Livro pdf - Estatística - Prof. MSc. Uanderson Rébula

Prévia do material em texto

- 1 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
Associação Educacional Dom Bosco 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira 
br.linkedin.com/in/uandersonrebula/ 
http://lattes.cnpq.br/1039175956271626
 
ESTATÍSTICA 
- 2 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
EMENTA: 
Estatística descritiva: conceito e fases de estudo. Variáveis. População e amostra. 
Séries estatísticas: conceitos, tabelas, distribuição de frequência e representação 
gráfica. Medidas de Tendência Central. Medidas de Ordenamento. Medidas de 
Variação. Medidas de Assimetria e Curtose. Correlação e Regressão Linear Simples. 
OBJETIVO: 
Refletir a partir da Estatística Básica sobre as ferramentas consolidadas pelo uso e 
pela ciência, disponíveis a todos, que auxiliam na tomada de decisão. 
UANDERSON REBULA DE OLIVEIRA 
Mestrado em Engenharia de Produção-Universidade Estadual Paulista-UNESP 
Pós-graduado em Controladoria e Finanças-Universidade Federal de Lavras-UFLA 
Pós-graduado em Logística Empresarial-Universidade Estácio de Sá-UNESA 
Graduado em Ciências Contábeis-Universidade Barra Mansa-UBM 
Técnico em Metalurgia-Escola Técnica Pandiá Calógeras-ETPC 
 Técnico em Segurança do Trabalho-ETPC 
Operador Siderúrgico e Industrial-ETPC 
Pesquisador pelo ITL/SEST/SENAT. Professor na UNIFOA no curso de Pós graduação em Engenharia de 
Segurança do Trabalho. Professor da Universidade Estácio de Sá - UNESA nas disciplinas de Gestão Financeira de 
Empresas, Fundamentos da Contabilidade e Matemática Financeira, Probabilidade e Estatística para o curso de 
Engenharia de Produção, Análise Estatística para o curso de Administração, Ergonomia, Higiene e Segurança do 
Trabalho, Gestão de Segurança e Análise de Processos Industriais (Gestão Ambiental), Gestão da Qualidade: 
programa 5S (curso de férias). Professor na Associação Educacional Dom Bosco para os cursos de Administração 
e Logística. Ex-professor na Universidade Barra Mansa – UBM nos cursos de Engenharia de Produção e de 
Petróleo. Ex-professor Conteudista na UNESA (elaboração de Planos de Ensino e de Aula, a nível nacional). Ex-
professor em escolas técnicas nas disciplinas de Estatística Aplicada, Estatística de Acidentes do Trabalho, 
Probabilidades, Contabilidade Básica de Custos, Metodologia de Pesquisa Científica, Segurança na Engenharia de 
Construção Civil e Higiene do Trabalho. Ex-professor do SENAI. Ex-consultor interno, desenvolvedor e instrutor 
de cursos corporativos na CSN, a níveis Estratégicos, Táticos e Operacionais. Ex-Membro do IBS–Instituto 
Brasileiro de Siderurgia. 
Resende - RJ – 2017 
ESTATÍSTICA 
- 3 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
APRESENTAÇÃO 
DA DISCIPLINA 
Uma das ferramentas mais utilizadas hoje em dia 
pelos cientistas, analistas financeiros, médicos, engenheiros, 
jornalistas etc. é a Estatística, que descreve os dados observados e 
desenvolve a metodologia para a tomada de decisão em presença 
da incerteza. O verbete estatística foi introduzido no século XVIII, 
tendo origem na palavra latina status (Estado), e serviu 
inicialmente a objetivos ligados à organização político-social, como 
o fornecimento de dados ao sistema de poder vigente. Hoje em dia,
os modelos de aplicação da Teoria Estatística se estendem por todas 
as áreas do conhecimento, como testes educacionais, pesquisas 
eleitorais, análise de riscos ambientais, finanças, controle de 
qualidade, análises clínicas, índices de desenvolvimento, 
modelagem de fenômenos atmosféricos etc. Podemos 
informalmente dizer que a Teoria Estatística é uma ferramenta que 
ajuda a tomar decisões com base na evidência disponível, decisões 
essas afetadas por margens de erro, calculadas através de modelos 
de probabilidade. 
No entanto, a probabilidade se desenvolveu muito 
antes de ser usada em aplicações da Teoria Estatística. Um dos 
marcos consagrados na literatura probabilística foi a 
correspondência entre B. Pascal (1623-1662) e P. Fermat (1601-
1665), onde o tema era a probabilidade de ganhar em um jogo 
com dois jogadores, sob determinadas condições. Isso mostra que o 
desenvolvimento da teoria de probabilidades começou com uma 
paixão humana, que são os jogos de azar, mas evoluiu para uma 
área fortemente teórica, em uma perspectiva de modelar a 
incerteza, derivando probabilidades a partir de modelos 
matemáticos. 
A análise combinatória deve grande parte de seu 
desenvolvimento à necessidade de resolver problemas 
probabilísticos ligados à contagem, mas hoje há diversas áreas em 
que seus resultados são fundamentais para o desenvolvimento de 
teorias, como, por exemplo, a área de sistemas de informação. 
Nesta apostila encontraremos as definições de 
Estatística, vocabulário básico, população e amostra, séries 
estatísticas, medidas estatísticas. Correlação e regressão entre 
outros temas importantes. 
“Atualmente, todos – estudantes e professores – procuram o Udemy porque é a 
plataforma onde todos estão”. 
Fonte: Jornal do Brasil 
www.udemy.com 
Junte-se a milhões de estudantes na maior plataforma on-line 
de cursos curtos e práticos do mundo. 
Com mais de 45.000 cursos virtuais disponíveis, o Udemy é uma plataforma global de 
ensino on-line onde 15 milhões de alunos estão dominando novas habilidades. 
O foco do Udemy são os conhecimentos práticos e úteis para o mercado de trabalho. Há 
cursos gratuitos e pagos. São cursos curtos e com valores bem acessíveis. 
Faça o curso online na Udemy 
Estatística I (para leigos): 
aprenda fácil e rápido! 
 Com o Prof. MSc. Uanderson Rébula 
Saiba 
mais 
Clique aqui 
"O livro digital Estatística I para leigos possui uma linguagem fácil e ao mesmo tempo dinâmica. O 
conteúdo do livro está ordenado de forma a facilitar a aprendizagem dos alunos, mesmo aquelas 
pessoas que não tenham noção nenhuma de estatística aprenderão com esse livro. Você pode 
estudar sozinho para concursos pois o livro é auto explicativo ou até mesmo em grupos, no meu 
caso faço isso com meus alunos. Eu super recomendo esse livro!!! NOTA 1000" 
Maria Eunice Souza Madriz 
Professora de estatística da rede estadual de ensino da Bahia 
Avaliação do livro pelo cliente na amazon.com.br 
- 5 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
1 – CONCEITOS PRELIMINARES  
1.1 CONCEITO E IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA, 7 
1.2 FASES DO ESTUDO ESTATÍSTICO, 12 
1.3 VOCABULÁRIO BÁSICO DE ESTATÍSTICA, 13 
1.4 POPULAÇÃO E AMOSTRA, 15 
1.5 ESTATÍSTICA DESCRITIVA E INFERENCIAL , 17 
2 – SÉRIES ESTATÍSTICAS  
2.1 CONCEITOS E TIPOS DE SÉRIES ESTATÍSTICAS,  19 
Tabelas, 19 
Gráficos, 20 
2.2 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA, 23 
Frequência absoluta e histograma, 23 
Frequência relativa, absoluta acumulada e relativa acumulada, 24 
Agrupamento em classes, 25 
Polígono de frequência e ogiva, 26 
3 – MEDIDAS RESUMO
3.1 MEDIDAS DE POSIÇÃO, 28 
MÉDIA, 28 
Média simples e Média ponderada, 28 
Média de distribuição de frequência, 29 
 MEDIANA, 30 
 MODA, 31 
 RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MEDIANA E MODA, 33 
3.2 MEDIDAS DE ORDENAMENTO (OU SEPARATRIZES), 34 
Quartil, 34 
Decil e Percentil, 35 
3.3 MEDIDAS DE VARIAÇÃO (OU DISPERSÃO), 36 
Introdução, 36 
Variância e Desvio Padrão, 37 
Coeficiente de Variação,  39 
Desvio padrão de Distribuição de frequência, 39 
3.4 MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE, 41 
Assimetria e coeficiente de assimetria, 41 
Curtose e coeficiente de curtose, 42 
4 – CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR SIMPLES           
CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES, 44 
REGRESSÃO LINEAR SIMPLES, 47 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS, 49 
ANEXO I – LIVROS RECOMENDADOS, 50 
ANEXO II –  Software BIOESTAT , 51 
ANEXO I II– Estatística no Excel, 52  
Sumário 
Prof. MSc. Uanderson Rébula de Oliveira 
Sumário 
Uma mensagem do Prof. MSc Uanderson Rébula. CLIQUE NO VÍDEO
CLIQUE AQUI E INSCREVA-SENO CURSO JÁ
- 6 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
 
1 
CONCEITOS PRELIMINARES 
- 7 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
1.1 CONCEITO E IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA 
ESTATÍSTICA NA PRÁTICA 
Analise as informações abaixo para melhor compreensão do conceito de Estatística. 
 ACIDENTES DO TRABALHO NO BRASIL – 1970 a 2005 
Conceito de Acidente: Lesão corporal ou doença, relacionada com o exercício do trabalho. (Lei 8.213/91 – art. 19 a 21) 
INSS: Órgão público responsável pela coleta, organização e representação dos dados.  
 Coleta: Por meio de um formulário eletrônico denominado “CAT – Comunicação de Acidente do Trabalho”, enviado 
pelas empresas quando da ocorrência, conforme determina o art. 22 da Lei 8.213/91. 
 Organização: Através de um grande banco de dados do INSS. 
 Representação: Através de um documento denominado “Anuário Estatístico de Acidentes do Trabalho”, contendo 
tabelas, gráficos e diversas análises. Disponível no site www.previdencia.gov.br, na seção “Estatística”. 
Motivo: Quando  o  trabalhador  se  afasta  por motivo  de  acidente,  o  INSS  concede  benefícios  acidentários,  como  auxílio 
doença acidentário, auxílio acidente, aposentadoria por invalidez, pensão por morte, reabilitação entre outros.  
COMPILAÇÃO E ANÁLISE DE DADOS (INFORMAÇÕES) sobre acidentes do trabalho, de 1970 a 2005: 
 
 
 
 
Observa‐se ao longo dos anos o aumento gradativo da quantidade de trabalhadores no Brasil, de 7.284.022 chegando a 33.238.617, 
reflexo do crescimento econômico do País. Essas informações (dados) são importantes para fins de comparação com a evolução da 
quantidade de acidentes do trabalho no mesmo período, como segue abaixo: 
No período de 1970 a 1976 a quantidade de acidentes  foi alta, comparando‐se com a pequena quantidade de  trabalhadores no 
mesmo  período.  Somente  a  partir  de  1978  os  acidentes  começaram  a  reduzir,  em  razão  da  aprovação  das  Normas 
Regulamentadoras – NR’s (disponível no www.mte.gov.br), tornando‐se de aplicação obrigatória em todo o País. Esta redução pode 
ser vista como positiva, entretanto, não podemos comemorar esses números, pois a quantidade de acidentes ainda é alarmante e 
está praticamente estagnada, desde 1994. 
7.284.022
8.148.987
11.537.024
14.945.489
16.638.799
18.686.355
19.476.36219.673.915
22.163.827
23.661.57923.198.656
22.272.843
23.667.24123.830.312
24.491.635
26.228.629
27.189.614
28.683.91329.544.927
31.407.576
33.238.617
0
5.000.000
10.000.000
15.000.000
20.000.000
25.000.000
30.000.000
35.000.000
1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Evolução da QUANTIDADE de TRABALHADORES 
no Brasil - 1970 a 2005. 
FONTE: Revista Proteção Anos 
1.220.111
1.504.723
1.796.671
1.743.825
1.551.461
1.464.211
1.178.472
961.575
1.207.859
991.581
693.572
532.514
388.304 395.455
414.341
363.868340.251393.071 399.077
465.700 491.711
0
250.000
500.000
750.000
1.000.000
1.250.000
1.500.000
1.750.000
2.000.000
1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Involução da QUANTIDADE de ACIDENTES DO 
TRABALHO no Brasil - 1970 a 2005. 
Anos 
FONTE: Revista Proteção 
Aprovação das NR’s 
- 8 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
E  as  regiões?  Como  esses  acidentes  estão  distribuídos  nas  regiões  do  país?  Qual  a  pior  região?  Vejamos  abaixo  em  um 
Cartograma (mapa com dados), REFERENTE AO ANO DE 2005 (491.711 acidentes): 
Observa‐se que a região em 1° lugar em número de acidentes é a Sudeste, em 2° está a região Sul, em 3° a região Nordeste, em 4° a região 
Centro‐Oeste e por último a Norte. Ao analisarmos este  gráfico podemos  tomar diversas  conclusões, porém,  tais  conclusões  somente  são 
possíveis através de um estudo, o que demanda  tempo. Todavia, observa‐se que a quantidade de acidentes acompanha a porcentagem da 
participação do  PIB da  região.  Esta  correlação pode  ser  resultado do  reflexo da  economia da  região. Ora,  a  região  Sudeste, por  exemplo, 
corresponde a 56,5% do PIB do País. Logicamente esta região possui um maior número de empresas e, consequentemente, maior número de 
mão‐de‐obra e atividades produtivas,  fato que pode  justificar a enorme quantidade de acidentes  comparada  com as demais  regiões. Esses 
dados também podem estar relacionados com as políticas dos estados e das empresas, a atuação das fiscalizações do Ministério do Trabalho, 
as  culturas das  regiões, os  investimentos empresariais, a  capacitação de mão de obra  (treinamentos) entre outros  fatores. Entende‐se por 
Produto Interno Bruto (PIB) a soma, em valores monetários, de todos os bens e serviços finais produzidos em uma determinada região. 
Tradicionalmente, no Brasil, as políticas de desenvolvimento têm se restringido aos aspectos econômicos e vêm sendo traçadas 
de maneira paralela ou pouco articuladas com as políticas sociais, cabendo a estas últimas arcarem com os ônus dos possíveis 
danos gerados  sobre a  saúde da população, dos  trabalhadores em particular e a degradação ambiental. Para que o Estado 
cumpra seu papel para a garantia desses direitos, é mister a formulação e implementação de políticas e ações de governo. 
POSSÍVEIS SOLUÇÕES PARA REDUZIR OS ACIDENTES 
A partir da análise dos dados podemos concluir que a política de segurança do trabalho adotada no País está estagnada. A 
simples  aplicação  da  norma  regulamentadora  não  está  sendo  suficiente  para  reduzir  o  índice  de  acidentes. Os  dados  nos 
mostram que não haverá mudanças significativas se não forem feitas alterações nessa política. 
Para contornar a situação, os Ministérios do Trabalho, da Saúde e da Previdência Social publicaram, para consulta pública, em 
29.12.2004  a PNSST  ‐ POLÍTICA NACIONAL DE  SEGURANÇA  E  SAÚDE DO  TRABALHADOR,  com  a  finalidade de promover  a 
melhoria da qualidade de vida e da saúde do trabalhador.  
Os Ministérios reconheceram a deficiência da segurança do trabalho no país, carecendo de mecanismos que: 
 Incentivem medidas de prevenção;
 Responsabilizem os empregadores;
 Propiciem o efetivo reconhecimento dos direitos do trabalhador;
 Diminuam a existência de conflitos institucionais;
 Tarifem de maneira mais adequada as empresas e
 Possibilite um melhor gerenciamento dos fatores de riscos ocupacionais.
Distribuição da quantidade e porcentagem de acidentes de trabalho no Brasil por Regiões, 
correlacionados com o Produto Interno Bruto ‐ PIB ‐ ano 2005. 
FONTE: Adaptado da Revista Proteção e do IBGE (www.ibge.gov.br) 
NORDESTE 
• Acidentes: 49.010 (10% do total) 
• PIB: 13,1% de participação
SUDESTE 
• Acidentes: 279.689 (57% do total) 
• PIB: 56,5% de participação
NORTE 
• Acidentes: 19.117 (4% do total) 
• PIB: 5% de participação
CENTRO‐OESTE 
• Acidentes: 31.470 (6% do total) 
• PIB: 8,9% de participação
SUL 
• Acidentes: 112.425 (23% do total) 
• PIB: 16,6% de participação
Espírito Santo ‐ 11.039 acidentes 
Minas Gerais ‐ 52.335 acidentes 
Rio de Janeiro ‐ 34.610 acidentes 
São Paulo ‐ 181.705 acidentes 
É  campeão  de  acidentes  no  Brasil,  participando  com 
181.705, o que corresponde a 37% do total; por conseguinte 
o seu  PIB  também  é  o  maior  do  País,  com  33,9%  de
participação.
- 9 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
Face ao exposto, a PNSST propõe, dentre outras, as seguintes ações a serem desenvolvidas pelos três Ministérios: 
Área  Ações 
Tributos1, 
financiamentos 
e licitações. 
 Estabelecer  política  tributária  que  privilegie  empresas  com menores  índices  de  acidentes  e  que 
invistam na melhoria das condições de trabalho; 
 Criarlinhas  de  financiamento  para  a melhoria  das  condições  de  trabalho,  incluindo máquinas  e 
equipamentos, em especial para as pequenas e médias empresas; 
 Incluir requisitos de  SST para concessão de financiamentos públicos e privados; 
 Incluir requisitos de SST nos processos de licitação dos órgãos públicos; 
 Instituir a obrigatoriedade de publicação de balanço de SST para as empresas, a exemplo do que já 
ocorre com os dados contábeis; 
Educação e 
pesquisa 
 Incluir conhecimentos básicos em SST no currículo do ensino fundamental e médio; 
 Incluir disciplinas em SST no currículo de ensino superior, em especial nas carreiras de profissionais 
de saúde, engenharia e administração; 
 Estimular a produção de estudos e pesquisas na área de interesse desta Política; 
 Articular instituições de pesquisa e universidades para a execução de estudos e pesquisas em SST, 
integrando uma rede de colaboradores para o desenvolvimento técnico ‐ cientifico na área; 
 Desenvolver  um  amplo  programa  de  capacitação  dos  profissionais,  para  o  desenvolvimento  das 
ações em segurança e saúde do trabalhador; 
Ambientes 
nocivos 
 Eliminar as políticas de monetarização dos riscos (adicionais de riscos). 
 Outras ações 
Coleta de dados 
 Compatibilizar os instrumentos de coleta de dados e fluxos de informações. 
 Incluir nos  Sistemas e Bancos de Dados as  informações  contidas nos  relatórios de  intervenções e 
análises dos ambientes de trabalho, elaborados pelos órgãos de governo envolvidos nesta Política. 
CONSIDERAÇÕES FINAIS SOBRE O ESTUDO DE ACIDENTES. 
O que acabamos de ver é um estudo estatístico. Como vimos, os dados sobre acidentes do trabalho no Brasil são controladas 
pelo  INSS. A comunicação de acidentes permite ao  INSS estimar e acompanhar o real  impacto do trabalho sobre a saúde e a 
segurança da população brasileira. O  INSS  coleta, organiza,  apresenta e publica  as estatísticas de acidentes do  trabalho no 
Brasil. Conforme observado, quando ocorre um acidente, a empresa, por força de lei, é obrigada a 
enviar a CAT ao INSS, alimentando, assim, o seu grande banco de dados.   
É importante ressaltar que os dados de acidentes de trabalho não se constituem, tão somente, num 
importante  registro  histórico,  mas  sim  numa  ferramenta  inestimável  para  os  profissionais  que 
desempenham  atividades  nas  áreas  de  saúde  e  segurança  do  trabalhador,  assim  como 
pesquisadores  e  demais  pessoas  interessadas  no  tema.  A  análise  desses  dados  possibilita  a 
construção  de  um  diagnóstico mais  preciso  acerca  da  epidemiologia  dos  acidentes,  propiciando, 
assim, a elaboração de políticas mais eficazes para as áreas relacionadas com o tema. 
TÓPICO PARA REFLEXÃO Acidente do Trabalho: o problema do Brasil. 
Os acidentes de  trabalho afetam a produtividade econômica,  são  responsáveis por um  impacto  substancial  sobre o  sistema de proteção 
social e influenciam o nível de satisfação do trabalhador e o bem estar geral da população. 
Estima‐se que a ausência de segurança nos ambientes de trabalho no Brasil tenha gerado, no ano de 2003, um custo de cerca de R$32,8 
bilhões para o país. Deste total, R$ 8,2 bilhões correspondem a gastos com benefícios acidentários e aposentadorias especiais, equivalente a 
30% da necessidade de financiamento do Regime Geral de Previdência Social ‐ RGPS verificado em 2003, que foi de R$ 27 bilhões. O restante 
da despesa corresponde à assistência à saúde do acidentado,  indenizações, retreinamento, reinserção no mercado de trabalho e horas de 
trabalho perdidas. 
Isso sem levar em consideração o sub‐dimensionamento na apuração das contas da Previdência Social, que desembolsa e contabiliza como 
despesas não acidentárias os benefícios por  incapacidade, cujas CAT não  foram emitidas. Ou seja, sob a categoria do auxílio doença não 
ocupacional, encontra‐se encoberto um grande contingente de acidentes que não compõem as contas acidentárias. 
Parte deste “custo segurança no trabalho” afeta negativamente a competitividade das empresas, pois ele aumenta o preço da mão‐de‐obra, 
o que  se  reflete no preço dos produtos. Por outro  lado, o  incremento das despesas públicas com previdência,  reabilitação profissional e 
saúde reduz a disponibilidade de recursos orçamentários para outras áreas ou induz o aumento da carga tributária sobre a sociedade. 
De outro  lado, algumas empresas afastam  trabalhadores, e muitas vezes os despedem  logo após a  concessão do beneficio. Com  isso, o 
trabalhador se afasta, já sendo portador de doença crônica contraída no labor, e o desemprego poderá se prolongar na medida em que, para 
obter o novo emprego, será necessária a realização do exame admissional, no qual serão eleitos apenas aqueles considerados como “aptos” 
e, portanto, não portadores de enfermidades. 
Fonte: RESOLUÇÃO CNPS Nº 1.269, DE 15 DE FEVEREIRO DE 2006 
_________________ 
1. Tributo: Impostos; taxas e contribuições de melhoria, devida ao poder público.
- 10 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
CONCEITO DE ESTATÍSTICA 
É  A  CIÊNCIA QUE  SE  DEDICA  EM  COLETAR, ORGANIZAR,  APRESENTAR,  ANALISAR  E  INTERPRETAR  DADOS 
(INFORMAÇÕES) PARA TOMADA DE DECISÃO. 
 Estatística  é  a  ciência  dos  dados.  A  Estatística  lida  com  a  coleta,  o 
processamento  e  disposição  de  dados  (informações),  atuando  como 
ferramenta  crucial  nos  processos  de  soluções  de  problemas.  A  Estatística 
facilita  o  estabelecimento  de  conclusões  confiáveis  sobre  algum  fenômeno 
que esteja sendo estudado (WERKEMA, 1995).  
 É por meio da análise e interpretação dos dados estatísticos que é possível o 
conhecimento  de  uma  realidade,  de  seus  problemas,  bem  como,  a 
formulação de soluções apropriadas por meio de um planejamento objetivo 
da ação, para além dos “achismos” e “casuismos” comuns. 
 No uso diário o  termo  “estatística”  refere‐se a  fatos numéricos. Tenha em 
mente, entretanto, que estatística é bem diferente de matemática. Estatística 
é, antes de qualquer coisa, um método científico que determina questões de 
pesquisa; projeta  estudos  e  experimentos;  coleta, organiza,  resume  e  analisa dados;  interpreta  resultados  e  esboça 
conclusões.  Ou  seja,  utiliza‐se  dados  como  evidências  para  responder  a  interessantes  questões  sobre  o  mundo.  A 
matemática só é utilizada para calcular a estatística e realizar algumas das análises, mais isso é apenas uma pequena parte 
do  que  realmente  é  a  estatística.  Portanto,  a  estatística  mantém  com  a  matemática  uma  relação  de  dependência, 
solicitando‐lhe auxílio, sem o qual não poderia desenvolver‐se. 
 A Estatística é uma  ciência  interdisciplinar, ou  seja, é  comum a duas ou mais disciplinas ou  ramos de  conhecimento. 
Assim, a Estatística é aplicada na Medicina, Administração, Engenharias, Economia, Contabilidade, Direito, Segurança do 
Trabalho, Qualidade, Marketing entre outras áreas. Veja abaixo. 
Medicina. Estudos de epidemiologia, 
inter‐relações  dos  determinantes  da 
freqüência  e  distribuição  de  doenças 
populacionais 
*Engenharia de Produção. Estudos de 
um  conjunto  de  dados  de  todas  as 
fases de um processo produtivo. 
Segurança  do  Trabalho.  Estudos  de 
acidentes  e  doenças,  suas  causas, 
quantidade, parte atingida, setores, % 
de afastamentos etc. 
Contabilidade.  Estudos  das 
informações financeiras das empresas 
públicas e privadas. 
Finanças.  Estudos  de  uma  série  de 
informações estatísticas para orientar 
investimentos. 
Economia.  Estudos  de  taxas  de 
inflação,  índice  de  preços,  taxa  de 
desemprego, futuro da economia. 
*Engenharia de Produção – A aplicação da Estatística na produção merece especial atenção. A atual ênfase na qualidade
torna o controle da qualidade uma  importante aplicação da estatística na área daprodução. Usa‐se uma série de mapas 
estatísticos de  controle de qualidade para monitorar o  resultado  (output) de um processo de produção.  Suponha, por 
exemplo, que uma máquina preencha recipientes com 2 litros de determinado refrigerante. Periodicamente, um operador 
do  setor  de  produção  seleciona  uma  quantidade  de  recipientes  e  verifica  a  exatidão,  ou  seja,  se  não  há  desvios.  A 
Estatística também é usada na Engenharia de Produção para Estratificação, que consiste no agrupamento da informação 
(dados) sob vários pontos de vista, de modo a focalizar a ação, considerando os fatores equipamento, tempo entre outros. 
Exemplo: 
Tipo de dano:  Operador:  Máquina de lavar: Roupas danificadas  
em uma lavanderia  Tipo de roupa:  Marca do sabão:  Máquina de secar: 
- 11 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
UM POUCO DE HISTÓRIA E ATUALIDADE 
O termo “Estatística” provém da palavra “Estado” e foi utilizado originalmente 
para  denominar  levantamentos  de  dados  (riquezas,  impostos,    nascimentos, 
mortalidade,  batizados,  casamentos,  habitantes  etc.),  cuja  finalidade  era 
orientar o Estado em suas decisões.  
 Segundo  Costa  (2005,  p.  5)  em  1085,  Guilherme  “O  Conquistador”, 
ordenou  que  se  fizesse  um  levantamento  na  Inglaterra,  que  deveria 
incluir  informações  sobre  terras,  proprietários,  uso  da  terra, 
empregados,  animais  e  serviria,  também,  de  base  para  cálculo  de 
impostos. Tal levantamento originou um volume intitulado “domesday book”. 
 No  século  XVIII  o  estudo  dos  dados  foi  adquirindo,  aos  poucos,  feição 
verdadeiramente  científica.  A  palavra  Estatística  apareceu  pela  primeira 
vez no século XVIII e foi sugerida pelo alemão Godofredo Achenwall (1719‐
1772), onde determinou o seu objetivo e suas relações com as ciências. 
 Desde essa época, a Estatística deixou de ser a simples catalogação de dados numéricos coletivos e  se 
tornou o estudo de como chegar a conclusões sobre o todo, partindo da observação e análise de partes 
desse todo. Essa é sua maior riqueza.  
Atualmente  a  sociedade  está  completamente  tomada  pelos  números.  Eles 
aparecem  em  todos  os  lugares  para  onde  você  olha,  de  outdoors mostrando  as 
últimas  estatísticas  sobre  aborto,  passando  pelos  programas  de  esporte  que 
discutem as  chances de um  time de  futebol  chegar à  final do  campeonato, até o 
noticiário  da  noite,  com  reportagens  focadas  no  índice  de  criminalidade,  na 
expectativa de vida de uma pessoa que não come alimentos saudáveis e no índice 
de aprovação do presidente.  
Em um dia comum, você pode se deparar com cinco, dez ou, até mesmo, vinte diferentes estatísticas  (ou até 
muito mais  em  um  dia  de  eleição).  Se  você  ler  todo  o  jornal  de  domingo,  irá  se  deparar  com  centenas  de 
estatísticas em reportagens, propagandas e artigos sobre todo tipo de assunto: desde sopa (quanto em média uma 
pessoa consome por ano?) até castanhas (quantas castanhas você precisa comer para aumentar seu QI?). 
Nas  empresas  a  Estatística  desempenha  um  papel  cada  vez  mais  importante  para  os  Gerentes.  Esses 
responsáveis pela tomada de decisão utilizam a estatística para: 
 Apresentar e descrever apropriadamente dados e informações sobre 
a empresa; 
 Tirar conclusões sobre grandes populações, utilizando informações 
coletadas a partir de amostras; 
 Realizar suposições confiáveis sobre a atividade da empresa; 
 Melhorar os processos da empresa. 
A estatística é um  instrumento eficiente para a compreensão e  interpretação da realidade e não 
deve ser subestimada. Realmente existem pesquisas feitas de forma incorreta e que, por isso, não 
são confiáveis. Mas, em geral, quando um estudo estatístico é feito com critério, seus resultados 
permitem obter conclusões e prever  tendências sobre  fatos e  fenômenos. Um estudo bem  feito 
não elimina o erro, mas limita‐o a uma margem, procurando torná‐la o menor possível. 
- 12 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
1.2 FASES DO ESTUDO ESTATÍSTICO 
Um estudo estatístico confiável depende do planejamento e da correta execução das seguintes etapas: 
1. Definir o que será estudado e a natureza dos dados, como exemplo:
ESTUDO NATUREZA DOS DADOS 
Acidentes do 
Trabalho no Brasil 
 Quantidade e período 
 Por regiões, estados ou municípios 
 Por atividade econômica 
 Por idade dos acidentados 
 Por parte do corpo atingida 
 Por causas dos acidentes etc. 
Peças danificadas na 
linha A 
 Tipo de peça   |  Tipo de defeito 
 Quantidade  
 Período e Turnos 
 Máquinas e Operadores 
 Matéria prima etc. 
Defina  com  clareza  os  objetivos  da 
pesquisa, ou seja, o que se pretende 
apurar,  que  tipo  de  problema 
buscará detectar. 
2. Coletar dados
Após definir o que será estudado e o estabelecimento do planejamento do trabalho (forma de coleta dos dados, 
cronograma das atividades, custos envolvidos, levantamento das informações disponíveis), o passo seguinte é o 
da coleta de dados, que consiste na busca ou compilação dos dados, componentes do  fenômeno a ser 
estudado. Nessa etapa recolhem‐se os dados tendo o cuidado de controlar a qualidade da informação. 
O sucesso de uma pesquisa depende muito da qualidade dos dados recolhidos. Podem ser por meio 
de Criação de Softwares, a exemplo da CAT; Uso de Softwares da empresa; Dados históricos 
da empresa (físicos); Pesquisas com questionários etc. 
3. Organizar e contar dados
À procura de falhas e imperfeições, os dados devem ser cuidadosamente organizados e contados, a fim de não incorrermos 
em erros grosseiros que possam influenciar nos resultados. No exemplo da “Estatística na prática”, após a coleta da quantidade 
de acidentes por meio da CAT, organiza‐os por período,  regiões etc. Da mesma maneira, se você usa um questionário para 
coletar dados na empresa, organiza‐os da forma necessária à pesquisa, além da contagem a ser feita. 
4. Apresentação de dados
 
