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RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS
Docente: Eng. John Edward Neira Villena D.Sc
APRESENTAÇÃO
• Disciplina: Resistência dos Materiais;
• Código: ReMa1;
• Carga horária: 64 horas, 48 teóricas e 16 práticas;
• Período Letivo: 2017-1, 14/08/2017 a 18/12/2017;
• Professor: John Edward Neira Villena;
• Horários : Segunda-feira (14:00 às 15:40), Terça-feira 
(10:00 às 11:40); Sala 15.
• Horário de Atendimento: Terça-feira (16:00 às 
17:40); Sala 22.
APRESENTAÇÃO
• Professor: John Edward Neira Villena;
Classe A – 40h/DE - FCT/UFG
• Sala de Permanência: 22; 
• Email: johnneirav@hotmail.com;
• Facebook: John Villena.
APRESENTAÇÃO
Física 1
(2º Período)
Mecânica Aplicada
(4º Período)
Resistência dos Materiais
(5º Período)
EMENTA
• Contato Inicial (13/03/2018); 
• Carregamento Axial (19-20/03/2018); 
• Tensão e deformação, propriedades mecânicas dos 
materiais (26/03/2018, 02-03-09-10-16/03/2018); 
• Primeira Prova (23/04/2017); 
• Flexão (17-24-30/04/2018, 07-08-14-15-21-22-
28/05/2018);
• Segunda Prova (04/06/2017);
EMENTA
• Análise de tensões e deformações (29/05/2018, 05-11-
12/06/2018); 
• Deslocamentos em vigas (18-19/06/2018);
• Terceira prova (02/07/2018);
• Revisão e entrega das provas (03/07/2018);
• Prova substitutiva - substitui a pior nota (09/07/2018)
OBJETIVO
Principal
• O principal objetivo do estudo da mecânica dos 
materiais é proporcionar ao futuro engenheiro os 
meios para analisar e projetar várias máquinas e 
estruturas portadoras de carga.
OBJETIVO
Específicos: 
• Ao final do curso, o aluno deverá ser capaz de 
analisar tensões e deformações de vários 
elementos estruturais, e determinar deflexão de 
vigas através de diferentes métodos de solução.
AVALIAÇÕES
• Primeira prova 23/04/2018;
• Segunda prova 04/06/2018;
• Terceira prova 02/07/2018;
• Prova substitutiva 09/07/2018;
• Avaliações: 0,0 a 9,0;
• Trabalho: 0,0 a 1,0.
BIBLIOGRAFIA
BÁSICA
BEER, F.P.; JONSTON, E.R; DEWOLF, J.T., Resistência dos Materiais. 4ª 
ed. São Paulo: McGraw-Hill Interamericana. 2006
HIBBELER, R.C., Resistência dos Materiais, 5ª. Ed. São Paulo, Prentice 
Hall. 2004.
TIMOSHENKO, S. e GERE, J. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos-
LTC. 1983.
Bibliografia Complementar:
BOTELHO M. H. C. Resistência dos Materiais. Edgard Blucher Ltda, São 
Paulo, Brasil. 2008.
CRAIG, R. Jr, Mecânica dos Materiais, Rio de Janeiro, Livros Técnicos e 
Científicos- LTC. 2003.
GERE, J. Mecânica dos Materiais, São Paulo, Thompson Learning. 2003.
POPOV, E, Introdução à Mecânica dos sólidos. São Paulo: Edgard Blucher, 
1978.
TIMOSHENKO, S. P. Mecânica dos Sólidos. Rio de Janeiro: LTC, 1994.
INTRODUÇÃO
Mecânica: 
• Ciência que descreve e prediz as condições de 
repouso ou movimento de corpos sob a ação de 
forças.
INTRODUÇÃO
Mecânica
Corpos 
Rígidos
Corpos 
Deformáveis 
Fluidos
Estática – Trata de corpos em 
repouso
Cinemática – Trata de corpos em 
movimento
Dinâmica – Trata de corpos em 
movimento
Compressíveis
Incompressíveis
Hidráulica
........
Resistência dos Materiais
ESTÁTICA
A estrutura mostrada, projetada para suportar uma carga de 30 kN. A 
barra AB tem seção transversal retangular de 30 x 50 mm e a barra 
BC tem seção transversal circular com diâmetro de 20 mm. As duas 
barras estão conectadas por um pino em B e são suportadas por pinos 
e suportes em A e C, respectivamente.
ESTÁTICA
ESTÁTICA
Então: 
A reação em Ax é dirigida ao longo do eixo da barra AB e 
provoca compressão nessa barra
ESTÁTICA
Podemos aplicar a proporção: 
Da qual obtemos: 
ESTÁTICA
As forças F’AB e F’BC exercidas pelo pino B, 
respectivamente, na barra AB e haste BC são iguais e 
opostas a FAB e FBC
TENSÕES NOS ELEMENTOS
DE UMA ESTRUTURA
FBC realmente representa a resultante das forças 
elementares distribuídas sobre toda a área A da seção 
transversal
TENSÕES NOS ELEMENTOS
DE UMA ESTRUTURA
A tensão na seção 
transversal de área A de uma
barra submetida a uma carga 
axial P, é obtida dividindo-se 
o valor da carga P pela área 
A:
CARGA AXIAL E
TENSÃO NORMAL
Dividindo a intensidade de DF por DA, obtemos o valor 
médio da tensão sobre DA. Fazendo DA aproximar-se 
de zero, obtemos a tensão no ponto Q:
CARGA AXIAL E
TENSÃO NORMAL
As condições de equilíbrio de 
cada uma das partes da barra 
exigem que essa intensidade 
seja igual à intensidade P das 
cargas concentradas. Temos, 
portanto:
CARGA AXIAL E
TENSÃO NORMAL
Quando assumimos que as forças internas estão 
distribuídas uniformemente através da seção, segue-se 
da estática elementar que a resultante P das forças 
internas deve ser aplicada no centroide C da seção
CARGA AXIAL E
TENSÃO NORMAL
Uma distribuição uniforme da tensão é 
possível somente se a linha de ação das 
cargas concentradas P e P´ passar 
através do centroide da seção 
considerada.
