Equações do Terceiro e Quarto Grau

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Adriano Ferreira Duque : adr_f_duque_25@hotmail.com , +5592993686197 
EQUAÇÕES DO TERCEIRO E QUARTO GRAU 
RESUMO 
 Este pequeno artigo tem como objetivo fazer uma revisão claro e aprofundada 
sobre as equações do Terceiro e Quarto grau e os métodos de Resolução. 
Palavra-chave: equação do terceiro grau, equação do quarto grau e resolução. 
 
ABSTRACT 
 This article aims to make a clear and in-depth review on Third and Fourth 
Degree equations and methods of resolution. 
Key words: third degree equation, fourth degree equation resolution. 
 
AUTOR 
 Adriano Ferreira Duque, 30 anos, Manauara, Engenheiro Civil, formado pela 
Universidade Nilton Lins, e autodidata. 
 
INTRODUÇÃO 
 Na engenharia, casualmente nos deparamos com problemas que envolvem 
cálculos volumétricos, e a determinação de medidas volumétricas, e recaímos nas 
equações do terceiro grau. Mas quando se busca solucionar uma equação do terceiro 
grau pelo métodos conhecidos, ou são confusos, pouco esclarecedores, e quando se 
conhece as raízes do problema e desenvolvemos a equação, elas não retornam as raízes 
previamente estabelecidas, visto que nestes casos, há necessidade de soluções dentro 
dos Números Reais. 
 Na busca de encontrar um outro métodos para resolver as equações do terceiro 
grau, além de obter esclarecimento sobre alguns pontos sobre as equações e os métodos 
de resolução, percebeu-se que há distinção entre as equações de terceiro grau com raízes 
reais e as de raízes complexas. 
 Neste artigo será apresentado uma nova abordagem sobre os métodos de 
resolução das equações do terceiro e quarto grau. 
 
 
 
 
 
Adriano Ferreira Duque : adr_f_duque_25@hotmail.com , +5592993686197 
CONSIDERAÇÕES INICIAIS 
 Para bom entendimento do aqui apresentado, há necessidade de conhecer o 
básico sobre os Números Complexos: ( i² = –1 ) e de Derivadas: y’(a) = f’(k) = 
limℎ→0
f(k+h)−f(k)
h
 . 
 Também será dada uma breve revisão das equações do segundo grau, para uma 
rápida introdução e melhor entendimento. Com resumidos desenvolvimentos algébricos 
das equações. 
 
EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU E NÚMERO COMPLEXO 
 Os Números Complexo (ℂ) vem como solução de raízes quadradas e de índices 
pares para números negativos ( i = √−1 , i2 = –1, i4 = 1, i6 = –1, ...). 
 Nas equação de segundo grau, com a forma y(x) = a.x² + b.x + c , onde a, b e c 
pertence a ℝ, temos a discriminante Δ = b² – 4.a.c , onde Δ > 0 para temos soluções nos 
Números Reais (x1 e x2 ϵ ℝ). Quando temos Δ = 0, temos as raízes da equação x1 = x2: 
 x1 = x2 = u 
 y(x) = a.(x – u).(x – u) 
 y(x) = a.(x² – 2.u + u²) 
 y(x) = a.x² – 2.a.u + a.u² 
 
Fig:01 – Exemplo de gráfico de equação de segundo grau, para a > 0 e Δ= 0. 
 
 Quando temos Δ < 0 (Discriminante negativa), no plano cartesiano a 
representação gráfica da função se distanciar do eixo das abcissas (coordenadas x), 
conforme mostrado abaixo: 
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Fig:02 – Exemplo de gráfico de equação de segundo grau, para a > 0 e Δ < 0 , Δ = –h. 
 
 Se valendo da equação anterior e acrescentar o valor h nela, sendo h apenas o 
valor da distância entre a vértice da parábola com o eixo x, deste modo h é o módulo da 
vértice (apenas o valor escalar, sem sinal de positivo ou negativo), dai teremos: 
 h =│ yv │, yv = –Δ/(4.a) (vértice da parábola) 
 xv = −
b
2𝑎
 (x da vértice da parábola) 
x1 = x2 = u 
y(x) = a.(x – u).(x – u) + a.h 
y(x) = a.(x² – 2.u + u² + h) 
y(x) = a.x² +(– 2.a.u).x + (a.u² + a.h) 
 ( Δ= b2 – 4ac , i = √−1 ) 
 Aqui a discriminante resulta num número negativo. 
𝑥𝑗 =
−(– 2.𝑎.u)
2𝑎
±
√(– 2.𝑎.u)2−4∙𝑎∙(𝑎.u² + 𝑎.h)
2𝑎
 = u ± √−h 
𝑥1 = u − i√h ou seja: 𝑥1 = x𝑣 − i√|𝑦𝑣| 
𝑥2 = u + i√h ou seja: 𝑥2 = x𝑣 + i√|𝑦𝑣| 
 
 A partir desse desenvolvimento algébrico, vemos que a distância que a vértice da 
parábola fica do eixo x, está diretamente relacionados com a parte Imaginária do 
Número Complexo que compõe as raízes da Equação de Segundo Grau e nas demais 
Equações de Terceiro e Quarto grau para seus respectivos Máximos e Mínimos da 
função. 
 
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EQUAÇÃO DO TERCEIRO GRAU 
 A partir de agora iremos usar trabalho algébrico para delimitar e facilitar alguns 
termos usados nas Equações do Terceiro Grau, e as demonstrações dos termos. Nas 
Equação, com a forma y(x) = a.x³ + b.x² + c.x + d , onde a, b, c e d pertence a ℝ. 
Seguir a demonstração algébrica, temos: 
 y(x) = a.x³ + b.x² + c.x + d, derivando os termos, temos: 
 y’(x) = 3.a.x² + 2.b.x + c, derivando novamente temos: 
 y”(x) = 6.a.x + 2.b 
 y”(xc) = 0 → xc = −
b
3𝑎
 
𝐲𝐜
′ = y’(xc) = 3.a.(−
b
3𝑎
)
2
 + 2.b. (−
b
3𝑎
) + c = 
−(b2−3ac)
3𝑎
 = c – 3.a.𝑥𝑐
2 
yc
′ = 
−(b2−3ac)
3𝑎
 → √
−yc
′
3𝑎
 = 
√b2−3𝑎c
3𝑎
 
 
 y’(x) = 3.a.x² + 2.b.x + c = 0 , x1 ≠ x2 (os pontos Máximo e Mínimo) 
 x1 = 
−2𝑏−√4𝑏2−4∙3𝑎𝑐
2∙3𝑎
 = xc – √
−yc
′
3𝑎
 
 x2 = 
−2𝑏+√4𝑏2−4∙3𝑎𝑐
2∙3𝑎
 = xc + √
−yc
′
3𝑎
 
 
 yc = y(xc) = 
2𝑏3
27𝑎2
−
𝑏𝑐
3𝑎
+ 𝑑 = 
2𝑏3−9𝑎𝑏𝑐+27𝑎2𝑑
27𝑎2
 = – 2.a.xc
3 + c.xc + d 
 y(x1) = a.(x𝑐 − √
−yc
′
3𝑎
)
3
+b. (x𝑐 − √
−yc
′
3𝑎
)
2
 +c. (x𝑐 − √
−yc
′
3𝑎
) +d = yc +2𝑎√(
−yc
′
3𝑎
)
3
 
 y(x2) = a.(x𝑐 + √
−yc
′
3𝑎
)
3
+b. (x𝑐 + √
−yc
′
3𝑎
)
2
 +c. (x𝑐 + √
−yc
′
3𝑎
) +d = yc – 𝑎√(
−yc
′
3𝑎
)
3
 
y(x1) – y(x2) = 4𝑎√(
−yc
′
3𝑎
)
3
 → 
𝑦𝑐
𝑦(𝑥1)−𝑦(𝑥2)
 = 
𝑦𝑐
(4𝑎√(
−yc
′
3𝑎
)
3
)
 = 
𝟑
𝟒 √
𝟑𝒂
(−𝒚𝒄
′ )
𝟑 ∙ 𝒚𝒄 
 
 
 
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 Para as raízes r1 , r2 e r3 pertença ao conjunto dos Números Reais ( ℝ ), deve 
–0,5 ≤ (
3
4 √
3𝑎
(−𝑦𝑐
′)
3 ∙ 𝑦𝑐) ≤ 0,5 . Mas quando |
3
4 √
3𝑎
(−𝑦𝑐
′)
3 ∙ 𝑦𝑐| > 0,5 ou (
3
4 √
3𝑎
(−𝑦𝑐
′)
3 ∙ 𝑦𝑐) é 
Número imaginário, temos uma Raiz Real e duas Raízes Complexas Conjugadas, 
sendo Z = A + Bi e Z̅ = A – Bi. Usaremos os termos xc , 𝐲𝐜
′ e yc serão usados para 
facilitar os métodos de resoluções. 
 