5. Análise dos dados e tomada de decisão
Chegamos à fase mais complexa do processo estatístico, que consiste na análise dos dados. Por fim, a 
partir  da  análise  realizada,  poderemos  chegar  a  uma  tomada  de  decisão.  Observe  o  estudo 
“Estatística na prática”. O que  resultou a análise dos acidentes no Brasil, no período de 1970 a 
2005?   Veja que os Ministérios do Trabalho, Previdência Social e da Saúde  se mobilizaram para 
resolverem essa questão de saúde pública, com diversas ações a serem implementadas no país. A 
partir dessa discussão,  fica claro que um profissional com conhecimentos de Estatística  terá maior 
facilidade em  identificar um problema em sua área de atuação, determinar os  tipos de dados que 
irão contribuir para sua análise, coletar esses dados e a seguir estabelecer conclusões e determinar 
um plano de ação para a solução do problema detectado. 
Os dados devem ser 
apresentados  sob  a 
forma de tabelas ou 
gráficos,  a  fim  de 
tornar  mais  fácil  e 
rápido  o  exame 
daquilo  que  está 
sendo estudado. 
1.220. 111
1.504. 723
1.796.671
1.743.825
1.551.461
1.464.211
1.178. 472
961. 575
1. 207.859
991.581
693. 572
532.514
388.304 395. 455
414.341
363. 868 340.251 393.071 399.077
465.700 491.711
0
250 .000
500 .000
750 .000
1.000 .000
1.250 .000
1.500 .000
1.750 .000
2.000 .000
1970 1972 1974 19 76 1978 19 80 1982 1 984 1986 1 988 1990 1992 1994 1996 199 8 2000 20 01 2002 20 03 2004 2 005
Involução da QUANTIDADE de ACIDENTES DO 
TRABALHO no Brasil - 1970 a 2005. 
Anos 
FONTE: Revista Proteção 
Aprovação das NR’s 
- 13 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
1.3 VOCABULÁRIO BÁSICO DE ESTATÍSTICA 
O  vocabulário utilizado em estudos estatísticos  teve  sua origem nos primeiros estudos  feitos pelahumanidade e que eram 
relativos  à  demografia  (estudo  estatístico  das  populações).  Por  isso  a  Estatística  emprega  termos  próprios  dessa  área  de 
conhecimento, mas com um sentido diferenciado. Assim, para dar prosseguimento, é de extrema importância destacar alguns 
termos utilizados no jargão estatístico. 
VARIÁVEL – É o termo usado para aquilo que você está pesquisando, estudando, analisando. 
, 
 No  estudo  representado  no  gráfico  abaixo  a  variável  é  o  acidente  do  trabalho.  Utilizada  como  um  adjetivo  do 
vocabulário do dia‐a‐dia, variável sugere que alguma coisa se modifica ou varia.  
São exemplos de Variáveis 
Doenças, Sexo, Estaturas, Peso, Idade, Renda, Natalidade, Mortalidade, PIB, Inflação, Exportações brasileiras, 
Produção de café, Alimentação, Peças produzidas por hora, Paradas de produção no mês, Rotatividade de 
estoque por ano, Poluição, Clima na região sudeste, Consumo de energia no mês, Vendas mensais de uma 
empresa, Produção diária de automóveis etc. 
EXEMPLO DE APLICAÇÃO: 
A associação dos moradores de um bairro queria traçar um perfil dos frequentadores de um parque ali situado. 
Uma equipe de pesquisa elaborou questões a fim de reunir as  informações procuradas. Numa manhã de quarta‐
feira, 6 pessoas  foram entrevistadas e cada uma  respondeu a questões para  identificar  idade, número de vezes 
que freqüenta o parque por semana, estado civil, meio de transporte utilizado para chegar ao parque, tempo de 
permanência no parque e renda familiar mensal. Os resultados são mostrados na tabela a seguir: 
Cada um dos aspectos investigados — os quais permitirão fazer a análise desejada — é denominado variável. 
1.220.111
1.504.723
1.796.671
1.743.825
1.551.461
1.464.211
1.178.472
961.575
1.207.859
991.581
693.572
532.514
388.304 395.455
414.341
363.868340.251393.071 399.077
465.700 491.711
0
250.000
500.000
750.000
1.000.000
1.250.000
1.500.000
1.750.000
2.000.000
1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Involução da QUANTIDADE de ACIDENTES 
DO TRABALHO no Brasil - 1970 a 2005. 
FONTE: Revista Proteção Anos 
VARIÁVEL 
Variáveis 
- 14 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
TIPOS DE VARIÁVEIS 
Há,  pois,  uma  divisão  principal  para  as  variáveis  estatísticas,  que  consiste  em  considerá‐las  como  Variáveis Quantitativas 
(discretas ou contínuas) e Variáveis Qualitativas (nominal ou ordinal). Esta divisão é de facílima compreensão! 
Então, os tipos de Variáveis da pesquisa do parque serão: 
PARA LEITURA 
Se a dúvida persiste, você pode observar no quadro abaixo mais esclarecimentos sobre esses conceitos. 
Tipo de VARIÁVEL Resposta fornecida à pesquisa 
Quantitativa 
(Em números)
Será Quantitativa a variável para a qual se possa atribuir um valor numérico. Se a resposta fornecida à pesquisa estiver expressa 
por um número, então a variável é quantitativa. Por exemplo: quantos livros você lê por ano? A resposta é um número? Então, 
variável quantitativa. Quantas pessoas moram em sua casa? A resposta é um número? Então, novamente, variável quantitativa.  
No caso do estudo “ACIDENTE DO TRABALHO, é uma variável quantitativa, pois estudamos a quantidade de acidentes no período 
de 1970 a 2005 
 Discreta 
(números inteiros) 
(contagem) 
Variável  Quantitativa  Discreta  é  a  variável  quantitativa  que  assume  somente  números  inteiros.  Resulta,  geralmente,  de 
contagem.  Esta  variável  não  pode  assumir  qualquer  valor,  dentro  de  um  intervalo  de  valores  de  resultados  possíveis.  Por 
exemplo, se eu pergunto quantos irmãos você tem, a resposta jamais poderia ser “tenho 3,75 irmãos”, ou “tenho 4,8 irmãos”, ou 
seja, a resposta não poderia assumir todos os valores de um  intervalo! Este acima é o conceito formal de variável discreta! O 
conceito  para memorizar  é  o  seguinte:  aquela  variável  obtida  por meio  de  uma  contagem.  Em  outras  palavras:  a  variável 
discreta você conta!. Exemplos: quantas pessoas moram na sua casa? Quantos  livros você tem? Quantos carros você tem? Se, 
para responder à pergunta, você faz uma contagem, então está diante de uma variável quantitativa discreta. 
 Contínua 
(Números não inteiros) 
(medição) 
Variável Quantitativa Contínua é aquela que pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo de resultados possíveis. Se eu 
pergunto quantos quilos você pesa, a resposta pode ser 65,35kg. Se eu pergunto qual a temperatura na cidade hoje, a resposta 
pode ser 27,35°C. Para  facilitar a memorização, basta  lembrar que a variável quantitativa contínua pode ser obtida por uma 
medição, ou  seja,  a  variável  contínua  você mede!  Exemplos:  peso,  altura,  duração  de  tempo  para  resolução  de  uma  prova, 
pressão, temperatura etc. 
Qualitativa 
(nomes, atributos) 
Se  a  pergunta  é  “qual  a  sua  cor  preferida?”,  logicamente  a  resposta  não  será  um  número,  daí  estaremos  tratando  de  uma 
variável qualitativa, ou seja, aquela para a qual não se atribui um valor numérico. Exemplos: Sexo: masculino ou feminino 
VARIÁVEL
QUANTITATIVA
QUALITATIVA
DISCRETA
CONTÍNUA
Quando não é possível ordenar as categorias. 
Ex.:  sexo  (masculino ou  feminino), Cor dos olhos  (preto ou  verde), 
campo de estudo (Engenharia, Direito etc) 
Não  é  possível  estabelecer  uma  ordem,  uma  gradação,  o mais  ou 
menos importante, prioritário etc. 
ORDINAL 
NOMINAL
Quando  as  variáveis  forem  em  números 
inteiros, obtido por contagem:  
0      1      2      3      4     55     77   987   etc. 
Ex.: Idade (anos), gols de futebol, etc 
Quando  as  variáveis  forem  em  números 
não inteiros, assumem qualquer valor:  
0,2       1,12      3,77      4,768       etc. 
Ex.: Altura (cm), peso (kg), tempo (hh:mm) 
Números 
Nomes 
Inteiros 
Não inteiros 
Quando é possível ordenas as categorias. 
Pesquisa de alimentação: 
     [1] Ótimo     [2] Bom    [3] Regular    [4] ruim 
Grau de instrução de funcionários de uma empresa 
   1º grau     2º grau     Superior    Mestrado     Doutorado 
Ordenável 
Não é ordenável 
Qualitativa nominal
Quantitativa discreta Quantitativa contínua 
- 15 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
1.4 POPULAÇÃO E AMOSTRA 
Quando você quer saber se a sopa ficou boa, o que você faz? Mexe a panela, retira um pouco com 
uma colher e prova. Depois tira uma conclusão sobre todo o conteúdo da panela sem, na verdade, 
ter provado tudo. Portanto, é possível ter uma idéia de como a sopa está sem ter que comer tudo. 
Isso é o que se faz em estatística. 
A estatística deixou de ser a simples catalogação de dados numéricos e se tornou o estudo de como 
chegar a conclusões sobre o  todo  (população), partindo da observação e análise de partes desse 
todo (amostra). Essa é sua maior riqueza. Assim, podemos conceituar população e amostra como: 
POPULAÇÃO É UM CONJUNTO DE TODOS OS ELEMENTOS EM ESTUDO. 
AMOSTRA É UMA PARTE DA POPULAÇÃO (ou subconjunto). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Muitas vezes quando queremos fazer um estudo estatístico, não é possível analisar toda a população 
envolvida com o fato que pretendemos investigar, como exemplo o sangue de uma pessoa ou a poluição 
de um rio. É impossível o teste do todo. Há situações também em que é inviável o estudo da população, 
por  exemplo,  a  pesquisa  com  todos  os  torcedores  em  um  estádio  de  futebol  durante  uma  partida. 
Nesses  casos,  o  estatístico  recorre  a  uma  amostra  que,  basicamente,  constitui  uma  redução  da 
população a dimensões menores, sem perda das características essenciais. 
 Os resultados fundamentados em uma amostra não serão exatamente os mesmos que você encontraria 
se estudasse  toda a população, pois, quando você  retirauma amostra, você não obtém  informações a 
respeito  de  todos  em  uma  dada  população.  Portanto,  é  importante  entender  que  os  resultados  da 
amostra fornecem somente estimativas dos valores das características populacionais. Com métodos de 
amostragens apropriados, os  resultados da amostra produzirão  “boas” estimativas da população, ou 
seja, um estudo bem feito não elimina o erro, mas limita‐o a uma margem, procurando torná‐la o menor 
possível. Quando aprendemos estatística inferencial, também aprendemos técnicas para controlar esses 
erros de amostragem. 
4 razões para selecionar uma amostra 
O número de elementos em uma população é muito grande; 
Demanda menos tempo do que selecionar todos os itens de uma população; 
É menos dispendioso (caro) do que selecionar todos os itens de uma população; 
Uma análise amostral é menos cansativa e mais prática do que uma análise da população inteira.  
Podemos visualizar o conceito 
de  população  e  amostra  na 
figura ao lado. 
Quando  pesquisamos  toda  a 
população, damos o nome de 
censo. 
A  precisão  depende  do 
tamanho  da  amostra,  e 
quanto  maior  é  o  tamanho 
amostral,  maior  será  a 
precisão das informações. 
AMOSTRA
(uma parte da população)
POPULAÇÃO
(todos os elementos em estudo)
AMOSTRA
(uma parte da população)
POPULAÇÃO
(todos os elementos em estudo)
N é designado para População 
n é designado para Amostra 
“N”
“n”
- 16 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
São exemplos de População e Amostra: 
MEDICINA.  Pretende‐se  estudar  o  efeito  de  um  novo  medicamento  para  curar  determinada  doença.  É 
selecionado um grupo de 50 doentes, administrando‐se o novo medicamento a 10 desses doentes escolhidos ao 
acaso e o medicamento habitual aos restantes.  
População: Todos os 50 doentes com a doença que o medicamento a estudar pretende tratar. 
Amostra: Os 10 doentes selecionados. 
CONTROLE DE QUALIDADE. O Gerente de Produção de uma fábrica de parafusos pretende assegurar‐se de que 
a  porcentagem  de  peças  defeituosas  não  excede  um  determinado  valor,  a  partir  do  qual  determinada 
encomenda poderia ser rejeitada.  
População: Todos os parafusos fabricados ou a fabricar, utilizando o mesmo processo. 
Amostra: Parafusos escolhidos ao acaso entre os lotes produzidos. 
ESTUDOS DE MERCADO. O gerente de uma fábrica de produtos desportivos pretende lançar uma nova linha de 
esquis, pelo que encarrega uma empresa especialista em estudos de mercado de “estimar“ a porcentagem de 
potenciais compradores desse produto. 
População: conjunto de todos os praticantes de desportos de neve. 
Amostra: conjunto de alguns praticantes inquiridos pela empresa. 
SISTEMAS DE PRODUÇÃO. Um fabricante de pneus desenvolveu um novo tipo de pneu e quer saber o aumento 
da durabilidade em  termos de kilometragem em  relação à atual  linha da empresa. Produz diariamente 1000 
pneus e selecionou 120 para testes. 
População: 1000 pneus. 
Amostra: 120 pneus. 
OUTROS EXEMPLOS DE AMOSTRAS: 
- 17 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
AMOSTRA
(uma parte da população)
POPULAÇÃO
(todos os elementos em estudo)
AMOSTRA
(uma parte da população)
POPULAÇÃO
(todos os elementos em estudo)
1.5 ESTATÍSTICA DESCRITIVA E ESTATÍSTICA INFERENCIAL 
Estatística descritiva – É o ramo da estatística 
que  envolve  a  organização,  o  resumo  e  a 
representação  dos  dados  para  tomada  de 
decisão. 
Estatística Inferencial – É o ramo da estatística 
que envolve o uso da  amostra para  chegar  a 
conclusões  sobre  a  população.  Uma 
ferramenta  básica  no  estudo  da  estatística 
inferencial é a probabilidade. 
Algumas ferramentas aplicadas à 
Estatística Inferencial: 
Probabilidades 
Uma Probabilidade é uma medida numérica que representa a chance de um evento ocorrer. Ex.: 
Ao lançar um dado, qual a probabilidade de obter o valor 4? R = 1/6 = 16% 
Estimação, margem de erro e intervalo de confiança 
Suponha que o tempo médio que você leva para chegar ao trabalho de carro é de 35’, com uma margem de erro 
de 5’ para mais ou para menos. A estimativa é de que o tempo médio gasto até 
chegar  ao  trabalho  fica em algum ponto entre 30’ e 40’. Esta estimativa é um 
intervalo de confiança, pois leva em consideração o fato de que os resultados da 
amostra irão variar e dá uma indicação de uma variação esperada. 
A margem  de  erro  é  uma medida 
de  quão  próximo  você  espera  que 
seus resultados representem toda a 
população  que  está  sendo 
estudada.  Vários  fatores 
influenciam  a  amplitude  de  um 
intervalo de confiança, tais como o 
tamanho amostral, a variabilidade da população e o quanto você espera obter de precisão. A maioria dos pesquisadores contenta‐se com 95% 
de  confiança  em  seus  resultados.  Estar  95%  confiante  indica  que  se  você  coletar muitas, mas muitas  amostras  e  calcular  o  intervalo  de 
confiança para todas, 95% dessas amostras terão intervalos de confiança que abrangerão o alvo. 
Teste de hipótese 
Teste de hipótese é um procedimento estatístico em que os dados são coletados e medidos para comprovar uma 
alegação feita sobre uma população. Por exemplo, se uma pizzaria alega entregar as pizzas dentro de 30’ a partir 
do  pedido,  você  pode  testar  se  essa  alegação  é  verdadeira,  coletando  uma  amostra  aleatória  do  tempo  de 
entrega durante um  determinado período de tempo e observar o tempo médio de entrega para essa amostra. 
 - 18 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
SÉRIES ESTATÍSTICAS 
Prof. MSc. Uanderson Rébula de Oliveira 
Sumário 
Uma mensagem do Prof. MSc Uanderson Rébula. CLIQUE NO VÍDEO
CLIQUE AQUI E INSCREVA-SE NO CURSO JÁ
- 19 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
2.1 CONCEITOS E TIPOS DE SÉRIES 
As  tabelas  e  gráficos  constituem  um  importante  instrumento  de  análise  e  interpretação  de  um  conjunto  de  dados. 
Diariamente é possível encontrar  tabelas e  gráficos nos mais  variados  veículos de  comunicação  (jornais,  revistas,  televisão, 
Internet),  associadas  a  assuntos  diversos  do  nosso  dia‐a‐dia,  como  resultados  de  pesquisas  de  opinião,  saúde  e 
desenvolvimento humano, economia, esportes, cidadania, etc. A importância das tabelas e dos gráficos está ligada sobretudo à 
facilidade e rapidez na absorção e interpretação das informações por parte do leitor e também às inúmeras possibilidades de 
ilustração e resumo dos dados apresentados. 
TABELAS 
São quadros que resumem um conjunto de dados. 
Tipos de Tabelas 
SÉRIE HISTÓRICA 
Descreve  os  valores  da  variável, 
discriminados  por  TEMPO  (anos, 
meses, dias, horas, etc. 
SÉRIE GEOGRÁFICA 
Descreve  os  valores  da  variável, 
discriminados por REGIÕES (países, 
cidades, bairros, ruas, layout, etc) 
SÉRIE ESPECÍFICA 
Descreve  os  valores  da  variável, 
discriminados  por  temas 
ESPECIFICOS. 
SÉRIE CONJUGADA 
É utilizado quando temos a necessidade de apresentar em uma única 
tabela  a  variação  de  valores  DE MAIS  DE UMA  VARIÁVEL,  isto  é, 
fazer de forma conjugada de duas ou mais séries. 
Esta série, por exemplo, é GEOGRÁFICA – HISTÓRICA 
Título – conjunto de informações sobre o estudo. 
Cabeçalho –especifica o conteúdo das colunas 
Coluna indicadora –especifica o conteúdo das linhas 
Coluna numérica ‐–especifica  a quantidade das linhas 
Linhas – retas imaginárias de dadosCélula – espaço destinado a um só número 
Rodapé – simplesmente a fonte dos dados
- 20 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
GRÁFICOS
A  importância  dos  gráficos  está  ligada  à  facilidade  e  rapidez  na  absorção  e  interpretação  das  informações  e 
também às inúmeras possibilidades de ilustração e resumo dos dados apresentados. Eis os mais usados: 
Gráfico em Linha (para séries históricas) 
É a representação dos valores por meio de linhas. Usamos quando precisamos de uma informação rápida de um 
valor ao longo do tempo. 
Gráfico em Colunas 
É  a  representação  dos  valores  por  meio  de  retângulos,  dispostos  verticalmente.  Utiliza‐se  muito  quando 
necessitamos saber a quantidade de valor. 
ACIDENTES DO TRABALHO EM 
SÃO PAULO: 1989 ‐ 1991
0
500
1000
1500
2000
2500
1989 1990 1991
anos
Q
ua
nt
id
ad
e
São Paulo
Guarulhos
Campinas
Osasco
Santos
FONTE: Dados fictícios 
 QUANTIDADE DE ACIDENTES DO TRABALHO
SÃO PAULO: 1989 ‐ 1994
6254
7265
6325
5458
8658
9578
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
1989 1990 1991 1992 1993 1994
Anos
Q
ua
nt
id
ad
e
FONTE: Dados fictícios 
 ACIDENTES DO TRABALHO
SÃO PAULO: 1989 ‐ 1994
6254
7265
6325
5458
8658 9578
0
2000
4000
6000
8000
10000
1989 1990 1991 1992 1993 1994
Anos
Q
ua
nt
id
ad
e
FONTE: Dados fictícios 
 - 21 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
 
Gráfico em Barras 
É o mesmo conceito que o de Colunas, porém utiliza‐se sempre que os dizeres a serem inscritos são extensos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
    
 
 
 
 
 
Gráfico em Setores 
Este gráfico é construído com base em um círculo, e é empregado sempre que desejamos ressaltar a participação 
de um dado no total, geralmente na forma de porcentagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico Polar 
É  o  gráfico  ideal  para  representar  séries  temporais  cíclicas,  isto  é,  séries  temporais  que  apresentam  em  seu 
desenvolvimento determinada periodicidade, por exemplo, o mês de janeiro a dezembro. 
 
 
   
 QUANTIDADE DE ACIDENTES DO TRABALHO
EM SÃO PAULO ‐ POR TIPO ‐  1989
55
1396
698
3578
598
0 1000 2000 3000 4000
Impacto
Perfuração
Atrito
Queda
Corte
Ti
po
Quantidade
FONTE: Dados fictícios 
ACIDENTES DO TRABALHO
SÃO PAULO ‐ 1989 
 FONTE: Dados fictícios 
ACIDENTES DO TRABALHO
SÃO PAULO ‐ 1989 
 FONTE: Dados fictícios 
- 22 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
Número de cada 
Delegacia 
Gráfico de Pareto 
É  um  gráfico  de  colunas  na  qual  a  altura  de  cada  barra  representa  os  dados,  porém  na  ordem  de  altura 
decrescente,  com  a  coluna  mais  alta  posicionada  à  esquerda.  Tal  posicionamento  ajuda  a  enfatizar  dados 
importantes e é frequentemente usado nos negócios. 
Os cinco veículos mais vendidos 
no Brasil em janeiro de 1995 
Veículo  Quantidade (milhões) 
Ômega  34 
Monza  30 
Gol  25 
Corsa  22 
Fusca  15 
FONTE: dados fictícios 
Gráfico de Dispersão 
É usado para representar a relação entre duas variáveis quantitativas, por meio de pontos e linhas. Aprendemos a 
utilizar esse gráfico quando estudamos “Correlação e Regressão”. 
Investimentos versus vendas  
no setor da empresa X 
Anos  Investimentos  Vendas  
1999  500  1000 
2000  1000  2000 
2001  1500  3000 
2002  2000  4000 
FONTE: dados fictícios 
Gráfico Cartograma 
Este gráfico é empregado quando o objetivo é o de  figurar os dados estatísticos diretamente  relacionados com 
áreas geográficas ou políticas (mapas), corpo humano entre outras figuras. 
 
 
Os cinco veículos mais vendidos 
no Brasil em janeiro de 1995
15
2225
30
34
0
10
20
30
40
Ômega Monza Gol Corsa Fusca
Veículos
Q
ua
nt
id
ad
e (
m
ilh
õe
s)
FONTE: Dados fictícios 
FONTE: SSP/SP 
- 23 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
2.2 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
Frequência absoluta e Histograma 
Ao se trabalhar com grandes conjuntos de dados, em geral é útil organizá-los e resumi-los em uma 
tabela, chamada Distribuição de frequência. 
 Na distribuição de frequência listamos todos os valores coletados, um em cada linha, marcam‐se as vezes em que eles 
aparecem,  incluindo as  repetições, e conta‐se a quantidade de ocorrências de cada valor. Por este motivo,  tabelas 
que apresentam valores e suas ocorrências denominam‐se distribuição de freqüências. 
 O termo “freqüência” indica o número de vezes que um dado aparece numa observação estatística. 
EXEMPLO 
Um professor organizou os resultados obtidos em uma prova com 25 alunos da seguinte forma: 
    Notas dos 25 alunos              Comentário 
4,0  5,0  7,0  9,0  9,0 
4,0  5,0  7,0  9,0  9,0 
4,0  5,0  7,0  9,0  9,0 
4,0  6,0  8,0  9,0  9,0 
4,0  6,0  8,0  9,0  9,0 
Agora  ele  pode  fazer  uma  representação  gráfica  para  analisar  o 
desempenho da  turma. Em primeiro  lugar, o professor pode  fazer uma 
tabulação dos dados, ou seja, organizá‐los de modo que a consulta a eles 
seja  simplificada.  Então,  faremos  a  distribuição  de  freqüência  destas 
notas, por meio da contagem de dados. 
       Distribuição de freqüência       Comentário
Nota   Freqüência, f (nº de alunos) 
4,0  5 
5,0  3 
6,0  2 
7,0  3 
8,0  2 
9,0  10 
f=25 
Esta  forma  de  organizar  dados  é  conhecida  como  distribuição  de 
frequência, e o número de  vezes que um dado  aparece é  chamado de 
frequência absoluta, representado por f. Exemplos:  
 A frequência absoluta da nota 4,0 é 5. 
 A freqüência absoluta da nota 9,0 é 10. 
O  símbolo  grego    “sigma”  significa  “somatório”,  muito  usado  em 
Estatística. Portanto, f=25 significa a soma de 5+3+2+3+2+10. 
Representamos a freqüência por um gráfico, chamado Histograma. 
        HISTOGRAMA                 Comentário 
ESTA FREQUÊNCIA QUE ACABAMOS DE ESTUDAR É DENOMINADA FREQUENCIA 
ABSOLUTA (f), QUE É SIMPLESMENTE A CONTAGEM DOS DADOS. 
 Em Estatística não trabalhamos somente com frequência absoluta (f), mas também com outros tipos de freqüências, 
que são: freqüência relativa (fr), frequência absoluta acumulada (Fa) e frequência relativa acumulada (FRa). 
 Estudaremos agora cada uma delas. 
Quando  os  dados  numéricos  são  organizados,  eles  geralmente  são 
ordenados  do  menor  para  o  maior,  divididos  em  grupos  de  tamanho 
razoável  e,  depois,  são  colocados  em  gráficos  para  que  se  examine  sua 
forma, ou distribuição  (no exemplo:  4,0 – 5,0 – 6,0 – 7,0 – 8,0 – 9,0). Este 
gráfico é chamado de Histograma.  
Um histograma é um gráfico de  colunas  juntas.  Em um histograma não 
existem espaços entre as colunas adjacentes, como ocorre em um gráfico 
de  colunas. No exemplo, a escala horizontal  (→)  representa as notas e a 
escala vertical (↑) as freqüências. 
O histograma ao lado indica que cinco alunos tiraram a nota 4,0; três alunos tiraram 
a nota 5,0; dois alunos tiraram a nota 6,0; três alunos tiraram a nota 7,0; dois alunos 
tiraram 8,0 e dez alunos tiraram 9,0. 
5
3
2
3
2
10
0
2
4
6
8
10
12
N
úm
er
o d
e a
lu
no
s
4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0
Nota
Desempenho dos alunos na prova
- 24 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
Frequência Relativa fr (%) 
Conceito. Representado por fr(%), significa a relação existente entre a frequência absoluta f e a soma das freqüências f. É a 
porcentagem (%) do número de vezes que cada dadoaparece em relação ao total. 
EXEMPLO 
    5/25 * 100  =  20%. 
      freqüência relativa fr (%)                  Comentários aos cálculos
Nota  f  fr(%) 
4,0  5  20% 
5,0  3  12% 
6,0  2  8% 
7,0  3  12% 
8,0  2  8% 
9,0  10  40% 
f=25  100% 
A frequência relativa fr(%) é obtida por f/f * 100, conforme abaixo: 
 A fr(%) da nota 4,0 é   5/25 * 100  =  20%.
 A fr(%) da nota 5,0 é  3/25 * 100   = 12%
 A fr(%) da nota 6,0 é  2/25 * 100   =  8%
 A fr(%) da nota 7,0 é  3/25 * 100   = 12%
 A fr(%) da nota 8,0 é  2/25 * 100  = 8%
 A fr(%) da nota 9,0 é  10/25 * 100 = 40%.
Frequência Absoluta Acumulada Fa 
Conceito. Representado por Fa, significa a soma das freqüências absolutas até o elemento analisado. 
EXEMPLO 
    Fa2=5+3 = 8 
     frequência absoluta acumulada (Fa)          Comentários aos cálculos 
Nota  f  fr(%)  Fa 
4,0  5  20%  5 
5,0  3  12%  8 
6,0  2  8%  10 
7,0  3  12%  13 
8,0  2  8%  15 
9,0  10  40%  25 
f=25  100%  ‐ 
A frequência absoluta acumulada Fa é obtida conforme abaixo: 
 A Fa da nota 4,0 é 5 (sempre repete a primeira). 
 A Fa das notas 4,0 e 5,0 é 5+3=8. 
 A Fa das notas 4,0, 5,0 e 6,0 é 5+3+2=10. 
 A Fa das notas 4,0, 5,0, 6,0 e 7,0 é 5+3+2+3=13. 
 A Fa das notas 4,0, 5,0, 6,0, 7,0 e 8,0 é 5+3+2+3+2=15. 
 A Fa das notas 4,0, 5,0, 6,0, 7,0, 8,0 e 9,0 é 5+3+2+3+2+10=25 
Frequência Relativa Acumulada FRa (%) 
Conceito. Representado por FRa (%), significa a soma das freqüências relativas fr(%) até o elemento analisado. 
EXEMPLO 
   20% + 12% = 32% 
   frequência relativa acumulada (FRa)             Comentários aos cálculos 
Nota  f  fr(%)  Fa  FRa(%) 
4,0  5  20%  5  20% 
5,0  3  12%  8  32% 
6,0  2  8%  10  40% 
7,0  3  12%  13  52% 
8,0  2  8%  15  60% 
9,0  10  40%  25  100% 
f=25  100%  ‐  ‐ 
A frequência relativa acumulada FRa(%) é obtida conforme abaixo: 
 A FRa(%) de 4,0 é 20% (sempre repete a primeira). 
 A FRa(%) de 4,0 e 5,0 é 20+12 = 32% 
 A FRa(%) de 4,0, 5,0 e 6,0 é 20+12+8 = 40% 
 A FRa(%) de 4,0, 5,0, 6,0 e 7,0 é 20+12+8+12 = 52% 
 A FRa(%) de 4,0, 5,0, 6,0, 7,0 e 8,0 é 20+12+8+12+8 = 60% 
 A FRa(%) de 4,0, 5,0, 6,0, 7,0, 8,0 e 9,0 é 20+12+8+12+8+40=100% 
NOTA IMPORTANTE SOBRE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA: 
Nota  f  fr(%)  Fa  FRa(%) 
25  100% 
f=25  100%  ‐  ‐ 
Para saber se o desenvolvimento da distribuição de freqüência por completo está 
correto, os valores ao lado, em vermelho, deverão coincidir. 
- 25 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
Agrupamento em Classes 
Em uma distribuição de frequência, ao se trabalhar com grandes conjuntos de dados e com valores 
dispersos, podemos agrupá-los em classes. 
 Se um conjunto de dados  for muito disperso, uma  representação melhor seria através do agrupamento dos dados 
com a construção de classes de frequência. Caso isso não ocorresse, a tabela ficaria muito extensa. Veja abaixo: 
EXEMPLO 
Um radar instalado na Dutra registrou a velocidade (em Km/h) de 40 veículos, indicadas abaixo: 
   Velocidade de 40 veículos (Km/h) 
Distribuição de frequência 
É  fácil  ver  que  a  distribuição  de  frequências 
diretamente  obtida  a  partir  desses  dados  é 
dada uma tabela razoavelmente extensa. 
70  90  100    110   123 
71  93  102   115    123 
73  95  103   115  123 
76  97  105   115  123 
80  97  105   117  124 
81  97  109   117  124 
83  99  109   121  128 
86  99  109   121  128 
Nota  f 
70  1 
71  1 
73  1 
76  1 
80  1 
81  1 
83  1 
86  1 
90  1 
93  1 
95  1 
97  3 
99  2 
100  1 
102  1 
103  1 
105  2 
109  3 
110  1 
115  3 
117  2 
121  2 
123  4 
124  2 
128  2 
f=40 
       Distribuição de frequência com classes 
i  Velocidade (Km/h)  f 
1  70   80  4 
2  80   90  4 
3    90   100  8 
4     100   110  8 
5     110   120  6 
6     120   130  10 
f=40 
A distribuição em ”classes” é como se  fosse uma compressão dos dados.  Imagine se 
fizéssemos uma distribuição de frequência de todas velocidades (de 70 a 128). A tabela 
ficaria imensa! Por este motivo existe a distribuição de frequência com classes. 
Como criar uma Distribuição de Freqüência com classes 
1. Calcule a quantidade de classes (i), pela raiz da quantidade de dados. São 
40 veículos. Então,  40 = 6,3       i = 6 classes.
2. Calcule a amplitude de classe (h) que é o tamanho da classe, sendo:
 
