sc2_20141_diagBode_v1

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Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
Análise	
  de	
  Resposta	
  em	
  Frequência	
  pelos	
  
Diagramas	
  de	
  Bode	
  
E6/E7/E8	
  
	
  
POLI/UPE	
  
Prof.	
  Roberto	
  Feliciano	
  Dias	
  Filho	
  
	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
Plano	
  de	
  Aula	
  
ObjeRvo	
  
-  Compreender	
  a	
  importância	
  dos	
  diagramas	
  de	
  Bode	
  
-  Entender	
  as	
   técnicas	
  de	
  construção	
  de	
  diagramas	
  de	
  Bode	
  
pelo	
  método	
  das	
  aproximações	
  assintóHcas,	
  
-  IdenHficar,	
   dados	
   os	
   d iagramas	
   de	
   Bode,	
   FTs	
  
representaHvas	
  de	
  sistemas	
  dinâmicos	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  
Avaliação	
  
Informal,	
   por	
   arguição	
   aos	
   educandos	
   durante	
   a	
   exposicão,	
  
bem	
  como	
  por	
  análise	
  da	
  manifestacão	
  espontânea	
  destes. 	
  
Metodologia	
  
Aula	
   exclusivamente	
   teorica,	
   sendo	
   requerido,	
   para	
   a	
  
exposicão,	
  projetor	
  eletrônico	
  e	
  quadro	
  branco. 	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  Os	
   diagramas	
   de	
   Bode	
   são	
   originários	
   do	
   ensaio	
   da	
   resposta	
   em	
  
frequência	
  (RF);	
  
§  A	
   RF	
   é	
   a	
   saída	
   (resposta)	
   em	
   regime	
   permanente	
   	
   a	
   uma	
   entrada	
  
senoidal;	
  
§  A	
  resposta	
  a	
  uma	
  entrada	
  senoidal	
  resulta	
  em:	
  
-  Senóide	
  com	
  mesma	
  frequência;	
  
-  Senóide	
  com	
  fase	
  deslocada;	
  e	
  
-  Senóide	
  com	
  ganho	
  alterado.	
  
§  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  é	
  o	
  ganho	
  da	
  RF;	
  e	
  
§  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  é	
  a	
  fase	
  da	
  RF.	
  
§  O	
  ganho	
  e	
  a	
  fase	
  da	
  RF	
  dependem	
  apenas	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  de	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  e	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  .	
  	
  	
  	
  	
  
Introdução	
  aos	
  Diagramas	
  de	
  Bode	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  Primeiramente	
   “abre-­‐se	
   a	
  malha”	
   no	
   ponto	
   de	
   realimentação,	
  
conforme	
  indicado	
  na	
  figura	
  a	
  seguir…	
  
§  E	
   injeta-­‐se	
   sinal	
   sob	
   frequência	
   variável	
   na	
   FT	
   de	
   MALHA	
  
ABERTA,	
   ou	
   seja,	
   G(s)H(s), que	
   relaciona	
   a	
   saída	
   da	
  
realimentação	
  à	
  entrada	
  do	
  sistema.	
  
Procedimento	
  do	
  Ensaio	
  de	
  Resposta	
  em	
  Frequência	
  
Fonte:	
  Lecture	
  do	
  Prof.	
  Ma`hew	
  Peet,	
  IIT	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  O	
  procedimento	
  consistem	
  em:	
  
-  Aplicar	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  =	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  (no	
  ponto	
  “+”	
  do	
  somador	
  da	
  
realimentação);	
  
-  Coletar	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  (na	
  extremidade	
  
desconectada	
  do	
  ponto	
  “–”	
  do	
  somador	
  da	
  realimentação);	
  
-  Medir,	
  para	
  cada	
  frequência	
  aplicada:	
  
-  Através	
  destes	
  parâmetros	
  é	
  possível	
  esHmar	
  G(s),	
  assim:	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  
Procedimento	
  do	
  Ensaio	
  de	
  Resposta	
  em	
  Frequência	
  
Fonte:	
  Lecture	
  do	
  Prof.	
  Ma`hew	
  Peet,	
  IIT	
  
<<LINK	
  PARA	
  VÍDEO>>	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  Por	
  que	
  a	
  análise	
  de	
  RF	
  acontece	
  sobre	
  a	
  FT	
  de	
  malha	
  aberta	
  e	
  
não	
   a	
   de	
   malha	
   fechada,	
   uma	
   vez	
   que	
   é	
   esta	
   úlHma	
   que	
  
representa	
  a	
  dinâmica	
  completa	
  do	
  sistema	
  de	
  controle???	
  