MÉTODOS DE RESOLUÇÃO PARA CASOS PARTICULARES 
 
Para yc = 0 
 Nas Equação de Terceiro grau, com a forma y(x) = a.x³ + b.x² + c.x + d , onde a, 
b, c e d pertence a ℝ. Quando yc = 0 o gráfico da equação apresentam uma configuração 
simétrica, indicando uma equidistância entre as raízes. Seguir a demonstração algébrica: 
(r2 – r1) = (r3 – r2) = w , r2 = r → r1 = ( r – w) e r3 = ( r + w) 
y(x) = a.[ x – r1] . [ x – r2] .[ x – r3] 
y(x) = a.[ x – (r – w)] . [ x – r] .[ x – ( r + w)] 
y(x) = a.[ x³ – 3.r.x² + ( 3.r² – w²)x – ( r³ – w²r)] 
 
xc = −
b
3𝑎
 = −
(−3𝑎𝑟)
3𝑎
 = r 
𝐲𝐜
′ = c – 3.a.𝑥𝑐
2 = a. (3.r² – w² – 3.r²) = – a.w² → w = ± √
−yc
′
𝑎
 = ± √3√
−yc
′
3𝑎
 
r1 = r – w = xc – √
−𝐲𝐜
′
𝒂
 = xc – √𝟑√
−𝐲𝐜
′
𝟑𝒂
 
r2 = r = xc 
r3 = r + w = xc + √
−𝐲𝐜
′
𝒂
 = xc + √𝟑√
−𝐲𝐜
′
𝟑𝒂
 
Exemplo 1: 
Sabendo que r1 = –4, r2 = 1 e r3 = 6, e a = 1, temos: 
 r2 – r1 = r3 – r2 
 1– (– 4) = 6 – 1 = 5 
e a partir dessas raízes faremos: 
 y(x) = a.(x – r1) .(x – r2) .(x – r3) 
 y(x) = 1.(x + 4) .(x – 1) .(x – 6) 
 y(x) = x³ – 3x² – 22x + 24 
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 xc = −
b
3𝑎
 =−
(−3)
3∙1
 = 1 
 yc = – 2.a.xc
3 + c.xc + d = – 2.1.(1)³ + (– 22).1 + 24 = 0 , yc = 0 
Raízes Reais Simétricas 
 yc
′ = c – 3.a.𝑥𝑐
2 = – 22 – 3.1.(1)² = – 25 
 w = ± √
−yc
′
𝑎
 = ± √
−(−25)
1
 = 5 
 r1 = r – w = xc – √
−yc
′
𝑎
 = 1 – 5 = –4 
 r2 = xc = 1 
 r3 = r + w = xc + √
−yc
′
𝑎
 = 1 + 5 = 6 
 
Para │yc│= 𝟐𝒂√(
−𝐲𝐜
′
𝟑𝒂
)
𝟑
 ou |
𝟑
𝟒 √
𝟑𝒂
(−𝒚𝒄
′ )
𝟑 ∙ 𝒚𝒄| = 0,5 
 Nas Equação de Terceiro grau, com a forma y(x) = a.x³ + b.x² + c.x + d , onde a, 
b, c e d pertence a ℝ. Quando o |
3
4 √
3𝑎
(−𝑦𝑐
′)
3 ∙ 𝑦𝑐| = 0,5 a equação apresentar duas raízes 
reais, ou seja r1 = r2 ou r2 = r3 . Seguir a demonstração algébrica: 
Para r2 = r3 = u , r1 = v → u > v 
y(x) = a.(x – r1) . (x – r2) . (x – r3) 
y(x) = a.(x – v) . (x – u) . (x – u) 
y(x) = a.( x³ – (2.u + v).x² + (u² + 2.u.v).x – u².v ) 
 
xc = −
b
3𝑎
 = −
−𝑎(2u+v)
3𝑎
 = 
(2u+v)
3
 → (2u + v) = 3xc 
yc
′ = c – 3.a.xc
2 = a. [(u² + 2.u.v) – 3. (
(2u+v)
3
)
2
 ] = −
𝑎
3
 .(u – v)² = – 3.a. (
(u−v)
3
)
2
 
y𝐜
′ = – 3.a. (
(u−v)
3
)
2
 → √
−yc
′
3𝑎
 = 
(u−v)
3
 → (u – v) = 𝟑√
−𝐲𝐜
′
𝟑𝒂
 
yc = – 2.a.xc
3 + c.xc + d 
yc = a.[ – 2. (
(2u+v)
3
)
3
 + (u² + 2.u.v). (
(2u+v)
3
) – u².v ] = 2.a. (
(u−v)
3
)
3
 = 2𝑎√(
−yc
′
3𝑎
)
3
 
yc = 2𝑎√(
−yc
′
3𝑎
)
3
 → (u – v) = 𝟑 ∙ √
𝐲𝐜
𝟐𝒂
𝟑
 = 𝟑 (
𝐲𝐜
𝟐𝒂
)
𝟏
𝟑⁄
 
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yc
yc
′ = 
2.𝑎.(
(u−v)
3
)
3
−3𝑎(
(u−v)
3
)
2 = −
2
3
(
(u−v)
3
) → (u – v) = −
𝟗
𝟐
𝐲𝐜
𝐲𝐜
′ , ( yc
′ ≠ 0) 
Faremos: 
 (2u + v) = 3xc 
 + (u – v) = −
9
2
yc
yc
′ 
_________________________ 
 3u = 3xc −
9
2
yc
yc
′ → u = xc −
𝟑
𝟐
𝐲𝐜
𝐲𝐜
′ logo: v = xc +𝟑
𝐲𝐜
𝐲𝐜
′ 
ou 
 (2u + v) = 3xc 
 + (u – v) = 3√
−𝐲𝐜
′
𝟑𝒂
 
__________________________ 
 3u = 3xc + 3√
−𝐲𝐜
′
𝟑𝒂
 → u = xc + √
−𝐲𝐜
′
𝟑𝒂
 logo: v = xc – 𝟐√
−𝐲𝐜
′
𝟑𝒂
 
ou 
 (2u + v) = 3xc 
 + (u – v) = 3 ∙ √(
yc
2𝑎
)
2𝟑
 
__________________________ 
 3u = 3xc + 3 ∙ √
yc
2𝑎
3
 → u = xc +√
𝐲𝐜
𝟐𝒂
𝟑
 logo: v = xc – 𝟐 ∙ √
𝐲𝐜
𝟐𝒂
𝟑
 
Logo: 
 r1 = v = xc +𝟑
𝐲𝐜
𝐲𝐜
′ = xc – 𝟐√
−𝐲𝐜
′
𝟑𝒂
 = xc – 𝟐 ∙ √(
𝐲𝐜
𝟐𝒂
)
𝟑
 
r2 = r3 = u = xc −
𝟑
𝟐
𝐲𝐜
𝐲𝐜
′ = xc + √
−𝐲𝐜
′
𝟑𝒂
 = xc +√(
𝐲𝐜
𝟐𝒂
)
𝟑
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 2: 
Sabendo que v = –3 , u = 5, 5 > ( –3) e a = 1; e a partir dessas raízes faremos, teremos: 
 y(x) = a.(x – v) .(x – u) .(x – u) 
 y(x) = 1.(x + 3) .(x – 5) .(x – 5) 
 y(x) = x³ – 7x² – 5x + 75 
 xc = −
b
3𝑎
 = −
(−7)
3∙1
 = 7/3 ≈ 2,333333333… 
 yc = – 2.a.xc
3 + c.xc + d = – 2.1.(7/3)³ + (– 5).(7/3) + 75 
 yc = 1024/27 ≈ 37,925925925... 
 yc
′ = c – 3.a.𝑥𝑐
2 = – 5 – 3.1.(7/3)² = – 64/3 ≈ – 21,333333333... 
 2𝑎√(
−yc
′
3𝑎
)
3
 = 2 ∙ 1 ∙ √(
−(−64 3⁄ )
3∙1
)
3
 = 1024/27 = │yc│≈ 37,925925925... 
 |
3
4 √
3𝑎
(−𝑦𝑐
′)
3 ∙ 𝑦𝑐| = |
3
4 √
3∙1
(−(−64 3⁄ ))
3 ∙
1024
27
| = │0,5│= 0,5 (Duas Raízes Reais) 
 
 v = xc +3
yc
yc
′ = (7/3) + 3.(1024/27)/( –64/3) = – 3 
 v = xc – 2√
−yc
′
3𝑎
 = (7/3) – 2√
−(−64 3⁄ )
3∙1
 = – 3 
 v = xc – 2 ∙ √
yc
2𝑎
𝟑
 = (7/3) – 2 ∙ √(
1024 27⁄
2∙1
)
3
 = – 3 
 