Maior valor  – Menor valor      =    128 – 70  = 9,6        h=10
             quantidade de classes (i)      6 
Nota: o Maior valor  (128) e o Menor valor  (70) são obtidos da  lista dos registros das 
velocidades dos 40 veículos. 
3. Montar  as  classes  a  partir  do  Menor  valor  (70),  somando  com  a
amplitude de classe (10) até que se chegue na 6ª classe, assim:
TIPOS DE INTERVALOS DE CLASSE 
No  Brasil  usa‐se  o  intervalo    (Resolução  866/66  do  IBGE).  Já  na  literatura  estrangeira 
utiliza‐se comumente com intervalo fechado. 
CONCEITOS IMPORTANTES 
LIMITES DE CLASSE ‐   São os valores extremos de cada classe. No exemplo 70   80, 
temos que o limite inferior é 70 e o limite superior  80.  
AMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUIÇÃO (AT) – É a diferença entre o  limite superior da 
última classe e o limite inferior da primeira classe, no exemplo 130 – 70 = 60. 
AMPLITUDE AMOSTRAL  (AA) – É a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo 
da amostra, no exemplo 128 – 70 = 58. 
i  Velocidade (Km/h) 
  1  70   +10    80 
2...  80   +10    90  
...6  120   +10   130 
Tipo  Representação  Dados do intervalo 
Aberto   70   80  70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80 
Fechado à esquerda   70  80  70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80 
Fechado    70  80  70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80 
Fechado à direita    70   80  70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80 
Classes
Limite 
inferior 
Limite 
superior 
- 26 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
0
2
4
6
8
10
12
Q
ua
nt
id
ad
e d
e v
eí
cu
lo
s
Resultados dos registros 
de um radar
             70  75   80   85   90    95  100  105  110  115 120  125  130
Velocidade (Km/h) 
Abaixo vemos as distribuições de  frequências absoluta  f,  relativa  fr(%), absoluta acumulada Fa e  relativa acumulada FRa(%), 
bem como o Histograma desta distribuição. 
  Distribuição de freqüência com classes f, fr(%), Fa e FRa (%) 
OUTRAS REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
Polígono de frequência – É um gráfico em linha que representa os pontos centrais dos intervalos de classe. 
Para construir este gráfico, você deve calcular o ponto central de classe (xi), que é o ponto que divide o intervalo de classe em 
duas partes iguais. Por exemplo, a velocidade dos veículos da 1ª classe pode ser representada por  70 + 80  = 75Km/h 
      2 
A construção de um polígono de frequências é muito simples. Primeiro, 
construímos  um  histograma;  depois marcamos  no  “telhado”  de  cada 
coluna o ponto central e unimos sequencialmente esses pontos. 
 Ogiva  –    (pronuncia‐se  o’jiva).  Conhecida  também  por  polígono  de  frequência  acumulada.  É  um  gráfico  em  linha  que 
representa as  freqüências acumuladas  (Fa),  levantada nos pontos correspondentes aos  limites  superiores dos  intervalos de 
classe. Para construí‐la, você deve elaborar o histograma de freqüência f em uma escala menor, considerando o último valor a 
freqüência acumulada da última classe, no caso, 40. 
i  Velocidade (Km/h)  f  Fr(%)  Fa  FRa(%) 
1  70   80  4  10%  4  10% 
2  80   90  4  10%  8  20% 
3   90   100  8  20%  16  40% 
4      100   110  8  20%  24  60% 
5      110   120  6  15%  30  75% 
6      120   130  10  25%  40  100% 
              f=40  100% 
i  Velocidade (Km/h)  f  xi 
1  70   80  4  75 
2  80   90  4  85 
3    90   100  8  95 
4   100   110  8  105 
5   110  120  6  115 
6   120   130  10  125 
              f=40 
i  Velocidade (Km/h)  f  Fa 
1  70   80  4  4 
2  80   90  4  8 
3   90   100  8  16 
4      100   110  8  24 
5      110   120  6  30 
6      120   130  10  40 
              f=40 
4 4
8 8
6
10
0
2
4
6
8
10
12
Q
ua
nt
id
ad
e d
e v
eí
cu
lo
s
Resultados dos registros 
de um radar
70         80        90         100       110        120       130 
Velocidade (Km/h) 
70   80
Ponto central
 75Km/h 
Velocidade (Km/h) 
4 4
8 8 6
10
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Q
ua
nt
id
ad
e d
e v
eí
cu
lo
s
Resultados dos registros 
de um radar
70          80           90          100         110         120         130 
4 
8 
16 
24 
30 
40 
- 27 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
3 
MEDIDAS RESUMO 
O que dizer se um professor quer saber sobre as notas dos 110 alunos de uma disciplina? Poderíamos, talvez, 
utilizar para  resposta uma  tabela com as  frequências das notas. Porém, o professor gostaria de uma  resposta 
rápida, que sintetize a informação que se tem, e não uma distribuição de frequência das notas coletadas. 
Para resumir a quantidade de informação contida em um conjunto de dados, utilizamos, em estatística, medidas 
que descrevem, POR MEIO DE UM SÓ NÚMERO, características desses dados. Veja exemplo abaixo. 
NOTAS DE ESTATÍSTICA DE 110 ALUNOS DA ESCOLA A 
5.6  8.3  4.5  8.7  3.9  9  5.5  7.9  9.5  10 
9.6  6.6  5.3  3  9.5  3.9  9  5.6  7  5.9 
7  8.9  2  8.7  9  3  8  6.7  4.2  6.5 
6.5  4.6  9.5  5.3  3.9  9  3  8.8  9  8.9 
7.1  6.5  3.9  4.9  9.4  5.3  9.5  2  5.3  7.5 
9.2  9.8  9.5  5.9  5.5  5  7  8.3  5.6  9 
6.1  5.6  4.9  6.5  9  9.6  7.5  7  9  4.5 
4.2  8.9  9.6  9.8  8  6.5  7.9  2  5  5.3 
7.3  8  9  5.6  1  9.8  4  9.5  3.6  5 
8.6  4.2  9.6  8.9  5.9  4.2  6  5.3  8  2.8 
9.2  9  9.8  3.9  8  9.5  3.3  8.4  5.3  4.5 
Para uma conclusão rápida, qual foi o desempenho desses alunos? Isto pode ser respondido com as medidas abaixo. 
Medidas resumo  Valor  Interpretação 
Média  6,5  Valor que representa o ponto de equilíbrio das notas (como uma gangorra). 
Mediana  7,0  50% dos alunos tiraram abaixo de 7,0. 
Moda  9,0  Nota que mais se repetiu. 
Desvio padrão ‐ DP  2,3  A maioria das notas está variando entre ±2,3 em torno da média 6,5 (4,2‐‐‐‐8,8) 
Coeficiente variação  34%  Há variação de 34% das notas em torno da média (complementa o DP). 
1º Quartil  5,0  25% dos alunos tiraram abaixo de 5,0. 
3º Quartil  9,0  75% dos alunos tiraram abaixo de 9,0. 
Através dessas informações é possível analisar o desempenho desses alunos. 
- 28 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
3.1 MEDIDAS DE POSIÇÃO 
São medidas que utilizamos para obter um número que represente o valor central de um conjunto de dados. As Medidas de 
Tendência Central mais utilizadas são: Média, Mediana e Moda. 
MÉDIA 
MÉDIA SIMPLES - É uma medida que representa um valor típico ou normal num conjunto de dados. 
 A média  simples  serve  como um  “ponto de  equilíbrio”  em um  conjunto de dados  (como  o  ponto  de  apoio  de  uma 
gangorra). Cada dado tem igual importância e peso. Sofre a influência de todos os dados. 
      A Média simples é obtida pela seguinte equação: 
x  = x     →          soma dos valores dos dados 
  n      →              quantidade de dados 
A Média é representada por  x
(lê‐se “x barra”) 
EXEMPLO. Supondo que uma escola adote como critério de aprovação a Média 7,0 e, considerando as quatro 
notas de João e Maria durante o ano, informe se foram aprovados. 
Notas de João:   3,5  |  6,0  |  9,5  |  9,0  | 
x  = x       3,5 + 6,0 + 9,5 + 9,0 
  n     4 
x  = 7,0  →  aprovado
MÉDIA PONDERADA. Semelhante a Média simples, porém, atribuindo-se a cada dado um peso que 
retrate a sua importância. 
 O termo “ponderação” é sinônimo de peso, importância, relevância. Sugere, então, a atribuição de um peso a um determinado dado. 
Em alguns casos, os valores variam em grau de importância, de modo que podemos querer ponderá‐los apropriadamente. É calculada 
multiplicando‐se um peso por cada valor, fazendo com que alguns valores influenciem mais fortemente a média do que outros. 
A Média ponderada é obtida pela seguinte equação: 
px = (x . p)      →      soma dos valores . pesos
  p        →             soma dos pesos  
Vamos representar a 
Média ponderada por 
px
EXEMPLO Supondo que uma escola adote como critério de aprovação a Média 7,0, sendo que as provas bimestrais 
são ponderadas com pesos 1, 2, 3 e 4, respectivamente para o 1º bim, 2º bim, 3º bim e 4º bim. Considerando as 
notas de João (na ordem bimestral crescente), informe se foi aprovado. 
Notas de João:  | 9,0  |   8,0   |  6,0  |  5,0 
px = (x . p)
           p 
px =   (9,0 . 1) + (8,0 . 2) + (6,0 . 3) + (5,0 . 4) 
1+2+3+4 
px = 6,3  →  reprovado
Nota. Em uma média simples ele seria aprovado por 7,0. 
A atribuição de pesos  visa  fazer  com que  certos  valores  tenham mais  influência no  resultado do que outros. Também pode  ser 
aplicado em cálculos de índices de inflação, atribuindo pesos para setor de vestuário, alimentação, etc.
Média de João
3.5
6.0
7,0
9.5 9.0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
N
ot
as
1º Bim 2º Bim Média 3º Bim 4º Bim
Bimestres
Média das notas de João 
9,0
1
8,0
2
6,3 6,0
3
5,0
4
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
No
ta
s e
 pe
so
s
1º Bim 2º Bim Média 3º Bim 4º Bim
Bimestres
Média ponderada das notas de João 
Média ponderada 
- 29 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
MÉDIA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA – aplica-se quando não se tem a lista original dos dados 
Quando  trabalhamos  com  uma  distribuição  de  frequência,  não  sabemos  os  valores  exatos  que  caem  em 
determinada  classe.  Para  tornar  possíveis  os  cálculos,  consideramos  que,  em  cada  classe,  todos  os  valores 
amostrais sejam iguais ao ponto central de classe. Por exemplo, considere o intervalo de classe 70    80, com 
uma frequência de 4. Admitimos que todos os 4 valores sejam iguais a 75 (o ponto central de classe). Com o total 
de 75 repetido 4 vezes, temos um total de 75 x 4 = 300. Podemos, então, somar esses produtos obtidos de cada 
classe para encontrar o total de todos os valores, os quais, então, dividimos pela quantidade de dados. 
É importante salientar que a distribuição de frequência resulta em uma aproximação da média 
porque não se baseia na lista original exata dos valores amostrais. 
CALCULANDO A MÉDIA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA COM INTERVALO DE CLASSE 
i  Velocidade (Km/h)  f  x  f . x 
1  70   80  4  75  300 
2  80   90  4  85  340 
3    90   100  8  95  760 
4     100   110  8  105  840 
5     110   120  6  115  690 
6     120   130  10  125  1250 
f=40  ‐  (f.x) = 4180 
Procedimento: 
1. Multiplicar  as  frequências  f  pelos  pontos  centrais
de classe x e adicionar os produtos. 
2. Somar as frequências f;
3. Somar os produtos (f.x);
4. Aplicar a fórmula abaixo:
x  =    (f.x)   →    4180  =  104,5 Km/h
   f     40 
Média a partir de um HISTOGRAMA COM INTERVALOS DE CLASSE: 
Não é necessário montar tabela. Veja na figura ao  lado 
que basta multiplicar a  freqüência pelo ponto médio e 
adicionar  os  produtos.  Depois,  divida  pela  soma  das 
freqüências. 
(4*75)+(4*85)+(8*95)+(8*105)+(6*115)+(10*125) 
        4+4+8+8+6+10      
x  =    (f.x)   →    4180  =  104,5 Km/h
   f     40 
CALCULANDO A MÉDIA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA SEM INTERVALO DE CLASSE
Nota (x)   f 
(nº de alunos) 
f . x 
4,0  5  20 
5,0  3  15 
6,0  2  12 
7,0  3  21 
8,0  2  16 
9,0  10  90 
f=25  (f.x) = 174 
Quando a distribuição não tem agrupamentode classes, 
consideraremos  as  frequências  como  sendo  os  pesos 
dos elementos correspondentes: 
(5*4,0)+(3*5,0)+(2*6,0)+(3*7,0)+(2*8,0)+(10*9,0) 
        5+3+2+3+2+10      
x  =(f.x)   →    174  =  6,96
   f      25 
Média a partir de um HISTOGRAMA SEM INTERVALO DE CLASSE  Multiplique a freqüência por   “x”   (notas) e adicione os 
produtos. Depois, divida pela soma das freqüências. 
(5*4,0)+(3*5,0)+(2*6,0)+(3*7,0)+(2*8,0)+(10*9,0) 
        5+3+2+3+2+10      
x  =(f.x)   →    174  =  6,96
   f      25 
Ponto central de classe 
x               =  
4 4
8 8
6
1 0
0
2
4
6
8
10
12
Q
ua
nt
id
ad
e d
e v
eí
cu
lo
s
R e su ltad o s  do s  reg istro s  de  um  rad a r
70              80                90              100              110             120              130 
Velocidade (Km/h) 
  X             = 
5
3
2 3 2
10
0
2
4
6
8
10
12
N
úm
er
o d
e 
al
un
os
4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0
Nota
Desempenho dos alunos na prova
x 
 75              85             95            105           115           125 
x  x 
+ 
(4*75)+(4*85) ... 
- 30 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
MEDIANA
Medida que representa o valor que está no MEIO de um conjunto de dados. 
Uma desvantagem da média simples é que ela é sensível a qualquer valor, de modo que um valor 
excepcional  (alto ou baixo) pode afetar drasticamente a média. A Mediana  supera grandemente 
essa desvantagem, pois não é afetada por valores extremos, de tal modo que você pode utilizar a 
mediana quando estão presentes valores extremos. 
Como achar a mediana de um conjunto de dados 
Para quantidade ÍMPAR de valores 
A Posição do termo central é dada por:      2
1nP 
Ex.: 12, 78, 69, 75, 80, 71, 82, 73, 785.    n=9 
2
19P    = 5     →      5ª posição 
A Md é o valor da 5º posição. Ordenando os dados, temos: 
 12, 69, 71, 73,     75    ,78, 80, 82, 785 
  1ª      2ª       3ª       4ª             5ª            6ª       7ª        8ª        9ª 
         Mediana 
Para quantidade PAR de valores 
As posições dos termos 
centrais são dadas por:  2
nP1     e     P2 = a que sucede P1
Ex.: 12, 78, 69, 75, 80, 71, 82, 73, 785, 995.   n=10 
2
10P1  = 5ª posição        e   P2 =  6ª posição 
A Md é o valor entre a 5º e 6ª posição. Ordenando os dados, temos: 
       12, 69, 71, 73,       75, 78      80, 82, 785, 995 
   1ª      2ª       3ª       4ª                  5ª       6ª               7ª      8ª         9ª        10ª 
       Mediana
A Md é a Média dos dois termos centrais.   2
7875Md   = 76,5 
MEDIANA de uma distribuição de frequência e Histograma SEM INTERVALOS DE CLASSE 
 
 Nota  f  Fa  Observações 
4,0  4  4  Da 1ª até a 4ª 
5,0  3  7  Da 5ª até a 7ª 
6,0  2  9  Da 8ª até a 9ª 
7,0  3  12    Da 10ª até a 12ª 
8,0  2  14   Da 13ª até a 14ª 
9,0  11  25   Da 15ª até a 25ª 
f = n = 25 → ímpar  
2
1nP     →  2
125 =  13ª
Os  dados  já  estão  ordenados.  Então  a 
Md é o valor da 13ª posição. Através da 
Fa fica fácil identificar a posição central: 
           Então, a nota Md = 8,0  
 f=25 
MEDIANA de uma distribuição de frequência e Histograma COM INTERVALOS DE CLASSE 
Acumule Fa e ache a posição da Md 
i  Velocidades  f  Fa 
1  70   80  4  4 
2  80   90  4  8 
3     90   100  8  16 
4   100   110  8  24 
5   110   120  6  30 
6   120   130  10  40 
     f=40 
Independente se n é ímpar ou par usa‐se a equação n/2.  Então, 40/2  = 20
A Md está na 20ª posição e será algum valor da classe mediana 100   110. A 
partir da equação abaixo podemos achar uma aproximação da Md. 
f
h* Fa  ‐  
2
n
 lMd
ant
inf  




l inf      =  limite inferior da classe mediana 
Faant =  Fa da classe anterior 
h       = amplitude do intervalo de classe 
f        = freqüência da classe mediana 
Resolvendo a equação, temos: 
8
10*16  ‐  
2
40
Md   



 100
Md = 105 Km/h, aproximadamente 
 
 
 
 
 
 
O total das frequências é 40.  Então, a Md será 40/2 = 20ª posição.  Observe 
pelo  Fa  que  a  classe  mediana  é  100    110.  Também  é  possível 
determinar l inf, Fa ant, h e f. Então, aplicando a equação, temos: 
8
10*16  ‐  
2
40
Md   



 100 = 105 km/h, aproximadamente 
 
0%           50%                  100%
Mediana 
4 4
8 8
6
10
0
2
4
6
8
10
12
Q
ua
nt
id
ad
e d
e v
eí
cu
lo
s
Resultados dos registros 
de um radar
70       80          90        100        110       120      130 
Velocidade (Km/h) 
Fa 
20ª Fa ant = 16 
(4+4+8) 
  ← h →
     10 
  f = 8
l inf 
 20ª 
    Md = 8,0
4
3
2 3 2
11
0
2
4
6
8
10
12
N
úm
er
o d
e a
lu
no
s
4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0
Nota
Desempenho dos alunos na prova
 Fa 13ª
- 31 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
5
3
2
3
2
10
0
2
4
6
8
10
12
N
úm
er
o d
e a
lu
no
s
4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0
Nota
Desempenho dos alunos na prova
NOTA SOBRE A MEDIANA. A mediana é menos utilizada do que a média simples. A mediana pode ser aplicada quando existem valores 
discrepantes em um conjunto de dados. Por exemplo, se a renda per capita de sete famílias fosse: $240; $370; $410; $520; $630; $680 e $820, 
a mediana seria $520 e a média $524. Essas duas medidas poderiam representar este conjunto de dados. Mas se a renda de sete famílias fosse: 
$240; $370; $410; $520; $630; $680 e $10.000, o valor da mediana manter‐se‐ia o mesmo, enquanto a média simples passaria a ser $1.836, 
pois foi  influenciada pelo valor discrepante ($10.000), que não é uma medida  ideal para representar este conjunto de dados. A medida  ideal 
seria a mediana. Note que os valores discrepantes tem, pois, muito menor influência sobre a mediana do que sobre a média.  
Em  relação  à mediana  na  distribuição  de  freqüência  com  intervalos  de  classe,  admite‐se  que  as  velocidades  dos  veículos  se  distribuem 
continuamente. Nesse caso, a mediana é a velocidade para o qual a metade da freqüência total 40/2 = 20 fica situada abaixo e a outra acima
dele. Ora, a soma das três primeiras freqüências de classe é 4+4+8 = 16. Então, para obter a 20ª velocidade desejada, são necessários mais 4 
dos 8 casos existentes na 4ª classe. Como o quarto intervalo de classe, 100  110, a mediana situa‐se a 4/8 de distância, e é: 100 + 4/8 (110 – 
100)  = 105 km/h. Com a equação fica mais fácil encontrar a mediana pois não exige este tipo de raciocínio. 
MODA 
Medida que representa o valor que mais se REPETE em um conjunto de dados. 
Na linguagem coloquial, moda é algo que está em evidência, ou seja, algo que se vê bastante! Em estatística a moda é o valor que detém 
o maior número de observações, ou seja, o valor ou valores mais  frequentes em uma série de dados. A moda não é necessariamente
única, ao contrário da média simples ou da mediana. É especialmente útil quando os valores ou observações não são numéricos, uma vez 
que a média e a mediana podem não ser bem definidas. 
Exemplos: 
A série {1, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 7} apresenta moda =  5, pois é o número que mais se repete.  
A série {1, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 8} apresenta duas modas (Bimodal): 5 e 6, pois são os que mais se repetem.  
A série {1, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 7} apresenta mais do que duas modas (Polimodal): 5, 6 e 7 
A série {1, 3, 2, 5, 8, 7, 9, 10} não apresenta moda = amodal, pois nenhum número se repete. 
MODA de uma distribuição de freqüência e Histograma SEM INTERVALOS DE CLASSE 
Notas dos alunos 
A Moda será a nota 9,0, pois é 
a  que  mais  se  repete  no 
conjunto de dados 
4,0  5,0  8,0  9,0 
4,0  6,0  9,0  9,0 
4,0  6,0  9,0  9,0 
4,0  7,0  9,0  9,0 
4,0  7,0  9,0 
5,0  7,09,0 
5,0  8,0  9,0 
Nota  f 
(nº de alunos)
4,0  5 
5,0  3 
6,0  2 
7,0  3 
8,0  2 
9,0  10 
f=25 
MODA de uma distribuição de frequência e Histograma COM INTERVALOS DE CLASSE 
a) Moda Bruta
i  Velocidade (Km/h)  f 
1  70   80  4 
2  80   90  4 
3   90   100  8 
4      100   110  8 
5      110   120  6 
6      120   130  10 
            f=40 
A  Moda  Bruta  será  o  ponto 
médio de  classe modal, que é  a 
classe  que  apresenta  a  maior 
frequência. Então: 
Mo = 120 + 130   =   125Km/h 
     2 
NOTAS SOBRE A MODA. Na distribuição de freqüência em classes, o método utilizado para encontrar a moda por meio do ponto médio 
de classe é chamado de moda bruta, e é apenas uma aproximação pois não foi baseada na lista original de dados. Existem outros métodos para 
encontrar a Moda de uma distribuição de  freqüência  com  intervalo de  classe: Método de Czuber, Método de King e Método de Pearson, 
normalmente exigidos em concursos públicos. 
Moda
Nota 
9,0 
4 4
8 8
6
10
0
2
4
6
8
10
12
Q
ua
nt
id
ad
e d
e v
eí
cu
lo
s
Resultados dos registros 
de um radar
70        80          90        100        110       120      130
Velocidade (Km/h) 
120+130 = 125Km/h 
        2 
Classe modal (tem maior frequência)
- 32 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
b) Moda de czuber
h
2D1D
1DCzuberMo * 
 limite inferior da classe modal 
D1 = f* – f(ant) 
D2 = f* – f(post) 
 h = amplitude da classe modal 
f* = frequência da classe modal 
f(ant) = frequência da classe anterior à classe modal 
f(post) = frequência da classe posterior à classe modal 
Exemplo de cálculo da Moda de Czuber (pela Distribuição de Freqüência e pelo Histograma) 
Registro das velocidades de 
veículos em uma rodovia 
i  Velocidade (Km/h)  f 
1  70   80  4 
2  80   90  4 
3   90   100  8 
4      100   110  8 
5      110   120  6 
6      120   130  10 
        f=40 
 
   
h
DD
DlMo *
21
1
          →    10104
4120 *   Mo 85122,Mo
Nota: Como não existe frequência simples da classe posterior à classe modal, então f‐ f(post) = 10 ‐ 0. 
- FUNDAMENTOS DA EQUAÇÃO DE CZUBER – 
Pode‐se  determinar  graficamente  a  posição  da Moda  no  histograma  representativo  de  uma  distribuição  de  frequências. O 
método descrito abaixo é o equivalente geométrico da equação de Czuber. 
1º ‐ A partir dos vértices superiores do retângulo correspondente à classe modal (A e B), traçamos os seguimentos concorrentes 
AC e BD,  ligando cada um deles ao vértice  superior adjacente do  retângulo correspondente a uma classe vizinha, conforme 
ilustrado na figura acima. 
2º ‐ A partir da interseção dos segmentos AC e BD, baixamos uma perpendicular ao eixo horizontal, determinando o ponto que 
indica a Moda, que é 122,85. 
 (10 - 6) 
 
 
 
(10 - 6) (10 - 0)
4 4
8 8
6
10
0
2
4
6
8
10
12
Q
ua
nt
id
ad
e d
e v
eí
cu
lo
s
Resultados dos registros 
de um radar
70        80          90     100        110       120       130 
Velocidade (Km/h) 
f* 
f(ant) 
h* 
f(post) 
Classe 
modal 
Classe modal  
(tem maior frequência) 
 - 33 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
 
 
RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MEDIANA E MODA. 
 
Pelo formato da distribuição dos dados, sempre existirá uma relação empírica (baseado na experiência) entre a 
média, mediana e a moda. Através dessa  relação podemos saber, aproximadamente, onde se encontram essas 
medidas, sem necessidade de cálculos. 
 
Quando a Média, Mediana e Moda se coincidem, chamamos a distribuição dos dados de Simétrica ou Normal. 
 
Média = mediana = moda 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SIMÉTRICA ou NORMAL ou FORMA DE SINO 
Quando  a  distribuição  tem  a  forma  de  sino  (linha  tracejada),  a 
quantidade de dados vai aumentando, atinge um pico, e depois 
diminui.  Se  dividíssemos  em  duas metades,  a  partir  do  centro, 
note que os dois lados seriam iguais. O calculo abaixo confirma a 
afirmativa  que  numa  distribuição  normal  a  média,  mediana  e 
moda se coincidem.  
 
Média = 70(3) + 80(4) + 90(7) + 100(4) + 110(3) = 90 Km/h 
3+4+7+4+3 
 
Mediana = 90 Km/h 
 
 
Moda = 90 Km/h 
 
Quando a Média, Mediana e Moda não se coincidem, chamamos a distribuição dos dados de assimétrica. 
 