CARGA AXIAL E
TENSÃO NORMAL
Uma força P aplicada 
no centroide da seção 
e um conjugado M, 
cuja intensidade é 
dada pelo momento 
M=P*d.
TENSÃO DE CISALHAMENTO
TENSÃO DE CISALHAMENTO
TENSÃO DE CISALHAMENTO
Ao dividir a força cortante P pela área A da seção 
transversal, obtemos a tensão média de cisalhamento 
na seção:
TENSÃO DE CISALHAMENTO
Cisalhamento simples:
TENSÃO DE CISALHAMENTO
Cisalhamento duplo:
TENSÃO DE ESMAGAMENTO
EM CONEXÕES
Tensão de esmagamento:
APLICAÇÃO À ANÁLISE E
PROJETO DE ESTRUTURAS SIMPLES
No suporte, a parte superior do 
elemento ABC tem 9,5 mm de 
espessura e as partes inferiores 
têm 6,4 mm de espessura cada 
uma. 
É utilizada resina epóxi para unir 
as partes superior e inferior em 
B.
O pino em A tem 9,5 mm de 
diâmetro e o pino usado em C
tem 6,4 mm de diâmetro.
APLICAÇÃO À ANÁLISE E
PROJETO DE ESTRUTURAS SIMPLES
Determine 
(a) a tensão de cisalhamento no 
pino A, 
(b) a tensão de cisalhamento no 
pino C, 
(c) a maior tensão normal no 
elemento ABC, 
(d) a tensão de cisalhamento 
média nas superfícies 
coladas em B e
(e) a tensão de esmagamento no 
elemento em C.
APLICAÇÃO À ANÁLISE E
PROJETO DE ESTRUTURAS SIMPLES
Corpo livre: todo o suporte.
Tração.
APLICAÇÃO À ANÁLISE E
PROJETO DE ESTRUTURAS SIMPLES
a. Tensão de cisalhamento no pino A.
APLICAÇÃO À ANÁLISE E
PROJETO DE ESTRUTURAS SIMPLES
b. Tensão de cisalhamento no pino C.
APLICAÇÃO À ANÁLISE E
PROJETO DE ESTRUTURAS SIMPLES
c. Maior tensão normal no membro ABC.
APLICAÇÃO À ANÁLISE E
PROJETO DE ESTRUTURAS SIMPLES
d. Tensão de cisalhamento média em B.
APLICAÇÃO À ANÁLISE E
PROJETO DE ESTRUTURAS SIMPLES
e. Tensão de esmagamento no membro ABC em C.
Temos que A é:
CONSIDERAÇÕES DE PROJETO
Exercício
Sabendo que o elemento DE tem 25,4 mm de largura e 3,2 
mm de espessura, determine a tensão normal na parte 
central daquele vínculo quando
(a) q = 0 e 
(b) q = 90.
E
C
CONSIDERAÇÕES DE PROJETO
Exercício
Solução
Diagrama de corpo livre
Calculando a área 
FDE
Cx
Cy
 Mc = 0+
N
2
2
CONSIDERAÇÕES DE PROJETO
Exercício
Solução
a) q = 0; FDE = -346,66 N
b) q = 90; FDE = -173,33 N
E
C
FDE
Cx
Cy
CONSIDERAÇÕES DE PROJETO
Exercício
Um sistema constituído 
de barras e cilindro 
hidráulico controla a 
posição dos garfos de 
uma empilhadeira. A 
carga suportada pelo 
sistema é 6.670 N. 
Sabendo que a 
espessura do elemento 
BD é 15,88 mm, 
CONSIDERAÇÕES DE PROJETO
Exercício
Determine:
a) a tensão de 
cisalhamento média no 
pino de 12,5 mm de 
diâmetro em B e 
b) a tensão de 
esmagamento em B noelemento BD.
CONSIDERAÇÕES DE PROJETO
Exercício
Solução
Diagrama de corpo livre
E
Bx
By
 MB = 0+
 = 0+
CONSIDERAÇÕES DE PROJETO
Exercício
Solução
E
Bx
By
 Fy = 0+
CONSIDERAÇÕES DE PROJETO
Exercício
Solução
a) t no pino B
E
Bx
By
CONSIDERAÇÕES DE PROJETO
Exercício
Solução
b) tensão de 
esmagamento em B.
E
Bx
By
CONSIDERAÇÕES DE PROJETO
Exercício Proposto
Uma carga P é aplicada a uma barra de aço suportada por 
uma chapa de alumínio na qual foi feito um furo de 12 mm 
conforme mostra a figura. Sabendo que a tensão de 
cisalhamento não deve exceder 140 MPa na barra de aço e 
60 MPa na chapa de alumínio, determine a máxima carga P 
que pode ser aplicada à barra.