 u = xc −
3
2
yc
yc
′ = (7/3) – (3/2).(1024/27)/( –64/3) = 5 
 u = xc + √
−yc
′
3𝑎
 = (7/3) + √
−(−64 3⁄ )
3∙1
 = 5 
 u = xc +√(
yc
2𝑎
)
3
 = (7/3) + √(
1024 27⁄
2∙1
)
3
 = 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RESOLUÇÃO PARA AS RAÍZES COMPLEXAS 
 Nas Equação de Terceiro grau, com a forma y(x) = a.x³ + b.x² + c.x + d , onde a, 
b, c e d pertence a ℝ. Quando o –0,5 > (
3
4 √
3𝑎
(−𝑦𝑐
′)
3 ∙ 𝑦𝑐) > 0,5 ou 
3
4 √
3𝑎
(−𝑦𝑐
′)
3 ∙ 𝑦𝑐 é número 
imaginário, a equação apresentar uma Raiz Real r e duas Raízes Complexas 
Conjugadas, sendo Z = A + Bi e Z̅ = A – Bi. Seguindo a demonstração algébrica: 
y(x) = a.(x – r1) . (x – r2) . (x – r3) 
y(x) = a.(x – r) . [x – (A – Bi) ]. [x – (A + Bi)] , sendo ( i² = –1) 
y(x) = a. [ x³ – (2A + r).x² + (2Ar + A² + B²).x – (A² + B²)r ] 
 
xc = −
b
3𝑎
 = −
−𝑎(2𝐴+𝑟)
3𝑎
 = 
(2𝐴+𝑟)
3
 → (2A + r) = 3xc 
yc
′ = c – 3.a.xc
2 = a. [ (2Ar + A² +B²) – 3. (
(2A+r)
3
)
2
 ] = 𝑎 (𝐵2 − 3 (
(A−r)
3
)
2
) 
yc
′ = 𝑎 (𝐵2 − 3 (
(𝐴−𝑟)
3
)
2
) → (A – r) = 𝟑√
𝑩𝟐
𝟑
−
𝐲𝐜
′
𝟑𝒂
 
Faremos: 
 (2A + r) = 3xc 
 + (A – r) = 3√
𝐵2
3
−
yc
′
3𝑎
 
_________________________ 
 3A = 3xc + 3√
𝐵2
3
−
yc
′
3𝑎
 → A = xc + √
𝑩𝟐
𝟑
−
𝐲𝐜
′
𝟑𝒂
 
 logo: r = xc – 𝟐√
𝑩𝟐
𝟑
−
𝐲𝐜
′
𝟑𝒂
 
Substituindo: 
√𝐵
2
3
−
yc
′
3𝑎
 = R , teremos A = xc + R e r = xc – 2R 
– d/a = A²r + B²r = (xc + R)².( xc – 2R) + B².( xc – 2R) 
– d/a = (xc)³ – 3R².xc – 2R³ + B².xc – 2RB² , tendo √
𝐵2
3
−
yc
′
3𝑎
 = R → B² = 3R² + yc
′ /a 
– d/a = (xc)³ – 3R².xc – 2R³ + (3R² + yc
′ /a).xc – 2R.(3R² + yc
′ /a) 
– d/a = (xc)³ – 8R³ + (yc
′ /a).xc – 2R. (yc
′ /a) 
(2R)³ + (2R). (yc
′ /a) – (xc)³ – (yc
′ /a).xc – d/a = 0 
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(2R)³ + (2R). (yc
′ /a) – [ (xc)³ + (yc
′ /a).xc + d/a ] = 0 
Sendo yc
′ = c – 3a.xc
2 → c = yc
′ + 3a.xc
2 
e yc = – 2.a.xc
3 + c.xc + d 
 yc = – 2.a.xc
3 + (yc
′ + 3axc
2).xc + d = a.𝐱𝐜
𝟑 + 𝐲𝐜
′.xc + d 
 yc/a = xc
3 + (yc
′ /a).xc + d/a 
(2R)³ + (2R). (𝐲𝐜
′/a) – yc/a = 0 
 Obtemos a equação reduzida da forma (x
3
 + p.x + q = 0) que diversas 
bibliografia já expuseram esta forma. Então aplicando o Método de Del Ferro/ 
Tartaglia ou de Cardano (dependendo da fonte pesquisada). Seguindo a 
demonstrações e fazendo as devidas substituições ; 
(2R = t + v) 
(t + v)³ + (t + v). (yc
′ /a) – yc/a = 0 
(t³ + v³) – ( yc/a) + (t + v).(3tv + yc
′ /a) = 0 
 
(t³ + v³) – yc/a = 0 
(t³ + v³) = yc/a 
 
(t + v).(3tv + yc
′ /a) = 0 
3tv + yc
′ /a = 0 
tv = −
yc
′
3a
 
t³v³ = (−
yc
′
3a
)
3
 
 
Sendo este a Soma e Produto de Raízes de uma Equação de Segundo Grau. 
S =X1 +X2 e P = X1.X2 → X² – S.X +P = 0 
S = t³ + v³ e P = t³.v³ → X² – ( t³ + v³).X +( t³.v³) = 0 → X² – (yc/a).X +[(−
yc
′
3a
)
3
] = 0 
X = 
−(−
y𝑐
𝑎
)±√(
y𝑐
𝑎
)
2
−4∙1∙(−
yc
′
3a
)
3
2∙1
 → X = 
𝑦𝑐
2𝑎
± √(
𝑦𝑐
2𝑎
)
2
+ (
yc
′
3𝑎
)
3
 
 
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X1 = t³ = 
𝑦𝑐
2𝑎
− √(
𝑦𝑐
2𝑎
)
2
+ (
yc
′
3𝑎
)
3
 → t = √
𝑦𝑐
2𝑎
− √(
𝑦𝑐
2𝑎
)
2
+ (
yc
′
3𝑎
)
33
 
X2 = v³ = 
𝑦𝑐
2𝑎
+ √(
𝑦𝑐
2𝑎
)
2
+ (
yc
′
3𝑎
)
3
 → v = √
𝑦𝑐
2𝑎
+ √(
𝑦𝑐
2𝑎
)
2
+ (
yc
′
3𝑎
)
33
 
r = xc – ( t + v) , A = xc + ( t+ v)/2 e B = √
3
4
(t + v)2 +
yc
′
𝑎
 
Logo: 
r1= r = xc – ( t + v) 
r2= A – iB = xc + ( t + v)/2 – i√
𝟑
𝟒
(𝐭 + 𝐯)𝟐 +
𝐲𝐜
′
𝒂
 
r3= A + iB = xc + ( t + v)/2 + i√
𝟑
𝟒
(𝐭 + 𝐯)𝟐 +
𝐲𝐜
′
𝒂
 
Curiosidade: 
 Temos a seguinte relação B < |
√3
3
(A − r)| , onde a função apresenta a mesma 
configuração típica de Equação do Terceiro Grau, na forma de , onde y(x1) > y(x2), 
sendo x1 e x2 o máximo e mínimo da equação, sempre ou acima ou abaixo do eixo x, ou 
seja, [y(x1) e y(x2)] > ou < 0, dado que a raiz real é uma das raízes laterais (r1 ou r3). 
 Para B > |
√3
3
(A − r)|, a função tende a fica com a forma de , e a função 
f(x) tendendo a fica reta para B → ∞. Neste caso a relação (
3
4 √
3𝑎
(−𝑦𝑐
′)
3 ∙ 𝑦𝑐) é número 
imaginário, e o máximo e mínimo também é número imaginário. 
 O método de Del Ferro/ Tartaglia ou de Cardano, aqui apresentado, funciona 
perfeitamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Adriano Ferreira Duque : adr_f_duque_25@hotmail.com , +5592993686197 
Exemplo 3: 
Sabendo que a = 2 , r = –3 , A = 5 e B = 2, 2 < |
√3
3
(5 − (−3))| = 
8√3
3
 ≈ 4,6188 
temos: 
y(x) = a.(x – r) . [x – (A – Bi) ] . [x – (A + Bi)] 
y(x) = 2.(x + 3) . [x – ( 5 – 2i)] . [x – ( 5 + 2i)] 
y(x) = 2x³ – 14x² – 2x + 174 
xc = −
b
3𝑎
 = −
(−14)
3∙2
 = 7/3 ≈ 2,333333333… 
yc = –2.a.xc
3 + c.xc + d = –2.2.(7/3)³ +(– 2).(7/3) +174 = 3200/27 ≈ 118,518518518... 
yc
′ = c – 3.a.𝑥𝑐
2 = – 2 – 3.2.(7/3)² = – 104/3 ≈ – 34,66666666666... 
|
3
4 √
3𝑎
(−𝑦𝑐
′)
3 ∙ 𝑦𝑐| = |
3
4 √
3∙2
(−(−104 3⁄ ))
3 ∙
3200
27
| ≈ │1,06673│> 0,5 
Teremos Raízes complexas 
t = √
𝑦𝑐
2𝑎
− √(
𝑦𝑐
2𝑎
)
2
+ (
yc
′
3𝑎
)
33
 = √
3200 27⁄
2∙2
− √(
3200 27⁄
2∙2
)
2
+ (
−104 3⁄
3∙2
)
33
 ≈ 1,511966128…. 
v = √
𝑦𝑐
2𝑎
+ √(
𝑦𝑐
2𝑎
)
2
+ (
yc
′
3𝑎
)
33
 = √
3200 27⁄
2∙2
+ √(
3200 27⁄
2∙2
)
2
+ (
−104 3⁄
3∙2
)
33
 ≈ 3,821367205… 
(t + v) = 1,511966128…. + 3,821367205… ≈ 5,33333333333... =16/3 
B = √
3
4
(t + v)2 +
yc
′
𝑎
 = √
3
4
(
16
3
)
2
+ (
−104 3⁄
2
) = 2 
A = xc + 
(t+v)
2
 = (7/3) + 
(16 3⁄ )
2
 = 5 
r = xc – (t + v) = (7/3) – (16/3) = –3 
r1 = r = – 3 
r2 = A – Bi = 5 – 2i 
r3 = A + Bi = 5 + 2i 
 