	
  
Porque	
  ela	
  guarda	
  relação	
  com	
  a	
  FT	
  de	
  malha	
  fechada	
  
e	
  ao	
  mesmo	
  tempo	
  é	
  facilmente	
  levantada,	
  pois	
  trata-­‐
se	
  apenas	
  da	
  convolução	
  (produto)	
  das	
  FTs	
  do	
  
caminho	
  direto	
  (G)	
  e	
  do	
  caminho	
  de	
  reaimentação	
  (H),	
  
portanto	
  GH,	
  ao	
  contrário	
  da	
  FT	
  de	
  malha	
  fechada	
  que	
  
é	
  dada	
  por	
  G/(1+GH)	
  
	
  
Procedimento	
  do	
  Ensaio	
  de	
  Resposta	
  em	
  Frequência	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  Os	
  diagramas	
  de	
  Bode	
  são	
  curvas	
  log-­‐log	
  e	
  semi-­‐log:	
  
-  Asdasd	
  
-  Asdasd	
  
ObHdas	
  diretamente	
  do	
  ensaio	
  de	
  resposta	
  em	
  frequência.	
  
	
  
NOTA:	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  que	
  o	
  ganho	
  está	
  expresso	
  em	
  decibel	
  (dB).	
  
	
  
§  Embora	
   na	
   práHca	
   uHlize-­‐se	
   o	
   ensaio	
   de	
   RF	
   para	
   traçar	
   os	
  
diagramas	
   de	
   Bode,	
   é	
   desejável	
   que	
   se	
   adquira	
   habilidade	
   de	
  
traçar	
   estes	
   gráficos	
   a	
   parHr	
   de	
   uma	
   FT	
   conhecida.	
   Atribuir	
  
valores	
   de	
   frequência	
   e	
   levantar	
   magnitude	
   e	
   fase	
   da	
   RF,	
   no	
  
entanto,	
  envolve	
  cálculo	
  de	
  arctan,	
   cálculos	
   logarítmicos	
  e	
  etc.	
  	
  
Bode	
  propôs	
  um	
  disposiHvo	
  mais	
  práHco… 
Construção	
  dos	
  Diagramas	
  de	
  Bode	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  O	
  método	
   de	
   traçado	
   dos	
   diagramas	
   de	
   Bode	
   das	
   aproximações	
  
assintóHcas	
   é	
   práHco	
   e	
   se	
   vale	
   das	
   propriedades	
   dos	
   logaritmos	
  
para	
  simplificar	
  o	
  levantamento	
  dos	
  diagramas,	
  ou	
  seja…	
  
Supondo	
  que	
  a	
  FT	
  cujos	
  diagramas	
  de	
  Bode	
  deseja-­‐se	
  traçar	
  seja	
  dada	
  
por…	
  
	
  
Então,	
  em	
  termos	
  de	
  ganhos	
  tem-­‐se…	
  
	
  
	
  
Mas	
  se	
  expressas	
  em	
  termos	
  de	
  termos	
  logarítmicos…	
  
	
  
	
  
Assim,	
   tem-­‐se	
   a	
   primeira	
   regra	
   para	
   construção	
   dos	
   diagramas	
   de	
  
Bode:	
  	
  o	
  ganho,	
  expresso	
  em	
  log,	
  de	
  uma	
  FT	
  consHtuída	
  por	
  produtos	
  
de	
  outras	
  FTs	
  converte-­‐seem	
  soma	
  de	
  ganhos	
  individuais	
  em	
  log.	
  