Média < mediana < moda 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assimétrica à esquerda (ou negativa) 
Neste  tipo de distribuição,  a média, mediana  e  a moda  estarão 
aproximadamente conforme gráfico ao lado. A média será menor 
que a mediana e a moda.  O cálculo abaixo confirma a afirmativa: 
 
Média = 70(1) + 80(3) + 90(6) + 100(9) + 110(2) = 94 Km/h 
1+3+6+9+2 
 
Mediana = 100 Km/h 
 
 
Moda = 100 Km/h 
 
 
Média >  mediana > moda 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assimétrica à direita (ou positiva) 
Neste  tipo de distribuição,  a média, mediana  e  a moda  estarão 
aproximadamente conforme gráfico ao  lado. A média será maior 
que a mediana e a moda.  O cálculo abaixo confirma a afirmativa: 
 
Média = 70(2) + 80(9) + 90(6) + 100(3) + 110(1) = 86Km/h 
2+9+6+3+1 
 
Mediana = 80 Km/h 
 
 
Moda = 80 Km/h 
 
1
3
6
9
2
0
2
4
6
8
10
12
Q
ua
nt
id
ad
e d
e v
eí
cu
lo
s
Resultados dos registros 
de um radar
        70           80              90           100        110         
Velocidade (Km/h) 
Mediana
Moda Média 
2
9
6
3
1
0
2
4
6
8
10
12
Q
ua
nt
id
ad
e d
e v
eí
cu
lo
s
Resultados dos registros 
de um radar
        70           80              90           100        110         
Velocidade (Km/h) 
Mediana 
Moda 
Média 
 
3
4
7
4
3
0
2
4
6
8
10
Q
ua
nt
id
ad
e d
e v
eí
cu
lo
s
Resultados dos registros 
de um radar
        70            80           90            100          110        
 
Velocidade (Km/h) 
Média
Mediana 
Moda 
  Me   Md    Mo 
94 < 100 ≤ 100 
Me    Mo    Md    
86  > 80   ≥ 80 
90=90=90 
- 34 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
3.2 MEDIDAS DE ORDENAMENTO (ou separatrizes). 
São medidas que "separam" o conjunto de dados em um certo número de partes iguais. 
As medidas usadas são a Mediana, o Quartil, Decil e o Percentil. A mediana já conhecemos. Estudaremos as outras medidas. 
QUARTIL (4 PARTES) 
Divide  um  conjunto  de  dados  em  quatro 
partes  iguais. Precisamos, portanto, de  3 
quartis  (Q1  , Q2 e Q3  ) para dividir a série 
em quatro partes iguais. 
 0%       25%      50%      75%      100%   
|----------|---------|----------|---------| 
  Q1        Q2      Q3 
 
O método mais prático é utilizar o princípio do cálculo da mediana para os 3 quartis. Na  realidade  serão calculadas "3 
medianas" em uma mesma série.  
 Determine Q1, Q2 e Q3. dos salários de 9 empregados da uma empresa, abaixo 
     1º               2º     Q1      3º                4º                         5º                             6º              7º      Q3         8º       9º 
$500     $550   |   $600      $650          $700         $750      $800   |    $850      $900
         $575           Q2 $825 
Q1 será a média da 2ª e 3ª posição      Md                 Q3 será a média da 7ª e 8ª posição 
QUARTIL de uma distribuição de freqüência SEM INTERVALOS DE CLASSE 
i  Velocidades  f  Fa
1  85  4  4
2  90  4  8
3  95  8  16  ← 1º quartil 
4100  8  24
5  105  6  30
6  110  15  45  ← 3º quartil 
           f=45 
1º quartil Q1 =   4
1n = 4
145 = 11,5 ≈ 12ª posição = 95Km/h
Interpretação: 25% dos veículos tiveram velocidades abaixo de 95 Km/h 
3º quartil Q3 =   4
1)3( n   = 4
1)3( 45  = 34,5 ≈ 35ª posição =110Km/h 
Interpretação: 75% dos veículos tiveram velocidades abaixo de 110 Km/h 
QUARTIL de uma distribuição de freqüência COM INTERVALOS DE CLASSE 
Usa‐se  a  mesma  técnica  do  cálculo  da 
mediana,  bastando  adaptar  a  sua  equação, 
conforme mostrado abaixo.  
1º quartil 3º quartil 
2
n
 por  4
n
2
n
 por  4
3n
Acumule Fa e ache as posições Q1 e Q3. 
i  Velocidades  f  Fa
1  70   80  4  4 
2  80   90  4  8 
3     90   100  8  16  ← 1º quartil 
4   100   110  8  24 
5   110   120  6  30  ← 3º quartil 
6   120   130  10  40 
  f=40 
1º quartil Q1 
Independente  se  n  é  ímpar  ou  par  usa‐se  somente  a 
equação n/4.  Então,  40/4  = 10.   O Q1 está na 10ª posição 
e será algum valor da classe Q1  90  100. Logo: 
f
h* Fa  ‐  
4
n
 lQ
ant
inf  1 



l inf =  limite inferior da classe Q1 
Faant =  Fa da classe anterior 
H  = amplitude intervalo classe 
f  = freqüência da classe Q1 
Resolvendo a equação: 
8
10*8  ‐  
4
40
90Q   1 



Q1 = 92,5 Km/h 
Interpretação: aproximadamente 25% dos veículos registrados 
tiveram velocidades abaixo de 92,5 Km/h 
3º quartil Q3 
Independente  se  n  é  ímpar  ou  par  usa‐se  somente  a 
equação    3n/4.    Então,  3*40/4    =  30.     O Q3  está  na  30ª
posição e será algum valor da classe Q3  110  120. Logo: 
f
h* Fa  ‐  
4
3n
 lQ
ant
inf  3 



l inf =  limite inferior  classe Q3 
Faant =  Fa da classe anterior 
h = amplitude intervalo classe 
f  = freqüência da classe Q3 
Resolvendo a equação: 
6
10*24  ‐  
4
40*3
110Q   3 



Q3 = 120 Km/h 
Interpretação: aproximadamente 75% dos veículos registrados 
tiveram velocidades abaixo de 120 Km/h 
 
1º quartil 
 deixa 25% dos dados 
abaixo dele. 
2º quartil 
 Coincide com a 
mediana. 
3º quartil 
 deixa 75% dos dados 
abaixo dele. 
- 35 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
DECIL (10 PARTES) 
Divide um conjunto de dados em dez partes 
iguais, como mostrado ao lado. 
 0%      10%      20%     30%      40%      50%      60%        70%      80%     90%     100%   
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---| 
  D1      D2      D3     D4      D5      D6        D7     D8      D9 
DECIL de uma distribuição de freqüência 
Usa‐se  a  mesma  técnica  do  cálculo  da  mediana, 
bastando adaptar a sua equação, conforme abaixo: 
2
n
 por  10
Dn
D = decil procurado 
n = quantidade de dados 
Acumule Fa e ache as posições. 
i  Velocidades  f  Fa 
1  70   80  4  4 
2  80   90  4  8 
3     90   100  8  16  ←     Classe D3 
4   100   110  8  24 
5   110   120  6  30 
6   120   130  10  40  ←     Classe D8 
  f=40 
Ache o 3º Decil (D3) da distribuição de frequência 
Usando  Dn/10  temos  3*40/10  =  12.    O  D3  está  na  12ª
posição e será algum valor da classe D3  90  100: 
f
h* Fa  ‐  
10
Dn
 lD
ant
inf  3 



l inf =  limite inferior da classe D4 
Faant =  Fa da classe anterior 
h  = amplitude intervalo classe 
f  = freqüência da classe D4 
Resolvendo a equação: 
8
10*8  ‐  
10
40*3
90D   3




D3 = 95 Km/h 
Interpretação: aproximadamente 30% dos veículos registrados 
tiveram velocidades abaixo de 95 Km/h 
Ache o 8º Decil (D8) da distribuição de frequência 
Usando a equação Dn/10 temos  8*40/10 = 32.  O D8 está na
32ª posição e será algum valor da classe D8  120  130: 
f
h* Fa  ‐  
10
Dn
 lD
ant
inf  8 



l inf =  limite inferior da classe D8 
Faant =  Fa da classe anterior 
h  = amplitude intervalo classe 
f  = freqüência da classe D8 
Resolvendo a equação: 
10
10*  ‐  
10
40*8
 120D
30
 8 



D8 = 122 Km/h 
Interpretação: aproximadamente 80% dos veículos registrados 
tiveram velocidades abaixo de 122 Km/h. 
PERCENTIL (100 PARTES) 
Divide  um  conjunto  de  dados  em  cem 
partes iguais, como mostrado ao lado. 
 0%  5%   10% ...  17%  ... 33%  ...  42%          50%    57%    63%     70%       80%        93%       100%   
|-|-|---|---|---|---|--|--|--|---|---|---| 
  P5     P1 0          P17            P33           P42           P50        P57        P63       P70            P80                P93 
PERCENTIL de uma distribuição de freqüência 
Usa‐se  a  mesma  técnica  do  cálculo  da  mediana, 
bastando adaptar a sua equação, conforme abaixo.  
2
n
 por  100
Pn
P = percentil procurado 
n = quantidade de dados 
Acumule Fa e ache as posições. 
i  Velocidades  f  Fa
1  70   80  4  4 
2  80   90  4  8 
3     90   100  8  16  ←   Classe P27 
4   100   110  8  24 
5   110   120  6  30  ←   Classe P72 
6   120   130  10  40   
  f=40 
Ache o 27º Percentil (P27) da distribuição de frequência 
Usando Pn/100 temos  27*40/100 = 10,8 ≈ 11.  O P27 está na
11ª posição e será algum valor da classe P27  90  100: 
f
h* Fa  ‐  
100
Pn
 lP
ant
inf  27 



l inf =  limite inferior classe P27 
Faant =  Fa da classe anterior 
h  = amplitude intervalo classe 
f  = freqüência da classe P27 
Resolvendo a equação: 
8
10*8  ‐  
100
40*27
90P   27 



P27 = 93,5 Km/h 
Interpretação: aproximadamente 27% dos veículos registrados 
tiveram velocidades abaixo de 93,5 Km/h. 
Ache o 72º Percentil (P72) da distribuição de frequência 
Usando Pn/100 temos  72*40/100 = 28,8 ≈ 29.  O P72 está na
29ª posição e será algum valor da classe P29  110  120: 
f
h* Fa  ‐  
100
Pn
 lP
ant
inf  72 



l inf =  limite inferior classe P72 
Faant =  Fa da classe anterior 
h  = amplitude intervalo classe 
f  = freqüência da classe P72 
Resolvendo a equação: 
6
10*  ‐  
100
40*72
 110D
24
 8 



P72 = 118 Km/h 
Interpretação: aproximadamente 72% dos veículos registrados 
tiveram velocidades abaixo de 118 Km/h. 
Coincide com a mediana. 
- 36 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
3.3 MEDIDAS DE VARIAÇÃO (OU DISPERSÃO) 
INTRODUÇÃO 
O termo “variação” sugere tornar vário ou diverso; alterar, diversificar; mudar; ser inconstante; não ser conforme, 
discrepar. Na maioria dos casos existirá variação em um conjunto de dados, independente da característica que 
você esteja medindo, pois nem todos os indivíduos terão o mesmo exato valor para todas as variáveis.  
EXEMPLO 
Durante o ano  letivo a Média das notas de  João, Mário, Maria e  José  foi 7,0. Se considerarmos apenas a 
Média, não notaremos qualquer diferença entre os quatro alunos. No entanto, observa‐se que as notas são 
muito diferentes em relação a Média. Há variação de notas e, no caso de João e José, é bem discrepante: 
 
 
Diante  deste  contexto,  podemos  questionar:  qual  o  aluno  é  mais  estável?  Qual  teve  melhor 
desempenho? Qual o aluno com pior desempenho? Notadamente o aluno de melhor desempenho é o 
Mário, pois todas as suas notas foram 7,0 e, portanto, não houve nenhuma variação em relação a Média. 
Já José e João tiveram o pior desempenho pois suas notas estiveram muito distantes da Média.  
Neste capítulo vamos desenvolver maneiras específicas de  realmente medirmos a variação, de modo 
que possamos usar números específicos em lugar de julgamento subjetivo. 
Outros exemplos de variações: 
 Os preços das casas variam de casa para casa, de ano para ano e de estado para estado.  
 Os preços de um produto variam de supermercado para supermercado. 
 O tempo que você leva para chegar ao trabalho variadia a dia. 
 O tamanho das peças produzidas em uma empresa também varia.  
 A renda familiar varia de família para família, de país para país e de ano para ano.   
 Os resultados das partidas de futebol, de temporada para temporada, variam.  
 As notas que você tira nas provas, não diferente, também variam.  
 Seu saldo bancário também varia, podendo ser de hora em hora, dia a dia, mês a mês. 
Estudaremos  alguns tipos de medidas de variação: variância, desvio padrão e coeficiente de variação. 
3,5
6,0
7,0
9,5 9,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
No
ta
s
1º Bim 2º Bim Média 3º Bim 4º Bim
Bimestres
Média das notas de João 
7,0 7,0 7,0 7,0 7,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
No
ta
s
1º Bim 2º Bim Média 3º Bim 4º Bim
Bimestres
Média das notas de Mário 
6,5 6,5 7,0 7,5 7,5
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
No
ta
s
1º Bim 2º Bim Média 3º Bim 4º Bim
Bimestres
Média das notas de Maria
4,0
9,5
7,0
8,5
6,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
No
ta
s
1º Bim 2º Bim Média 3º Bim 4º Bim
Bimestres
Média das notas de José 
Sem variação a 
partir da Média 
Grande variação 
a partir da Média 
Pequena variação a 
partir da Média 
Grande variação a 
partir da Média 
- 37 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO (amostral) 
São medidas que representam “um valor médio de variação” em torno da média. 
O desvio padrão é um modo que se usa para medir a variabilidade entre os números em um conjunto de dados. Assim como o termo 
sugere,  um  desvio  padrão  é  um  padrão  (ou  seja,  algo  típico)  de  desvio  (ou  distância)  da média. O  desvio  padrão  é  uma  estatística 
importante, mas,  frequentemente, é omitida quando os  resultados são  relatados. Sem ele, você está  recebendo apenas uma parte da 
história sobre os dados. Os estatísticos gostam de contar a história do homem que estava com um dos pés em um balde de água gelada e 
o outro em um balde de água  fervendo. O homem dizia que, na média, ele estava se sentindo ótimo! Mas  imagine a variabilidade da 
temperatura para cada um dos pés. Agora, colocando os pés no chão, o preço médio de uma casa, por exemplo, não lhe diz nada sobre a 
variedade de preços de casas com a qual você pode se deparar enquanto estiver procurando uma casa para comprar. A média dos salários 
pode não representar o que realmente está se passando em sua empresa se os salários forem extremamente discrepantes. 
 Entendendo a Variância e o Desvio Padrão       Calculando a Variância e o Desvio Padrão  
Desvios em torno da Média das notas de João 
 
 
 
 
 
 
No gráfico percebemos que o desvio determina o quanto 
cada  elemento  do  conjunto  de  dados  se  distancia  da 
média 7,0. No 1º Bim. faltam ‐3,5 para se chegar a Média 
e no 2º Bim.  ‐1,0.  Já nos 3º e 4º Bim.  temos +2,5 e +2,0 
acima  da  média,  respectivamente.  Transpondo  essas 
informações para uma tabela, temos: 
Notas  
(x) 
   Média 
( x ) 
Desvios  
(x ‐  x ) 
3,5  7,0  ‐3,5 
6,0  7,0  ‐1,0 
9,5  7,0  2,5 
9,0  7,0  2,0 
‐  ‐  =0 
Perceba  que  a  soma  dos  desvios  é  igual  a  zero.  Esta 
característica não é exclusiva deste exemplo. Ela sempre 
ocorre e prende‐se ao fato de que a média é o ponto de 
equilíbrio em um conjunto de dados.  
Como os desvios indicam o grau de variação dos valores 
em  relação à média, seria  interessante poder encontrar 
um  único  número  que  o  representasse.  Algo  como  a 
média  dos  desvios.  Mas,  para  fazer  essa  média, 
precisamos somar os desvios e acabamos de ver que essa 
soma é sempre igual a zero. 
O  problema  da  soma  dos  desvios  foi  resolvido  pelos 
matemáticos: basta elevar   cada desvio ao quadrado antes 
de  somá‐los. Um  número  ao  quadrado  é  sempre  positivo, 
portanto a soma não se anula mais, e a média dos desvios ao 
quadrado pode ser calculada: 
Notas 
(x) 
Média 
( x ) 
Desvios  
(x ‐  x ) 
Desvios elevado ao 
quadrado  (x ‐  x )2 
3,5  7,0  ‐3,5        (‐3,5)2 =   12,25 
6,0  7,0  ‐1,0        (‐1,0)2 =   1 
9,5  7,0  2,5        (2,5)2   =   6,25 
9,0  7,0  2,0        (2,0)2  =   4 
n=4  ‐  =0     =23,5 
Variância amostral 
Agora,  podemos  calcular  a  média  dos  quadrados  dos 
desvios, chamada de Variância, representada por S2: 
S2 =   )( xx  2 → 
 n ‐ 1 
 23,5    =  7,8 
    4 ‐ 1 
A divisão por n−1 aparece por fornecer um melhor resultado do 
que a divisão por n. 
Desvio padrão amostral 
Mas,  se  elevamos  os  desvios  ao  quadrado  para  poder 
calcular sua média, não seria correto que agora fizéssemos a 
raiz  quadrada  dessa média,  para  desfazer  a  potenciação? 
Sim,  e  o  valor  dessa  raiz  é  chamado  Desvio  padrão, 
representado por S: 
Desvio padrão   →   S =  8,7 = 2,8  
Interpretação: O desvio padrão  indica que a maioria das notas de 
João  está  concentrada  dentro  dos  limites  de   2,8  em  torno  da 
média 7,0. Ou seja, se concentrando entre 4,2 e 9,8: 
 
Equação da Variância e Desvio padrão 
Podemos concluir, então, o uso das equações: 
      da Variância 
 
S2 =   )( xx  2
 n ‐ 1 
do Desvio padrão 
S =  2S
3,5
6,0
7,0
9,5 9,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
N
ot
as
1º Bim 2º Bim Média 3º Bim 4º Bim
Bimestres
   ‐3,5    ‐1,0 
 + 2,5    +2,0
  7,0 
  4,2      ‐2,8                   +2,8       9,8 
 - 38 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
 
Calculando a Variância e o Desvio padrão das notas de Maria, José e Mário – passo a passo. 
 
Notas de Maria:           6,5   6,5   7,5   7,5 
1º Calcular a Média 
 
            
n
xx
 
  
 
x = 6,5+6,5+7,5+7,5 = 7,0 
                     4 
2º Calcular a Variância 
 
S2 =  
1 
)( 2


n
xx  
 
S2 = (6,5 – 7,0)2 + (6,5 – 7,0)2 + (7,5 – 7,0)2 + (7,5 – 7,0)2  =  0,33 
4 – 1 
3º Calcular o Desvio padrão 
 
S =  2S   →   33,0  
 
S = 0,5 
Interpretação: O resultado indica que a maioria das notas de Maria 
está concentrada dentro dos  limites de   0,5 em torno da Média 
7,0. Ou seja, se concentrando entre 6,5 e 7,5. 
 
Notas de José:           4,0   9,5    8,5   6,0 
1º Calcular a Média 
 
            
n
xx
 
  
 
x = 4,0+9,5+8,5+6,5 = 7,0 
                     4 
2º Calcular a Variância 
 
S2 =  
1 
)( 2


n
xx  
 
S2 = (4,0 – 7,0)2 +  (9,5 – 7,0)2 + (8,5 – 7,0)2 + (6,0 – 7,0)2  = 6,16 
                                                    4 ‐ 1 
3º Calcular o Desvio padrão 
 
S =  2S   →   16,6  
 
S = 2,5 
Interpretação: O resultado indica que a maioria das notas de Maria 
está concentrada dentro dos  limites de   2,5 em torno da Média 
7,0. Ou seja, se concentrando entre 4,5 e 9,5. 
 
Notas de Mário:           7,0   7,0    7,0   7,0 
1º Calcular a Média 
 
            
n
xx
 
  
 
x = 7,0+7,0+7,0+7,0 = 7,0 
                     4 
2º Calcular a Variância 
 
S2 =  
1 
)( 2


n
xx  
 
S2 = (7,0 – 7,0)2 +  (7,0 – 7,0)2 + (7,0 – 7,0)2 + (7,0 – 7,0)2  =  0 
                                                    4 ‐ 1 
3º Calcular o Desvio padrão 
 
S =  2S   →   S = 0 
O  resultado  indica  que  todas  as  notas  de Mário  estão  dentro  dos  limites  de   0  em  torno  da Média  7,0.  Ou  seja,  se 
concentrando exatamente na média 7,0. Portanto, sem variação. 
 
 
 
NOTAS SOBRE O DESVIO PADRÃO. O  desvio  padrão  é 
sempre um valor que está na mesma unidade dos dados originais. 
Umdesvio padrão pequeno, basicamente, significa que os valores do 
conjunto  de  dados  estão,  na  média,  próximos  do  centro  desse 
conjunto,  enquanto  um  desvio  padrão  grande  significa  que  os 
valores do  conjunto de dados  estão, na média, mais  afastados do 
centro. Então, quanto mais espalhados ou dispersos forem os dados, 
maior  será  o  desvio  padrão  e,  quanto  mais  concentrados  ou 
homogêneos  forem  os  dados, menor  será  o  desvio  padrão.  Se  os 
valores  forem  iguais,  ou  seja,  sem  variação,  o  desvio  padrão  será 
zero.  
 
Um  desvio  padrão  pequeno  pode  ser  um  bom  objetivo  em 
determinadas  situações, onde os  resultados  são  restritos,  como exemplo, na produção  e no  controle de qualidade de uma  indústria. Uma 
determinada peça de carro que deve ter centímetros de diâmetro para encaixar perfeitamente não pode apresentar um desvio padrão grande, 
nesse caso, significaria que acabariam sendo jogadas fora, pois ou não se encaixariam adequadamente ou os carros teriam problemas.  
 
Observe que o desvio padrão das notas de João indica que estão concentradas dentro dos limites de   2,8 em torno da média 7,0. Ou seja, se 
concentrando entre 4,2 e 9,8.  Isto representa um desvio padrão grande. 
 
  7,0 
  6,5      ‐0,5                       +0,5       7,5 
  7,0 
  4,5      ‐2,5                       +2,5       9,5 
média
desvios
Desvio padrão
- 39 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO - CV 
É a medida relativa de variação que é sempre expressa sob a forma de porcentagem (%). 
Em algumas  situações, podemos estar  interessados em uma estatística que  indique qual é o  tamanho do desvio padrão em  relação à 
média. A melhor forma de representá‐la é através do coeficiente de variação por ser expressa na forma de porcentagem. 
O  coeficiente  de  variação,  representado 
por Cv, é calculado da seguinte maneira: 
Cv =     S   x 100 
          x
Ou seja:    Cv = Desvio padrão  x 100 
   Média 
Exemplo: Considerando a Média 7,0 de João com Desvio padrão de 2,8, 
temos: 
Cv =  S  x 100  
x
    Cv =   2,8  x  100   →    40% 
  7,0 
O  resultado  indica que a Média 7,0 de  João  teve um Desvio padrão em 
torno de 40%. 
Fazendo a Distribuição de Variabilidade das notas de João, Maria, José e Mário, temos: 
Alunos     Média ( x )  Desvio padrão (S)  Cv (%)  Cálculo do Cv (%) 
João  7,0  2,8  40%  →   2,8/7,0 x 100 
Maria  7,0  0,5  7%  →   0,5/7,0 x 100 
José  7,0  2,5  36%  →   2,5/7,0 x 100 
Mário  7,0  0  0%  ‐ 
Assim, podemos  concluir que o 
desempenho dos alunos será: 
1º ‐ Mário 
2º ‐ Maria 
3º ‐ José 
4º ‐ João 
Interpretação do Cv: Cv < 15% = pouca variação    |   15%  < Cv  <  30% = moderada variação   |  Cv > 30%  =  muita variação 
DESVIO PADRÃO DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
Quando não temos a lista original dos dados, da mesma forma que a média, podemos encontrar o desvio padrão aproximado 
de uma distribuição de freqüência. Neste caso, usamos a equação do desvio padrão estudado, adicionado de f, como abaixo. 
Desvio padrão SEM INTERVALO DE CLASSE 
Cálculo da média 
x =  (f.x)   →    2.900   =  72,5 Km/h
         f                 40 
Cálculo do desvio padrão 
S =
1f
 )2x(x f *



  → 
1 ‐ 40   
2100     = 7,3 km/h 
Desvio padrão COM INTERVALO DE CLASSE 
Cálculo da média 
x =  (f.x)   →    4180   =  104,5 Km/h
   f                 40 
Cálculo do desvio padrão 
S =
1f
 )2x(x f *



  → 
1 ‐ 40   
10.589     = 16,47 km/h
i  Velocidade (Km/h)  f  f . xi  (xi – x ) 2  *  f
1  60            x   4    =       240  (60 – 72,5)2 * 4         =     625 
2  65  6  390  (65 – 72,5)2 * 6         =     337 
3  70  11  770  (70 – 72,5)2 * 11       =     69 
4  75  8  600  (75 – 72,5)2 * 8         =     50 
5  80  7  560  (80 – 72,5)2 * 7         =     394 
6  85  4  340  (85 – 72,5)2 * 4         =     625 
f=40  (f.xi) = 2.900                   = 2.100 
i  Velocidade (Km/h)  f  xi  f . xi  (xi – x ) 2  *  f
1       70   80  4   x  75    =       300  (75 – 104,5)2 * 4       =    3.481 
2       80   90  4  85  340  (85 – 104,5)2 * 4       =    1.521 
3       90   100  8  95  760  (95 – 104,5)2 * 8       =       722 
4     100   110  8  105  840  (105 – 104,5)2 * 8     =           2 
5     110   120  6  115  690  (115 – 104,5)2 * 6     =       661 
6     120   130  10  125  1250  (125 – 104,5)2 * 10   =    4.202 
f=40  ‐  (f.xi) = 4180                   = 10.589 
- 40 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
Cálculo do Desvio padrão a partir de um Histograma em classes 
 
 
 
 
 
 
Primeiramente, você deve calcular a média: 
(75*4) + (85*4) + ... + (125*10)   = 104,5 Km/h 
4 + 4 + 8 + ... + 10 
S =
1f
 )2x(x f *




Depois, calcule o Desvio padrão, observando os dados circulados no gráfico acima: 
(75‐104,5)2 * 4   +    (85‐104,5)2 * 4  +  ...  +  (125‐104,5)2 * 10   =   16,47Km/h 
  40‐1 
4 4
8 8
6
1 0
0
2
4
6
8
10
12
Qu
an
ti
da
de
 de
 ve
íc
ul
os
R e s u l t a d o s  d o s  re g i s t ro s  d e  um  ra d a r
70              80                90              100              110             120              130 
Velocidade (Km/h) 
 75              85             95            105           115           125 
x  x 
+ 
(4*75)+(4*85) ... 
- 41 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
3.4 MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE. 
ASSIMETRIA. A  assimetria  já  foi  estudada  na  “Relação  entre média, mediana  e moda”,  quando  vimos  que  a  distribuição  é  simétrica
quando a média, mediana e moda se coincidem; assimétrica à direita quando a média é maior que a mediana e a moda; assimétrica à esquerda 
quando a média é menor que a mediana e a moda. Este raciocínio é importante pois é a base para o estudo de probabilidades e  inferência. 
A assimetria mede o grau de afastamento de uma distribuição em relação ao eixo central, 
geralmente representado pela média. 
. 
 
 
 
Coeficiente de Assimetria (Coeficiente de Pearson) 
O grau de assimetria de uma distribuição de freqüências pode ser calculado por meio do Coeficiente de Pearson, abaixo: 
S
MoxAs  x  = média
Mo = moda 
S = desvio padrão 
Se As = 0, será  simétrica 
Se As < 0, será assimétrica esquerda (negativa) 
Se As > 0, será assimétrica direita (positiva) 
S
Md)x3(As  Você  pode  usar 
esta  equação 
também. 
Esta distribuição tem: 
     ‐ média de 83,8 Km/h 
     ‐ moda de 80Km/h   
    ‐  desvio padrão de 5,2 Km/h.  
Qual o coeficiente de assimetria? 
5,2    
8083,8As    =  0,730
Interpretação:   a distribuição é assimétrica positiva (à direita) e 
moderada, pois está entre 0,15 e 1. (veja próxima pág. o motivo) 
Velocidade 
(Km/h)  f 
1  75  6 
2  80  30 
3  85  24 
4  90  12 
5  95  6 
               f=78 
Esta distribuição tem: 
     ‐ média de 85,7 Km/h 
     ‐ moda de 90Km/h   
    ‐  desvio padrão de 6,2 Km/h.  
Qual o coeficiente de assimetria? 
6,2    
9085,7As    =  ‐ 0,693
Interpretação:    a  distribuição  é  assimétrica  negativa  (à 
esquerda) e moderada, pois está entre ‐ 0,15 e ‐1. 
Velocidade 
(Km/h)  f 
1  75  10 
2  80  14 
3  85  20 
4  90  23 
5  95  11 
               f=78 
Ao  construir  o  histograma  podemos  comparar  com  uma 
distribuição  simétrica.  Perceba  o  quanto  a  média  desta 
distribuição se afasta do eixo central, simétrico. 
Ao  construir  o  histograma  podemos  comparar  com  uma 
distribuição  simétrica.  Perceba  o  quanto  a  média  desta 
distribuição se afasta do eixo central, simétrico. 
 