Adriano Ferreira Duque : adr_f_duque_25@hotmail.com , +5592993686197 
Exemplo 4: 
Sabendo que a = 2 , r = 1 , A = –4 e B = 3, 3 > |
√3
3
((−4) − 1)| = 
5√3
3
 ≈ 2,8867513... 
temos: 
y(x) = a.(x – r) . [x – (A – Bi) ] . [x – (A + Bi)] 
y(x) = 2.(x + 1) . [x – ( 3 – 4i)] . [x – ( 3 + 4i)] 
y(x) = 2x³ + 4x² + 4x + 80 
xc = −
b
3𝑎
 = −
(4)
3∙2
 = –2/3 ≈ –0,6666666… 
yc = –2.a.xc
3 + c.xc + d = –2.2.( –2/3)³ + 4.( –2/3) + 80 = 2120/27 ≈ 78,51851851... 
yc
′ = c – 3.a.𝑥𝑐
2 = 4 – 3.2.( –2/3)² = 4/3 ≈ 1,3333333333... 
|
3
4 √
3𝑎
(−𝑦𝑐
′)
3 ∙ 𝑦𝑐| = |
3
4 √
3∙2
(−(4 3⁄ ))
3 ∙
2120
27
| ≈ i 93,69164851.... 
Teremos Raízes complexas 
t = √
𝑦𝑐
2𝑎
− √(
𝑦𝑐
2𝑎
)
2
+ (
yc
′
3𝑎
)
33
 = √
2120 27⁄
2∙2
− √(
2120 27⁄
2∙2
)
2
+ (
4 3⁄
3∙2
)
33
 ≈ –0,06538414089…. 
v = √
𝑦𝑐
2𝑎
+ √(
𝑦𝑐
2𝑎
)
2
+ (
yc
′
3𝑎
)
33
 = √
2120 27⁄
2∙2
+ √(
2120 27⁄
2∙2
)
2
+ (
4 3⁄
3∙2
)
33
 ≈ 3,398717474244… 
(t + v) = –0,06538414089… + 3,398717474244… ≈ 3,3333333333... 10/3 
B = √
3
4
(t + v)2 +
yc
′
𝑎
 = √
3
4
(
10
3
)
2
+ (
4 3⁄
2
) = 3 
A = xc + 
(t+v)
2
 = (–2/3) + 
(10 3⁄ )
2
 = 1 
r = xc – (t + v) = (–2/3) – (10/3) = –4 
r1 = r = – 4 
r2 = A – Bi = 1 – 3i 
r3 = A + Bi = 1 + 3i 
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RESOLUÇÃO PARA AS RAÍZES REAIS , PARA –0,5 ≤ (
3
4 √
3𝑎
(−𝑦𝑐
′)
3 ∙ 𝑦𝑐) ≤ 0,5 
 Neste ponto vemos falhas no métodos já conhecidos, pois quando aplicando o 
Método de Del Ferro/ Tartaglia ou de Cardano, fora do contexto da geometria analítica 
e dos Números Complexos, chegamos apenas em aproximações das raízes no caso 
│yc│≈ 0, e o método tende a gerar “soluções estranhas” no caso do│yc│ ≈ 2𝑎√(
−yc
′
3𝑎
)
3
, 
ou seja, quando se conhecer previamente as raízes, e desenvolvendo a equação, 
aplicando o método, geralmente não se retornas as raízes originais ou gera raízes 
complexas, ou podendo gerar até múltiplas resposta que deverão ser filtradas para 
localizar as raízes verdadeiras. Percebendo que as Equação de Terceiro Grau com 
Raízes Reais são completamente distintas e independentes das com Raízes complexas. 
E buscou-se outro caminho para o caso. 
 Como nos casos anteriores, a solução estava ligada na diferença entre as raízes, 
sabendo que (r2 – r1) ≠ (r3 – r2) e fazendo (r3 – r1) = 2m 
(r2 – r1) = m + n → r1 = r2 – ( m + n ) 
(r3 – r2) = m – n → r3 = r2 + ( m – n ) 
y(x) = a.(x – r1) .(x – r2) .(x – r3) 
y(x) = ax³ – a.(r1 + r2 + r3).x² + a.(r1.r2 + r1.r3 + r2.r3)x – a.(r1.r2.r3) 
– b/a = r1 + r2 + r3 = r2 – ( m + n ) + r2 + r2 + ( m – n ) = 3r2 – 2n → b = – a.(3r2 – 2n) 
c/a = ( r1.r2 + r1.r3 + r2.r3) = [r2 – ( m + n )].r2 + [r2 – ( m + n )].[ r2 + ( m – n )] + r2.[ r2 + 
( m – n )] = 3𝑟2
2 – 4.n.r2 – (m² – n²) → c = a.[ 3.𝒓𝟐
𝟐 – 4.n.r2 – (m² - n²)] 
– d/a = r1.r2.r3 = [r2 – ( m + n )].r2.[ r2 + ( m – n )] = 𝑟2
3 – 2.n.𝑟2
2 – r2.(m² – n²) 
d = – a.[ 𝒓𝟐
𝟑 – 2.n.𝒓𝟐
𝟐 – r2.(m² - n²)] 
 
xc = 
−𝑏
3𝑎
 = −
– 𝑎.(3r2 – 2n)
3𝑎
 = 
(3r2 – 2n)
3
 = r2 – 
2n
3
 
 
substituir 
2n
3
 = μ , xc = r2 – μ → r2 = xc + μ (n = 
3μ
2
 ) 
 
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c/a = 3𝑟2
2 – 4.n.r2 – (m² – n²) = 3(xc + μ)² – 4.( 
3μ
2
).(xc + μ) – [m² – (
3μ
2
)
2
] 
c/a = 3𝑥𝑐
2 – m² – 
3μ2
4
 → c/a – 3𝑥𝑐
2 = – m² – 
3μ2
4
 (yc
′ = c – 3.a.xc
2) 
yc
′
𝑎
 = – m² – 
3μ2
4
 → m² = −
yc
′
𝑎
−
3μ2
4
 → m = √−
yc
′
𝑎
−
3
4
μ2 
–d/a = 𝑟2
3 –2.n.𝑟2
2 –r2.(m² –n²) = (xc +μ)³ –2. (
3μ
2
).(xc +μ)² –(
3μ
2
).[ (−
yc
′
𝑎
−
3μ2
4
) – (
3μ
2
)
2
] 
 
μ³ + μ . (
𝑐
𝑎
− 3 ∙ 𝑥𝑐
2) + (−2 ∙ 𝑥𝑐
3 +
𝑐
𝑎
∙ 𝑥𝑐 +
𝑑
𝑎
) = 0 , (−2 ∙ 𝑥𝑐
3 +
𝑐
𝑎
∙ 𝑥𝑐 +
𝑑
𝑎
) = 
yc
𝑎
 
μ³ + μ . (
yc
′
𝑎
) + (
yc
𝑎
) = 0 
a. μ³ + μ . 𝐲𝐜
′ + yc = 0 
 Neste ponto chegamos a equação reduzida, Mas neste caso, sabendo que o 
Método de Del Ferro/ Tartaglia ou de Cardano não é satisfatório. Comparando com 
demonstração anterior, vemos: 
a.(2R)³ + (2R). yc
′ – yc = 0 │ a. μ³ + μ . yc
′ + yc = 0 
 Apesar de similares, o termo yc em um é negativo e no outro é positivo, gerando 
diferenças significantiva, por isso foi usado outra abordagem. 
k0 = (−
yc
yc
′ )
3
 → k1 = (−
(yc+𝑎∙𝑘0)
yc
′ )
3
 → 𝑘𝑛 = (−
(yc+𝑎∙𝑘𝑛−1)
yc
′ )
3
 
μ = 𝐥𝐢𝐦𝐧→∞ (−
(𝐲𝐜+𝒂∙𝒌𝒏)
𝐲𝐜
′ ) , para yc
′ ≠ 0 
 
 Mas nesta aplicação, há necessidade de número grande de passos, necessitando 
de uma filtragem. Percebendo que existe uma relação entre os valores n e m. podemos 
refazer: 
(r2 – r1) = m + n → r1 = r2 – ( m + n ) 
2m
2m
 = r2 – ( 
1
2
 + 
𝑛
2𝑚
 ) .(2m) = r2 – (0,5 + Ω) .(2m) 
(r3 – r2) = m – n → r3 = r2 + ( m – n ) 
2m
2m
 = r2 + ( 
12
 – 
𝑛
2𝑚
 ) .(2m) = r2 + (0,5 – Ω) .(2m) 
Ω = 
𝑛
2𝑚
 = 
(
3μ
2
)
2√−
yc
′
𝑎
−
3μ2
4
 = 
3𝜇
4√−
yc
′
𝑎
−
3μ2
4
 → Ω² = 
−9μ2
16(
yc
′
𝑎
+
3μ2
4
)
 → μ² = 16Ω2 (
−yc
′
3𝑎(3+4Ω²)
) 
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para (a > 0) → μ = 4Ω√
−yc
′
3𝑎(3+4Ω²)
 e (a < 0) → μ = −4Ω√
−yc
′
3𝑎(3+4Ω²)
 
