
  
das	
  variáveis	
  “entre”	
  os	
  terminais,	
  escalonada	
  pela	
  capacitância,	
  origina	
  as	
  
variáveis	
  “através”	
  dos	
  terminais.	
  
	
  
Portanto,	
   para	
   uma	
   variação	
   instantânea	
   na	
   energia	
   armazenada	
   em	
  
elemento	
   do	
   Apo	
   capacitância	
   generalizada	
   exige-­‐se	
   variação	
   infinita	
   de	
  
variável	
  através	
  dos	
  terminais,	
  o	
  que	
  não	
  é	
  realizável	
  fisicamente.	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
Elementos	
  PrimiAvos	
  Generalizados	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  INDUTÂNCIA	
  GENERALIZADA	
  
	
  
São	
  quaisquer	
  elementos	
  cuja	
  equação	
  elementar	
  é	
  regida	
  por:	
  
	
  
	
  
	
  
São	
   exemplos	
   de	
   indutâncias	
   generalizadas	
   para	
   sistemas	
   dinâmicos	
  
mecânicos	
  (translacionais/rotacionais)	
  e	
  elétricos.	
  	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Note	
  que	
  em	
  todos	
  estes	
  elementos,	
  de	
  fato,	
  a	
  taxa	
  de	
  variação	
   	
  temporal	
  
das	
  VGATs	
  origina	
  as	
  VGETs	
  	
  
	
  
	
  
Elementos	
  PrimiAvos	
  Generalizados	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  INDUTÂNCIA	
  GENERALIZADA	
  
	
  
Note	
  que	
  em	
  todos	
  estes	
  elementos,	
  de	
   fato,	
  a	
   taxa	
  de	
  variação	
  temporal	
  
das	
  variáveis	
  “através”	
  dos	
  terminais,	
  escalonada	
  pela	
  indutância,	
  origina	
  as	
  
variáveis	
  “entre”	
  os	
  terminais.	
  
	
  
Portanto,	
   para	
   uma	
   variação	
   instantânea	
   na	
   energia	
   armazenada	
   em	
  
elemento	
   do	
   Apo	
   indutância	
   generalizada	
   exige-­‐se	
   variação	
   infinita	
   de	
  
variável	
  “entre”	
  os	
  terminais,	
  o	
  que	
  não	
  é	
  realizável	
  fisicamente.	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
Elementos	
  PrimiAvos	
  Generalizados	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  RESISTÊNCIA	
  GENERALIZADA	
  
	
  
São	
  quaisquer	
  elementos	
  cuja	
  equação	
  elementar	
  é	
  regida	
  por:	
  
	
  
	
  
	
  
Resistências	
  generalizadas	
  não	
  armazenam	
  energia	
  e	
  variações	
  instantâneas	
  
na	
  potência	
  dissipada	
  são	
  associadas	
  a	
  variações	
  instantâneas	
  nas	
  variáveis	
  
entre	
  e	
  através	
  dos	
  terminais.	
  
Elementos	
  PrimiAvos	
  Generalizados	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  Relembrando	
  a	
  potência	
  em	
  sistemas	
  hidráulicos:,	
  onde	
  P(t)	
  é	
  pressão	
  [N/m2]	
  e	
  Q(t)	
  é	
  vazão	
  volumétrica	
  [m3/s].	
  
	
  
Conforme	
  já	
  abordado:	
  	
  
	
  
§  Potência	
  é	
  o	
  produto	
  das	
  variáveis	
  generalizadas,	
  portanto	
  o	
  produto	
  de	
  
P(t)	
  por	
  Q(t);	
  
	
  
§  Retomando	
  o	
  conceito	
  de	
  VGET	
  e	
  VGAT,	
  constata-­‐se,	
  então,	
  que:	
  
a.  P(t)	
  é	
  VGET,	
  pois	
  pode	
  ser	
  medida	
  entre	
  os	
  terminais	
  (pressão	
  entre	
  
os	
  terminais);	
  
b.  Q(t)	
   é	
   VGAT,	
   pois	
   pode	
   ser	
   medida	
   através	
   dos	
   terminais	
   (vazão	
  
através	
  de	
  uma	
  tubulação);	
  
	
  
Sistemas	
  Dinâmicos	
  Hidráulicos	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  CAPACITÂNCIA	
  HIDRÁULICA	
  
Pelo	
   conceito	
  de	
   capacitância	
  generalizada	
  a	
  equação	
  elementar	
   deve	
   ser	
  
tal	
  que…	
  
	
  
“a	
  taxa	
  de	
  variação	
  temporal	
  da	
  pressão	
  entre	
  os	
  terminais,	
  escalonada	
  pela	
  
capacitância	
  hidráulica,	
  origine	
  a	
  vazão	
  através	
  dos	
  terminais”	
  
	
  
,	
  portanto:	
  
	
  
Equação	
   que	
   modela,	
   por	
   exemplo,	
   o	
   tanque	
   de	
   armazenamento	
  
apresentado	
  a	
  seguir…	
  	
  
	
  
	
  
Sistemas	
  Dinâmicos	
  Hidráulicos	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  INDUTÂNCIA	
  HIDRÁULICA	
  
Pelo	
  conceito	
  de	
  indutância	
  generalizada	
  a	
  equação	
  elementar	
  deve	
  ser	
  tal	
  
que…	
  
	
  
“a	
  taxa	
  de	
  variação	
  temporal	
  da	
  vazão	
  através	
  dos	
  terminais,	
  escalonada	
  
pela	
  indutância	
  hidráulica,	
  origine	
  a	
  pressão	
  entre	
  os	
  terminais”	
  
	
  
,	
  portanto:	
  
	
  
Equação	
   que	
   modela,	
   por	
   exemplo,	
   a	
   seção	
   de	
   tubulação	
   apresentada	
   a	
  
seguir…	
  	
  
	
  
	
  
Sistemas	
  Dinâmicos	
  Hidráulicos	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  RESISTÊNCIA	
  HIDRÁULICA	
  
Uma	
   resistência	
   hidráulica	
   está	
   associada	
   à	
   vazão	
   através	
   de	
   tubulações	
  
longas	
  ou	
  mesmo	
  válvulas.	
  Nestes	
  elementos	
  observa-­‐se	
  que…	
  
	
  
“Resistências	
  hidráulicas	
  não	
  armazenam	
  energia	
  e	
  variações	
  instantâneas	
  
na	
  potência	
  dissipada	
  são	
  associadas	
  a	
  variações	
  instantâneas	
  na	
  pressão	
  
entre	
  os	
  terminais	
  e	
  na	
  vazão	
  através	
  do	
  elemnto”	
  
	
  
,	
  portanto:	
  
	
  
Equação	
  que	
  modela,	
  por	
  exemplo,	
  a	
  válvula	
  apresentada	
  a	
  seguir…	
  
Sistemas	
  Dinâmicos	
  Hidráulicos	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Acessar	
  o	
  site,	
  baixar	
  e	
  resolver	
  lista	
  associada	
  	
  
ao	
  assunto	
  aqui	
  abordado	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Exercícios	
  Propostos