CONSIDERAÇÕES DE PROJETO
Exercício Proposto
Para a barra de aço:
CONSIDERAÇÕES DE PROJETO
Exercício Proposto
Para a chapa de alumínio:
O valor limite da carga P é o menor valor entre P1 e P2.
P = 52,78 x 103N 
TENSÃO EM UM PLANO OBLÍQUO 
SOB CARREGAMENTO AXIAL
TENSÃO EM UM PLANO OBLÍQUO 
SOB CARREGAMENTO AXIAL
TENSÃO EM UM PLANO OBLÍQUO 
SOB CARREGAMENTO AXIAL
TENSÃO EM UM PLANO OBLÍQUO 
SOB CARREGAMENTO AXIAL
Carga axial Tensão para θ = 0
Tensão para θ = 45º Tensão para θ = -45º
TENSÃO SOB CONDIÇÕES
GERAIS DE CARREGAMENTO
Componentes de tensão Força cortante Força normal
TENSÃO SOB CONDIÇÕES
GERAIS DE CARREGAMENTO
Componentes de tensão
TENSÃO SOB CONDIÇÕES
GERAIS DE CARREGAMENTO
Componentes de tensão
TENSÃO SOB CONDIÇÕES
GERAIS DE CARREGAMENTO
Componentes de tensão
TENSÃO SOB CONDIÇÕES
GERAIS DE CARREGAMENTO
Componentes de tensão: 
Considerando um pequeno cubo de lado a centrado em Q
e as tensões que atuam em cada uma das seis faces.
TENSÃO SOB CONDIÇÕES
GERAIS DE CARREGAMENTO
Componentes de tensão:
Multiplicando as componentes de tensão correspondentes 
pela área D A de cada face.
TENSÃO SOB CONDIÇÕES
GERAIS DE CARREGAMENTO
Componentes de tensão:
Como há forças iguais e 
opostas às forças 
mostradas na figura que 
atuam nas faces ocultas 
do cubo, está claro que 
as 3 Equações ficam 
satisfeitas
TENSÃO SOB CONDIÇÕES
GERAIS DE CARREGAMENTO
Componentes de tensão:
Considerando os 
momentos das forças em 
relação aos eixos Qx´, Qy ´
e Qz´ desenhados a partir 
de Q em direções, 
respectivamente, paralelas 
aos eixos x, y e z.
TENSÃO SOB CONDIÇÕES
GERAIS DE CARREGAMENTO
Componentes de tensão:
Utilizando a projeção no 
plano xy, notamos que 
somente as forças de 
cisalhamento têm 
momentos, em relação ao 
eixo z, diferentes de zero.
Concluímos que:
TENSÃO SOB CONDIÇÕES
GERAIS DE CARREGAMENTO
Componentes de tensão:
Utilizando:
Concluímos que:
Utilizando:
Concluímos que:
Concluímos que são necessárias somente seis 
componentes de tensão para definir o estado de tensão em 
um determinado ponto Q em lugar das nove componentes 
consideradas originalmente. Essas seis componentes são:
TENSÃO SOB CONDIÇÕES
GERAIS DE CARREGAMENTO
Componentes de tensão:
Notamos também que, em um determinado ponto, o 
cisalhamento não pode ocorrer apenas em um plano; deve 
sempre existir uma tensão de cisalhamento igual em outro 
plano perpendicular ao primeiro.
TENSÃO SOB CONDIÇÕES
GERAIS DE CARREGAMENTO
Componentes de tensão:
Exercício Proposto
Uma carga P centrada é 
aplicada ao bloco de 
granito mostrado na 
figura.
Sabendo que o valor 
máximo resultante da 
tensão de cisalhamento 
no bloco é 17,24 MPa, 
TENSÃO SOB CONDIÇÕES
GERAIS DE CARREGAMENTO
Exercício Proposto
determine: 
a) a intensidade de P, 
b) a orientação da 
superfície na qual 
ocorre a tensão de 
cisalhamento 
máxima, 
c) a tensão normal que 
atua na superfície e
d) o valor máximo da 
tensão normal no 
bloco.
TENSÃO SOB CONDIÇÕES
GERAIS DE CARREGAMENTO
Exercício Proposto
Solução
a) Intensidade de P
TENSÃO SOB CONDIÇÕES
GERAIS DE CARREGAMENTO
Exercício Proposto
Solução
b) Orientação da superfície
Lembrando que
E que: 
Temos que:
TENSÃO SOB CONDIÇÕES
GERAIS DE CARREGAMENTO
Exercício Proposto
Solução
b) Orientação da superfície
Então:
Para ter 
TENSÃO SOB CONDIÇÕES
GERAIS DE CARREGAMENTO
Exercício Proposto
Solução
c) a tensão normal 
TENSÃO SOB CONDIÇÕES
GERAIS DE CARREGAMENTO
Exercício Proposto
Solução
d) valor máximo da tensão 
normal 
TENSÃO SOB CONDIÇÕES
GERAIS DE CARREGAMENTO
CONSIDERAÇÕES DE PROJETO
Determinação do limite de resistência de um material:
PL: força máxima é chamada de carga-limite do corpo de 
prova. 
sL: limite da tensão normal do material utilizado. Essa 
tensão, também conhecida como limite de resistência à 
tração.