6
30
24
12
6
0
5
10
15
20
25
30
35
Q
ua
nt
id
ad
e v
eí
cu
lo
s
Resultados dos registros de um radar75         80     85       90              95     
Velocidade (Km/h) 
Grau de afastamento 0,730 
      75         80     85       90              95     
Velocidade (Km/h) 
10
14
20
23
11
0
5
10
15
20
25
30
35
Resultados dos regist ros de um radar Grau de 
afastamento ‐0,693 
1
3
6
9
2
0
2
4
6
8
10
12
Q
ua
nt
id
ad
e d
e v
eí
cu
lo
s
Resultados dos registros 
de  um radar
      70           80         90          100     110   
Velocidade (Km/h)
Mediana
Moda Média
3
4
7
4
3
0
2
4
6
8
10
Q
ua
nt
id
ad
e d
e v
eí
cu
lo
s
Resultados dos registros 
de um radar
    70     80      90      100     110   
Velocidade (Km/h) 
Média 
Mediana 
Moda 
2
9
6
3
1
0
2
4
6
8
10
12
Q
ua
nt
id
ad
e d
e v
eí
cu
lo
s
Resultados dos registros 
de um radar
      70           80          90         100        110     
Velocidade (Km/h) 
Mediana 
Moda  Média
Média 
Assimétrica à 
direita 
(positiva)
Assimétrica à 
esquerda 
(negativa) 
Grau de 
afastamento Simétrica 
Importante 
Sempre que  a  curva da distribuição 
se  afastar  do  eixo  central,  no  caso, 
da  média,  será  considerada  como 
tendo  um  certo  grau  de 
afastamento, chamado de assimetria 
da  distribuição.  Este  afastamento 
pode acontecer do lado esquerdo ou 
do  lado  direito  da  distribuição, 
chamado  de  assimetria  negativa  ou 
positiva, respectivamente. 
NegativaPositiva 
x ‐ Mo 
- 42 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
Interpretação da assimetria. Quanto mais As  se afasta de  zero, mais assimétrica  será a distribuição, podendo  ser  fraca  (se 
situada  até  |0,15|), moderada  (se  situada  de  |0,15|  a  |1|)  ou  forte  (se maior  que  |1|).  Forte,  nesse  caso,  não  é  algo 
necessariamente  bom,  pois  indica  que  a  distribuição  está  fortemente  (muito)  distante  do  eixo  central,  no  caso,  da média. 
Portanto, para efeitos de inferência estatística, melhor é que a As se aproxime de zero, no caso, de uma distribuição simétrica. 
. 
A barra |  | indica, matematicamente, que o sinal negativo é desprezado.  
CURTOSE. A análise da Curtose também é importante, pois é a base do estudo de probabilidades e inferência estatística. 
A curtose mede o grau de achatamento ou alongamento de uma distribuição, em relação a uma 
distribuição padrão, denominada curva normal 
(a)  Curvas  alongadas,  com  alta  curtose,  são  chamadas  de 
leptocúrticas. Observe que tem um pico relativamente alto. 
(b)  Curvas  nem  alongadas  nem  achatadas  e  de  curtose 
mediana são chamadas de mesocúrticas. 
(c)  Curvas  achatadas  apresentam  menor  curtose  e  são 
denominadas  platicúrticas.    Observe  que  tem  o  topo 
achatado. 
Coeficiente de Curtose 
O grau de curtose de uma distribuição de freqüências pode ser calculado por meio da equação abaixo: 
)P - 2( P 
QQ C
1090
13 Q1 = 1º quartil 
Q3 = 3º quartil 
P90 = 90º percentil 
P10 = 10º percentil 
Relativamente à curva normal: 
Se C <  0, 263  → curva leptocúrƟca 
Se C = 0, 263   → curva mesocúrƟca 
Se C > 0, 263   → curva plaƟcúrƟca 
Esta equação é denominada 
Coeficiente percentílico de 
curtose 
Portanto, para encontrar o coeficiente de curtose é necessário conhecimento e aplicação das medidas de ordenamento, no 
caso, do quartil e percentil. Neste exemplo não calcularemos essas medidas uma vez que já estudamos no título “3.2 Medidas 
de ordenamento”. Vamos direto ao assunto. 
Exemplo 
Esta distribuição tem: 
Q1 = 92,5 Km/h 
Q3 = 120 Km/h 
P90 = 126 Km/h 
P10 = 80 Km/h 
i  Velocidades  f  Fa 
1  70   80  4  4 
2  80   90  4  8 
3   90   100  8  16 
4   100   110  8  24 
5   110   120  6  30 
6   120   130  10  40 
           f=40 
Calcule o coeficiente de curtose e informe o seu tipo. 
)P - 2( P 
QQ C
1090
13 →  80) - 2( 126 
92,5 - 120 C    = 0,298 
Como 0,298 > 0,263, dizemos que a curva é platicúrtica 
É  importante  ressaltar  que  o  conhecimento  e  aplicação  da  Assimetria  e  Curtose  será  complementado  com  o  estudo  da 
distribuição  normal,  base  da  inferência  estatística.  Somente  com  todos  esses  conceitos  estudados  é  que  entenderemos 
realmente a assimetria e curtose.  
Fraca      Fraca   moderada  moderada forte forte 
  Média
Assimétrica à direita 
(positiva) 
Assimétrica à esquerda 
(negativa) 
Simétrica 
    1      0,15     0        ‐0,15        ‐1 
(a) Leptocúrticas 
(b) Mesocúrticas 
(c) Platicúrticas 
- 43 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
4 
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 
Existem situações nas quais interessa estudar a relação entre duas variáveis, 
coletadas como pares ordenados (x,y), para resolver questões do tipo “Existe 
relação entre o número de horas de estudo e as notas obtidas?”. Problemas como 
esses são estudados pela análise de correlação linear simples, onde determinamos o 
grau de relação entre duas variáveis. Se as variáveis variam juntas, diz-se que as 
mesmas estão correlacionadas. 
“Atualmente, todos – estudantes e professores – procuram o Udemy porque é a 
plataforma onde todos estão”. 
Fonte: Jornal do Brasil 
www.udemy.com 
Junte-se a milhões de estudantes na maior plataforma on-line 
de cursos curtos e práticos do mundo. 
Com mais de 45.000 cursos virtuais disponíveis, o Udemy é uma plataforma global de 
ensino on-line onde 15 milhões de alunos estão dominando novas habilidades. 
O foco do Udemy são os conhecimentos práticos e úteis para o mercado de trabalho. Há 
cursos gratuitos e pagos. São cursos curtos e com valores bem acessíveis. 
Faça o curso online na Udemy 
Estatística I (para leigos): 
aprenda fácil e rápido! 
 Com o Prof. MSc. Uanderson Rébula 
Saiba 
mais 
Clique aqui 
"O livro digital Estatística I para leigos possui uma linguagem fácil e ao mesmo tempo dinâmica. O 
conteúdo do livro está ordenado de forma a facilitar a aprendizagem dos alunos, mesmo aquelas 
pessoas que não tenham noção nenhuma de estatística aprenderão com esse livro. Você pode 
estudar sozinho para concursos pois o livro é auto explicativo ou até mesmo em grupos, no meu 
caso faço isso com meus alunos. Eu super recomendo esse livro!!! NOTA 1000" 
Maria Eunice Souza Madriz 
Professora de estatística da rede estadual de ensino da Bahia 
Avaliação do livro pelo cliente na amazon.com.br 
- 44 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
Horas estudadas versus Notas obtidas
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x (Horas de estudo)
Y
 (
N
o
ta
s 
o
b
ti
d
a
s)
4.1 CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES 
INTRODUÇÃO 
Existem  situações nas quais  interessa estudar a  relação entre duas variáveis, coletadas como pares ordenados 
(x,y), para resolver questões do tipo: 
 Variável x Variável y 
 Existe relação entre o número de horas de estudo... ...e as notas obtidas? 
 Quanto maior for a produção... ...maior será o custo total? 
 Existe relação entre o tabagismo... ...e a incidência de câncer? 
 Quanto maior a idade de uma casa... ...menor será seu preço de venda? 
 Existe relação entre o número de horas de treino... ...e os gols obtidos em uma partida de futebol? 
 Existe relação entre o nível de pressão arterial... ...com a idade das pessoas? 
 Problemas  como  esses  são  estudados  pela  análise  de  correlação  linear  simples,  onde  determinamos  o  grau  de 
relação entre duas variáveis. Se as variáveis variam juntas, diz‐se que as mesmas estão correlacionadas. 
Correlação linear simples é uma técnica usada para analisar a relação entre duas variáveis. 
DIAGRAMADE DISPERSÃO 
EXEMPLO 1. Consideremos na tabela abaixo uma amostra formada por 8 alunos de uma classe,  pelo número de 
horas de estudo (x) e as notas obtidas (y). Verifique se existe correlação por meio do diagrama de dispersão. 
FONTE: dados fictícios 
Número de horas de estudo  
versus notas obtidas 
Aluno  X  
(horas de estudo) 
Y  
(notas obtidas)
A  8h  9,0 
B  2h  3,0 
C  3h  4,0 
D  4h  5,0 
E  4,5h  6,0 
F  6h  7,0 
G  5h  7,0 
H  7h  7,5 
Diagrama de Dispersão 
Horas estudadas versus Notas obtidas
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x (Horas de estudo)
Y
 (
N
o
ta
s 
o
b
ti
d
a
s)
Representando os pares ordenados (x,y), obtemos diversos pontos grafados que denominamos diagrama de dispersão.  Para 
construí‐lo, basta pontuar a interseção de cada eixo x,y. Por exemplo, o aluno D estudou 4h (eixo x) e obteve a nota 5,0 (eixo 
y). Observe no diagrama  uma  linha  vermelha pontilhada  e  o  ponto  de  interseção.  Esse  diagrama  nos  fornece  uma  idéia 
grosseira,  porém  útil,  da  correlação  existente.  Ao  observar  o  diagrama  como  um  todo,  podemos  afirmar  que  existe  uma 
correlação entre as variáveis x,y pois, quando x cresce, y também tende a crescer. 
CORRELAÇÃO LINEAR 
Os  pontos  grafados,  vistos  em  conjunto, 
formam  uma  elipse  (trajetória,  distribuição 
dos pontos) em diagonal.  
Podemos  imaginar que, quanto mais fina for 
a elipse, mais ela se aproximará de uma reta. 
Dizemos  então,  que  a  correlação  de  forma 
elíptica tem como “imagem” uma reta, sendo, 
por isso, denominada correlação linear.  
Ponto de interseção 
(Aluno D) 
Reta imaginária 
- 45 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
Aumento do preço da refeição versus média cl ientes p/dia
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00
x (P reço ref eição)
Y
 (
m
é
d
ia
 d
e
 c
li
e
n
te
s 
p
/d
ia
)
Assim, uma correlação é:  
 
 
 
 
 
EXEMPLO 2. Consideremos na tabela abaixo os meses de Jan a Set,  o aumento mensal do preço das refeições (x) 
e a média do número de clientes ao mês (y). Verifique se existe correlação por meio do diagrama de dispersão. 
FONTE: dados fictícios 
Aumento do preço da refeição 
versus média de clientes por mês 
Mês  X  
(preço refeição) 
Y  
(média clientes)
Jan  R$ 5,90  154 
Fev  R$ 8,50  139 
Mar  R$ 10,90  133 
Abr  R$ 13,20  128 
Jun   R$ 15,90  115 
Jul  R$ 18,50  99 
Ago  R$ 21,90  80 
Set  R$ 24,90  67 
Diagrama de Dispersão 
COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO DE PEARSON 
Interpretar a correlação usando um diagrama de dispersão pode ser subjetivo (pessoal). Uma maneira mais precisa 
de se medir o tipo e o grau de uma correlação linear entre duas variáveis é calcular o coeficiente de correlação. 
Coeficiente de correlação é uma medida do grau de relação entre duas variáveis. 
Os  estatísticos  criaram  a  equação  ao  lado  para  obter  o  grau  de 
correlação.  Na  verdade  é  chamado  de  coeficiente  de  Pearson,  em 
homenagem ao estatístico inglês Karl Pearson (1857‐1936). 
Onde:  
r = coeficiente de correlação   e   n = tamanho da amostra 
Uma direção para cima sugere que se:  
‐  x aumenta,  
‐ y tende a aumentar. 
Uma direção para baixo sugere que se: 
‐ x aumenta, 
‐ y tende a diminuir. 
- 46 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
EXEMPLO DE APLICAÇÃO. Consideremos na tabela abaixo uma amostra formada por 8 alunos de uma classe,  pelo 
número de horas de estudo (x) e as notas obtidas (y), calcule o coeficiente de correlação r. 
 
         Cálculo do r: 
Interpretação: 
O coeficiente de correlação r = 0,975 indica que o grau de relação entre as duas variáveis é “Muito forte”, 
além de  ser  “Positiva”  (pois x aumenta, y  também aumenta). Então, podemos afirmar que, conforme 
aumentam as horas de estudo, as notas obtidas também aumentam. Veja mais detalhes abaixo: 
O grau de relação r pode variar de -1 até +1, conforme ilustrado abaixo: 
 
 
Notas: 
Correlação e causalidade. 
O fato de duas variáveis serem fortemente correlacionadas não implica uma relação de causa e efeito entre elas. Um estudo 
mais profundo é usualmente necessário para determinar se há uma relação causal entre as variáveis. As seguintes questões 
devem ser consideradas ao pesquisador: 
‐ Há uma relação direta de causa e efeito entre as variáveis? 
‐ É possível que a relação entre duas variáveis seja uma coincidência? 
Mais informações em Larson, 2010, capítulo 9. 
Número de horas de estudo  
versus notas obtidas
Aluno  X  
(horas de estudo) 
Y  
(notas obtidas) X
2  Y2  XY 
A  8h  9,0  64  81  72 
B  2h  3,0  4  9  6 
C  3h  4,0  9  16  12 
D  4h  5,0  16  25  20 
E  4,5h  6,0  20,25  36  27 
F  6h  7,0  36  49  42 
G  5h  7,0  25  49  35 
H  7h  7,5  49  56,25  52,5 
=39,5  =48,5  =223,25 =321,25  =266,5 
 x 
 y 
 x 
 y 
r=0,975 
Positiva e “Muito forte” 
r = 0,824 r = 0 r = ‐ 0,813 
   ‐0,9      ‐0,6     ‐0,3          0,3    0,6     0,9
 Perfeita              Nula                    Perfeita
   Forte           Fraca           Muito Fraca           Muito Fraca                Fraca               Forte      
 
Muito 
forte 
Muito 
forte 
     Correlação linear NEGATIVA                   Correlação linear POSITIVA 
  (  x aumenta, y diminui )               (  x aumenta, y aumenta  ) 
‐1                 0               +1 
- 47 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
Horas estudadas versus Notas obtidas
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x (Horas de estudo)
Y
 (
N
o
ta
s 
o
b
ti
d
a
s)
4.2 REGRESSÃO LINEAR SIMPLES 
INTRODUÇÃO 
Após verificar se a correlação linear entre duas variáveis é significante, o próximo passo é determinar a equação 
da linha que melhor modela os pontos grafados. Essa linha é chamada de linha de regressão (ou linha de melhor 
ajuste). Portanto, a análise de regressão linear simples tem por objetivo obter a equação matemática do ajuste da 
reta que representa o melhor relacionamento numérico linear entre as duas variáveis em estudo. 
Ao  se  construir  um  diagrama  de  dispersão,  não  sabemos  o  comportamento  da  reta  em  relação  aos  pontos 
grafados. Para tanto, devemos calcular o “ajustamento da reta aos pontos”. Eis alguns exemplos de diagramas de 
dispersão com o ajustamento da reta aos pontos: 
AJUSTAMENTO DA RETA AOS PONTOS GRAFADOS 
Para ajustar a reta aos pontos grafados em um diagrama de dispersão, os estatísticos usam as seguintes equações: 
1º ‐ Calcular o Coeficiente angular a: 
(dá a inclinação da reta) 
Onde: 
   a = Coeficiente angular 
   n = tamanho da amostra 
2º ‐ Calcular o Coeficiente linear b: 
(ordena o ponto em que a reta corta o eixo) 
b  =     ‐  a
Onde: 
b   = Coeficiente linear 
 =  Média de y 
a   = Coeficiente angular 
  =  Média de x
3º ‐ Calcular o ajustamento da reta  : 
 = aX  +  b 
Onde: 
= Ajustamento da reta 
a   = Coeficiente angular 
  X  =  É um valor arbitrário. (Ex.: nº 5) 
b   = Coeficiente linear 
A Regressão Linear 
determina o  
ajuste da reta, 
chamada de “Linha de 
Regressão” 
- 48 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
EXEMPLO DE APLICAÇÃO. Consideremos na tabela abaixo uma amostra formada por 8 alunos de uma classe,  pelo 
número de horas de estudo (x) e as notas obtidas (y), calcule a reta ajustada nos pontos grafados.                                                                                           
2º ‐ Calcular o Coeficiente linear b: 
b  =     ‐  a
Calculando as Médias   e  , temos: 
 = 48,5 = 6,063   =  39,5 = 4,937 
         8             8 
Então: 
 b =   6,063   –   0,958  x  4,937 
 b =   1,333º ‐ Calcular o ajustamento da reta  : 
 = aX  +  b 
 = 0,958 . 5    +    1,33   
    = 6,12 
  Nota: 5 é um valor arbitrário. 
Para traçar a reta no diagrama de dispersão, basta determinar os pontos b,   e o arbitrário: 
Note  que  os pontos  grafados  estão muito  próximos  da  reta.  Isso  significa  que    existe  uma  correlação  
muito forte entre as duas variáveis em estudo 
Número de horas de estudo  
versus notas obtidas
Aluno  X  
(horas de estudo) 
Y  
(notas obtidas) X
2  XY 
A  8h  9,0  64  72 
B  2h  3,0  4  6 
C  3h  4,0  9  12 
D  4h  5,0  16  20 
E  4,5h  6,0  20,25  27 
F  6h  7,0  36  42 
G  5h  7,0  25  35 
H  7h  7,5  49  52,5 
=39,5  =48,5  =223,25  =266,5 
1º ‐ Calcular o Coeficiente angular a: 
 a   =     266,5  ‐  (39,5)  .   (48,5) 
 8 
   223,25   ‐   (39,5)2 
          8 
     a =  0,958 
- 49 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
ANDERSON, David R.; SWEENEY, Dennis J.; WILLIANS, Thomas A. Estatística aplicada à administração e economia. 2 
ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009. 597 p. 
BRUNI, Adriano Leal. Estatística para concursos. São Paulo: Atlas, 2008. 197p. 
COSTA, Sérgio Francisco. Introdução ilustrada à estatística. 4 ed. São Paulo: Harbra, 2005. 399 p. 
CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil. 17 ed. São Paulo: Saraiva, 1999. 224 p. 
FARIAS, Alfredo Alves et al. Introdução à estatística. 2 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003, 320 p. 
GIOVANNI José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Rui. Matemática fundamental: uma nova 
abordagem – volume único. São Paulo: FTD, 2002. 712 p. 
HAZZAN, Samuel. Fundamentos da matemática elementar: Matemática financeira, comercial e estatística descritiva. 
Volume 11. 1 ed. São Paulo: Atual editora, 2004. 230p. 
HELP! Sistema de consulta interativa. Matemática. Rio de Janeiro: O globo, 1997. 319 p. 
Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística – IBGE. A instituição. Disponível em 
<http://www.ibge.gov.br/home/disseminacao/eventos/missao/default.shtm>. Acesso em 06 abr 2010. 
LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando o Excel. 4 ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2005. 476 p. 
LARSON, Ron; FARBER, Betsy. Estatística aplicada. 4 ed. São Paulo: Pearson, 2010. 637 p. 
LEVINE, David M. et al. Estatística: teoria e aplicações. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 752 p. 
LOPES, Paulo Afonso. Probabilidade e estatística: conceitos, modelos e aplicações em Excel. Ernesto Reichmann, 1999. 
174 p. 
MANDIN, Daniel. Estatística descomplicada. 9 ed. Brasília: Vestcon, 2002. 227 p. 
MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. 2 ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2003. 465 p. 
OLIVEIRA, Uanderson Rebula de. Ergonomia, higiene e segurança do trabalho. Resende-RJ: Apostila. Universidade 
Estácio de Sá, 2009. 199 p. 
Resumão – estatística. 2 ed. São Paulo: Barros, fischer & Associados, novembro 2006. 6 p. 
RUMSEY, Deborah. Estatística para leigos. Rio de Janeiro: Alta books, 2009. 350 p. 
SILVA, Ermes Medeiros et al. Estatística: para os cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis - volume 1. 2 
ed. São Paulo: Atlas, 1996. 189 p. 
SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática–ensino médio. 5 ed. São Paulo: Saraiva, 2005. 558p. 
SPIEGEL, Murray R. Estatística: resumo da teoria, 875 problemas resolvidos, 619 problemas propostos. São Paulo: 
McGraw-Hill do Brasil, 1977. 580 p. 
TRIOLA, Mario F. Introdução à estatística. 10 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 696 p. 
URBANO, João. Estatística: uma nova abordagem. Rio de Janeiro: Ciência moderna, 2010. 530p. 
VASCONCELLOS, Maria José Couto; SCORDAMAGLIO, Maria Terezinha; CÂNDIDO, Suzana Laino. Coleção 
Matemática. 1ª e 3ª série do ensino médio. São Paulo: Editora do Brasil, 2004. 232 p. 
WERKEMA, Maria Cristina Catarino. As ferramentas da qualidade no gerenciamento dos processos. Belo Horizonte: 
EDG, 1995. 128 p. 
- 50 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
SITES PARA CONSULTA 
www.brasilescola.com 
Instituto de pesquisa econômica aplicada - http://www.ipea.gov.br 
Instituto brasileiro de geografia e estatística - http://www.ibge.gov.br 
Associação Brasileira de Estatística - http://www.ime.usp.br/~abe/ 
www.ibope.com.br 
ANEXO I - LIVROS RECOMENDADOS 
Um livro introdutório de estatística que inclui um estilo de escrita 
amigável, conteúdo que reflete as características importantes de um 
curso introdutório moderno de estatística, o uso da tecnologia 
computacional mais recente, de conjuntos de dados interessantes e 
reais, e abundância de componentes pedagógicos. O CD-ROM inclui 
os conjuntos de dados do Apêndice B do livro. Esses conjuntos de 
dados encontram-se armazenados em formato texto, planilhas do 
Minitab, planilhas do Excel e uma aplicação para a calculadora TI-83. 
Inclui também programas para a calculadora gráfica TI-83 Plus®, o 
Programa Estatístico STATDISK (Versão 9.1) e um suplemento do 
Excel, desenvolvido para aumentar os recursos dos programas 
estatísticos do Excel. 
Este livro diferencia-se dos tradicionais livros, 
materiais de referência e manuais de estatísticas, 
pois possui: Explicações intuitivas e práticas sobre 
conceitos estatísticos, ideias, técnicas, fórmulas e 
cálculos. Passo a passo conciso e claro de 
procedimentos que intuitivamente explicam 
como lidar com problemas estatísticos. Exemplos 
interessantes do mundo real relacionados ao 
cotidiano pessoal e profissional. Respostas 
honestas e sinceras para perguntas como “O que 
isso realmente significa?” e “Quando e como eu 
vou usar isso?” 
Neste livro você encontrará: 
Explicações em português de fácil entendimento. 
Informações fáceis de localizar e passo-a-passo. 
Ícones e outros recursos de identificação e 
memorização. Folha de cola para destacar com 
informações práticas. Listas dos 10 melhores 
relacionados ao assunto. Um toque de humor e 
diversão. 
Onde comprar: www.submarino.com.br
- 51 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
ANEXO II - SOFTWARE BIOESTAT 
Texto extraído da tese de doutorado em Engenharia de Ualison Rebula de Oliveira 
Existem  inúmeros  recursos  tecnológicos  para  a  análise  estatística  de  dados,  que  vão  desde 
calculadoras,  a  exemplo  da  TI  –  83  PLUS,  a  aplicativos  específicos,  tais  como  o  STATDISK  e  o 
MINITAB  (TRIOLA,  2005).  Assim,  buscando‐se  recursos  computacionais  que  facilitassem  o 
tratamento de dados, vários aplicativos e softwares estatísticos  foram pesquisados, dos quais se 
destacam  a  planilha  Excel,  o  STATDISK,  o MINITAB,  o  BioEstat,  o  SPSS  e  algumas  páginas  na 
Internet  que  oferecem  programas  em  Javascript  para  cálculos  on‐line,  a  exemplo  da  página  na 
Internet www.stat.ucla.edu. 
Após análise de pós e contras de cada aplicativo pesquisado,  selecionou‐se o pacote estatístico 
BioEstat,  disponível  para  download  no  site  www.mamiraua.org.br,  por  possuir  as  seguintes 
características positivas: i) serventia tanto para a Estatística descritiva como para testes estatísticos 
não‐paramétricos; ii) ser em português; iii) possuir manual em PDF com diversos exemplos; iv) ser 
de  fácil  utilização;  v)  ser  gratuito;  vi)  ser  referenciado  em  vários  livros,  sites  e  entidades  de 
pesquisa – conforme Siegel & Castellan Junior (2006), o BioEstat é o melhor programa disponível 
na atualidade para o cálculo do qui‐quadrado; vii) possuir apoio do CNPQ; e viii) estar na versão 5.0 
e possuir mais de 20 anos de criação. 
INTERFACE BIOESTAT 
Baixar software: 
www.mamiraua.org.br 
- 52 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística
Anexo III - ESTATÍSTICA NO EXCEL 
O Excel dispõe da  função “Estatística”. Assim,  tudo que vimos poderá ser desenvolvido pelo 
excel, bastando inserir os valores da variávelde interesse. 
Para  saber mais,  basta  adquirir  o  livro  “Estatística  usando  o  excel”,  de  Juan  Carlos 
Lapponi. WWW.SUBMARINO.COM.BR 
4ª Edição,  Edição 2005, 496 págs.  Editora Elsevier Campus  ‐ Acompanha CD‐ROM com Planilhas, Modelos, 
Simuladores etc. para Excel. 
O conteúdo deste  livro é útil para: Estudantes que cursam Estatística nas diversas áreas do conhecimento e 
em  diferentes  níveis  de  graduação  como,  em  ordem  alfabética,  Administração,  Biologia,  Contabilidade, 
Economia,  Engenharia,  Finanças,  Marketing,  Medicina,  etc.  Estudantes  que  necessitam  aprimorar  ou 
complementar  seus  conhecimentos  de  Estatística  utilizando  o  Excel.  Profissionais  das  diversas  áreas  que 
utilizam  os  conceitos  de  Estatística  e  necessitam,  ou  gostariam,  de  utilizar  as  funções  estatísticas,  as 
ferramentas de análise, planilhas, modelos e simuladores de estatística em Excel. Todos aqueles que poderão 
utilizar  as planilhas, modelos  e  simuladores de  estatística  em  Excel da  forma  como  estão no CD‐Rom, ou 
modificando‐os, para atender às  suas necessidades. Alunos de áreas  correlatas que utilizarão estatística e 
desejam  antecipar  seu  aprendizado  e  agregar  valor  ao  seu  conhecimento  visando o mercado de  trabalho. Usuários de  Excel que desejam 
conhecer e aprender a utilizar os recursos de Estatística disponíveis. 
TÓPICOS 
•  DADOS, VARIÁVEIS E AMOSTRAS  
•  DESCRIÇÃO DE AMOSTRAS COM TABELAS E GRÁFICOS  
•  MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL  
•  MEDIDAS DE DISPERSÃO/VARIAÇÃO 
•  PROBABILIDADE  
•  CORRELAÇÃO  
•  VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS  
•  DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS  
•  COMBINAÇÃO LINEAR DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS  
•  DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL  
•  ESTIMAÇÃO  
•  TESTE DE HIPÓTESES  
•  TESTES DE HIPÓTESES COM DUAS AMOSTRAS  
•  ANÁLISE DA VARIÂNCIA  
•  REGRESSÃO LINEAR  
•  AJUSTE NÃO LINEAR 
Prof. MSc. Uanderson Rébula de Oliveira 
Sumário 
Uma mensagem do Prof. MSc Uanderson Rébula. CLIQUE NO VÍDEO
CLIQUE AQUI E INSCREVA-SE NO CURSO JÁ
- 1 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
Associação Educacional Dom Bosco 
Estatística & Probabilidade 
o 
 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira 
uanderson.rebula@aedb.br 
PROBABILIDADE 
- 2 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
EMENTA: 
Probabilidade. Eventos de probabilidades. Probabilidade condicional. Variáveis 
aleatórias e distribuições de probabilidades. Distribuições contínuas e discretas. 
Intervalo de Confiança para média. 
OBJETIVO: 
Refletir a partir da Estatística Básica sobre as ferramentas consolidadas pelo uso e 
pela ciência, disponíveis a todos, que auxiliam na tomada de decisão. 
UANDERSON REBULA DE OLIVEIRA 
Mestrado em engenharia de Produção - Universidade Estadual Paulista-UNESP 
Pós-graduado em Controladoria e Finanças-Universidade Federal de Lavras-UFLA 
Pós-graduado em Logística Empresarial-Universidade Estácio de Sá-UNESA 
Graduado em Ciências Contábeis-Universidade Barra Mansa-UBM 
Técnico em Metalurgia-Escola Técnica Pandiá Calógeras-ETPC 
 Técnico em Segurança do Trabalho-ETPC 
Operador Siderúrgico e Industrial-ETPC 
Professor na UNIFOA no curso de Pós graduação em Engenharia de Segurança do Trabalho. Professor na 
Universidade Barra Mansa – UBM nos cursos de Engenharia de Produção e de Petróleo. Professor da 
Universidade Estácio de Sá - UNESA nas disciplinas de Gestão Financeira de Empresas, Fundamentos da 
Contabilidade e Matemática Financeira, Probabilidade e Estatística para o curso de Engenharia de Produção, 
Estatística I e II para o curso de Administração, Ergonomia, Higiene e Segurança do Trabalho, Gestão de 
Segurança e Análise de Processos Industriais (Gestão Ambiental), Gestão da Qualidade: programa 5S (curso de 
férias). Professor na Associação Educacional Dom Bosco para os cursos de Adminitração e Logística. Ex-professor 
Conteudista na UNESA (elaboração de Planos de Ensino e de Aula, a nível nacional). Professor em escolas técnicas 
nas disciplinas de Estatística Aplicada, Estatística de Acidentes do Trabalho, Probabilidades, Contabilidade Básica 
de Custos, Metodologia de Pesquisa Científica, Segurança na Engenharia de Construção Civil e Higiene do 
Trabalho. Ex-professor do SENAI. Consultor interno, desenvolvedor e instrutor de cursos corporativos na CSN, a 
níveis Estratégicos, Táticos e Operacionais. Membro do IBS–Instituto Brasileiro de Siderurgia. 
Resende - RJ – 2017 
PROBABILIDADE 
- 3 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
APRESENTAÇÃO 
DA DISCIPLINA 
Uma das ferramentas mais utilizadas hoje em dia 
pelos cientistas, analistas financeiros, médicos, engenheiros, 
jornalistas etc. é a Estatística, que descreve os dados observados e 
desenvolve a metodologia para a tomada de decisão em presença 
da incerteza. O verbete estatística foi introduzido no século XVIII, 
tendo origem na palavra latina status (Estado), e serviu 
inicialmente a objetivos ligados à organização político-social, como 
o fornecimento de dados ao sistema de poder vigente. Hoje em dia,
os modelos de aplicação da Teoria Estatística se estendem por todas 
as áreas do conhecimento, como testes educacionais, pesquisas 
eleitorais, análise de riscos ambientais, finanças, controle de 
qualidade, análises clínicas, índices de desenvolvimento, 
modelagem de fenômenos atmosféricos etc. Podemos 
informalmente dizer que a Teoria Estatística é uma ferramenta que 
ajuda a tomar decisões com base na evidência disponível, decisões 
essas afetadas por margens de erro, calculadas através de modelos 
de probabilidade. 
No entanto, a probabilidade se desenvolveu muito 
antes de ser usada em aplicações da Teoria Estatística. Um dos 
marcos consagrados na literatura probabilística foi a 
correspondência entre B. Pascal (1623-1662) e P. Fermat (1601-
1665), onde o tema era a probabilidade de ganhar em um jogo 
com dois jogadores, sob determinadas condições. Isso mostra que o 
desenvolvimento da teoria de probabilidades começou com uma 
paixão humana, que são os jogos de azar, mas evoluiu para uma 
área fortemente teórica, em uma perspectiva de modelar a 
incerteza, derivando probabilidades a partir de modelos 
matemáticos. 
A análise combinatória deve grande parte de seu 
desenvolvimento à necessidade de resolver problemas 
probabilísticos ligados à contagem, mas hoje há diversas áreas em 
que seus resultados são fundamentais para o desenvolvimento de 
teorias, como, por exemplo, a área de sistemas de informação. 
Nesta apostila encontraremos as definições de 
Probabilidades, eventos, variáveis aleatórias, variância de variáveis 
aleatórias e distribuições de probabilidades; e distribuições 
contínuas e discretas de probabilidades. 
- 4 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
Falou mais o Senhor a Moisés, no deserto de Sinai, na tenda da 
congregação, no primeiro dia do mês segundo, no segundo ano da sua 
saída da terra do Egito, dizendo: 
Tomai a soma de toda a congregação dos filhos de Israel, segundo as 
suas gerações, segundo a casa dos seus pais, conforme o número dos 
nomes de todo o varão, cabeça por cabeça; 
Da idade de vinte anos e para cima, todos os que saem à guerra em 
Israel; a estes contareis segundo os seus exércitos, tu e Aarão. 
Estará convosco, de cada tribo, um homem que seja cabeça da casa dos 
seus pais. 
Todos os contados, pois, foram seiscentos e três mil, quinhentos e 
cinquenta. 
Números 1: 1-4; 46 
- 5 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
Sumário 
1 – INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE 
1.1 CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADES, 7 
Experimento aleatório, 7 
Espaço amostral, 7 
Eventos, 8 
1.2 CÁLCULOS DE PROBABILIDADES, 8 
Probabilidade , 8 
Eventos complementares, 9 
Eventos mutuamente exclusivos, 10 
Eventos não mutuamenteexclusivos, 10 
Probabilidade condicional e multiplicação de probabilidades, 11 
Probabilidade com eventos dependentes, 11 
Multiplicação de probabilidades com eventos dependentes, 13 
Multiplicação de probabilidades com eventos independentes, 14 
2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS   
2.1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES PROBABILIDADES, 16 
2.2 VALOR ESPERADO, 18 
2.3 VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO, 19 
3 – DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES            
   3.1 DISTRIBUIÇÃO UNIFORME, 21 
   3.2 DISTRIBUIÇÃO NORMAL, 22 
   3.3 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL, 27 
   3.4 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON, 29 
   3.5 DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL, 30 
4 – INTERVALO DE CONFIANÇA
Intervalo de Confiança para média , 32 
Intervalo de Confiança para proporção, 33 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS, 34 
ANEXO I – LIVROS RECOMENDADOS, 35 
ANEXO II –  Software BIOESTAT , 36 
ANEXO III – Estatística no Excel, 37  
- 6 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
É possível quantificar o 
acaso? 
1 
INTRODUÇÃO À 
PROBABILIDADE 
- 7 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
1.1 CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADES 
Probabilidade é uma medida numérica que representa a chance de um evento ocorrer. 
Dois exemplos clássicos (por sua simplicidade) do conceito de Probabilidade são: 
Ao lançar um dado, qual a probabilidade de obter “4”?    Ao lançar a moeda, qual a probabilidade de dar “cara”?
Como representar numericamente as chances desses eventos? 
Conhecidas  certas  condições,  é  possível  responder  a  essas  duas  perguntas,  antes  mesmo  da  realização  desses 
experimentos. A  teoria  da  probabilidade  surgiu  para  tentar  calcular  a  “chance”  de  ocorrência  de  um  resultado 
imprevisível, porém, pertencente a um  conjunto de  resultados possíveis. Todos os dias  somos  confrontados com 
situações, que nos conduzem a utilizar a teoria de probabilidade: 
Dizemos que existe uma pequena probabilidade de ganhar na loteria; 
Dizemos que existe uma grande probabilidade de não chover num dia de verão;  
O gerente quer saber a probabilidade de o projeto ser concluído no prazo; 
O analista financeiro quer saber a chance de um novo investimento ser lucrativo;  
O gerente de marketing quer saber as  chances de queda de vendas se aumentar os preços; 
O eng. produção quer saber a probabilidade de um novo método de montagem aumentar a produtividade. 
É  POSSÍVEL  QUANTIFICAR  O  ACASO.  Desse modo,  se  houver  probabilidades  disponíveis,  podemos  determinar  a 
possibilidade  de  cada  um  dos  eventos  ocorrer.  Para  continuar  o  estudo  de  probabilidades,  três  conceitos  são 
importantes: Experimento aleatório, espaço amostral e eventos.  
Experimento aleatório 
Experimento cujo resultado é imprevisível, porém pertencente a um conjunto de resultados possíveis. 
É  o  fenômeno  que  estamos  interessados  em  observar,  e  cada  resultado  dele  é  uma  experiência.  Embora  não 
saibamos qual o resultado que irá ocorrer, conseguimos descrever todos os resultados possíveis. Exemplos: 
EXPERIMENTO Resultados possíveis 
Jogar uma moeda  Cara ou Coroa 
Lançar um dado  1, 2, 3, 4, 5, 6 
Jogar uma partida de futebol  Ganhar, empatar, perder 
Fazer um contato de vendas  Comprar, não comprar 
Selecionar uma peça para inspeção  Defeituosa, não defeituosa 
Nascimento de uma criança  Masculino, feminino 
A principal  característica do experimento é  ser  casual, no  sentido de que, apesar de  conhecermos  seus possíveis 
resultados, não podemos dizer  com  certeza o que  vai  ser obtido. Quantas e quais as possibilidades de  resultados 
desses experimentos são questões que tentamos responder para avaliar as chances de eles acontecerem. 
Espaço amostral 
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. 
Note que, ao especificar todos os resultados possíveis, identificamos o espaço amostral, representado por S. 
São exemplos de espaços amostrais: 
EXPERIMENTO ALEATÓRIO Espaço amostral 
Jogar uma moeda  S = { Cara, Coroa} 
Lançar um dado  S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Jogar uma partida de futebol  S = {Ganhar, Empatar, Perder} 
Fazer um contato de vendas  S = {Comprar, Não comprar} 
Selecionar uma peça para inspeção  S = {Defeituosa, Não defeituosa} 
Nascimento de uma criança  S = {Masculino, Feminino} 
 