	
  
Construção	
  dos	
  Diagramas	
  de	
  Bode	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  Semelhantemente	
  ao	
  produto	
  de	
  ganhos,	
  expressos	
  em	
  termos	
  de	
  
logaritmos,	
   a	
   fase	
   da	
   RF	
   também	
   ,	
   reverte-­‐se	
   em	
   um	
   somatório,	
  
definindo	
  a	
  segunda	
  regra	
  de	
  traçado	
  dos	
  diagramas	
  de	
  Bode,	
  isto	
  	
  
é,	
  supondo	
  que…	
  
	
  
	
  	
  	
  	
  	
  então,…	
  
	
  
	
  
Assim,	
  a	
  fase	
  de	
  uma	
  FT	
  consHtuída	
  por	
  produtos	
  de	
  outras	
  FTs	
  é	
  	
  	
  
dada	
  pela	
  soma	
  das	
  fases	
  individuais	
  de	
  cada	
  FT.	
  
	
  
§  Estas	
   duas	
   primeiras	
   regras	
   são	
   os	
   fundamentos	
   do	
   método	
   de	
  
plotagem	
  dos	
  diagramas	
  de	
  Bode	
  pelas	
  aproximações	
  assintóHcas	
  
no	
  senHdo	
  de:	
  decompor	
  a	
  FT	
  cujos	
  diagramas	
  de	
  Bode	
  deseja-­‐se	
  
traçar	
   em	
   FTs	
   fundamentais,	
   plotar	
   ganho	
   e	
   fase	
   destas	
  
componentes	
  e	
  somar	
  os	
  gráficos.	
  
	
  
Construção	
  dos	
  Diagramas	
  de	
  Bode	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
§  PROCEDIMENTO:	
   Decomponha	
   a	
   FT	
   cujos	
   diagramas	
   de	
   Bode	
  
que	
   deseja-­‐se	
   plotar	
   conforme	
   o	
   formato	
   normalizados	
   pelos	
  
pólos/zeros,	
  conforme	
  a	
  seguir…	
  
,	
  no	
  qual	
  	
  
	
  
Método	
  das	
  Aproximações	
  AssintóRcas	
  
NOTA:	
  Esta	
  formatação	
  normalizada	
  explicita	
  que	
  a	
  	
  
resposta	
  ao	
  degrau	
  unitário	
  em	
  regime	
  permanente	
  
é:	
  
	
  
	
  	
  	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
TERMOS	
  FUNDAMENTAIS	
  CONSTITUINTES	
  DE	
  FTs:	
  
	
  
Polinômios	
   de	
   quaisquer	
   ordem	
   podem	
   ser	
   decompostos	
   nos	
  
quatro	
  seguintes	
  termos	
  fundamentais:	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Lembrando	
  que	
  
	
  
	
  
NOTA.:	
   Os	
   termos	
   de	
   segunda	
   ordem	
   permitem	
   representar	
   os	
  
zeros/pólos	
  complexos	
  conjugados	
  possivelmente	
  existemtes.	
  	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Método	
  das	
  Aproximações	
  AssintóRcas	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
TERMO	
  “CONSTANTE”:	
  
§  Ganho:	
  
	
  
	
  
NOTA:	
  A	
  magnitude	
  deste	
  termo	
  é	
  invariante	
  em	
  frequência.	
  
Método	
  das	
  Aproximações	
  AssintóRcas	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
TERMO	
  “CONSTANTE”:	
  
§  Fase:	
  
NOTA:	
  A	
  fase	
  é	
  zero	
  se	
  c > 0,	
  senão	
  é	
  180	
  graus.	
  