CONSIDERAÇÕES DE PROJETO
Carga admissível e tensão admissível; coeficiente de 
segurança:
CONSIDERAÇÕES DE PROJETO
Exercício Proposto
O vínculo AB deve ser feito de um aço para o qual o limite da 
tensão normal é 450 MPa. Determine a área da seção 
transversal para AB para a qual o coeficiente de segurança seja 
3,50. Suponha que o vínculo seja reforçado adequadamente ao 
redor dos pinos em A e B.
CONSIDERAÇÕES DE PROJETO
Exercício Proposto
Solução
Diagrama de corpo livre
Temos que
Então:
Dx
P
0,2 m
Dy
FAB
 D+
Introdução
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Diagrama força-deformação (d ) Delta
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Em ambos os casos, o valor da tensão é o mesmo: s = P/A.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Em ambos os casos, a relação entre 
a deformação e o comprimento da 
barra é a mesma; ela é igual a d/L.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Deformação específica: 
• Definimos deformação específica normal em uma barra 
sob carregamento axial como a deformação por unidade 
de comprimento da barra. 
e : Deformação específica normal (épsilon)
d : Deformação
L: Comprimento
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Seção transversal uniforme.
• A tensão normal s tem um 
valor constante igual a P/A por 
toda a barra; 
• a deformação específica e
pode ser definida como a 
relação entre a deformação 
total d sobre o comprimento 
total L da barra.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Seção transversal variável.
• A tensão normal s = P/A
varia ao longo do 
elemento;
• é necessário definir a 
deformação específica em 
determinado ponto Q;
• Definimos a deformação 
específica normal no ponto 
Q como:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exemplo
• Considere, por exemplo, uma barra de comprimento L
0,600 m com seção transversal uniforme, que sofre uma 
deformação d = 150x10-6 m. 
• Determine deformação específica.
• Expressando em m:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exemplo
• Considere, por exemplo, uma barra de comprimento L 
0,600 m com seção transversal uniforme, que sofre uma 
deformação d = 150x10-6 m. 
• Determine deformação específica.
• Utilizando unidades inglesas:
• Comprimentos e deformações são expressos em 
polegadas ou micropolegadas (mpol)
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Materiais Cristalinos e Policristalinos
Núcleos de 
cristalização
Crescimento 
dos cristalitos
Conclusão da 
solidificação
Contornos dos 
grãos 
(microscópio)
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Imperfeições nos 
sólidos
Todos os sólidos 
cristalinos contêm 
lacunas; 
A necessidade da 
existência das 
lacunas é explicada 
considerando os 
princípios da 
termodinâmica.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Impurezas nos sólidos
Metais com 
pureza superior 
a 99,9999%;
De 1022 a 1023
átomos de 
impurezas/m3
do material.
Ligas, prata de 
lei (92,5 Ag e 
7,2 Cu).
Resistência 
mecânicae 
corrosão. 
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Diagrama tensão-deformação
• Geralmente utilizado ensaio de 
tração;
• A área da seção transversal da 
parte central cilíndrica do corpo de 
prova foi determinada com 
precisão;
• Marcas de referência determinam 
um distância L0;
• L0 é conhecida como comprimento 
de referência do corpo de prova.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Diagrama tensão-deformação
• Máquina de teste, máquina de ensaio universal;
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Diagrama tensão-deformação
• Carga centrada P;
• L é medida com um extensômetro,
• O alongamento d = L- L0 é registrado 
para cada valor de P.
• Um segundo extensômetro mede a 
alteração no diâmetro.
• Para cada par de leituras P e d é 
calculada a s = P/A0
• e = L/L0
• Diagrama tensão-deformação e como 
abscissa e s como ordenada.
• Os diagramas s -e variam muito 
dependendo de T e da v da carga
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Materiais dúcteis 
típicos; 
• Escoam na Tambiente;
• L aumenta 
linearmente a uma 
taxa muito baixa;
• Parte inicial: linha 
reta com inclinação 
bastante acentuada;
• Após sE, grande 
deformação com 
pequeno aumento 
relativo de P.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Diagrama tensão-deformação
sL
Discordâncias – defeitos lineares
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Discordâncias e Deformação Plástica
A deformação plástica macroscópica corresponde 
simplesmente a uma deformação permanente resultante do 
movimento das discordâncias, ou escorregamento, em 
resposta à aplicação de uma tensão cisalhante
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Corpo de prova ensaiado de um 
material dúctil.
• Após um certo valor máximo de 
P, o diâmetro de uma parte do 
corpo de prova começa a 
diminuir, em razão da 
instabilidade local (estricção).
• Após a estricção, P mais baixas 
são suficientes para manter o 
corpo de prova alongando, até a 
ruptura.
• Superfície cônica que forma um 
ângulo de aproximadamente 45 
(cisalhamento).
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Diagrama tensão-deformação: Materiais dúcteis
Resistência ao 
escoamento
Limite de 
resistência
Resistência 
à ruptura
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Diagrama tensão-deformação: Materiais dúcteis
Até 200 
vezes maior
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Diagrama tensão-deformação: Materiais frágeis
Limite de 
resistência
Resistência 
à ruptura
• Ferro fundido, 
vidro e pedra;
• sem mudança 
notável na taxa 
de alongamento
• e no instante da 
ruptura é muito 
menor
Corpo de prova ensaiado de um 
material frágil.