 - 8 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
 
Eventos 
 
  É o resultado possível dentro de um espaço amostral. 
 
 
Evento A → {sair número dois}  →  A={2}. 
 
Evento B → {sair número maior que 4} →  B={5,6}. 
 
 
Evento C → {sair número par} →C={2,4,6}. 
 
 
Lançar um dado e 
observar sua face 
 
 
S = {1,2,3,4,5,6}   Evento D → {sair número menor que 2} → D={1}. 
 
O Diagrama de Venn pode representar graficamente o espaço amostral e o evento.  
 
Evento A → {sair número dois}  →  A={2}.                                       Evento C → {sair número par}  →  C={2,4,6}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A área do círculo representa o Evento e a área do retângulo representa todos os elementos de um espaço amostral.  
 
1.2 CÁLCULOS DE PROBABILIDADES 
 
Probabilidade 
 
A probabilidade é dada por: 
S
An
P
)(  
 
Exemplos: 
 
1) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de o resultado ser o número 2? 
 
A  = {2}    
S = {1,2,3,4,5,6}     
→ A = 1    
→ S = 6               
  P(A)  =   1     =   0,1666   ou  16,66%  
                 6 
a probabilidade de o resultado ser o “2” é 
de 1 chance em 6 ou 0,1666 ou 16,66%. 
 
2) No lançamento de uma moeda, qual a probabilidade de o resultado ser Cara? 
 
A = {Ca}    
S = {Ca,Co}     
→   A = 1    
→   S = 2                       
P(A)  =   1     =   0,50   ou  50% 
               2 
 
3) Uma urna tem 10 bolas, sendo 8 pretas e 2 brancas. Pegando‐se uma bola, qual a probabilidade de ela ser branca? 
 
A = {B,B}    
S = {P,P,P,P,P,P,P,P,B,B}             
→        A =  2    
→        S = 10                      
P(A)  =   2     =   0,20   ou  20% 
             10 
 
4)  Em  um  lote  de  200  peças,  25  são  defeituosas  e  175  são  boas.  Se  um  Analista  Industrial  retira  uma  peça,  qual  a 
probabilidade de essa peça ser defeituosa?   
 
A = {D,D,D,D,D...}    
S = {B,B,B,B,B,B...D,D}                
→        A =  25   
→        S = 200                       
P(A)  =   25    =   0125 ou 12,5% 
         200 
 
5) Das 120 notas fiscais emitidas por uma empresa, 16 tem erros de impressão. Se um Auditor seleciona uma nota fiscal, 
qual a probabilidade de essa nota apresentar erros de impressão?   
 
A = {NE, NE, NE ...}    
S = {NB,NB, NB...NE,NE}    
→        A = 16   
→        S = 120                       
P(A)  =   16    =   0125 ou 12,5% 
         120 
 
NE = Nota com erro  ; NB = Nota boa 
S = {1,2,3,4,5,6} 
C = {2,4,6} 
 
C 1 
3 
4  5 6 
 
 
S 
 2  
Espaço  
amostral 
Evento
S = {1,2,3,4,5,6} 
A = {2} 
 
A 1    
3 4 
  5  
6 
 
 
 
S 
 2   
Espaço  
amostral 
Evento 
nº elementos no evento A 
Espaço amostral 
 
 - 9 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
Observe as cartas de um baralho de 52 cartas, abaixo: 
      Naipes                                                                                                                                          ValeteDama       Reis         Ás 
(Paus) 
(preta) 
13 cartas   
(ouros) 
(vermelha) 
13 cartas   
(Espadas) 
(preta) 
13 cartas   
(Copas)   
(vermelha)  
13 cartas    
Quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de o resultado: 
 
Sair um Ás de Ouros:     temos 1 Ás de Ouros no baralho, então: 
 
 
 
 
 
 
A  = {Ás}    
S= {52 cartas}    
→  A =  1    
→  S = 52       
  P(A) =  1   =  0,019  
              52 
Sair um Reis:  temos 4 Reis no baralho. Então:  
A  = {R,R,R,R}   
S= {52 cartas}    
→  A =  4    
→  S = 52       
P(A) =   4   =  0,076   
             52 
 
Interpretação de valores probabilísticos 
 
As probabilidade são sempre são atribuídos em uma escala de 0 a 1 (ou 0% a 100%) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eventos complementares 
 
  É a probabilidade com os resultados que não fazem parte do evento (A). 
 
Eventualmente  queremos  saber  a  probabilidade  de  um  evento  não  ocorrer.  Portanto,  é  o  evento  formado  pelos  resultados  que  não 
pertencem ao evento A. Sendo P(A ) a probabilidade de que ele não ocorra e P(A) a probabilidade que ocorra, temos: 
 
Probabilidade com Evento complementar 
P(A )   =   1 – P(A) 
  
 
Exemplo. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de o resultado: 
 
Pela probabilidade (A) 
ser o número 2 
 
Probabilidade com evento complementar 
não ser o número 2 
 
A={2}    
S={1,2,3,4,5,6}     
→ A = 1   
→ S = 6 
P(A)  = 1 =  0,1666 
                   6 
            P(A )  = 1 – P(A) 
                  = 1 – 0,1666     →   0,8333 ou 83,33% 
 
O “Diagrama de Venn” abaixo ilustra a relação entre o espaço amostral, o evento A e seu complemento A : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figuras 
Números que não podem 
representar probabilidade: 
 10/5   120%   ‐0,4 
 2 
 
A 1
3
4
5
6
 
 
S
P(A) = 16,66%  P(A ) = 83,33% 
Probabilidade (A)  Probabilidade  
Complementar 
A 
Probabilidade do 
evento não ocorrer Probabilidade evento (A)  
A equação 1‐ P(A ) fundamenta‐se na 
interpretação dos valores probabilísticos: 
 0                                                                       1
  0,1666                     A =  0,8333
0                                                           0,5  (50%)                                            1 (100%) 
 
Chance 50‐50
Impossível             pouco provável                                             provável                        Certo                 
 - 10 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
Eventos mutuamente exclusivos 
 
  É a probabilidade com eventos que não ocorrem ao mesmo tempo. Ou ocorre A ou ocorre B (A ou B). 
A ocorrência de um evento impossibilita a ocorrência do outro. 
 
Dois eventos são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um evento exclui a ocorrência de outro. É impossível ocorrer os eventos A 
e  B  ao mesmo  tempo.  Então,  o  termo  “ou”  indicará  “adição  de  probabilidades”.  Para  encontrar  a  probabilidade  de  um  evento  ou  outro 
ocorrer, adicionamos as probabilidades de cada evento: P(A ou B) = P(A) + P(B). 
 
 
Exemplo 1. Ao lançar um dado, a probabilidade de se tirar o 2 ou 5 é: 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2. Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, a 
probabilidade de sair um Rei ou uma Dama é:     
 
 
A = {R,R,R,R }    
B = {D,D,D,D} 
S = {52 cartas 
 
→    A = 4    
→    B = 4 
→    S = 52    
  P(AouB) =  4  +  4   = 8  =  0,1538 
               52    52    52             
 
Exemplo 3. Numa urna estão 10 bolas,  sendo 2 pretas 
(P), 5 amarelas (A) e 3 verdes (V). Pegando‐se uma bola, 
qual a probabilidade de ela ser preta ou verde? 
 
A = {P,P }   
B= {V,V,V} 
S = {10} 
 
→    A = 2   
→    B = 3 
→    S = 10    
  P(AouB) =  2  +  3   = 5  =  0,5 
              10    10    10             
  
Eventos NÃO mutuamente exclusivos 
 
  É a probabilidade com Eventos que podem ocorrer ao mesmo tempo. Ou ocorre A ou B ou AMBOS (A e B). 
A ocorrência de um NÃO impossibilita a ocorrência do outro. 
 
 
Dois eventos NÂO são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um evento não exclui a ocorrência de outro. É possível ocorrer os 
eventos A e B ao mesmo tempo. O termo “ou”, indicará “adição” e “e” indicará “ambos”  
 
Exemplo 1   Ao lançar um dado, a probabilidade de obter um número ímpar ou menor que 3 é:  
 
Os eventos A e B não são mutuamente exclusivos, pois “1” ocorre em A e B (ambos). 
 
Se aplicarmos P(AouB) = P(A) + P(B) teremos: 3/6  +  2/6  =  5/6. Observe no diagrama que 
este  resultado  está  incorreto,  pois  P(AouB)  =  4/6.  Este  erro  foi  provocado  pela  dupla 
contagem de “1”.                                                                                      
 
Neste caso, ajustaremos a regra da soma para evitar a dupla contagem. A equação será: 
 
P(AouB) = P(A) + P(B) – P(A e B) 
 
             Então, a probabilidade de lançar um número ímpar ou menor que 3 será: 
 
A = {1,3,5}    
B = {1,2} 
A e B = {1} 
S = {1,2,3,4,5,6}        
→    A = 3    
→    B = 2 
→    A e B = 1 
→    S = 6                 
   
P(AouB) =  3  +  2   ‐  1  =  4   = 0,6666 
                      6      6      6      6           
 
Exemplo 2 Numa pesquisa sobre a preferência de dois jornais, consultamos 470 pessoas, sendo que 250 lêem o jornal A, 180 
lêem o jornal B e 60 lêem os jornais A e B. Escolhendo uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de que seja:  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Leitor dos jornais A ou B? 
 
A = {250}             
B = {180} 
A e B = {60} 
S = {470} 
 
 
  P(A ou B) = P(A) +  P(B) – P(A e B)                     
  250  +  180  –  60  =   370  = 0,7872 
  470      470      470      470 
 
 
A = {2}    
B = {5} 
S = {1,2,3,4,5,6}   
→   A = 1   
→   B = 1 
→   S = 6     
P(A ou B) =   1  + 1   =   2   =   0,3333  
                       6     6        6 
 
“ou” indica Adição de probabilidades.  P(A ou B) = P(A) + P(B) 
 B 
  60 
Jornal  Jornal  A 
A e B 
 
 
A 
   1 
   3 
   4 
   6 
S B 
5 
ou 2 
4 
6 
 
S B 
5  2 
A e B (Ambos) 
1 
Menor que 3 ímpar 
3 A 
 - 11 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
PROBABILIDADE CONDICIONAL E MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES 
 
Probabilidade com Eventos dependentes 
 
  É a probabilidade do Evento B ocorrer, dado que o evento A já tenha ocorrido. 
 
 
 Diz‐se  probabilidade  condicional  quando  a  ocorrência  de  um  evento  está  condicionada  à  ocorrência  do  outro. 
Portanto, os eventos são dependentes. A probabilidade de um é alterada pela existência do outro. 
 
A probabilidade condicional do Evento B, dado que A ocorreu é denotada por: 
 
 
 
 
Ao calcular P(B|A) tudo se passa como se P(A) fosse o novo espaço amostral “reduzido” dentro do qual, queremos 
calcular a probabilidade de B. Não utilizamos o espaço amostral original. 
P(B|A) = P(A e B)
                    P(A)      →   espaço amostral de A, “reduzido” 
 
Exemplo 1. Ao  lançar um dado, observou‐se um número maior que 2  (evento A ocorreu). Qual a probabilidade de esse 
número ser o “5” (evento B)?Espaço amostral original S = {1,2,3,4,5,6} 
O evento A ocorreu e queremos saber o B (dentro de A): 
 
       A = {3,  4,  5,  6}           
 
 
P(B|A) será a probabilidade de ocorrer o número 5 no novo espaço 
amostral reduzido de A. Então: 
 
Observe que não usamos o espaço amostral original S.  
A e B  =  {5}     →    1 
A = {3,4,5,6}    →    4 
 P(B|A) = P(A e B)  →  1  =  0,25 
                    P(A)            4  
 
EXEMPLO 2 Ao  lançar um dado, observou‐se um número maior que 1  (evento A ocorreu). Qual é a probabilidade de esse 
número ser ímpar (Evento B)?  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Espaço amostral original S = {1,2,3,4,5,6} 
O evento A ocorreu e queremos saber o B (dentro de A): 
 
   A = {2,  3,   4,  5,  6}           
 
 
P(B|A) será a probabilidade de ocorrer número ímpar no novo espaço 
amostral reduzido de A. Então: 
 
Observe que não usamos o espaço amostral original S  
A e B  =  {3,5}   →   2 
A = {2,3,4,5,6}  →   5 
 P(B|A) = P(A e B)  →  2  =  0,40 
                    P(A)            5  
 
EXEMPLO 3   Duas cartas  são  selecionadas em  sequência em um baralho. Qual a probabilidade de que a 2ª 
carta seja uma dama, dado que a 1ª seja um rei. (assuma que o rei está sem reposição).  
 
Solução. Em razão de a primeira carta ser um rei e não ser a resposta, 
o baralho restante tem 51 cartas, 4 das quais são dama. Então: 
                P (B|A)   =   4   =  0,078                    
                                     51                                                  
 
EXEMPLO 4 Cinco cartas são selecionadas em sequência em um baralho. Qual a probabilidade de que a 5ª carta seja uma 
dama. Dado que a 1ª = rei; 2ª = dama; 3ª = 8 ; 4ª = Ás. (assuma que não há reposição).  
 
Solução. Em  razão de a 1ª =  rei; 2ª = dama; 3ª = 8  ; 4ª = Ás, o baralho 
restante tem 48 (52‐4) cartas, 3 das quais são dama. Então: 
                P (E|A,B,C,D)   =   3   =  0,062   
                                               48                                                  
        Note que o espaço amostral original foi reduzido 
 
 
 
Maior que 1  ímpar  
A 
Novo espaço 
amostral 
4 
6 
1
2 
Maior que 2  Ser o 5  
A 
Novo espaço 
amostral  6 
5 
1
2 
ocorreu (lê‐se “probabilidade de B, dado que A ocorreu”) 
4  3   B = {5} 
3 
5
 
B = {3, 5} 
 
B 
 
B 
 - 12 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
EXEMPLO 5 Numa pesquisa sobre a preferência de dois jornais, consultamos 470 pessoas e o resultado foi o  seguinte: 250 
lêem o jornal A, 180 lêem o jornal B, 60 lêem os jornais A e B. Escolhendo uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de:  
 
   a) Um leitor do jornal A, também ser leitor do B? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O  evento  A  ocorreu  e  queremos  saber  o  B.  Então,  denotamos 
P(B|A). Dentre os  leitores do Jornal A, devemos destacar os que 
lêem B;  logo, o espaço amostral desse evento é A (190+60=250). 
Então, a probabilidade é:  
A e B = {60}  →   60 
A= {190+60} → 250 
 P(B|A)=P(A e B) → 60  = 0,24 
                    P(A)       250  
   b) Um leitor do jornal B, também ser leitor do A? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O  evento  B  ocorreu  e  queremos  saber  o  A.  Então,  denotamos 
P(A|B).  Dentre  os  leitores  do  Jornal  B,  devemos  destacar  os  que 
lêem  A;  logo,  o  espaço  amostral  desse  evento  é  B  (120+60=180). 
Então, a probabilidade é:  
 
 
 
EXEMPLO 6. O quadro abaixo mostra os resultados de um estudo no qual os pesquisadores examinaram o QI de uma criança 
e a presença de um gene específico nela. 
  Gene 
presente 
 Gene não 
presente   
QI alto 
QI normal 
33 
39 
19 
11 
52 
50 
  72  30  102 
A probabilidade de que a criança tenha um QI alto (Evento B), dado que 
a criança tenha o gene (Evento A) é? 
 
Solução. Há 72  crianças que  têm o gene. Então, o espaço amostral  consiste 
dessas 72 crianças. Dessas, 33 tem QI alto. Então: 
 
                  P (B|A)   =   33   =   0,458  
                 72 
 
EXEMPLO 7 Em um lote de 12 peças, 8 são de “qualidade” e 4 são “defeituosas”. Ao selecionar duas peças em sequência, sem 
reposição, qual a probabilidade de:  
 
a 2ª peça ser “defeituosa”, dado que a 1ª é “defeituosa”. 
 
Solução.  Em  razão de  a 1ª peça  ser defeituosa, o  lote  restante  tem 11 
peças, 3 das quais são defeituosas. Então: 
                P (B|A)   =   3   =  0,2727                    
                                     11                                                
 
a 2ª peça ser “defeituosa”, dado que a 1ª é de “qualidade”. 
 
Solução. Em razão de a 1ª peça ser de qualidade, o lote restante tem 11 
peças, 4 das quais são defeituosas. Então: 
                P (B|A)   =   4   =  0,3636                    
                                      11                                               
 
a 2ª peça ser de “qualidade”, dado que a 1ª é “defeituosa”. 
 
Solução.  Em  razão de  a 1ª peça  ser defeituosa, o  lote  restante  tem 11 
peças, 8 das quais são  de qualidade 
                P (B|A)   =   8   =  0,7272                    
                                      11                                               
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jornal  Jornal 
 
B Jornal 
Jornal  
A 
190 
120 
  60 Novo espaço 
amostral  120 
 
B 
Novo espaço 
amostral   60 190
 
A 
 - 13 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
Multiplicação de probabilidade com eventos dependentes ...ache P(A e B) , dado P(B|A) e P(A) 
 
Uma consequência matemática importante da definição de probabilidade condicional é a seguinte: 
P(B|A) = P(A e B)  
                    P(A)         
          se  quero achar:                 P(B|A) =      ?                          então → 
                P(A e B)                                          P(A)                                             
P(A e B)  =  P(A)  x   P(B|A) 
Isto é, a probabilidade dos eventos (A e B) é o produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro, dado o primeiro. 
 
EXEMPLO 1 Duas cartas são selecionadas em sequência em um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de 
selecionar um Rei e uma Dama? (não há reposição).  
 A probabilidade de a 1ª carta ser um Rei é  4/52.  A 
2ª  carta  ser  uma  Dama  é  4/51,  pois  o  baralho 
restante tem 51 cartas, 4 das quais são dama.  
P(A e B) =   ? 
P(A) =   4/52 
P(B|A) =  4/51 
    P(A e B)  =  P(A)  x  P(B|A) 
                        4     x     4      →       16     =  0,006  
                        52         51              2652 
 
EXEMPLO 2 Em um lote de 12 peças, 8 são de “qualidade” e 4 são “defeituosas”. Sendo retiradas duas peças em sequência, 
qual a probabilidade de que: (não há reposição) 
 
a) Ambas sejam “defeituosas”  b) Ambas sejam de “qualidade” 
P(A e B)  =  ? 
P(A) =    4/12 
P(B|A) =   3/11 
4   x   3     =   0,090 
                           12     11 
P(A e B)  =  ? 
P(A) =   8/12 
P(B|A) =  7/11 
           
               8   x   7    =   0,4242  
              12      11                      
A probabilidade de a 1ª peça ser defeituosa é 4/12 e a 2ª é 3/11, pois o 
lote restante tem 11 peças, 3 das quais são defeituosas. 
A probabilidade de a 1ª peça ser de qualidadeé 8/12 e a 2ª   é 7/11, 
pois o lote restante tem 11 peças, 7 das quais são de qualidade.      
 
EXEMPLO 3 Uma urna contém 7 bolas brancas (B) e 3 pretas (P). Extraindo‐se três bolas em sequência, qual a probabilidade 
de que: (não há reposição). 
 
a) As duas primeiras sejam brancas e a terceira seja preta  (ou seja, BBP) 
 
A probabilidade de a 1ª bola  ser branca é  7/10 e a 2ª é    6/9. A  
probabilidade de a 3ª bola  ser preta é  3/8, pois a urna  restante 
tem 8 peças, 3 das quais são pretas. 
P(A) =  7/10 
P(B|A) =  6/9  
P(C|B) = 3/8 
 
                    7   x   6    x   3    =   0,175 
                 10       9         8              
 
b) Duas sejam brancas e uma seja preta  (ou seja: BBP, BPB ou PBB) = 3[BBP] 
 
O  evento  sair  “duas  brancas  e  uma  preta”  pode  ocorrer  de  três  maneiras  que 
diferem apenas pela ordem de aparecimento das bolas:  (BBP, BPB, PBB). Logo, a 
probabilidade será a soma dessas maneiras. Então, basta calcular a probabilidade de 
uma dessas maneiras (por exemplo, a primeira) e multiplicar por 3. Então: 3(BBP). 
P(A) =   7/10 
P(B|A) =  6/9  
P(C|B) = 3/8 



8
3x
9
6x
10
73 =  0,525 
 
c) Pelo menos duas sejam brancas (ou seja: 3[BBP]   +   [BBB]) 
 2 brancas 3 brancas 
 
“Pelo menos  duas  brancas“  é  a mesma  coisa  que  “no 
mínimo  duas  brancas”,  ou  seja,  duas  ou  três  brancas. 
Então, calculamos duas brancas + três brancas. 
3[BBP] 
P(A) =  7/10 
P(B|A) =  6/9  
P(C|B) = 3/8 
[BBB] 
P(A) =   7/10 
P(B|A) =  6/9  
P(C|B) = 5/8 
 



8
3x
9
6x
10
73 + 


8
5x
9
6x
10
7
=  0,8166 
 
d) No máximo uma seja branca (ou seja: [PPP]   +   3[PPB]) 
 0 branca 1 branca 
 
No  máximo  uma  branca  é  a  mesma  coisa  que  “ou 
nenhuma  branca  ou  uma  branca”.  Então,  calculamos 
nenhuma branca  (todas pretas) + uma branca. 
[PPP] 
P(A) =     3/10 
P(B|A) =  2/9  
P(C|B) = 1/8 
3[PPB] 
P(A) =     3/10 
P(B|A) =  2/9  
P(C|B) =  7/8 
 



8
1x
9
2x
10
3  +  


8
7x
9
2x
10
33 = 0,1833 
 
e) Pelo menos uma seja preta. (ou seja: 3[PBB]   +   3[PPB]   +   [PPP]) 
                    1 preta 2 pretas 3 pretas                                                           
3[PBB] 
P(A) =    3/10 
P(B|A) =  7/9  
P(C|B) = 6/8 
3[PPB] 
P(A) =     3/10 
P(B|A) =  2/9  
P(C|B) = 7/8 
[PPP] 
P(A) =     3/10 
P(B|A) =  2/9  
P(C|B) =  1/8 



8
6x
9
7x
10
33 +  


8
7x
9
2x
10
33 +  


8
1x
9
2x
10
3  =  0,7083 
 
MÉTODO ALTERNATIVO:   
É mais prático usar o  
evento complementar: 
1 – BBB (nenhuma preta) 
[BBB] 
P(A) =    7/10 
P(B|A) =  6/9  
P(C|B) = 5/8 



8
5x
9
6x
10
71  = 0,7083 
f) Todas sejam da mesma cor: 
[PPP]+[BBB] = 0,30 
 
 - 14 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
Multiplicação de Probabilidade com Eventos independentes 
 
  É quando a ocorrência do Evento A não afeta a probabilidade da ocorrência do B. Não existe dependência. 
 A e B podem ocorrer simultaneamente (ao mesmo tempo). São independentes. 
 
 A regra da multiplicação é usada para achar P(A e B) para eventos  independentes.   Aqui associaremos a palavra “e” 
com “multiplicação”. O termo chave usado é “simultâneo”.  A equação é :  P(A e B) = P(A) x P(B). Existe reposição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1. Ao lançar dois dados simultaneamente, qual a 
probabilidade de: 
 
Obter o número 2 e ímpar ? 
 
Pelo Diagrama de árvore: 
 
(2,1), (2,3), (2,5) 
 
Então, a probabilidade é: 
 
3   = 8,33% 
                 36 
Se aplicarmos a regra da multiplicação, temos: 
 
A={2}    
B={1,3,5} 
S={1,2,3,4,5,6}   
→   A = 1    
→   B = 3 
→   S = 6       
         P(A e B) = P(A) x P(B) 
               1 x  3  =  3  = 8,33% 
                 6     6     36 
 
Obter um número par e ímpar ? 
 
Pelo Diagrama de árvore 
 
(2,1), (2,3), (2,5) 
(4,1), (4,3), (4,5) 
(6,1), (6,3), (6,5) 
Então, a probabilidade é: 
 
             9   = 25% 
            36 
 
Aplicando a regra da multiplicação, temos: 
 
A={2,4,6}    
B={1,3,5} 
S={1,2,3,4,5,6}       
→   A = 3  
→   B = 3
→   S = 6   
P(A e B) = P(A)  x   P(B) 
                    3  x   3  =  9  = 25% 
                    6      6      36 
 
Esta  regra  pode  ser  estendida  para  qualquer  número  de  eventos 
independentes: P (A e B e C) = P(A) x P(B) x P(C)... 
 