Método	
  das	
  Aproximações	
  AssintóRcas	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
TERMO	
  “ZERO	
  SIMPLES	
  NA	
  ORIGEM”:	
  
§  Ganho:	
  
-  O	
  gráfico	
  é	
  linear	
  para	
  toda	
  faixa	
  de	
  frequência;	
  
-  A	
  inclinação	
  é	
  de	
  20	
  dB/década;	
  
-  A	
  curva	
  passa	
  pela	
  coordenada	
  (1	
  Hz,	
  0	
  dB);	
  
-  Apresenta	
  ganho	
  elevado	
  para	
  frequências	
  elevadas;	
  
Método	
  das	
  Aproximações	
  AssintóRcas	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
TERMO	
  “ZERO	
  SIMPLES	
  NA	
  ORIGEM”:	
  
§  Fase:	
  
-  Sempre	
  90	
  graus	
  de	
  defasagem,	
   independentemente	
  da	
  
frequência	
  
Método	
  das	
  Aproximações	
  AssintóRcas	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
TERMO	
  “ZERO	
  MÚLTIPLO	
  NA	
  ORIGEM”:	
  
§  Ganho:	
  
	
  
-  A	
  inclinação	
  é	
  de	
  20k	
  dB/década;	
  
-  Qualquer	
   que	
   seja	
   o	
   valor	
   de	
   k,	
   a	
   curva	
   passa	
   pela	
  
coordenada	
  (1	
  Hz,	
  0	
  dB);	
  
	
  
Método	
  das	
  Aproximações	
  AssintóRcas	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
TERMO	
  “ZERO	
  MÚLTIPLO	
  NA	
  ORIGEM”:	
  
§  Fase:	
  
-  Sempre	
  90k	
  graus	
  de	
  defasagem,	
  independentemente	
  da	
  
frequência	
  
	
  
Método	
  das	
  Aproximações	
  AssintóRcas	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
TERMO	
  “ZERO	
  SIMPLES	
  DESLOCADO	
  DA	
  ORIGEM”:	
  
§  Ganho:	
  	
  
	
  
	
  
	
  
-  Observa-­‐se	
  que	
  
-  Possui	
  ganho	
  unitário	
  (0	
  dB)	
  	
  
	
  	
  	
  	
  	
  para	
  baixas	
  frequências;	
  
-  Comporta-­‐se,	
   sob	
   altas	
   frequências,	
   como	
   um	
   zero	
   da	
  
origem,	
  ou	
  seja,	
  com	
  ganho	
  linear	
  crescente	
  na	
  taxa	
  de	
  20	
  
dB/década.	
  
-  Possui	
   frequência	
   de	
   corte	
   numericamente	
   igual	
   ao	
   valor	
  
do	
   zero	
   (ou	
   inverso	
   da	
   constante	
   de	
   tempo	
   associada	
   ao	
  
zero).	
   Sob	
   esta	
   frequência	
   o	
   sinal	
   tem	
   ganho	
   3,01	
   dB,	
   ou	
  
seja,	
  	
  	
  atenua	
  para	
  cerca	
  de	
  71%	
  o	
  sinal	
  de	
  entrada.	
  	
  
Método	
  das	
  Aproximações	
  AssintóRcas	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
TERMO	
  “ZERO	
  SIMPLES	
  DESLOCADO	
  DA	
  ORIGEM”:	
  
	
  
§  Ganho:	
  	
  
	
  
Método	
  das	
  Aproximações	
  AssintóRcas	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
TERMO	
  “ZERO	
  SIMPLES	
  DESLOCADO	
  DA	
  ORIGEM”:	
  
§  Fase:	
  	
  
	
  
-  Observa-­‐se	
  que	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Método	
  das	
  Aproximações	
  AssintóRcas	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
TERMO	
  “PÓLO	
  SIMPLES	
  DESLOCADOS	
  DA	
  ORIGEM”:	
  	
  
§  Os	
  pólos	
  são	
  o	
  oposto	
  dos	
  zeros.	
  
§  De	
  modo	
  que:	
  
	
  
§  Assim,	
  graficamente,	
  pólos	
  e	
  zeros,	
  têm	
  os	
  seguintes	
  perfis…	
  
Método	
  das	
  Aproximações	
  AssintóRcas	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
TERMO	
  “PÓLO	
  SIMPLES	
  E	
  MÚLTIPLO	
  NA	
  ORIGEM”	
  :	
  
§  Os	
  pólos	
  são	
  o	
  oposto	
  dos	
  zeros,	
  portanto	
  possuem	
  curvas	
  e	
  
regras	
  de	
  construção	
  também	
  opostas	
  
	
  
§  Com	
  relação	
  aos	
  zeros,	
  os	
  diagramas	
  de	
  pólos	
  são	
  simétricos	
  
em	
  relação	
  ao	
  eixo	
  da	
  frequências.	
  