• Sem estricção no corpo de prova;
• Ruptura ocorre ao longo de uma 
superfície perpendicular à carga.
• Concluímos que as tensões normais 
são as principais responsáveis pela 
falha de materiais frágeis.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Diagrama tensão-deformação: Materiais dúcteis
• Diferentes características de escoamento
• Aço: ponto de escoamento superior (transitório), e ponto 
de escoamento inferior.
Fenômeno de encruamento. 
Escoamento inferior = resistência ao escoamento.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Diagrama tensão-deformação: Materiais dúcteis
• Determinação da resistência ao escoamento pelo 
método do desvio.
e = 0,2%
e = 0,002
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Diagrama tensão-deformação: Materiais dúcteis
• Ductilidade de um material é definida como:
L0: comprimento inicial do corpo de prova
LR: comprimento final na ruptura
AR: área inicial do corpo de prova
A0: área final na ruptura 
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Diagrama tensão-deformação: Concreto
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Diagrama tensão-deformação : Materiais dúcteis
• Compressão: curva tensão-deformação específica obtida 
seria essencialmente a mesma em sua parte inicial reta e 
no início da parte correspondente ao escoamento e 
encruamento.
• Para determinado aço, sE é a mesma tanto na tração 
como na compressão.
• Para valores maiores de e, as curvas tensão-deformação 
na tração e na compressão divergem
• Deve-se notar que a estricção não pode ocorrer na 
compressão.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Diagrama tensão-deformação: Concreto
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Lei de Hooke; módulo de elasticidade
• E é chamado de módulo de elasticidade do material 
envolvido, ou também módulo de Young; é expresso nas 
mesmas unidades da s ;
• O maior valor de s para o qual a lei de Hooke pode ser 
utilizada para determinado material é conhecido como o 
limite de proporcionalidade daquele material;
• Para materiais dúcteis que possuem um ponto de 
escoamento bem definido, o limite de proporcionalidade 
quase coincide com o ponto de escoamento.
• Para outros materiais, o limite de proporcionalidade não 
pode ser definido tão facilmente.
Lei de Hooke; módulo de elasticidade
Porção elástica da 
curva tensão-
deformação não é 
linear;
Ferro fundido cinzento, 
concreto e muitos 
polímero;
Para esse 
comportamento não 
linear, utiliza-se 
normalmente ou 
o módulo tangente ou 
o módulo secante.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Lei de Hooke; módulo de elasticidade
• Algumas das 
propriedades físicas dos 
metais estruturais, como 
resistência, ductilidade 
e resistência à corrosão, 
podem ser muito 
afetadas pela inclusão 
de elementos de liga, 
tratamento térmico e 
processos de fabricação 
utilizados.
• possuem o mesmo 
módulo de elasticidade
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Lei de Hooke; módulo de elasticidade
• independente da direção de carregamento:
materiais são isotrópicos.
• depende da direção de carregamento: 
materiais anisotrópicos.
• Materiais compósitos 
reforçados com fibras
• Ex, Ey e Ez são 
diferentes
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Comportamento elástico e comportamento plástico
de um material 
• O limite de proporcionalidade e o limite elástico 
aumentaram em consequência do encruamento;
• R se manteve inalterado, a ductilidade diminuiu.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Deformações de elementos sob carregamento axial
• Se a s = P/A não ultrapassar o 
limite de proporcionalidade do 
material, podemos aplicar a lei 
de Hooke
• Lembrando que:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Deformações de elementos sob carregamento axial
• Se a barra estiver carregada em outros pontos, ou se ela 
consistir em diversas partes com várias seções 
transversais e possivelmente de diferentes materiais, 
precisamos dividi-la em partes componentes que 
satisfaçam individualmente às condições de cada parte i
• Lembrando que 
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exemplo
• Determine a deformação da barra de aço submetida às 
forças dadas (E = 200 GPa).
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exemplo
• Dividimos a barra 
em três partes:
• Calculando P
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exemplo
• Dividimos a barra 
em três partes:
• Calculando P
• Aplicando
Exercício Prático
Um corpo de provas de ferro fundido maleável, tendo uma 
seção transversal retangular com dimensões de 4,8 mm × 15,9 
mm é deformado em tração. Usando os dados carga-alonga-
mento mostrados na tabela a seguir, complete os itens (a) a (f).
a) Represente graficamente os dados da tensão em função da 
deformação específica.
b) Calcule o módulo de elasticidade.
c) Determine o limite de escoamento para um desvio de 0,002.
d) Determine o limite de resistência à tração para essa liga.
e) Indiquese o material possui um comportamento frágil ou 
dúctil.
f) Qual é a ductilidade em termos de deformação percentual?