Fazendo as devidas substituições de [ μ = 4.m.Ω/3], obtemos: 
−yc
′ = m² + (3/4).μ² e –yc = μ. yc
′ + a.μ³ 
−yc
′ = a.(2m)².( 3 + 4Ω² )/12 e yc = a.(2m)³.( 9Ω – 4Ω³ )/54 
𝟑
𝟒
√
𝟑𝒂
(−𝒚𝒄
′ )
𝟑 ∙ 𝒚𝒄 = 
𝛀(𝟗−𝟒𝛀𝟐)
(𝟑+𝟒𝛀𝟐)𝟑 𝟐⁄
 
 Esta relação mostra que as Equações de Terceiro Grau de Raízes Reais, se 
delimitam em: 
–0,5 < 
3
4 √
3𝑎
(−𝑦𝑐
′)
3 ∙ 𝑦𝑐 < +0,5 
 Mas como não tem como encontrar 𝛀 de modo direto, então de modo análogo a 
tabelas trigonométricas, configuramos a função f (Ω) = 
Ω(9−4Ω2)
(3+4Ω2)3 2⁄
 gera o gráfico: 
 
Fig:03 – Gráfico da função f (Ω). 
 
Fig:04 – Gráfico da função f (Ω), limitado entre –0,5 e +0,5. 
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 Quando Ω0 estiver entre –0,5 e +0,5 o método aqui apresentado e perfeitamente 
satisfatório. Mas para além destes valores em x , r2 deixa de ser a raiz central para ser 
uma das raízes laterais (r1 ou r3), e não recai em um números complexos, confirmando a 
independência das equações de terceiro grau de raízes reais em relação as de raízes 
complexas. 
 Tendo os valores xc, yc
′ , yc e Ω0 se acha com facilidades μ, e refinando sua 
precisão nas funções abaixo: 
 μ0 = ± (4 ∙ Ω0 ∙ √
−yc
′
3𝑎(3+4Ω²)
) , com (a > 0) → +μ0 ou (a < 0) → –μ0 
 k0 = (−
yc+𝑎∙𝛍0
3
yc
′ )
3
 → k1 = (−
(yc+𝑎∙𝑘0)
yc
′ )
3
 → kn = (−
(yc+𝑎∙𝑘𝑛−1)
yc
′ )
3
 
μ = 𝐥𝐢𝐦𝐧→∞ (−
(𝐲𝐜+𝒂∙𝒌𝒏)
𝐲𝐜
′ ) , para yc
′ ≠ 0, e conseguimos localizar o valor com pouco 
etapas de calculo. Teremos: 
 r1 = xc – 
𝝁
𝟐
 – √−
𝐲𝐜
′
𝒂
−
𝟑
𝟒
𝛍𝟐 
 r2 = xc + μ 
 r3 = xc – 
𝝁
𝟐
 + √−
𝐲𝐜
′
𝒂
−
𝟑
𝟒
𝛍𝟐 
Curiosidade: 
 Foi buscado e testado inúmeros métodos e variações deles, mas falham quando 
quanto sua exatidão, e geram muitas confusão quanto as soluções. Também buscou-se 
unificar os métodos aqui apresentados para as raízes reais e complexas, mas elas não se 
encaixam, apesar das similitude entre ambas. 
 Na busca de se unir os métodos foi localizadas as seguintes relações: 
[(2𝑚)2]3 + 6 ∙ (
yc
′
𝑎
) ∙ [(2𝑚)2]2 + 9 ∙ (
yc
′
𝑎
)
2
∙ [(2𝑚)2] + [4 (
yc
′
𝑎
)
3
+ 27 (
yc
𝑎
)
2
] = 0 
[𝑓2(Ω) −
1
4
] ∙ (Ω2)3 + [
9
4
∙ 𝑓2(Ω) +
9
8
] ∙ (Ω2)2 + [
27
16
∙ 𝑓2(Ω) −
81
64
] ∙ (Ω2) + [
27
64
∙ 𝑓2(Ω)] = 0 
–0,5 ≤ Ω 1 ≤ +0,5 e │ Ω 2│< │ Ω 3│ , sendo │ Ω 2│> 0,5 e │ Ω 3│> 0,5. 
 
Adriano Ferreira Duque : adr_f_duque_25@hotmail.com , +5592993686197 
Para: 
3
4 √
3𝑎
(−𝑦𝑐
′)
3 ∙ 𝑦𝑐 > 0 → m 1 → μ 1 < 0 ; m 2 → μ 2 > 0 e m 3 → μ 3 > 0 . 
 e Ω 3 < 0 ; Ω 2 > 0 e Ω 1 > 0 . 
e 
 
3
4 √
3𝑎
(−𝑦𝑐
′)
3 ∙ 𝑦𝑐 < 0 → m 1 → μ 1 > 0 ; m 2 → μ 2 < 0 e m 3 → μ 3 < 0 . 
 e Ω 3 > 0 ; Ω 2 < 0 e Ω 1 < 0 . 
Tabela de valores, feito no Excel, do modulo Ω e f (Ω): 
│Ω│ │f (Ω)│ │Ω│ │f (Ω)│ │Ω│ │f (Ω)│ │Ω│ │f (Ω)│ 
0,000 0 0,135 0,22372861 0,270 0,393724 0,405 0,48338928 
0,005 0,00865972 0,140 0,23125078 0,275 0,398532 0,410 0,485153027 
0,010 0,01731627 0,145 0,23869346 0,280 0,403225 0,415 0,486812007 
0,015 0,02596648 0,150 0,24605446 0,285 0,407804 0,420 0,488367168 
0,020 0,03460717 0,155 0,25333168 0,290 0,412268 0,425 0,489819488 
0,025 0,04323519 0,160 0,26052306 0,295 0,416616 0,430 0,491169971 
0,030 0,05184739 0,165 0,26762662 0,300 0,420849 0,435 0,492419647 
0,035 0,06044063 0,170 0,27464044 0,305 0,424966 0,440 0,493569572 
0,040 0,06901181 0,175 0,28156266 0,310 0,428968 0,445 0,494620823 
0,045 0,07755782 0,180 0,2883915 0,315 0,432854 0,450 0,495574501 
0,050 0,08607558 0,185 0,29512525 0,320 0,436625 0,455 0,496431726 
0,055 0,09456204 0,190 0,30176225 0,325 0,44028 0,460 0,49719364 
0,060 0,10301418 0,195 0,30830093 0,330 0,44382 0,465 0,4978614 
0,065 0,111429 0,200 0,31473978 0,335 0,447245 0,470 0,498436183 
0,070 0,11980352 0,205 0,32107736 0,340 0,450556 0,475 0,498919179 
0,075 0,12813483 0,210 0,3273123 0,345 0,453753 0,480 0,499311593 
0,080 0,13642003 0,215 0,33344331 0,350 0,456835 0,485 0,499614646 
0,085 0,14465626 0,220 0,33946915 0,355 0,459804 0,490 0,499829568 
0,090 0,1528407 0,225 0,34538867 0,360 0,462661 0,495 0,499957602 
0,095 0,16097058 0,230 0,35120078 0,365 0,465404 0,496 0,499972892 
0,100 0,16904317 0,235 0,35690448 0,370 0,468037 0,497 0,499984767 
0,105 0,1770558 0,240 0,3624988 0,375 0,470558 0,498 0,499993237 
0,110 0,18500583 0,245 0,36798288 0,380 0,472968 0,499 0,499998311 
0,115 0,19289069 0,250 0,3733559 0,385 0,475269 0,4999 0,499999983 
0,120 0,20070784 0,255 0,37861713 0,390 0,47746 0,49999 0,499999999831 
0,125 0,20845481 0,260 0,3837659 0,395 0,479544 0,499999 0,499999999998 
0,130 0,21612919 0,265 0,3888016 0,400 0,48152 0,500 0,500000000000 
 