§  RESUMINDO:	
  	
  
-  O	
  gráfico	
  também	
  é	
  linear	
  para	
  toda	
  faixa	
  de	
  frequência;	
  
-  A	
  inclinação	
  é	
  de	
  -­‐20	
  dB/década;	
  
-  A	
  curva	
  passa	
  pela	
  coordenada	
  (1	
  Hz,	
  0	
  dB);	
  e	
  
-  Referente	
   à	
   fase,	
   sempre	
   90	
   graus	
   de	
   defasagem,	
  
independentemente	
  da	
  frequência.	
  
Método	
  das	
  Aproximações	
  AssintóRcas	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
TERMOS	
  COM	
  PÓLOS/ZEROS	
  COMPLEXOS	
  CONJUGADOS:	
  
	
  
Exemplos	
  de	
  Sistemas	
  de	
  2a	
  Ordem	
  Puros	
  
Método	
  das	
  Aproximações	
  AssintóRcas	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
TERMOS	
  COM	
  PÓLOS/ZEROS	
  COMPLEXOS	
  CONJUGADOS:	
  
	
  
Suponha	
  o	
  seguinte	
  sistema	
  de	
  segunda	
  ordem	
  na	
  forma	
  canônica…	
  
	
  
Método	
  das	
  Aproximações	
  AssintóRcas	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
TERMOS	
  COM	
  PÓLOS/ZEROS	
  COMPLEXOS	
  CONJUGADOS:	
  
	
  
Nos	
   sistemas	
   exemplificados,	
   	
   o	
   quadrado	
   da	
   frequência	
   natural	
   é	
  
dada	
  por::	
  
Método	
  das	
  Aproximações	
  AssintóRcas	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
TERMOS	
  COM	
  PÓLOS/ZEROS	
  COMPLEXOS	
  CONJUGADOS:	
  
	
  
As	
  raízes	
  do	
  polinômio	
  do	
  denominador	
  (neste	
  caso	
  os	
  pólos)	
  são	
  
dadas	
  por…	
  
	
  
Método	
  das	
  Aproximações	
  AssintóRcas	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
TERMOS	
  COM	
  PÓLOS/ZEROS	
  COMPLEXOS	
  CONJUGADOS:	
  
	
  
A	
  expressão	
  pode	
  ser	
  reescrita	
  conforme	
  a	
  seguir,	
  o	
  que	
  facilita	
  a	
  
análise	
  a	
  análise	
  a	
  ser	
  feita…	
  
	
  
Método	
  das	
  Aproximações	
  AssintóRcas	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
TERMOS	
  COM	
  PÓLOS/ZEROS	
  COMPLEXOS	
  CONJUGADOS:	
  
	
  
Sob	
  baixas	
  frequências…	
  
	
  
Método	
  das	
  Aproximações	
  AssintóRcas	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
TERMOS	
  COM	
  PÓLOS/ZEROS	
  COMPLEXOS	
  CONJUGADOS:	
  
	
  
Sob	
  frequência	
  natural…	
  
	
  
Método	
  das	
  Aproximações	
  AssintóRcas	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
TERMOS	
  COM	
  PÓLOS/ZEROS	
  COMPLEXOS	
  CONJUGADOS:	
  
	
  
Sob	
  altas	
  frequências…	
  
	
  
Método	
  das	
  Aproximações	
  AssintóRcas	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
TERMOS	
  COM	
  PÓLOS/ZEROS	
  COMPLEXOS	
  CONJUGADOS:	
  
	
  
Para	
  uma	
  maior	
  detalhamento	
  próximo	
  ao	
  pico	
  de	
  ressonância	
  