O resultado do evento B independe do resultado de A. 
 “São independentes” 
 
 
Exemplo 2. Cirurgias de microfraturas no joelho têm 75% de chance de Sucesso em pacientes com joelhos 
degenerativos (25% é de fracasso). A cirurgia é realizada em 3 pacientes. Calcule a probabilidade de que: 
 
Nota: A probabilidade de que cada cirurgia seja um sucesso é de 0,75. A chance de um sucesso para uma cirurgia é 
independente das chances para as outras cirurgias. Portanto, os eventos são independentes. 
 
a) As três cirurgias sejam um sucesso. ou seja:[SSS] 
  
[SSS] 
P(A) =  0,75 
P(B) =  0,75  
P(C) =  0,75 
P (A e B e C) = P(A) x P(B) x P(C) 
 
0,75 x 0,75 x 0,75 = 0,4218  
 
b) As três cirurgias sejam um fracasso. ou seja:[FFF] 
  
[FFF]
P(A) =  0,25 
P(B) =  0,25  
P(C) =  0,25 
P (A e B e C) = P(A) x P(B) x P(C) 
 
0,25 x 0,25 x 0,25 = 0,0156  
 
 
c) Duas cirurgias sejam um sucesso  (ou seja: SSF, SFS, FSS) = 3[SSF] 
 
O evento “Duas cirurgias” pode ocorrer de três maneiras que diferem apenas pela 
ordem  dos  resultados  das  cirurgias:  (SSF,  SFS,  FSS).  Logo,  a  probabilidade  será  a 
soma  dessas  maneiras.  Então,  basta  calcular  a  probabilidade  de  uma  dessas 
maneiras (por exemplo, a primeira) e multiplicar por 3. Então: 3(SSF). 
P(A) = 0,75 
P(B) = 0,75  
P(C) = 0,25 
3 * (0,75*0,75*0,25) =  0,4218 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
5
1
2
3
4
5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
6
1
2
3
4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
5
1
2
3
4
5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
5
1
23
4
5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
6
1
2
3
4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
6
1
2
3
4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
 S =  {36} Evento A     e     Evento B 
 
 
 - 15 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É possível criar um modelo 
teórico que descreva como se 
espera que o experimento se 
comporte? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
5
1
2
3
4
5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
6
1
2
3
4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
5
1
2
3
4
5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
5
1
2
3
4
5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
6
1
2
3
4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
6
1
2
3
4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
  2        3       4        5        6       7       8       9       10     11      12
 
Soma dos dados 
  6/36   
  5/36     
  4/36 
 
  3/36    
  2/36   
  1/36
 - 16 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES 
 
  Uma variável aleatória “X” representa um valor numérico associado a cada resultado de um 
experimento de probabilidade. 
 
Exemplo 1. A tabela e o gráfico abaixo representam um modelo de probabilidade para a soma de dois dados 
lançados simultaneamente: 
 
 
 
 
 
 
Soma dos 
dados “X” 
f Probabilidade “P(x)” 
2 1 1/36 
3 2 2/36 
4 3 3/36 
5 4 4/36 
6 5 5/36 
7 6 6/36 
8 5 5/36 
9 4 4/36 
10 3 3/36 
11 2 2/36 
12 1 1/36 
- =36 =1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas e comentários 
 
A  palavra  “aleatório”  indica  que  “X”  é  determinado  pelo  acaso.  A  variável  aleatória  é  uma  regra  que  associa  um  valor 
numérico a cada resultado experimental possível.  
 
A  distribuição  de  probabilidades  de  uma  variável  aleatória  descreve  como  as  probabilidades  estão  distribuídas  sobre  os 
valores da variável aleatória. Para uma variável “X”, a distribuição de probabilidade é definida por uma função probabilidade, 
denotada por f(x). A função probabilidade fornece a probabilidade correspondente a cada um dos valores da variável aleatória. 
 
A  principal  vantagem  de  definir  uma  variável  aleatória  “X”  e  sua  distribuição  de  probabilidade  é  que,  uma  vez  que  a 
distribuição seja conhecida, torna‐se relativamente fácil determinar a probabilidade de uma série de eventos que podem ser 
do interesse de um tomador de decisões. 
 
 
É a lista de cada valor de 
uma variável aleatória “X” 
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
5
1
2
3
4
5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
6
1
2
3
4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
5
1
2
3
4
5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
5
1
2
3
4
5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
6
1
2
3
4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
6
1
2
3
4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
   2        3       4        5        6       7       8       9       10     11      12 
 
Soma dos dados 
  6/36   
  5/36     
  4/36 
   3/36    
  2/36   
  1/36 
Representação 
gráfica da 
distribuição 
Distribuição de
probabilidades 
Variáveis aleatórias(X)
Valor numérico de cada 
experimento  frequências
 - 17 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
Exemplo 2. Um projeto de ampliação da capacidade produtiva da empresa ABC divide-se em duas etapas 
seqüenciais: etapa 1 (projeto – em 2, 3 ou 4 meses) e etapa 2 (construção – em 6, 7 ou 8 meses). 
 
Definindo  a  variável  aleatória  “X”  como  o  prazo  para 
conclusão do projeto e, usando a Regra da Adição com as 
probabilidades  no  diagrama  de  árvore,  você  poderá 
determinar a probabilidade de ocorrência dos meses para 
conclusão do projeto. Então, poderá usar essa informação 
para estabelecer as distribuições de probabilidades: 
 
Conclusão do projeto 
(em meses) “X” 
f Probabilidade “P(x)” 
8 1 1/9 = 0,11 
9 2 2/9 = 0,22 
10 3 3/9 = 0,33 
11 2 2/9 = 0,22 
12 1 1/9 = 0,11 
- =9 =1 
 
 
 
 
 
Assim, podemos responder rapidamente alguns questionamentos: 
Qual a probabilidadede o projeto ser concluído em 8 meses? R.: 11% 
Qual a probabilidade de o projeto ser concluído em 9 meses? R.: 22% 
Qual a probabilidade de o projeto ser concluído em 10 meses?  R.: 33% 
Qual a probabilidade de o projeto ser concluído em 10 ou 11 meses? R.: 55% 
Qual a probabilidade de o projeto ser concluído entre 9 e 11 meses? R.: 77% 
 
 
 
 
 
Exemplo 3. Uma pesquisa entrevistou 200 casas de um bairro sobre quantas televisões possuem. Os dados mostram 
que 3 casas não possuem televisão, 38 casas possuem 1 televisão, 95 casas possuem 2 televisões, 52 casas possuem 3 
televisões e 12 casas possuem 4 televisões. 
 
Definimos a variável aleatória de interesse como “X” o número de televisões. A partir dos dados, sabemos que X é uma variável 
aleatória que pode assumir 0, 1, 2, 3, ou 4. Temos, então, a distribuição de probabilidades e o gráfico abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, podemos responder rapidamente alguns questionamentos: 
Ao selecionar aleatoriamente uma casa, qual a probabilidade de ela não possuir televisão? R.: 1,5% 
Ao selecionar aleatoriamente uma casa, qual a probabilidade de ela possuir 1 televisão? R.: 19% 
Ao selecionar aleatoriamente uma casa, qual a probabilidade de ela possuir 2 televisões? R.: 47,5% 
Ao selecionar aleatoriamente uma casa, qual a probabilidade de ela possuir 2 ou 3 televisões? R.: 73,5% 
Ao selecionar aleatoriamente uma casa, qual a probabilidade de ela possuir televisão? R.: 98,5% 
 
 
Nº de 
televisões “X” 
f 
(casas) 
Probabilidade 
“P(x)” 
0 3 3/200 = 0,015 
1 38 38/200 = 0,190 
2 95 95/200 = 0,475 
3 52 52/200 = 0,260 
4 12 12/200 = 0,060 
- =200 =1 
0.11
0.22
0.33
0.22
0.11
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Pr
ob
ab
ili
da
de
8 9 10 11 12
meses
Prazo para conclusão do projeto
0.015
0.19
0.475
0.26
0.06
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Pr
ob
ab
ili
da
de
0 1 2 3 4
Número de televisões
Casas com televisões em um bairro
 - 18 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
5
1
2
3
4
5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
6
1
2
3
4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
5
1
2
3
4
5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
5
1
2
3
4
5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
6
1
2
3
4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
6
1
2
3
4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
VALOR ESPERADO  E(X) 
 
  O Valor esperado de variáveis aleatórias “X” é um valor que você esperaria acontecer em vários testes. 
 
Podemos considerar o Valor esperado no sentido de que é o valor médio que esperaríamos se o experimento fosse feito diversas vezes. 
Então,  podemos  dizer  que  o  conceito  de  Valor  esperado  aplicado  em  uma  variável  aleatória  é  equivalente  à Média  ponderada  dos 
possíveis  valores  que  “X” pode  receber, onde os  pesos  são as probabilidades  associadas.    É  semelhante  ao  cálculo da Média de uma 
Distribuição de frequência. Obtemos, então, a seguinte fórmula: 
 
EQUAÇÃO DO VALOR ESPERADO 
 
 
 
 
 
Cada valor de X é multiplicado por sua probabilidade e os produtos são adicionados. O Valor esperado, representado por 
E(X), também é chamado de Média de uma Variável Aleatória, Esperança matemática, Esperança ou Expectância. 
E (X) =   X . P(x) 
 
Exemplo 1. Um projeto de ampliação da capacidade produtiva da empresa ABC divide-se em duas etapas 
seqüenciais: etapa 1 (projeto – em 2, 3 ou 4 meses) e etapa 2 (construção – em 6, 7 ou 8 meses). Qual o prazo 
esperado para conclusão do projeto? 
 
Conclusão do projeto 
(em meses) X 
P(x) X . P(x) 
8 0,11 0,88 
9 0,22 1,98 
10 0,33 3,30 
11 0,22 2,42 
12 0,11 1,32 
- =1  X.P(x) = 10 
 
Valor esperado E(X) 
 
Interpretação: Espera‐se que o projeto seja concluído em 10 meses 
 
NOTA: Posso fazer também da seguinte forma: 
E(X) = 8(0,11) +  9(0,22) + 10(0,33) + 11(0,22) + 12(0,11) = 10 meses 
 
Exemplo 2. A tabela abaixo representa um modelo de probabilidade para a soma de dois dados lançados 
simultaneamente. Qual o valor esperado para a soma dos dados? 
3 
Soma dos 
dados “X” 
Probabilidade 
“P(x)” 
X . P(x) 
2 0,0278 0,0556 
3 0,0556 0,1667 
4 0,0833 0,3333 
5 0,1111 0,5556 
6 0,1389 0,8333 
7 0,1667 1,1667 
8 0,1389 1,1111 
9 0,1111 1,0000 
10 0,0833 0,8333 
11 0,0556 0,6111 
12 0,0278 0,3333 
- =1  X.P(x) = 7 
 
 Valor esperado E(X) 
 
Interpretação: Espera‐se que a soma dos dados seja 7. 
 
NOTA: Posso fazer também da seguinte forma: 
E(X) = 2(0,0278) + 3(0,0556) + 4(0,0833) + 5(0,1111) 6(0,1389) + 7(0,1667) + 
8(0,1389) + 9(0,1111) + 10(0,0833) + 11(0,0556) + 12(0,0278)  =  7 
Valor esperado de “X”
Variáveis Aleatórias Probabilidades associadas 
  x                = 
  x                     =
 - 19 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO  
 
  Podemos aplicar os conceitos de Variância e Desvio Padrão para o Valor esperado E (X). 
 
 Embora  o  Valor  esperado  de  uma  distribuição  de  probabilidades  da  variável  aleatória  descreva  um  resultado 
comum, ela não dá informações sobre a maneira que os resultados variam. Para estudar a variação dos resultados, 
você pode usar a variância e o desvio padrão de uma distribuição de probabilidades da variável aleatória. Então: 
 
FÓRMULA DA VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO DO VALOR ESPERADO 
 
VARIÂNCIA 
S2  =    (x  –  EX)2 . P(x) 
DESVIO PADRÃO 
S =  2s   
 
 
 
 
 
Exemplo Um projeto de ampliação da capacidade produtiva da empresa ABC divide-se em duas etapas seqüenciais: 
etapa 1 (projeto – em 2, 3 ou 4 meses) e etapa 2 (construção – em 6, 7 ou 8 meses). Qual o prazo esperado para 
conclusão do projeto, a variância e o desvio padrão? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então, a Variância é: S2  =  1,32                e o Desvio padrão é: S =  2s      →      S =  32,1    →      1,15 meses 
 
 
 
Podemos calcular também, sem montagem de tabela, da seguinte forma: 
S2 =   (x – EX)2.P(x)  →  (8‐10)2. (0,11)   +   (9‐10)2.(0,22)   +   (10‐10)2. (0,33)   +   (11‐10)2. (0,22)   +   (12‐10)2. (0,11)   =   1,32 
S =  32,1    →      1,15 meses 
 
Interpretação do desvio padrão: 
O Desvio padrão indica que a maioria dos valores de dados difere do Valor esperado não mais que 1,15 meses, para mais ou 
para menos. Então, podemos afirmar que os valores esperados estão dentro dos limites de: 
 
 
 
 
 
 
Conclusão do projeto 
(em meses) X 
P(x) X . P(x) (X – EX)2 . P(x) 
8 0,11 0,88 ( 8–10)2 . (0,11) = 0,44 
9 0,22 1,98 ( 9–10)2 . (0,22) = 0,22 
10 0,33 3,30 (10–10)2 . (0,33) = 0 
11 0,22 2,42 (11–10)2 . (0,22) = 0,22 
12 0,11 1,32 (12–10)2 . (0,11) = 0,44 
Total =1 EX = 10  = 1,32 
 Variáveis Aleatórias Valor esperado 
Probabilidades associadas 
Variância 
8 meses 9 meses 10 meses 11 meses 12 meses 
 E(X) 
8,85                                                 11,15
 - 20 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 3 
 
DISTRIBUIÇÕES DE 
PROBABILIDADES 
DISTRIBUIÇÃO UNIFORME 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL 
 - 21 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
DISTRIBUIÇÃO UNIFORME 
 
  É aquela na qual as variáveis aleatórias se espalham uniformemente sobre a faixa de valores possíveis, ou 
seja, todos os valores ocorrem com a mesma probabilidade. 
 
 Representa o análogo continuo dos resultados igualmente prováveis. É usada nas situações em que não há razão para 
atribuir probabilidades diferentes a um conjunto possíveis de valores em um determinado intervalo. 
 A área sob o gráfico de uma distribuição uniforme é igual a 1. O gráfico resulta em uma forma retangular. 
 Há uma  correspondência entre  área e probabilidade.  Se  a probabilidade de  x  assumir  valores num  subintervalo é  a 
mesma para qualquer outro subintervalo de mesmo comprimento, então, esta variável tem distribuição uniforme.  
 A distribuição uniforme, embora apresentada como contínua, pode  também abranger casos discretos. É o caso do 
lançamento de um dado, como mostrado abaixo. 
 
A distribuição de probabilidade do lançamento de um dado, por exemplo, tem distribuição uniforme pois seus 
resultados são igualmente prováveis: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Probabilidade na distribuição uniforme 
 
Para encontrar probabilidades na distribuição uniforme usamos a seguinte equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1. Com base em históricos, o tempo de vôo de Chicago - Nova York pode ter qualquer valor no intervalo de 
120 a 140 minutos. Considerando que cada um dos intervalos de 1 minuto é igualmente provável, determine: 
 
a) A P(x) do avião chegar entre 126 e 131 minutos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P(x) = b – a → 
 D – C 
131 – 126 
140 – 120 
= 0,25 
 
b) A P(x) do avião chegar em 136 minutos ou mais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P(x) = b – a → 
 D – C 
140 – 136 
140 – 120 
= 0,20 
  
O Valor esperado (média) da 
distribuição uniforme é: 
Ex=D + C 
     2 
Ex. O tempo esperado de vôo entre Chicago – Nova York é:  
Ex = 140+120 =  130 minutos. 
                                                       2 
P(x) lançar um dado 
“x”  P(x) 
1  1/6 
2  1/6 
3  1/6 
4  1/6 
5  1/6 
6  1/6 
  =1 ou 100% 
EQUAÇÃO DA PROBABILIDADE UNIFORME ACUMULADA 
 
P(x) = b – a 
 D – C 
P(x), se D ≤ x ≤ C 
0, caso contrário 
Em que: 
 
Área P(x) procurada 
a – menor valor 
b – maior valor 
 
Área do intervalo definido  
C – menor valor 
D – maior valor 
 1 2 3 4 5 6 
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 
Faces do dado
  Pr
ob
ab
ili
da
de
 
 
Probabilidades no 
lançamento de um dado 
DISTRIBUIÇÃO 
UNIFORME 
 1/6 
Área = 1 
Variável aleatória 
Pr
ob
ab
ili
da
de
 
C                                             D 
a          b 
  Gráfico da distribuição uniforme 
Tempo de vôo em minutos 
  126        131 
  120       125      130       135     140 
Pr
ob
ab
ili
da
de
 
Gráfico da distribuição do vôo 
Tempo de vôo em minutos 
 136    140 
  120       125      130       135     140 
Pr
ob
ab
ili
da
de
 
Gráfico da distribuição do vôo 
 - 22 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
DISTRIBUIÇÃO NORMAL  (ABRAHAM DE MOIVRE  1667 ‐ 1754 ) 
 
  É usada para distribuições SIMÉTRICAS e possui diversas aplicações, como calcular as probabilidades de 
PESOS e ALTURAS das pessoas, diâmetro e comprimento de peças em linhas de produção, tempo de vida 
útil de produtos e diversas outras medições de pesquisas científicas. 
 
 Aplicado para distribuições SIMÉTRICAS (Média=Moda=Mediana). Possui como parâmetro a MÉDIA e DESVIO PADRÃO. 
 Também chamada de Curva Normal, Curva de Gauss e Curva em forma de Sino. 
 
Para entender o conceito de uma Distribuição Normal, tomemos como exemplo a distribuição da vida útil de 340 
lâmpadas produzidas pela PHILIPS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe pela Distribuição Normal que o tempo de vida útil das lâmpadas: 
 
 Possui uma elevação em seu centro e pontas que vão tanto para direita quanto para a esquerda; 
 A Média, Mediana e Moda (1000 horas) encontram‐se exatamente no meio da distribuição; 
 A  distribuição  de  valores menores  que  a Média  (700,  800,  900)  e maiores  que  a Média  (1100,  1200,  1300)  é 
simétrica, o que significa que se você dobrá‐la ao meio, suas partes serão como imagens refletidas por um espelho; 
 Como a curva é simétrica em torno da Média, os valores maiores que a média e os valores menores do que a Média 
ocorrem com igual probabilidade; 
 A maioria dos dados é centralizada ao redor da média, de modo que quanto mais longe da média você se mover, 
cada vez menos pontos de dados você vai encontrar em ambos os lados. 
 
Analisando a variabilidade 
 
Analise a  figura abaixo. Veja que a maior parte da vida útil das  lâmpadas produzidas pela PHILIPS varia de 700 
horas  até  1300  horas,  com uma  boa  parte  das  lâmpadas  com  vida  útil  de  900  a  1100  horas.  Pensando  como 
consumidor, você gostaria de se deparar com tamanha variabilidade quando for comprar um pacote de lâmpadas? 
Veja que uma concorrente (OSRAM)  irá tentar fabricar  lâmpadas com vida útil menos variável; a vida útil terá 
uma média de 1000 horas, mas suas  lâmpadas  terão uma vida útil mais consistente, variando de 920 a 1080 
horas, com boa parte das lâmpadas com duração entre 980 e 1020 horas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10
40
70
100
70
40
10
0
20
40
60
80
100
120
Q
ua
nt
id
ad
e
700 800 900 1000 1100 12001300
Horas
Distribuição da vida útil de 340 lâmpadas 
produzidas pela PHILIPS
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curva NORMAL ou
Curva de GAUSS ou 
Curva em forma de SINO 
 
 
 
 
Média      = 
Moda       =       1000 horas 
Mediana  = 
10
40
70
100
70
40
10
0
20
40
60
80
100
120
Q
ua
nt
id
ad
e
700 800 900 1000 1100 1200 1300
Horas
D istribuição da vida  útil de 340 lâmpadas  
produzidas pela OSRAM
PHILIPS 
OSRAM 
PHILIPS 
Maior variação 
700 a 1300 
OSRAM 
Menor variação 
920 a 1080 horas 
 - 23 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
Em uma distribuição Normal, o Desvio padrão tem um significado especial, pois determina a distância da Média 
até um ponto dentro da distribuição, cada um com a mesma distância da Média. No caso abaixo, supomos (por 
fins didáticos) que o Desvio padrão do tempo de vida útil das lâmpadas é s=100 horas.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ENCONTRANDO PROBABILIDADES NA DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
Quando se tem uma variável com distribuição normal pode‐se obter a probabilidade de essa variável assumir um 
valor em determinado intervalo, pela área sob a curva dentro dos limites do intervalo. 
 
Exemplo 1. Seja os tempos de vida útil das lâmpadas produzidas pela PHILIPS, sendo a Média de vida útil das 
lâmpadas de 1000 horas com Desvio padrão de 100 horas, ache a probabilidade de a lâmpada ter vida útil entre 
1000 e 1150 horas, isto é, P(1000 < z < 1150). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PARA ACHAR A PROBABILIDADE, SIGA 2 PASSOS: 
 
1º PASSO. Calcule o número de desvios padrão que o valor “1150” se distancia da média “1000”. Para isto, 
utilizamos a equação abaixo, chamada “escore Z”. 
 
EQUAÇÃO ESCORE Z 
 
s
xz x -  
 
 
 
 Calculando o escore Z, temos: 
 
z = 1150 - 1000 = 1,50 
 100 
 
O resultado indica que 1150 está distante 1,50 desvios 
padrão da média. Use  sempre 2  casas decimais. Veja 
demonstração da área de Z no gráfico acima. 
O escore Z é uma medida que indica o número de desvios padrão de um valor a partir da média.  
10
40
70
100
70
40
10
0
20
40
60
80
100
120
Q
ua
nt
id
ad
e
700 800 900 1000 1100 1200 1300
Horas
 s=100  
68,26%  
95,44%  
99,74%  
 S=100   S=100 
-3S -2S -1S x 1S 2S 3S 
A regra empírica 
Na distribuição normal é possível determinar a posição 
da maioria dos valores, usando as distâncias de 1, 2 ou 3 
Desvios  padrões  da  Média  para  estabelecer  alguns 
marcos.  A  regra  que  lhe  permite  fazer  isso  se  chama 
Regra empírica, que diz o seguinte: 
 
Espera‐se que cerca de 68,26% dos valores encontram‐
se dentro de 1 desvio padrão da média;  
(no exemplo,  240 lâmpadas (70+100+70). 
 
Espera‐se que 95,44% dos valores encontram‐se dentro 
de 2 desvios padrões da média;  
(no exemplo, 320 lâmpadas: 40+70+100+70+40) 
 
Espera‐se que 99,74% dos valores encontram‐se dentro 
de 3 desvios padrões da média;  
(no exemplo, 340 lâmpadas: 10+40+70+100+70+40+10) 
 
Estes  resultados  são  aproximações.  A  regra  empírica 
não pode ser aplicada às distribuições que não possuam 
uma forma de montanha em seu centro. 
 Média 
 Variável aleatória procurada 
 
Desvio padrão 
Escore Z 
Probabilidade procurada
P(1000 < Z  < 1150) 
 700 800 900 1000 1100 1200 1300 
 
Z= 1,50 
 P= 0,4332 
 - 24 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
2º  PASSO.  Com  o  escore  Z  de  “1,50”,  use  a  Tabela  de  Distribuição  Normal  Padrão  para  encontrar  a 
probabilidade, como explicado abaixo: 
 
Na 1ª coluna encontramos “1,5”. Em seguida, encontramos na 1ª linha “0”, que é o último algarismo de “1,50”. Na intersecção 
da linha e coluna encontramos 0,4332, o que indica que a probabilidade P(1000 < z < 1150) = 0,4332 ou 43,32%.  
Interpretação: espera‐se que 43,32% das lâmpadas tenham vida útil entre 1000 e 1150 horas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A área constante na tabela corresponde a área à direita (sinal positivo):  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
motivo da qual desconsideramos o  sinal negativo no  z‐escore nas áreas à esquerda, pois a  curva é  simétrica em  torno da 
Média, ou seja, os valores maiores que a média e os valores menores do que a Média ocorrem com  igual probabilidade.  . A 
tabela não é de distribuição acumulada. Vamos ver alguns exemplos adiante. 
 
 
 
Z  Último dígito         0                        1                        2                        3                        4                       5                        6                        7                       8                       9
TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
-3S -2S -1S 0 1S 2S 3S 
Área = 0,5 
-z +z 
 - 25 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
Exemplo 2. Continuando com os dados do exemplo 1, ache P(900 < z < 1000). 
 
Quando partimos da média  calculamos  apenas um  escore  Z.  Para  lado  esquerdo o  escore  Z  sempre  terá  sinal 
negativo, que não será considerado, pois os dois lados são iguais em termos de probabilidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Interpretação: Espera‐se que 34,13% das lâmpadas tenham vida útil entre 1000 e 1100 horas. 
 
Exemplo 3. Continuando com os dados do exemplo 1, ache P(900 < z < 1050).   
 
Neste caso, calculamos dois escores Z e somamos as probabilidades: 
 
 
 
                                                                                                                                                                                                                                                                  
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Interpretação: Espera‐se que 53,28% das lâmpadas tenham vida útil entre 900 e 1050  horas. 
 
Exemplo 4. Continuando com os dados do exemplo 1, ache P(1050 < z < 1150). 
 
Neste caso, calculamos dois escores Z (de 1000 a 1150; e de 1000 a 1050). Depois subtraímos as probabilidades: 
 
 
 
SUBTRAÇÃO DE PROBABILIDADES 
 
Z1 = 1150 - 1000 = 1,50 
 100 0,4332 
                                                                    ‐‐ 
Z2 = 1050 - 1000 = 0,50 
 100 0,1915    
  Subtração probabilidades =     0,2417 
 
  
 
 
 
 
 
Interpretação: Espera‐se que 24,17%  das lâmpadas tenham vida útil entre 1050 e 1150 horas. 
 
 
 
Exemplo 5. Continuando com os dados do exemplo 1, ache P( z < 850 horas) 
EQUAÇÃO ESCORE Z 
s
xz x -   
 
Calculando, temos: 
 
z = 900 - 1000 = -1,00 *100    
Probabilidade: na tabela temos: 0,3413 
 
*Desconsidere o sinal negativo do escore Z 
ADIÇÃO DE PROBABILIDADES 
 
z1 = 900 - 1000 = - 1,00 
 100 0,3413 
                                                                        + 
z2 = 1050 - 1000 = 0,50 
 100 0,1915    
  Soma de probabilidades =       0,5328 
 Z= -1,00 
Probabilidade procurada 
P(900 < Z < 1000) 
 700 800 900 1000 1100 1200 1300 
P= 0,3413 
Probabilidade procurada
P(900 < Z < 1050) 
P= 0,5328 
 Z2 
 =0,50 
 Z1= -1,00 
P1=0,3413 P2=0,1915 
 700 800 900 1000 1100 1200 1300 
Probabilidade procurada
P(1050 < Z < 1150) 
P= 0,2417 
 700 800 900 1000 1100 1200 1300 
 Z1=1,5 0 
 Z2= 0,50 
PZ2=0,1915 PZ1=0,4332 
 - 26 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
 
Ou  seja, ache a probabilidade de a vida útil da  lâmpada  ser menor que 850 horas. Neste  caso, P1 = 0,5  (meia área). Daí, 
calculamos Z2 e subtraímos as probabilidades: 
 
 
 
SUBTRAÇÃO DE PROBABILIDADES 
 
P1 = (meia área) 
 0,5 
                                                             ‐‐  
Z2 = 850 - 1000 = -1,50 
 100 0,4332    
  Subtração probabilidades   =   0,0668 
                                                                                                                              
 
 
 
 
Interpretação: Espera‐se que 6,68%  das lâmpadas tenham vida útil abaixo de 850 horas. 
 
Exemplo 6. Sabe-se que a Média de vida útil das lâmpadas produzidas pela PHILIPS é de 1000 horas com Desvio 
padrão de 100 horas. O fabricante oferece uma garantia de 800 horas, isto é, trocar as lâmpadas que apresentem 
falhas nesse período ou inferior. Fabrica 15.000 lâmpadas mensalmente. Quantas lâmpadas deverá trocar pelo uso da 
garantia, mensalmente? (adaptado de Morettin, pág 143 e 144) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Interpretação:  Constatamos que 2,28% (0,0228) das lâmpadas não atenderão a garantia. Então o fabricante deverá substituir 
mensalmente: 15.000 x 0,0228 = 342 lâmpadas.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUBTRAÇÃO DE PROBABILIDADES 
 
P1 = (meia área) 
 0,5 
                                                             ‐‐       
Z2 = 800 - 1000 = - 2,00 
 00 0,4772    
  Subtração de probabilidades = 0,0228
 
Probabilidade procurada 
P( Z < 850) 
P= 0,0668 
 Z1= -1,50 
Área = 0,5 
 700 800 900 1000 1100 1200 1300 
PZ2=0,0668 
P1=0,4332 
Probabilidade procurada 
P( Z < 800) 
 700 800 900 1000 1100 1200 1300 
Garantia de 
800 horas 
 - 27 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL  (JAKOB BERNOULLI 1654‐1705) 
 
 É um experimento de probabilidades para os quais os resultados de cada tentativa podem ser reduzidos a dois resultados: SUCESSO ou FRACASSO. 
 
 Sucesso corresponde à probabilidade procurada enquanto que   Fracasso à probabilidade não procurada, ou  seja, o 
evento complementar. A palavra sucesso como usada aqui é arbitrária e não representa, necessariamente, algo bom. 
 A probabilidade Binomial é aplicada para Eventos independentes. 
 
Revisão de FATORIAL (O fatorial é usado na equação binomial, por isso a importância da revisão) 
FATORIAL é um procedimento matemático utilizado para calcular o produto de uma multiplicação cujos 
fatores são números naturais consecutivos, denotado por x!. Exemplos: 
 
 5! = 5.4.3.2.1 = 120 
30! = 30.29.28 . ... .1 
 0! = 1 
 
5! = 5.4.3! = 20 
3! 3! 
 
 5! = 5.4.3! = 5 
3! 4 3! 4 
 
 5! = 5.4.3! = 10 
3! (5-3)! 3! (2)! 
Para calcular 5! use a calculadora na tecla x! .    Procedimento: Introduza 5 x!  = 120 
 
Há várias formas de encontrar probabilidade Binomial. Uma forma é usar um Diagrama de Árvore e a regra de multiplicação. 
Outra forma é usar a equação de probabilidade Binomial, onde usamos Fatorial. Podemos também usar tabelas. 
 
EQUAÇÃO DA PROBABILIDADE BINOMIAL 
 
P(x) = n! . S x . F n - x 
 x! (n - x)! 
 
 
 
 
Nota: p e q foram substituídos por S e F por fins didáticos. 
 
Exemplo 1. Usando um Diagrama de Árvore (evento independente) e a equação da probabilidade Binomial 
 
Cirurgias de microfaturas no joelho têm 75% de chance de sucesso em pacientes com joelhos degenerativos. A 
cirurgia é realizada em 3 pacientes. Encontre a probabilidade de a cirurgia ser um sucesso em 2 pacientes. 
 