Adriano Ferreira Duque : adr_f_duque_25@hotmail.com , +5592993686197 
Exemplo 5: 
Sabendo que r1 = –4 , r2 = 1 e r3 = 5, a = 3 temos: 
 y(x) = a.( x – r1) . ( x – r2) . ( x – r3) 
 y(x) = 3.( x + 4) . ( x – 1) . ( x – 5) 
 y(x) = 3x³ – 6x² – 57x + 60 
 xc = −
b
3𝑎
 = −
(−6)
3∙3
 = 2/3 ≈ 0,666666666… 
 yc = –2.a.xc
3 +c.xc + d = –2.3.(2/3)³ +(– 57).(2/3) + 60 = 182/9 ≈ 20,22222222... 
 yc
′ = c – 3.a.𝑥𝑐
2 = – 57 – 3.3.(2/3)² = – 61 
 |
3
4 √
3𝑎
(−𝑦𝑐
′)
3 ∙ 𝑦𝑐| = |
3
4 √
3∙3
(−(−61))
3 ∙
182
9
| = │0,0955029186... │ < 0,5 
Teremos Raízes Reais 
Consultando uma tabela de valores, feito no Excel, de Ω e f (Ω): 
Ω f (Ω) 
0,054 0,092867399 
0,055 0,094562042 
0,056 0,096255312 
 0,094562042 ≈ 0,0955029 → Ω0 ≈ 0,055 (a > 0) → +μ0 
 μ0 = |4Ω0√
−yc
′
3𝑎(3+4Ω0
2)
| = |4 ∙ 0,055 ∙ √
−(−61)
3∙3(3+4(0,055)2)
| ≈ 0,330013457790403…. 
 k0 = (−
yc+𝑎∙μ0
3
yc
′ )
3
, 𝑘𝑛 = (−
(yc+𝑎∙𝑘𝑛−1)
yc
′ )
3
 e μ = limn→∞ (−
(yc+𝑎∙𝑘𝑛)
yc
′ ) 
 μi ki 
μ0 0,33001345779 0,035941397 
k0 0,333279449389 0,037019079 
k1 0,333332450133 0,037036743 
k2 0,333333318855 0,037037032 
k3 0,333333333096 0,037037037 
k4 0,333333333329 0,037037037 
μ 0,333333333333 
 
f (Ω) = 
Ω(9−4Ω2)
(3+4Ω2)3 2⁄
 
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 μ ≈ 0,3333333333... = 1/3 → m = ±√−
yc
′
𝑎
−
3μ2
4
 = ±√−
(−61)
3
−
3(1 3⁄ )2
4
 = ±4,5 
 r1 = xc – 
𝜇
2
 – m = (2/3) – (1/3)/2 – 4,5 = – 4 
 r2 = xc + μ = (2/3) + (1/3) = 1 
 r3 = xc – 
𝜇
2
 + m = (2/3) – (1/3)/2 + 4,5 = 5 
podemos gerar as mesmas raízes com os outros valores, são eles: 
 Ω1 = 1/18 → μ1 = 1/3 e m1 = ±4,5 
 Ω2 = 1,3 → μ2 = 13/3 e m2 = ±2,5 
 Ω3 = –1,75 → μ3 = –14/3 e m3 = ±2 
 
Exemplo 6: 
Sabendo que r1 = –1 , r2 = 6 e r3 = 7, a = –2 temos: 
 y(x) = a.( x – r1) . ( x – r2) . ( x – r3) 
 y(x) = –2.( x + 1) . ( x – 6) . ( x – 7) 
 y(x) = –2x³ + 24x² – 58x – 84 
 xc = −
b
3𝑎
 = −
(24)
3∙(−2)
 = 4 
 yc = –2.a.xc
3 +c.xc +d = –2.(–2).(4)³ +(–58).( 4) – 84 = –60 
 yc
′ = c – 3.a.𝑥𝑐
2 = – 58 – 3.( –2).( 4)² = 38 
 |
3
4 √
3𝑎
(−𝑦𝑐
′)
3 ∙ 𝑦𝑐| = |3
4
√
3∙(−2)
(−(38))
3 ∙ (−60)| = │–0,4705575479... │ < 0,5 
Teremos Raízes Reais 
Consultando uma tabela de valores, feito no Excel, de Ω e f (Ω): 
Ω f (Ω) 
–0,376 –0,4710484613 
–0,375 –0,4705575479 
–0,374 –0,4700622149 
 –0,4705575479 ≈ –0,4705575479 → Ω0 ≈ –0,375 , (a< 0)→ –μ0 
 μ0 = − (4Ω0√
−yc
′
3𝑎(3+4Ω0
2)
) = − (4 ∙ (−0,375) ∙ √
−(38)
3∙(−2)(3+4(−0,375)2)
) = 2 
f (Ω) = 
Ω(9−4Ω2)
(3+4Ω2)3 2⁄
 
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 k0 = (−
yc+𝑎∙μ0
3
yc
′ )
3
, 𝑘𝑛 = (−
(yc+𝑎∙𝑘𝑛−1)
yc
′ )
3
 e μ = limn→∞ (−
(yc+𝑎∙𝑘𝑛)
yc
′ ) 
 μi ki 
μ0 2 8 
k0 2 8 
μ 2 
 
 μ = 2 → m = ±√−
yc
′
𝑎
−
3μ2
4
 = ±√−
(38)
(−2)
−
3(2)2
4
 = ±4 
 r1 = xc – 
𝜇
2
 – m = 4 – 2/2 – 4 = – 1 
 r2 = xc + μ = 4 + 2 = 6 
 r3 = xc – 
𝜇
2
 + m = 4 – 2/2 + 4 = 7 
podemos gerar as mesmas raízes com os outros valores, são eles: 
 Ω1 = –3/8 → μ1 = 2 e m1 = ±4 
 Ω2 = –9/14 → μ2 = 3 e m2 = ±3,5 
 Ω3 = 7,5 → μ3 = –5 e m3 = ±0,5 
 
EQUAÇÃO DO QUARTO GRAU 
 De modo análogo às equações de terceiro grau, será delimitado e para facilitar 
alguns termos usados nas Equações do Quarto Grau, e nas demonstrações dos termos. 
Nas Equação, com a forma y(x) = a.x
4
 + b.x
3
 + c.x
2
 + d.x + e , onde a, b, c, d e e 
pertence a ℝ. Seguir a demonstração algébrica, temos: 
 y(x) = a.x
4
 + b.x
3
 + c.x
2
 + d.x + e , derivando os termos, temos: 
 y’(x) = 4.a.x3 + 3.b.x2 + 2.c.x + d , derivando novamente temos: 
 y”(x) = 12.a.x2 + 6.b.x +2.c derivando novamente temos: 
 y”’(x) = 24.a.x + 6.b 
 y”’(xc) = 0 → xc = −
b
4𝑎
 
𝐲𝐜
′′ = y”(xc) = 12.a.(−
b
4𝑎
)
2
 + 6.b. (−
b
4𝑎
) + 2.c = 2.c – 
3𝑏2
4𝑎
 
𝐲𝐜
′′ = 2.c – 12.a.𝒙𝒄
𝟐 → ( c = 
yc
′′ 
2
 + 6.a.𝑥𝑐
2 ) 
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 𝐲𝐜
′ = y’(xc) = 4.a. (−
b
4𝑎
)
3
 + 3.b. (−
b
4𝑎
)
2
 + 2.c. (−
b
4𝑎
) + d 
 𝐲𝐜
′ = 
𝑏3
8𝑎2
−
𝑏𝑐
2𝑎
+ 𝑑 = – 8.a.𝐱𝐜
𝟑 + 2.c.xc + d 
 𝐲𝐜
′ = 4.a.𝐱𝐜
𝟑 + xc. 𝐲𝐜
′′ + d → ( d = yc
′ – xc. yc
′′ – 4.a.xc
3 ) 
 yc = y(xc) = a. (−
b
4𝑎
)
4
 + b. (−
b
4𝑎
)
3
 + c. (−
b
4𝑎
)
2
+ d. (−
b
4𝑎
) + e 
 yc = −
3b4
256𝑎3
+
b2c
8𝑎2
−
bd
4𝑎
+ e = – 3.a.𝐱𝐜𝟒 + c.𝐱𝐜𝟐+ d.xc + e 
 yc = – a.𝐱𝐜
𝟒 – 𝐱𝐜
𝟐 ∙
𝐲𝐜
′′
𝟐
 + xc. 𝐲𝐜
′ + e → ( e = yc + a.xc
4 + xc
2 ∙
yc
′′
2
 – xc. yc
′ ) 
 
 Para as raízes r1, r2 , r3 e r4 , pertença ao conjunto dos Números Reais (ℝ), dada 
as raízes da equação de terceiro grau de y’(x) = 4.a.x3 + 3.b.x2 + 2.c.x + d , e aplicando 
em y(x) = a.x
4
 + b.x
3
 + c.x
2
 + d.x + e obtemos 3 alturas, h1 = y(x1), h2 = y(x2) e h3 = 
y(x3) , onde a > 0, teremos h1 e h3 negativas e h2 positiva e onde a < 0, teremos h1 e h3 
positivas e h2 negativa. Em ambos os caso teremos as raízes do quarto grau pertencente 
a ℝ. Mas nos casos de temos h1 e h2 positivas e h3 negativa em a > 0, ou quando h1 e h2 
negativas e h3 positiva para a < 0, ou apenas uma altura real e duas altura complexas, 
teremos duas raízes complexas conjugadas e duas raízes reais. Há também onde h1 , h2 e 
h3 ou são todas positivas ou todas negativas, ou também, com uma altura real e duas 
altura complexas, teremos todas as raízes complexas, dois pares de raízes conjugadas 
distintas. 
 Fazendo uma síntese entre os métodos de resolução das equação de segundo e 
terceiro grau, teremos: 
 r1 = xc – M + n 
 r2 = xc – m – n 
 r3 = xc + m – n 
 r4 = xc + M + n 
 