(máximo	
  erro	
  intruduzido	
  pelo	
  método	
  de	
  Bode),	
  pode-­‐se	
  recorrer	
  à	
  
expressão	
  matemáHca…	
  	
  
	
  
Método	
  das	
  Aproximações	
  AssintóRcas	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
TERMOS	
  COM	
  PÓLOS/ZEROS	
  COMPLEXOS	
  CONJUGADOS:	
  
	
  
Para	
  uma	
  maior	
  detalhamento	
  próximo	
  ao	
  pico	
  de	
  ressonância	
  
(máximo	
  erro	
  intruduzido	
  pelo	
  método	
  de	
  Bode),	
  pode-­‐se	
  recorrer	
  à	
  
expressão	
  matemáHca…	
  	
  
	
  
Método	
  das	
  Aproximações	
  AssintóRcas	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
TERMOS	
  COM	
  PÓLOS/ZEROS	
  COMPLEXOS	
  CONJUGADOS:	
  
	
  
Para	
  uma	
  maior	
  detalhamento	
  próximo	
  ao	
  pico	
  de	
  ressonância	
  
(máximo	
  erro	
  intruduzido	
  pelo	
  método	
  de	
  Bode),	
  pode-­‐se	
  recorrer	
  à	
  
expressão	
  matemáHca…	
  	
  
	
  	
  
	
  
Método	
  das	
  Aproximações	
  AssintóRcas	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
TERMOS	
  COM	
  PÓLOS/ZEROS	
  COMPLEXOS	
  CONJUGADOS:	
  
	
  
Para	
  uma	
  maior	
  detalhamento	
  próximo	
  ao	
  pico	
  de	
  ressonância	
  
(máximo	
  erro	
  intruduzido	
  pelo	
  método	
  de	
  Bode),	
  pode-­‐se	
  recorrer	
  à	
  
expressão	
  matemáHca…	
  	
  
	
  
Método	
  das	
  Aproximações	
  AssintóRcas	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
TERMOS	
  COM	
  PÓLOS/ZEROS	
  COMPLEXOS	
  CONJUGADOS:	
  
	
  
Para	
  uma	
  maior	
  detalhamento	
  próximo	
  ao	
  pico	
  de	
  ressonância	
  
(máximo	
  erro	
  intruduzido	
  pelo	
  método	
  de	
  Bode),	
  pode-­‐se	
  recorrer	
  à	
  
expressão	
  matemáHca…	
  	
  
	
  
Método	
  das	
  Aproximações	
  AssintóRcas	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
TERMOS	
  COM	
  PÓLOS/ZEROS	
  COMPLEXOS	
  CONJUGADOS:	
  
	
  
Para	
  uma	
  maior	
  detalhamento	
  próximo	
  ao	
  pico	
  de	
  ressonância	
  
(máximo	
  erro	
  intruduzido	
  pelo	
  método	
  de	
  Bode),	
  pode-­‐se	
  recorrer	
  à	
  
expressão	
  matemáHca…	
  	
  
	
  
Método	
  das	
  Aproximações	
  AssintóRcas	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
TERMOS	
  COM	
  PÓLOS/ZEROS	
  COMPLEXOS	
  CONJUGADOS:	
  
	
  
Por	
  fim,	
  devido	
  a	
  abordagem	
  logarítmica	
  dada,	
  compor	
  uma	
  FT	
  
mesmo	
  com	
  alto	
  grau	
  de	
  complexidade	
  significa	
  somar	
  as	
  assíntotas	
  
das	
  FTs	
  fundamentais	
  apresentadas…	
  
	
  
Método	
  das	
  Aproximações	
  AssintóRcas	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  EscolaPolitécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
TERMOS	
  COM	
  PÓLOS/ZEROS	
  COMPLEXOS	
  CONJUGADOS:	
  
	
  
Por	
  fim,	
  devido	
  a	
  abordagem	
  logarítmica	
  dada,	
  compor	
  uma	
  FT	
  
mesmo	
  com	
  alto	
  grau	
  de	
  complexidade	
  significa	
  somar	
  as	
  assíntotas	
  
das	
  FTs	
  fundamentais	
  apresentadas…	
  
	
  