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercício 
Prático:
Solução
Carga N Comprimento mm
0,000 75,000
4.740 75,025
9.140 75,050
12.920 75,075
16.540 75,113
18.300 75,150
20.170 75,225
22.900 75,375
25.070 75,525
26.800 75,750
28.640 76,500
30.240 78,000
31.100 79,500
31.280 81,000
30.820 82,500
29.180 84,000
27.190 85,500
24.140 87,000
18.970 88,775
Fratura
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Deformação Específica (e) Tensão (MPa)
0 0
0,000333333 62,10691824
0,000666667 119,7589099
0,001 169,2872117
0,001506667 216,7190776
0,002 239,7798742
0,003 264,2819706
0,005 300,0524109
0,007 328,4853249
0,01 351,1530398
0,02 375,2620545
0,04 396,2264151
0,06 407,4947589
0,08 409,8532495
0,1 403,8259958
0,12 382,3375262
0,14 356,2631027
0,16 316,2997904
0,183666667 248,5587002
Fratura
ଶ
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercício 
Prático:
Solução
Exercício Prático: Solução
a)
Te
ns
ão
 (M
Pa
)
Deformação Específica
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercício Prático: Solução
b) 
Te
ns
ão
 (M
Pa
)
Deformação Específica
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercício Prático: Solução
c) 
Te
ns
ão
 (M
Pa
)
Deformação Específica
ா
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercício Prático: Solução
d) 
௅
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Te
ns
ão
 (M
Pa
)
Deformação Específica
Exercício Prático: Solução
e) Dúctil
f) ோ ଴
଴
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercício Proposto
A figura mostra, para um 
ferro fundido cinzento, a 
curva tensão-deformação 
em tração na região 
elástica.
Determine
(a) o módulo tangente 
tomado a 10,3 MPa e
(b) o módulo secante 
tomado a 6,9 MPa
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercício Proposto
Solução:
a) Temos que:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercício Proposto
Solução:
b) Temos que:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Carregamentos repetidos; fadiga.
• milhares ou milhões 
de vezes
• Uma falha por fadiga é 
de natureza frágil, 
mesmo para materiais 
normalmente dúcteis;
• falha inicia em uma 
trinca microscópica 
ou em alguma 
imperfeição similar
• no mar ou próximo do 
mar, ou corrosão, 
redução de 50%.
Limite de 
resistência 
à fadiga
metade do limite 
de resistência
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Tensões e deformações específicas verdadeiras 
• tensão de engenharia
• tensão verdadeira
• deformação específica de
engenharia
• deformação elementar
• deformação específica
verdadeira
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
• Quando ambas as extremidades da barra se movem a 
deformação da barra é medida pelo deslocamento 
relativo
A é a área da 
seção transversal 
de AB; 
E é módulo de 
elasticidade de 
AB.
Deformações de elementos sob carregamento axial
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
• A barra rígida BDE é suspensa por duas barras AB e 
CD. A barra AB é de alumínio (E = 70 GPa) e tem uma 
seção transversal com área de 500 mm2;
Exemplo
• A barra CD é de aço (E
= 200 GPa) e tem uma 
seção transversal com 
área de 600 mm2. 
• Para a força de 30 kN
mostrada na figura, 
determine os 
deslocamentos dos 
pontos (a) B, (b) D e (c) 
E.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
• Corpo livre: barra BDE
Exemplo
tração
compressão
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
• Deslocamento do ponto B.
Exemplo
Contração em AB
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
• Deslocamento do ponto D.
Exemplo
Tração em CD
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
• Deslocamento do ponto E.
Exemplo
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
• A barra BD feita de aço (E = 200 
GPa) é utilizada para contenção 
lateral da haste comprimida ABC;
• O máximo esforço que se 
desenvolve em BD é igual a 0,02P; 
• Se a tensão não deve exceder 
110,0 MPa e a máxima mudança 
de comprimento da barra BD não 
pode exceder 0,001 vez o 
comprimento de ABC; 
• Determine o menor diâmetro 
possível de ser utilizado para o 
membro BD.
Exercício proposto
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
• Solução
• Temos que:
• Considerando a tensão
s = 110MPa 
podemos determinar a área de BD
Exercício proposto
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
• Solução
• Considerando a deformação 
máxima:
• Lembrando que:
Exercício proposto
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
• Solução
• Escolhemos a menor área:
Exercício proposto
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
• O cabo BC de 4 mm de 
diâmetro é feito de um 
aço com E = 200 GPa.
• Sabendo que a máxima 
tensão no cabo não pode 
exceder 190 MPa e que a 
deformação do cabo não 
deve exceder 6 mm, 
• Determine a máxima 
força P que pode ser 
aplicada
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução:
• Determinado BC
• Diagrama de corpo livre
஻஼
ଶ ଶ FBC
Ax
Ay
஻஼
஻஼
஻஼
MA = 0+
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução:
• Considerando a tensão 
admissível 
s = 190 x 106 Pa
஻஼
FBC
Ax
Ay
஻஼
஻஼
ଶ ଺
஻஼
ଷ
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução:
• Considerando a 
deformação admissível
d = 6 x 10-3 m
஻஼ ஻஼
FBC
Ax
Ay
஻஼
஻஼
஻஼
ଶ ଽ ିଷ
஻஼
ଷ
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução:
• Considerando o menor 
valor da carga: FBC
Ax
Ay
஻஼
ଷ
ଷ
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Para a treliça de aço (E = 200 GPa) e o carregamento 
mostrado, determine as deformações dos componentes AB
e AD, sabendo que suas áreas de seção transversal são, 
respectivamente, 2.400 mm2 e 1.800 mm2.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução:
O valor das reações é
O membro BD é um membro
com força igual a 0.