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−
b
𝑎
 = r1 + r2 + r3 + r4 = 4xc → xc = −
b
4𝑎
 
c
a
 = r1. + r1..r2 + r1..r3 + r1..r4 + r2..r3 + r2..r4 + r3..r4 = 6𝐱𝐜
𝟐 – ( M² + m² + 2n² ) 
−
d
𝑎
 = r1..r2..r3 + r1..r2..r4 + r1..r3..r4 + r2..r3..r4 
−
d
𝑎
 = 4𝐱𝐜
𝟑 – 2.xc.( M² + m² + 2n² ) + 2n.(M² – m²) 
e
𝑎
 = r1..r2..r3..r4 = 𝐱𝐜
𝟒 – 𝐱𝐜
𝟐.( M² + m² + 2n² ) + 2n.xc.( M² - m² ) + M².m² – n².( M²+m² ) +n
4
 
c
a
 = 6xc
2 – ( M² + m² + 2n² ) → ( M² + m² + 2n² ) = −
𝐲𝐜
′′
𝟐𝒂
 
 
−
d
𝑎
 = 4xc
3 – 2.xc.( M² + m² + 2n² ) + 2n.(M² – m²) 
– 
yc
′
𝑎
 + xc. 
yc
′′
𝑎
 + 4.xc
3 = 4xc
3 – 2.xc. (−
yc
′′
2𝑎
) + 2n.(M² – m²) → n.(M² – m²) = 
𝐲𝐜
′
𝟐𝒂
 
 
e
𝑎
 = xc
4 – xc
2.( M² + m² + 2n² ) + 2.xc.n.( M² – m² ) + M².m² – n².( M² + m² ) + n
4
 
yc
𝑎
 + xc
4 + xc
2 ∙
yc
′′
2𝑎
 – xc. 
yc
′
𝑎
 = xc
4 – xc
2. (−
yc
′′
2𝑎
) + 2.xc.(
yc
′
2𝑎
) + M².m² – n².( M² + m² ) + n4 
 
𝐲𝐜
𝒂
 = M².m² – n².( M² + m² ) + n4 
( M² + m² + 2n² ) = −
yc
′′
2𝑎
 → m² + M² = −
𝐲𝐜
′′
𝟐𝒂
 – 2n² 
n.(M² – m²) = 
yc
′
2𝑎
 → m² – M² = 
𝐲𝐜
′
𝟐𝒂∙𝐧
 
m² = −
𝐲𝐜
′′
𝟒𝒂
 – n² + 
𝐲𝐜
′
𝟒𝒂∙𝐧
 ; M² = −
𝐲𝐜
′′
𝟒𝒂
 – n² – 
𝐲𝐜
′
𝟒𝒂∙𝐧
 
 
M² + m² = −
yc
′′
2𝑎
 – 2n² 
yc
𝑎
 = M².m² – n².( −
yc
′′
2𝑎
 – 2n² ) + n4 = M².m² + 
𝐲𝐜
′′ ∙𝐧𝟐
𝟐𝒂
 + 3n
4
 
M².m² = (−
yc
′′
4𝑎
)
2
 + 
yc
′′∙n2
2𝑎
 + n
4
 – (
yc
′
4𝑎∙n
)
2
 
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yc
𝑎
 = (−
yc
′′
4𝑎
)
2
 + 
yc
′′∙n2
2𝑎
 + n
4
 – (
yc
′
4𝑎∙n
)
2
 + 
yc
′′ ∙n2
2𝑎
 + 3n
4
 
(
yc
𝑎
= 4n4 + (−
yc
′′
4𝑎
)
2
+ n2 ∙ (
yc
′′
𝑎
) − (
yc
′
4𝑎∙n
)
2
) . 
n2
4
 
(𝐧𝟐)𝟑 + (𝐧𝟐)𝟐 ∙ (
𝐲𝐜
′′
𝟒𝒂
) + (𝐧𝟐) ∙ (
𝟏
𝟒
(
𝐲𝐜
′′
𝟒𝒂
)
𝟐
−
𝐲𝐜
𝟒𝒂
) −
𝟏
𝟒
(
𝐲𝐜
′
𝟒𝒂
)
𝟐
= 𝟎 
 Solucionando esta equação de terceiro grau, para n² ≠ 0, obtemos a mesmas 
mesma raízes do quarto grau para cada n, apenas a ordem que se alternam. O sinal dado 
a n é mesmo que de 
𝐲𝐜
′
𝐲𝐜
′′ , ou seja: 
Se 
yc
′
yc
′′ > 0 → +n , se 
yc
′
yc
′′ < 0 → –n , para n ≠ 0 
Logo: 
𝐌 = √−
𝐲𝐜
′′
𝟒𝒂
− 𝐧𝟐 −
𝐲𝐜
′
𝟒𝒂∙𝐧
 e 𝐦 = √−
𝐲𝐜
′′
𝟒𝒂
− 𝐧𝟐 +
𝐲𝐜
′
𝟒𝒂∙𝐧
 
 
 r1 = xc – M + n1 = xc – M + n2 = xc – M + n3 
 r2 = xc – m – n1 = xc – m – n2 = xc + M + n3 
 r3 = xc + m – n1 = xc + M + n2 = xc – m – n3 
 r4 = xc + M + n1 = xc + m – n2 = xc + m – n3 
(obs.: a ordem de M e m pode varia do que aqui apresentado.) 
 Não há nenhuma restrição para Números complexos, sendo que podem advim de 
M ou m, fazendo uso do n, que é sempre haverá pelo menos uma número real. Também 
temos: 
 
No caso das raízes reais; 
 r1 = xc + n1 + n2 + n3 
 r2 = xc – n1 + n2 – n3 
 r3 = xc – n1 – n2 – n3 –1 
 r4 = xc + n1 – n2 + n3 +1 
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No caso de raízes complexas; 
 r1 = xc – n1 – n2 – n3 
 r2 = xc – n1 + n2 + n3 
 r3 = xc + n1 + n2 – n3 
 r4 = xc + n1 – n2 + n3 
 obs.: a ordem dos r’s pode varia do que aqui apresentado. Não recomenda-se este 
modo, pois os sinais dos n’s podem variar em alguns caso, havendo a necessidade de 
testar as raízes para verificar se o sinais estão corretos. 
 
Para todas as raízes reais 
Exemplo 7: 
a = 2 ; r1 = –3; r2 = 5; r3 = 7; r4 = 13. 
y(x) = 2x
4
 – 44x³ +232x² + 236x – 2730 
y’(x) = 8x³ – 132x² +464x + 236 
8x³ – 132x² +464x + 236 = 0 → x1= –0,45 ; x2 = 5,98 ; x3 = 10,97 . 
y(x1) ≈ –278,129 ; y(x2) ≈ 126,031 ; y(x3) ≈ –1344,278 . 
a > 0 ; y(x2) > 0 e [y(x1) e y(x3)] < 0 , Todas as raízes reais. 
 
xc = −
b
4𝑎
 = −
(−44)
4∙2
 = 5,5 
 
yc
′′ = 2.c – 12.a.𝑥𝑐
2 = 2 ∙ 232 − 12 ∙ 2 ∙ 5,52 = –262 
yc
′ = 4.a.xc
3 + xc. yc
′′ + d = 4 ∙ 2 ∙ 5,53 + 5,5 ∙ (−262) + 236 = 126 
yc = – a.xc
4 – xc
2 ∙
yc
′′
2
 + xc. yc
′ + e = −2 ∙ 5,54 − 5,52 ∙ (
−262
2
) + 5,5 ∙ 126 − 2730 = 
95,625 
 
(n2)3 + (n2)2 ∙ (
yc
′′
4𝑎
) + (n2) ∙ (
1
4
(−
yc
′′
4𝑎
)
2
−
yc
4𝑎
) −
1
4
(
yc
′
4𝑎
)
2
= 0 
(n2)3 + (n2)2 ∙ (
−262
4 ∙ 2
) + (n2) ∙ (
1
4
(
(−262)
4 ∙ 2
)
2
−
95,625
4 ∙ 2
) −
1
4
(
126
4 ∙ 2
)
2
= 0 
(n2)3−32,75∙(n2)2 + 256,1875 ∙ (n2) − 62,015625 = 0 
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n1
2 = 0,25 ; n2
2 = 12,25 ; n3
2 = 20,25 . 
 
yc
′
yc
′′ = 
126
−262
 ≈ –0,48 < 0 → n < 0 (Negativo) 
n1 = –0,5 ; n2 = –3,5 ; n3 = –4,5 . 
 