Método	
  das	
  Aproximações	
  AssintóRcas	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
Dada	
  a	
  FT	
  de	
  malha	
  aberta	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Construa	
  os	
  diagramas	
  de	
  Bode	
  de	
  ganho	
  e	
  de	
  fase…	
  
	
  
RESOLUÇÃO:	
  
PráRca	
  de	
  Construção	
  de	
  Diagramas	
  de	
  Bode	
  
H(s) = 20s(s+100)(s+2)(s+10)
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
Dada	
  a	
  FT	
  de	
  malha	
  aberta	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Construa	
  os	
  diagramas	
  de	
  Bode	
  de	
  ganho	
  e	
  de	
  fase…	
  
	
  
RESOLUÇÃO:	
  
	
  
① Formate	
  a	
  FT	
  normalizando	
  os	
  termos	
  pelos	
  pólos,	
  zeros	
  e	
  
frequências	
  naturais	
  (termos	
  de	
  2a	
  ordem)…	
  
	
  
PráRca	
  de	
  Construção	
  de	
  Diagramas	
  de	
  Bode	
  
H(s) = 20s(s+100)(s+2)(s+10)
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
Dada	
  a	
  FT	
  de	
  malha	
  aberta	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Construa	
  os	
  diagramas	
  de	
  Bode	
  de	
  ganho	
  e	
  de	
  fase…	
  
	
  
RESOLUÇÃO:	
  
	
  
② Observe	
  faça	
  marcações	
  provisórias	
  dos	
  zeros	
  e	
  pólos,	
  bem	
  como	
  
do	
  ponto	
  em	
  que	
  o	
  eixo	
  X	
  interceptará	
  o	
  eixo	
  Y	
  (20	
  log	
  C	
  dB)	
  
③ Assuma	
  uma	
  das	
  estratégias	
  a	
  seguir:	
  	
  
-  Assuma	
  que	
  nas	
  baixas	
  frequências,	
  exceto	
  os	
  termos	
  ref.	
  ao	
  pólos	
  e	
  zeros	
  
na	
  origem,	
  o	
  ganho	
  das	
  FTs	
  fundamentais	
  é	
  	
  (20	
  log	
  C	
  dB);	
  ou	
  
-  Assuma	
  que	
  nas	
  baixas	
  frequências	
  o	
  ganho	
  das	
  FTs	
  fundamentais	
  é	
  0	
  dB	
  e	
  
intruduza	
  o	
  offset	
  (20	
  log	
  C	
  dB)	
  ao	
  final.	
  
	
  
PráRca	
  de	
  Construção	
  de	
  Diagramas	
  de	
  Bode	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
Dada	
  a	
  FT	
  de	
  malha	
  aberta	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Construa	
  os	
  diagramas	
  de	
  Bode	
  de	
  ganho	
  e	
  de	
  fase…	
  
	
  
RESOLUÇÃO:	
  
	
  
④ Desenhe	
  as	
  assíntotas	
  dos	
  termos	
  fundamentais;	
  
⑤ Some	
  as	
  curvas	
  correspondentes	
  às	
  FTs	
  fundamentais	
  trecho	
  a	
  
trecho.	
  LEMBRE:	
  Inclunações	
  são	
  somadas	
  normalmente…	
  
PráRca	
  de	
  Construção	
  de	
  Diagramas	
  de	
  Bode	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
RESOLUÇÃO:	
  
	
  
PráRca	
  de	
  Construção	
  de	
  Diagramas	
  de	
  Bode	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
RESOLUÇÃO:	
  
	
  
PráRca	
  de	
  Construção	
  de	
  Diagramas	
  de	
  Bode	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
EXERCÍCIOS	
  
	
  
1)  Esboçar	
  o	
  diagramas	
  de	
  Bode	
  de:	
  
Método	
  das	
  Aproximações	
  AssintóRcas	
  
G(s) =
(s+ 3)
(s+ 2)(s2 + 2s+ 25)