Pelo Diagrama de Árvore ou Pela equação Binomial 
 
 
A probabilidade de sucesso em 1 paciente será: 
 
P(x)= 3! . 0,75 1 . 0,25 3 – 1 ≈ 0,141 
 1! (3-1)! 
 Pelo Diagrama será (0,047+0,047+0,047) 
A probabilidade de não ter sucesso será: 
 
P(x)= 3! . 0,75 0 . 0,25 3 – 0 ≈ 0,016 
 0! (3-0)! 
Nota: x0 = 1 
 
 
 
 
1ª 2ª 3ª Resultado Sucessos Probabilidade (ev. indepen) 
 0,75 S (S,S,S) 3 0,75 . 0,75 . 0,75 = 0,422 
 0,75 
0,75 S 0,25 F (S,S,F) 2 0,75 . 0,75 . 0,25 = 0,141 + 
S 
 0,25 S (S,F,S) 2 0,75 . 0,25 . 0,75 = 0,141 + 
 F 
 (S,F,F) 1 0,75 . 0,25 . 0,25 = 0,047 
 
 
F 
 S (F,S,S) 2 0,25 . 0,75 . 0,75 = 0,141 + 
 
0,25 
0,75 
 S F (F,S,F) 1 0,25 . 0,75 . 0,25 = 0,047 
F 
 0,25 S (F,F,S) 1 0,25 . 0,25 . 0,75 = 0,047 
 F 
 (F,F,F) 0 0,25 . 0,25 . 0,25 = 0,016 
 
F 
 
 
P(x) = n! . S x . F n - x 
 x! (n - x)! 
 
n = 3 
x = 2 
S = 0,75 
F = 0,25 (evento complementar) 
 
P(x)= 3! . 0,75 2 . 0,25 3 - 2 
 2! (3-2)! 
 
P(x)= 0,422 
Há três resultados que têm dois sucessos e cada um tem uma probabilidade de 
0,141. Aplicando a Regra da Adição, a probabilidade de a cirurgia ser um sucesso 
com dois pacientes é 0,422. (0,141 + 0,141 + 0,141) 
 Usando a equação Binomial obtemos 
o mesmo resultado pelo método do 
Diagrama de árvore, de 0,422. 
 F = probabilidade de Fracasso 
(evento complementar) 
 
S = probabilidade de Sucesso 
(evento procurado) 
 n tamanho da amostra 
 x nº sucessos na amostra 
 - 28 - 
 
 
Uanderson Rebula de OliveiraProbabilidade
Exemplo 2. Um levantamento estatístico realizado pelo IBGE constatou que a taxa de desemprego na cidade de 
Resende é da ordem de 13%. Ao tomarmos uma amostra de 30 pessoas, com reposição, qual a probabilidade de: 
 
a) 5 estarem desempregados 13% desemprego(Sucesso) 87% emprego(Fracasso) 
b) 28 estarem empregados 
c) 27 estarem empregados 
 
 
 
 
 
 
 
 Para calcular 0,135 use a tecla Xy  ou ^.  Introduza 0,13 Xy  5 = 3,7‐05 que é o mesmo que 0,000037  
 
Exemplo 3. Uma caixa contém 50 bolas, sendo 40 brancas e 10 pretas. Ao tirar 5 bolas, qual probabilidade de saírem: 
 
 
Exemplo 4. Uma moeda é lançada 5 vezes. Qual a probabilidade de obter “3 caras” nessas cinco provas? 
 
 
Exemplo 5. Um dado é lançado 6 vezes. Qual a probabilidade de que a “face 4” apareça 2 vezes? 
 
 
Exemplo 6. Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Qual a probabilidade de o time A ganhar 4 jogos? 
 
* 1/3  o time A pode ganhar, empatar ou perder. Logo, a probabilidade para cada evento é de 1/3 
 
Exemplo 7. Em uma fábrica, 3 em cada 10 peças são defeituosas. Uma remessa a um determinado cliente possui 5 
peças. Determine a probabilidade de que, nessa remessa: 
 
2 estejam defeituosas 
n = 5 (tamanho da amostra) 
x = 2 (nº sucessos da amostra) 
S = 0,30 ( = 3/10 a p peça ser defeituosa) 
F = 0,70 (= 7/10 a p peça ser perfeita) 
 
 P(x) = 5! __ . 0,302 . 0,705–2 ≈ 0,3087 
 2! (5-2)! 
4 estejam perfeitas 
n = 5 (tamanho da amostra) 
x = 4 (nº sucessos da amostra) 
S = 0,70 ( = 7/10 a p peça ser perfeita) 
F = 0,30 (= 3/10 a p peça ser defeituosa) 
 
 P(x) = 5! __ . 0,704 . 0,305–4 ≈ 0,3602 
 4! (5-4)! 
 P(x) = n! . S x . F n - x 
 x! (n - x)! 
a) 5 estarem desempregados 
 
n = 30 
x = 5 
S = 0,13 
F = 0,87 
 
P(x)= 30! . 0,13 5 . 0,87 30 - 5 
 5! (30-5)! 
 
P(x)= 142506 . 0,000037 . 0,0307 
 
P(x) ≈ 0,1627 
 b) 28 estarem empregados 
 
n = 30 
x = 28 
S = 0,87 
F = 0,13 
 
 P(x)= 30! . 0,87 28 . 0,13 30-28 
 28! (30-28)! 
 
 P(x)= 435 . 0,0202 . 0,0169 
 
P(x) ≈ 0,1489 
 c) 27 estarem empregados 
 
n = 30 
x = 27 
S = 0,87 
F = 0,13 
 
 P(x)= 30! . 0,87 27 . 0,13 30-27 
 27! (30-27)! 
 
 P(x)= 4060 . 0,0232 . 0,0021 
 
P(x) ≈ 0,1978 
a) 2 bolas pretas 
n = 5 
x = 2 
S = 0,20 (10/50) 
F = 0,80 (40/50) 
 
 
 
 P = 5! . 0,202 . 0,805–2 ≈ 0,2048 
 2! (5-2)! 
 
 b) 4 bolas brancas 
n = 5 
x = 4 
S = 0,80 (40/50) 
F = 0,20 (10/50) 
 
 
 
 P = 5! . 0,804 . 0,205 –4 ≈ 0,4096 
 4! (5-4)! 
 
n = 5 (tamanho da amostra) 
x = 3 (nº sucessos da amostra) 
S = 0,50 ( = ½ a p de obter cara) 
F = 0,50 (= ½ a p de obter coroa) 
 
 
 P(x) = 5! __ . 0,503 . 0,505–3 ≈ 0,3125 
 3! (5-3)! 
 
n = 6 (tamanho da amostra) 
x = 2 (nº sucessos da amostra) 
S = 0,17 ( = 1/6 a p de obter “4”) 
F = 0,83 (= 5/6 a p de não obter “4”) 
 
 
 P(x) = 6! __ . 0,172 . 0,836–2 ≈ 0,2057 
 2! (6-2)! 
 
n = 6 (tamanho da amostra) 
x = 4 (nº sucessos da amostra) 
S = 0,33 ( = 1/3 a p de ganhar)* 
F = 0,66 (= 2/3 a p de não ganhar) 
 
 
 P(x) = 6! __ . 0,334 . 0,666–4 ≈ 0,0774 
 4! (6-4)! 
 
87% emprego(Sucesso) 13% desemprego(Fracasso) 
Sucesso  é o que se deseja estudar;  
Fracasso é o que não se deseja estudar 
 - 29 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON  (DENIS POISSON 1781‐1840)               (LÊ‐SE POASSÓN) 
 
  É um experimento de probabilidade que calcula o NÚMERO DE OCORRÊNCIAS de um evento em um 
DADO INTERVALO de TEMPO, DISTÂNCIA, ÁREA, VOLUME ou unidade similar. 
 
 O esquema abaixo ajuda a melhor interpretar o experimento de Poisson. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Regras: É aplicada caso os eventos ocorram com uma MÉDIA conhecida e cada evento seja independente. 
 São exemplos: número de consultas a uma base de dados por minuto; número de falhas de um equipamento por hora; 
número de erros de tipografia em um formulário; número de defeitos em um m2 de piso cerâmico; número de buracos 
em um asfalto por km; número de acidentes por mês em uma rodovia etc. 
 
EQUAÇÃO DA PROBABILIDADE DE POISSON 
 
P(x) = μ x * e - μ 
 x ! 
μ = letra grega mi = Média 
 
 
 
Exemplo 1. A Média do número de acidentes por mês na rodovia Barra Mansa-Angra é de 3 acidentes por mês. 
Determine a probabilidade de que, em qualquer mês dado: 
 
a) 4 acidentes ocorram na rodovia 
b) 2 acidentes ocorram na rodovia 
c) Nenhum acidente ocorra na rodovia 
 
 
 Para calcular e ‐ μ use a mesma tecla Xy  ou ^.  Introduza 2,7182 Xy    ‐  3 = 0,0497 
 
Encontre e na calculadora 
Exemplo 2. Supondo que a Média do número de pessoas que acessam um caixa eletrônico de um banco durante 
uma hora é 5. Determine a probabilidade de, no mesmo período, ocorrerem: 
 
a) Menos de 2 acessos ao caixa eletrônico 
 
 
 
a) Menos de 2 acessos ao caixa eletrônico (ou seja nenhum acesso ou um acesso: P0 + P1 ) 
 
Neste caso, calcularemos a probabilidade de P0 e P1. Depois somamos as probabilidades. (Adição de Probabilidades) 
 
Nenhum acesso ao caixa 
 
μ = 5 
e = 2,7182 
x = 0 
 
P0 = 5 
0 . 2,7182 -5 = 0,0067 
 0! 
 
1 acesso ao caixa eletrônico 
 
μ = 5 
e = 2,7182 
x = 1 
 
P1 = 5 
1 . 2,7182 -5 = 0,0337 
 1! 
 
Adição de Probabilidades 
 
 
P(x < 2) = P0 + P1 
 
P = 0,0067 + 0,0337 = 0,0404 
 
 
 
 
 
 
a) 4 acidentes ocorram na rodovia 
 
μ = 3 
e = 2,7182 
x = 4 
 
P(x) = 3 4 . 2,7182 -3 = 0,168 
 4! 
 
 b) 2 acidentes ocorram na rodovia 
 
μ = 3 
e = 2,7182 
x = 2 
 
P(x) = 3 2 . 2,7182 -3 = 0,224 
 2! 
 
 c) Nenhum acidente ocorra na rodovia 
 
μ = 3 
e = 2,7182 
x = 0 
 
P(x) = 3 0 . 2,7182 -3 = 0,0498 
 0! 
 
P(x) = μ x . e - μ 
 x! 
Constante de Euler Venn 2,7182 
 Média do nº de ocorrências (baseada em histórico) 
 
nº de ocorrências procurada 
 x x x x 
← Intervalo de tempo, distância, área ou volume → 
nº de ocorrências 
do evento 
 
1 2 3 4...
 - 30 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL 
 
  É um experimento de probabilidade que calcula o INTERVALO até a PRÓXIMA OCORRÊNCIA EM UM 
PROCESSO DE POISSON em um intervalo de tempo, distância, área, volume ou unidade similar. 
 
 Existe uma relação entre o modelo de Poisson e o Exponencial. A distribuição de Poisson é usada para calcular o número 
de ocorrências em um período; a distribuição Exponencial calcula o intervalo atea próxima ocorrência. Veja abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
Exemplo Poisson  Exemplo Exponencial 
 número de acidentes em uma rodovia por mês; 
 número de acessos a um caixa eletrônico/hora; 
 número de defeitos em uma rodovia por Km. 
 tempo até ocorrer o próximo acidente na rodovia; 
 tempo até ocorrer próximo acesso ao caixa eletrônico; 
 comprimento até o próximo defeito na rodovia. 
 
 É aplicada caso os eventos ocorram com uma MÉDIA conhecida e cada evento seja independente.  
 Como  a  exponencial  é  utilizada  na modelagem  de  tempos  decorridos  entre  dois  eventos,  tem  ampla  aplicação  em 
estudos de confiabilidade na modelagem do tempo até a falha de um equipamento e tempo de vida de materiais. 
 
 
EQUAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL 
Para P > x (obter valor superior) 
 
P = 




 x 
1 
e
*
 
 
Para P ≤ x (Obter valor igual ou inferior) 
 
P = 





x 1 
e1
*
 
 
e = constante de Euller 2,7182 μ = média do intervalo x = variável procurada 
 
Adaptamos a equação de Poisson. O valor 1/µ  da equação exponencial corresponde a média do intervalo entre as ocorrências. Por 
exemplo, se a média de acidentes em uma rodovia é igual a 3 por mês, então o tempo médio entre os acidentes é 1/3 = 0,33 mês 
(ou 10 dias (0,33 x 30 dias). Da mesma maneira, se a média de atendimentos no caixa de uma loja é de 6 clientes/min, então o 
tempo médio entre atendimentos é 1/6  = 0,166 min. (ou 10 segundos (0,1666 x 60seg). 
 
Exemplo 1. O tempo médio que as pessoas acessam um caixa eletrônico de um banco é de 25 minutos. Determine 
a probabilidade de que o próximo acesso a este caixa : Dados: e = 2,7182 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Seja superior a 40 minutos 
 
P >40min, use a equação 1 
 
μ = 25 
x = 40 
 
P = 


 40 
25
1 
e
*
 = 0,2019 
 b) Seja superior a 90 minutos 
 
P > 90min, use a equação 1 
 
μ = 25 
x = 90 
 
P = 


 90 
25
1 
e
*
 = 0,0273 
 
 c) Seja inferior a 10 minutos 
 
P <10min, use a equação2 
 
μ = 25 
x = 10 
 
P = 




10 
25
1 
e1
*
 = 0,3296 
 
1 2 3 4.
 x x x x 
nº de ocorrências do evento (Poisson) 
 ← Intervalo de tempo e distância → 
Intervalo até a próxima ocorrência (Exponencial)
Pr
ob
ab
ili
da
de
 
Tempo em minutos 
0 15 30 45 60 75 90 
 
x 
P(x) = 0,2019 
(próximo acesso ao caixa 
superior a 40 minutos) A  área  sob  o  gráfico  da  distribuição exponencial é igual a 1 e resulta em uma forma 
assimétrica à direita  (positiva),  se estendendo 
de zero até ∞ (infinito).  
Equação 1 Equação 2 
 - 31 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
INTERVALO DE CONFIANÇA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 - 32 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
Intervalos de Confiança 
 
Um intervalo de confiança é uma faixa (ou um intervalo) de valores usada para se estimar o verdadeiro valor de um parâmetro 
populacional, com certa probabilidade. 
 
Intervalos de Confiança para média 
 
O intervalo de confiança baseia‐se na hipótese de que a distribuição normal. Então, o nível de confiança pode ser determinado com base nas 
probabilidades da distribuição normal: 
 
 
A equação do intervalo de confiança para 
média é dado por: 
n
szxIC   
Ao usar o nível de confiança de 95%, temos: 
 
0,95/2   =   ± 0,4750   →    Z= ±1,96 
 
Logo: 
n
s961xIC ,  
 
 
Pode‐se usar outros níveis de confiança: 
 
Confiança desejada  Escore “Z” (da tabela padrão)  Equação 
90%  P= 0,4500  →   z = 1,65 
n
s651xIC ,  
99%  P= 0,4950  →   z = 2,58 
n
s582xIC ,  
 
Mas, de onde vem 0,4750 e 1,96? Observe na tabela de Distribuição Normal Padrão que, se queremos ter 95% de confiança, basta encontrar a 
probabilidade de 0,4750 (0,95/2). Então, identificamos o escore z, que é de 1,96. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se queremos ter 90% de confiança, basta encontrar 0,4500 (0,90/2) na tabela. Como não temos 0,4500, então  identificamos a 
probabilidade mais próxima, que é 0,4505. Observe que o escore z é de 1,65. 
Nível de confiança 0,95 
   ‐ 0,4750                 + 0,4750 
 z=  ‐ 1,96                                            z= + 1,96 x̄   
0,95/2 
 
Z  Último dígito 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
Z = 1,96 para 
95% de confiança 
 - 33 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
Exemplos de cálculos de Intervalos de Confiança – IC para média 
1. De uma amostra de 40 clientes que frequentam um restaurante, constatou-se que a idade média é de 28 anos com 
desvio padrão de 9 anos. Construa um intervalo de confiança de 95% para a idade média da população. 
 
n = 40 
x  ̄ = 28 
s = 9 
z = 1,96 
n
szxIC    =  
40
996,128    =   79,228   
 
 
Interpretação: Você está 95% confiante que a idade média dos clientes que frequentam o restaurante está entre 25,21 anos e 31,79 anos. 
 
2. Um analista de produção deseja estimar a média do tempo de vida útil das lâmpadas produzidas. Para tanto, 
coletou uma amostra de 60 lâmpadas e verificou que a média de vida útil é de 1000 horas, com desvio padrão de 100 
horas. Construa um intervalo de confiança de 90% para a média populacional. 
 
n = 60 
x  ̄ = 1000 
s = 100 
z = 1,65 
n
szxIC   =  
60
10065,11000    =   30,211000   
 
 
Interpretação: Você está 90% confiante que a média do tempo de vida útil das lâmpadas produzidas está entre 978,70 horas e 1021,30 horas. 
 
Intervalos de Confiança para Proporções P 
O  termo  PROPORÇÕES  tem  relação  com  PORCENTAGENS.  É  a  parte  de  um  todo,  em  comparação  com  esse  todo;  fração. 
Exemplo: 
Um Analista Industrial fez estudo para determinar a proporção de lâmpadas defeituosas produzidas. Coletou 
uma amostra de 400 lâmpadas e 60 apresentaram defeitos. Neste caso, temos as seguintes proporções: 
 
Lâmpadas defeituosas (60) 
 
150
400
60
,ˆ p 
 
Então, 15% das lâmpadas estão defeituosas... 
Lâmpadas perfeitas (restantes = 340) 
 
850
400
340
,ˆ p 
 
...e 85% das lâmpadas estão perfeitas 
 
Observe que a população é  constituída por elementos de dois  tipos,  isto é,  cada elemento pode  ser  interpretado  como  Sucesso  e 
Fracasso, além dos eventos ser independentes. Nestas condições, a variável aleatória segue uma distribuição Binomial. 
 
Ocorre que, da mesma forma que o intervalo de confiança para média, frequentemente estamos interessados em estimar um intervalo 
de confiança para proporções populacionais.  
 
Construindo Intervalo de Confiança para Proporções p 
Construir um intervalo de confiança para uma proporção populacional p é similara construir um intervalo de confiança para a média 
populacional. Você começa com um ponto estimado e calcula a margem de erro E.  
Equação do Intervalo de Confiança para Proporção p 
 
n
p1p
zppIC
)ˆ(ˆˆ   
 
A formação desta equação tem como princípio o método “Normal como 
aproximação da Binomial” 
z = escore z da distribuição normal 
n = tamanho da amostra 
pˆ ‐ proporção estimada. 
 
 
Exemplo. Um Analista Industrial deseja estimar a proporção de lâmpadas defeituosas produzidas. Coletou uma 
amostra de 400 lâmpadas e verificou que 15% estão defeituosas. Construa um Intervalo de Confiança de 95% 
para a proporção populacional. 
 
pˆ = 0,15 
n = 400 
z = 1,96 
 
400
1501150961150pIC
),(,
,,
   0340150 ,,  
 
Interpretação: Você está 95% confiante que a proporção de lâmpadas defeituosas está entre 11,6% e 18,4%. 
 
 
  30,79  25,21 
24      25      26       27     28      29      30       31     32 
                      ‐ 2,79                               +2,79 
  1021,30  978,70 
   970    980     990       1000     1010     1020   1030 
                ‐ 21,30                                +21,30 
   18,4%  11,6% 
  11%           13%          15%          17%           19% 
               ‐ 3,4%                                +3,4% 
 - 34 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
ANDERSON, David R.; SWEENEY, Dennis J.; WILLIANS, Thomas A. Estatística aplicada à administração e economia. 2 
ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009. 597 p. 
 
BRUNI, Adriano Leal. Estatística para concursos. São Paulo: Atlas, 2008. 197p. 
 
COSTA, Sérgio Francisco. Introdução ilustrada à estatística. 4 ed. São Paulo: Harbra, 2005. 399 p. 
 
CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil. 17 ed. São Paulo: Saraiva, 1999. 224 p. 
 
FARIAS, Alfredo Alves et al. Introdução à estatística. 2 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003, 320 p. 
 
GIOVANNI José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Rui. Matemática fundamental: uma nova 
abordagem – volume único. São Paulo: FTD, 2002. 712 p. 
 
HAZZAN, Samuel. Fundamentos da matemática elementar: Matemática financeira, comercial e estatística descritiva. 
Volume 11. 1 ed. São Paulo: Atual editora, 2004. 230p. 
 
HELP! Sistema de consulta interativa. Matemática. Rio de Janeiro: O globo, 1997. 319 p. 
 
Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística – IBGE. A instituição. Disponível em 
<http://www.ibge.gov.br/home/disseminacao/eventos/missao/default.shtm>. Acesso em 06 abr 2010. 
 
LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando o Excel. 4 ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2005. 476 p. 
 
LARSON, Ron; FARBER, Betsy. Estatística aplicada. 4 ed. São Paulo: Pearson, 2010. 637 p. 
 
LEVINE, David M. et al. Estatística: teoria e aplicações. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 752 p. 
 
LOPES, Paulo Afonso. Probabilidade e estatística: conceitos, modelos e aplicações em Excel. Ernesto Reichmann, 1999. 
174 p. 
 
MANDIN, Daniel. Estatística descomplicada. 9 ed. Brasília: Vestcon, 2002. 227 p. 
 
MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. 2 ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2003. 465 p. 
 
OLIVEIRA, Uanderson Rebula de. Ergonomia, higiene e segurança do trabalho. Resende-RJ: Apostila. Universidade 
Estácio de Sá, 2009. 199 p. 
 
Resumão – estatística. 2 ed. São Paulo: Barros, fischer & Associados, novembro 2006. 6 p. 
 
RUMSEY, Deborah. Estatística para leigos. Rio de Janeiro: Alta books, 2009. 350 p. 
 
SILVA, Ermes Medeiros et al. Estatística: para os cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis - volume 1. 2 
ed. São Paulo: Atlas, 1996. 189 p. 
 
SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática–ensino médio. 5 ed. São Paulo: Saraiva, 2005. 558p. 
 
SPIEGEL, Murray R. Estatística: resumo da teoria, 875 problemas resolvidos, 619 problemas propostos. São Paulo: 
McGraw-Hill do Brasil, 1977. 580 p. 
 
TRIOLA, Mario F. Introdução à estatística. 10 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 696 p. 
 
URBANO, João. Estatística: uma nova abordagem. Rio de Janeiro: Ciência moderna, 2010. 530p. 
 
VASCONCELLOS, Maria José Couto; SCORDAMAGLIO, Maria Terezinha; CÂNDIDO, Suzana Laino. Coleção 
Matemática. 1ª e 3ª série do ensino médio. São Paulo: Editora do Brasil, 2004. 232 p. 
 
WERKEMA, Maria Cristina Catarino. As ferramentas da qualidade no gerenciamento dos processos. Belo Horizonte: 
EDG, 1995. 128 p. 
 - 35 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
SITES PARA CONSULTA 
www.brasilescola.com 
Instituto de pesquisa econômica aplicada - http://www.ipea.gov.br 
Instituto brasileiro de geografia e estatística - http://www.ibge.gov.br 
Associação Brasileira de Estatística - http://www.ime.usp.br/~abe/ 
www.ibope.com.br 
 
ANEXO I - LIVROS RECOMENDADOS 
 
 
 
Um livro introdutório de estatística que inclui um estilo de escrita 
amigável, conteúdo que reflete as características importantes de um 
curso introdutório moderno de estatística, o uso da tecnologia 
computacional mais recente, de conjuntos de dados interessantes e 
reais, e abundância de componentes pedagógicos. O CD-ROM inclui 
os conjuntos de dados do Apêndice B do livro. Esses conjuntos de 
dados encontram-se armazenados em formato texto, planilhas do 
Minitab, planilhas do Excel e uma aplicação para a calculadora TI-83. 
Inclui também programas para a calculadora gráfica TI-83 Plus®, o 
Programa Estatístico STATDISK (Versão 9.1) e um suplemento do 
Excel, desenvolvido para aumentar os recursos dos programas 
estatísticos do Excel. 
 
 
 Este livro diferencia-se dos tradicionais livros, 
materiais de referência e manuais de estatísticas, 
pois possui: Explicações intuitivas e práticas sobre 
conceitos estatísticos, ideias, técnicas, fórmulas e 
cálculos. Passo a passo conciso e claro de 
procedimentos que intuitivamente explicam 
como lidar com problemas estatísticos. Exemplos 
interessantes do mundo real relacionados ao 
cotidiano pessoal e profissional. Respostas 
honestas e sinceras para perguntas como “O que 
isso realmente significa?” e “Quando e como eu 
vou usar isso?” 
Neste livro você encontrará: 
Explicações em português de fácil entendimento. 
Informações fáceis de localizar e passo-a-passo. 
Ícones e outros recursos de identificação e 
memorização. Folha de cola para destacar com 
informações práticas. Listas dos 10 melhores 
relacionados ao assunto. Um toque de humor e 
diversão. 
Onde comprar: www.submarino.com.br 
 
 
 
 - 36 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
 
 
ANEXO II - SOFTWARE BIOESTAT 
 
 
Texto extraído da tese de doutorado em Engenharia de Ualison Rebula de Oliveira 
 
 
Existem  inúmeros  recursos  tecnológicos  para  a  análise  estatística  de  dados,  que  vão  desde 
calculadoras,  a  exemplo  da  TI  –  83  PLUS,  a  aplicativos  específicos,  tais  como  o  STATDISK  e  o 
MINITAB  (TRIOLA,  2005).  Assim,  buscando‐se  recursos  computacionais  que  facilitassem  o 
tratamento de dados, vários aplicativos e softwares estatísticos  foram pesquisados, dos quais se 
destacama  planilha  Excel,  o  STATDISK,  o MINITAB,  o  BioEstat,  o  SPSS  e  algumas  páginas  na 
Internet  que  oferecem  programas  em  Javascript  para  cálculos  on‐line,  a  exemplo  da  página  na 
Internet www.stat.ucla.edu. 
 
Após análise de pós e contras de cada aplicativo pesquisado,  selecionou‐se o pacote estatístico 
BioEstat,  disponível  para  download  no  site  www.mamiraua.org.br,  por  possuir  as  seguintes 
características positivas: i) serventia tanto para a Estatística descritiva como para testes estatísticos 
não‐paramétricos; ii) ser em português; iii) possuir manual em PDF com diversos exemplos; iv) ser 
de  fácil  utilização;  v)  ser  gratuito;  vi)  ser  referenciado  em  vários  livros,  sites  e  entidades  de 
pesquisa – conforme Siegel & Castellan Junior (2006), o BioEstat é o melhor programa disponível 
na atualidade para o cálculo do qui‐quadrado; vii) possuir apoio do CNPQ; e viii) estar na versão 5.0 
e possuir mais de 20 anos de criação. 
 
 
 
INTERFACE BIOESTAT    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Baixar software: 
www.mamiraua.org.br 
 
 
- 37 - 
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
Anexo III - ESTATÍSTICA NO EXCEL 
O Excel dispõe da  função “Estatística”. Assim,  tudo que vimos poderá ser desenvolvido pelo 
excel, bastando inserir os valores da variável de interesse. 
Para  saber mais,  basta  adquirir  o  livro  “Estatística  usando  o  excel”,  de  Juan  Carlos 
Lapponi. WWW.SUBMARINO.COM.BR 
4ª Edição,  Edição 2005, 496 págs.  Editora Elsevier Campus  ‐ Acompanha CD‐ROM com Planilhas, Modelos, 
Simuladores etc. para Excel. 
O conteúdo deste  livro é útil para: Estudantes que cursam Estatística nas diversas áreas do conhecimento e 
em  diferentes  níveis  de  graduação  como,  em  ordem  alfabética,  Administração,  Biologia,  Contabilidade, 
Economia,  Engenharia,  Finanças,  Marketing,  Medicina,  etc.  Estudantes  que  necessitam  aprimorar  ou 
complementar  seus  conhecimentos  de  Estatística  utilizando  o  Excel.  Profissionais  das  diversas  áreas  que 
utilizam  os  conceitos  de  Estatística  e  necessitam,  ou  gostariam,  de  utilizar  as  funções  estatísticas,  as 
ferramentas de análise, planilhas, modelos e simuladores de estatística em Excel. Todos aqueles que poderão 
utilizar  as planilhas, modelos  e  simuladores de  estatística  em  Excel da  forma  como  estão no CD‐Rom, ou 
modificando‐os, para atender às  suas necessidades. Alunos de áreas  correlatas que utilizarão estatística e 
desejam  antecipar  seu  aprendizado  e  agregar  valor  ao  seu  conhecimento  visando o mercado de  trabalho. Usuários de  Excel que desejam 
conhecer e aprender a utilizar os recursos de Estatística disponíveis. 
TÓPICOS 
•  DADOS, VARIÁVEIS E AMOSTRAS  
•  DESCRIÇÃO DE AMOSTRAS COM TABELAS E GRÁFICOS  
•  MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL  
•  MEDIDAS DE DISPERSÃO/VARIAÇÃO 
•  PROBABILIDADE  
•  CORRELAÇÃO  
•  VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS  
•  DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS  
•  COMBINAÇÃO LINEAR DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS  
•  DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL  
•  ESTIMAÇÃO  
•  TESTE DE HIPÓTESES  
•  TESTES DE HIPÓTESES COM DUAS AMOSTRAS  
•  ANÁLISE DA VARIÂNCIA  
•  REGRESSÃO LINEAR  e  AUSTE NÃO LINEAR 
LIVROS PUBLICADOS POR 
Uanderson Rébula de Oliveira 
Prof. Uanderson Rébula. Doutorando em 
Engenharia. Professor universitário. Vivência 
de 21 anos em ambiente industrial. 
Além disso, você pode imprimir, desenhar, 
esquematizar ou usar qualquer leitor pdf, 
pois a maioria deles encontra-se 
desbloqueado. 
Esses ebooks estão disponíveis na livraria Saraiva por 
preços bem acessíveis. 
QUERO 
COMPRAR 
OS LIVROS 
uanderson.rebula@yahoo.com.br 
http://lattes.cnpq.br/1039175956271626 
https://br.linkedin.com/in/uandersonrebula 
Ver amostras 
dos livros 
	Estatística AEDB 2017.pdf
	Associação Educacional Dom Bosco
	 Nota: 5 é um valor arbitrário.
	Probabilidade AEDB 2017
	Associação Educacional Dom Bosco