M = √−
yc
′′
4𝑎
− n2 −
yc
′
4𝑎∙n
 = √−
(−262)
4∙2
− (−0,5)2 −
126
4∙2∙(−0,5)
 = 8 
m = √−
yc
′′
4𝑎
− n2 +
yc
′
4𝑎∙n
 = √−
(−262)
4∙2
− (−0,5)2 +
126
4∙2∙(−0,5)
 = 1 
ou 
M = √−
yc
′′
4𝑎
− n2 −
yc
′
4𝑎∙n
 = √−
(−262)
4∙2
− (−3,5)2 −
126
4∙2∙(−3,5)
 = 5 
m = √−
yc
′′
4𝑎
− n2 +
yc
′
4𝑎∙n
 = √−
(−262)
4∙2
− (−3,5)2 +
126
4∙2∙(−3,5)
 = 4 
ou 
M = √−
yc
′′
4𝑎
− n2 −
yc
′
4𝑎∙n
 = √−
(−262)
4∙2
− (−4,5)2 −
126
4∙2∙(−4,5)
 = 4 
m = √−
yc
′′
4𝑎
− n2 +
yc
′
4𝑎∙n
 = √−
(−262)
4∙2
− (−4,5)2 +
126
4∙2∙(−4,5)
 = 3 
 
r1 = xc – M + n = 5,5 – 8 + (–0,5) = 5,5 – 5 + (–3,5) = 5,5 – 4 + (–4,5) = –3 
r2 = xc – m – n = 5,5 – 1 – (–0,5) = 5,5 – 4 – (–3,5) = 5,5 + 4 + (–4,5) = 5 
r3 = xc + m – n = 5,5 + 1 – (–0,5) = 5,5 + 5 + (–3,5) = 5,5 – 3 – (–4,5) = 7 
r4 = xc + M + n = 5,5 + 8 + (–0,5) = 5,5 – 4 – (–3,5) = 5,5 + 3 – (–4,5) = 13 
 
Para o caso de raízes reais, podemos: 
r1 = xc + n1 + n2 + n3 = 5,5 – 0,5 – 3,5 – 4,5 = –3 
r2 = xc + n1 – n2 + n3 +1 = 5,5 – 0,5 + 3,5 – 4,5 +1 = 5 
r3 = xc – n1 + n2 – n3 = 5,5 + 0,5 – 3,5 + 4,5 = 7 
r4 = xc – n1 – n2 – n3 –1 = 5,5 + 0,5 + 3,5 + 4,5 –1 = 13 
 
 
 
 
Adriano Ferreira Duque : adr_f_duque_25@hotmail.com , +5592993686197 
Para duas raízes complexas 
Exemplo 8: 
a = 1; r1 = –7 –2i ; r2 = –7 +2i ; r3 = 4 ; r4 = 9 (–7 < 4 < 9) 
y(x) = x
4
 + x³ – 93x² – 185x + 1908 
y’(x) = 4x³ + 3x² – 93x – 185 
4x³ + 3x² – 93x – 185 = 0 → x1 = –6,67688393… ; x2 = –1 ; x3 = 6,92688393… . 
y(x1) ≈ 686,9962493… ; y(x2) = 2000 ; y(x3) ≈ –1201,164218… . 
a > 0 ; y(x3) < 0 e [y(x1) e y(x2)] > 0 , Duas raízes complexas e duas reais. 
xc = −
b
4𝑎
 = −
(1)
4∙1
 = –0,25 
yc
′′ = 2.c – 12.a.𝑥𝑐
2 = 2 ∙ (−93) − 12 ∙ 1 ∙ (−0,25)2 = –186,75 
 
yc
′ = 4.a.xc
3 + xc. yc
′′ + d 
yc
′ = 4 ∙ 1 ∙ (−0,25)3 + (−0,25) ∙ (−186,75) − 185 = -138,375 
yc = – a.xc
4 – xc
2 ∙
yc
′′
2
 + xc. yc
′ + e 
yc = −1(−0,25)4 − (−0,25)2 ∙ (
−186,75
2
) + (−0,25) ∙ (−138,375) + 1908 
yc = 1948,42578125 
 
(n2)3 + (n2)2 ∙ (
yc
′′
4𝑎
) + (n2) ∙ (
1
4
(
yc
′′
4𝑎
)
2
−
yc
4𝑎
) −
1
4
(
yc
′
4𝑎
)
2
= 0 
(n2)3 + (n2)2 ∙ (
−186,75
4 ∙ 1
) + (n2) ∙ (
1
4
(
(−186,75)
4 ∙ 1
)
2
−
1948,42578125
4 ∙ 1
)
−
1
4
(
−138,375
4 ∙ 1
)
2
= 0 
(n2)3−46,6875∙(n2)2 + 57,82421875 ∙ (n2) − 299,181884765625 = 0 
n1
2 = 45,5625 ; n2
2 = 0,5625 –2,5i ; n3
2 = 0,5625 +2,5i . 
 
yc
′
yc
′′ = 
−138,375
−186,75
 ≈ 0,741 > 0 → n > 0 (Positivo) 
n1 = 6,75 . 
 
M = √−
yc
′′
4𝑎
− n2 −
yc
′
4𝑎∙n
 = √−
(−186,75)
4∙1
− (6,75)2 −
(−138,375)
4∙1∙(6,75)
 = 2,5 
m = √−
yc
′′
4𝑎
− n2 +
yc
′
4𝑎∙n
 = √−
(−186,75)
4∙1
− (6,75)2 +
(−138,375)
4∙1∙(6,75)
 = 2i 
Adriano Ferreira Duque : adr_f_duque_25@hotmail.com , +5592993686197 
 
r1 = xc – n – m = –0,25 – 6,75 – 2i = –7 –2i 
r2 = xc – n + m = –0,25 – 6,75 + 2i = –7 +2i 
r3 = xc + n – M = –0,25+ 6,75 – 2,5 = 4 
r4 = xc + n + M = –0,25+ 6,75 + 2,5 = 9 
 
Para todas as raízes complexas 
Exemplo 9: 
a = 1; r1 = –5 – i ; r2 = –5 + i ; r3 = 13 – 3i ; r4 = 13 + 3i . 
y(x) = x
4
 – 16x³ – 56x² + 1104x + 4628 
y’(x) = 4x³ – 48x² – 112x + 1104 
4x³ – 48x² – 112x + 1104 = 0 
x1 = –4,94563083… ; x2 = 4,475095215... ; x3 = 12,4705356… 
y(x1) ≈ 332,0242391… ; y(x2) ≈ 7414,155908... ; y(x3) ≈ 2841,819853… . 
a > 0 ; [y(x1) , y(x2) e y(x3)] > 0 , Todas as raízes complexas. 
 
xc = −
b
4𝑎
 = −
(–16)
4∙1
 = 4 
 
yc
′′ = 2.c – 12.a.𝑥𝑐
2 = 2 ∙ (−56) − 12 ∙ 1 ∙ (4)2 = –304 
 
yc
′ = 4.a.xc
3 + xc. yc
′′ + d = 4 ∙ 1 ∙ (4)3 + (4) ∙ (−304) + 1104 = 144 
 
yc = – a.xc
4 – xc
2 ∙
yc
′′
2
 + xc. yc
′ + e = −1(4)4 − (4)2 ∙ (
−304
2
) + (4) ∙ (144) + 4628 
yc = 7380 
(n2)3 + (n2)2 ∙ (
yc
′′
4𝑎
) + (n2) ∙ (
1
4
(
yc
′′
4𝑎
)
2
−
yc
4𝑎
) −
1
4
(
yc
′
4𝑎
)
2
= 0 
(n2)3 + (n2)2 ∙ (
−304
4 ∙ 1
) + (n2) ∙ (
1
4
(
(−304)
4 ∙ 1
)
2
−
(7380)
4 ∙ 1
) −
1
4
(
144
4 ∙ 1
)
2
= 0 
(n2)3−76∙(n2)2 − 401 ∙ (n2) − 324 = 0 
 
n1
2 = –4 ; n2
2 = –1 ; n3
2 = 81 . 
 
yc
′
yc
′′ = 
144
−304
 ≈ –0,47368421 < 0 → n < 0 (Negativo) 
Adriano Ferreira Duque : adr_f_duque_25@hotmail.com , +5592993686197 
n1 = 2i ; n2 = i ; n3 = –9 . 
n = –9 
 
M = √−
yc
′′
4𝑎
− n2 −
yc
′
4𝑎∙n
 = √−
(−304)
4∙1
− 81 −
144
4∙1∙(−9)
 = i 
m = √−
yc
′′
4𝑎
− n2 +
yc
′
4𝑎∙n
 = √−
(−304)
4∙1
− 81 +
144
4∙1∙(−9)
 = 3i 
 
r1 = xc + n – M = 4 – 9 – i = –5 – i 
r2 = xc + n + M = 4 – 9 + i = –5 + i 
r3 = xc – n – m = 4 + 9 – 3i = 13 – 3i 
r4 = xc – n + m = 4 + 9 + 3i = 13 + 3i 
 
Para o caso de raízes complexas, podemos: 
 
r1 = xc – n1 + n2 + n3 = 4 – 2i + i – 9 = –5 – i 
r2 = xc + n1 – n2 + n3 = 4 + 2i – i – 9 = –5 + i 
r3 = xc – n1 – n2 – n3 = 4 – 2i – i + 9 = 13 – 3i 
r4 = xc + n1 + n2 – n3 = 4 + 2i + i + 9 = 13 + 3i 
 
CONCLUSÃO E NOTA DO AUTOR 
 Os métodos aqui apresentado se faz perfeitamente satisfatório, busquei ser o 
mais esclarecedor e didático possível, espero que o aqui apresentado se faça útil a todos 
que por ventura em outras materiais tenha tido algumas dificuldades com as equações.