Comprimento de AB
஺ ஼
஺ ஼
஺஻
ଶ ଶ
஺஻
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução:
Diagrama de corpo livre em A
 Fy = 0+
஺஻
஺஻
 Fx = 0+
஺஽ ஺஻
஺஽
FAB
FAD
RA=114 kN
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução:
Membro AB
஺஻
஺஻ ஺஻
஺஻
RA=114 kN
FAB
FAD஺஻
ିଷ
஺஻
஺஻
ଷ
ଽ ି଺
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução:
Membro AD
஺஽
஺஽ ஺஽
஺஽
RA=114 kN
FAB
FAD஺஽ ିଷ
஺஽
஺஽
ଷ
ଽ ି଺
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Problemas estaticamente indeterminados
• Uma barra de comprimento L, seção transversal de área A1, 
e módulo de elasticidade E1, foi colocada dentro de um 
tubo do mesmo comprimento L, mas de seção transversal 
de área A2 e módulo de elasticidade E2. Qual é a 
deformação da barra e do tubo quando uma força P é 
aplicada em uma placa lateral rígida como mostra a figura?
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Problemas estaticamente indeterminados
• Solução
• Temos que: 
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Problemas estaticamente indeterminados
• Solução
• Podemos escrever:
• Igualando as deformações: 
• Lembrando que: 
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Problemas estaticamente indeterminados
Método de superposição
• Mais suportes do que aqueles necessários para manter seu 
equilíbrio resulta em mais reações desconhecidas do que 
equações de equilíbrio disponíveis.
• designar uma das reações como redundante e eliminar o 
suporte correspondente
• reação redundante deve ser mantida na solução
• A solução real do problema é obtida considerando-seseparadamente as deformações provocadas pelas forças e 
pela reação redundante e somando ou superpondo os 
resultados obtidos.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Problemas estaticamente indeterminados
Método de superposição
• Exemplo
• Seja a barra de aço, presa 
em ambas as 
extremidades por apoios 
fixos, submetida ao 
carregamento indicado.
• Determine o valor das 
reações nesses apoios.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Problemas estaticamente indeterminados
Método de superposição
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Problemas estaticamente indeterminados
Método de superposição
Determinado dL:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Problemas estaticamente indeterminados
Método de superposição
Determinado dR:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Problemas estaticamente indeterminados
Método de superposição
Considerando que a deformação total d da barra deve ser 
zero:
substituindo dL e dR:
Temos que:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Problemas estaticamente indeterminados
Método de superposição
Determinando RA
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Um tubo de aço (E = 200 GPa) com diâmetro externo de 
31,8 mm e espessura de 3,18 mm é colocado em um torno 
de bancada ajustado de maneira que as mandíbulas 
apenas toquem as extremidades do tubo sem exercerem 
nenhuma pressão sobre ele. 
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
As duas forças mostradas na figura são então aplicadas ao 
tubo. Após aplicar essas forças, o torno de bancada é 
ajustado para diminuir a distância entre suas mandíbulas 
em 0,2 mm.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Determine:
(a) as forças aplicadas pelo torno de bancada no tubo em A
e D e 
(b) a variação do comprimento da parte BC do tubo.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução:
• Para o tubo:
௘
௜
௜
௘
ଶ
௜
ଶ
ଶ ଶ
ି଺ ଶ
RDRA
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução:
• De A a B:
஺
RDRA
஺஻
஺஻
஺
ଽ ି଺
஺஻
ିଽ
୅
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução:
• De B a C:
஺
஻஼
஻஼
஺
ଽ ି଺
஻஼
ିଽ
஺
ି଺
RDRA
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução:
• De C a D:
஺
RDRA
஼஽
஼஽
஺
ଽ ି଺
஼஽
ିଽ
୅
ି଺
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução:
• De A a D:
• Sabendo que
a)
RDRA
஺஽ ஺஻ ஻஼ େୈ
஺஽
ିଽ
஺
ି଺
஺஽
ିଽ
஺
ି଺
஺
஽ ஺
஺
஽
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução:
b) Lembrando que:
RDRA
஻஼
ିଽ
஺
ି଺
஻஼
ିଽ ି଺
஻஼
ି଺
஻஼
ିଷ
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Problemas que envolvem mudanças de temperatura
• Considerando:
• Onde:
a: coeficiente de dilatação térmica e representa uma 
quantidade por grau C ou por grau F
dT: deformação, é proporcional à variação de temperatura 
DT e ao comprimento L da barra
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Problemas que envolvem mudanças de temperatura
• A deformação dT deve ser associada a uma deformação 
específica:
• Lembrando que:
• Temos:
• Onde:
eT: deformação específica térmica, provocada pela variação 
de temperatura da barra. 
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Problemas que envolvem mudanças de temperatura
• Temos que eT = 0
• Estado de tensão (sem a deformação específica 
correspondente) na barra.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Problemas que envolvem mudanças de temperatura
• Estaticamente indeterminado
• Método da superposição:
• Considerando d = 0
• Tensão em razão de DT:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Problemas que envolvem mudanças de temperatura
• Exemplo:
• Determine os valores da tensão nas partes AC e CB da 
barra de aço, quando a temperatura da barra for de -45 C, 
sabendo que ambos os apoios rígidos estão ajustados 
quando a temperatura estiver a 20 C.
• Use os valores 
E = 200 GPa e a 
a = 12 x 10-6/C
para o aço.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Problemas que envolvem mudanças de temperatura
• Exemplo:
• Calculando a deformação:
• Calculando RB:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Problemas que envolvem mudanças de temperatura
• Exemplo:
• Calculando RB:
• Lembrando que a d = 0
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Problemas que envolvem mudanças de temperatura
• Exemplo:
• Lembrando que P1 = 
P2 = 81,12 kN temos que:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Problemas que envolvem mudanças de temperatura
• Exemplo:
• Embora a deformação total da 
barra deva ser zero, as 
deformações das partes 
componentes AC e CB não 
serão nulas.
• eAC está composta por eT e e
• Calculando a deformação 
específica térmica eT produzida 
na barra livre por DT
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Problemas que envolvem mudanças de temperatura
• Exemplo:
• A outra componente de eAC
está associada com a tensão 
s1 por causa da força RB
aplicada à barra
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Problemas que envolvem mudanças de temperatura
• Exemplo:
• Somando as duas 
componentes da deformação 
específica em AC, obtemos
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Problemas que envolvem mudanças de temperatura
• Exemplo:
• Calculando a deformação 
específica na parte CB da 
barra
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Problemas que envolvem mudanças de temperatura
• Exemplo:
• Lembrando que:
• dAC e dCB são dadas por:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Coeficiente de Poisson
Considerando que:
temos:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Carregamento multiaxial; lei de Hooke generalizada
• Até agora, utilizávamos 
o eixo x, designamos 
por P a força interna em 
uma dada localização e 
as componentes de 
tensão correspondentes
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Carregamento multiaxial; lei de Hooke generalizada
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Carregamento multiaxial; lei de Hooke generalizada
• Podemos expressar d x, d y e d z em função de sx, sy e sz, 
se consideraremos separadamente o efeito de cada 
componente de tensão e combinaremos os resultados 
obtidos.
• Determinando separadamente os efeitos das várias 
forças e combinando os resultados obtidos, desde que 
sejam satisfeitas as condições a seguir:
1. Cada efeito está linearmente relacionado com a força 
que o produz.
2. A deformação resultante de determinada força é 
pequena e não afeta as condições de aplicação das 
outras forças.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Carregamento multiaxial; lei de Hooke generalizada
Lembrando que:
Componentes de : 
Só no limite de proporcionalidade!
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercício Proposto
Em um ensaio de tração 
padrão, uma barra de alumínio 
de 20 mm de diâmetro está 
submetida a uma força de 
tração de P = 30 kN. Sabendo 
que n = 0,35 e E = 70 GPa, 
determine 
(a) o alongamento da barra em 
um comprimento de 
referência de 150 mm e 
(b) a variação no diâmetro da 
barra.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercício Proposto
Solução
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercício Proposto
Solução
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercício Proposto
Solução
a) Lembrando que:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercício Proposto
Solução
b) Temos que:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Uma força de tração de 2669 N é aplicada a um corpo de 
prova feito de placa de aço plana de 1,588 mm (E = 200 GPa, 
n = 0,30). Determine a variação resultante
(a) no comprimento de referência de 50,8 mm,
(b) na largura da parte AB do corpo de prova
(c)na espessura da parte AB e 
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução:
Temos que
Então:
Temos que:
ଶ ି଺ ଶ
௫ ି଺
଺
௫
௫ ଺
ଽ
ି଺
௬ ௭ n ௫ ି଺ ି଺
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução:
a) Então:
b) Temos:
c) Também:
௫ ௫
ି଺ ି଺
௬ ௬ ି଺
ି଺
௭ ௭ ି଺
ିଽ
ିଷ
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercício Proposto
Uma barra cilíndrica com 100 mm de comprimento e 
diâmetro de 10,0 mm deve ser deformada utilizando-se uma 
carga de tração de 27.500 N. 
Ela não deve sofrer deformação plástica, e a redução no 
seu diâmetro não deve ser superior a 7,5 × 10−3 mm. 
Dentre os materiais listados a seguir, quais são possíveis 
candidatos? Justifique sua(s) escolha(s).
Material
Módulo de 
Elasticidade (GPa)
Limite de 
Escoamento (MPa)
Coeficiente de 
Poisson
Liga de alumínio 70 200 0,33
Latão 101 300 0,34
Aço 207 400 0,30
Liga de titânio 107 650 0,34
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercício Proposto
Solução:
Considerando que o carregamento é aplicado no eixo x
podemos determinar a tensão normal como:
Dentre os materiais listados a Liga de Alumínio e o Latão 
possuem valor de limite de escoamento inferior, então ficam 
descartados. 
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercício Proposto
Solução:
Temos que:
Então:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercício Proposto
Solução:
Para o aço:
Então o aço atente
Para a liga de titânio
Então a liga de titânio fica descartada.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Dilatação; módulo de compressibilidade volumétrica
O volume do cubo é:
Considerando que e são 
muito pequenas:
Designando a variação de 
volume do elemento por e:
Ou:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Dilatação; módulo de compressibilidade volumétrica
Lembrando que:
Temos:
ou
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Dilatação; módulo de compressibilidade volumétrica
Considerando a pressão 
hidrostática (-p) temos:
Introduzindo a constante k:
Temos:
k: módulo de compressibilidade volumétrica do 
material (ou módulo de bulk)
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Dilatação; módulo de compressibilidade volumétrica
Exercício
Determine a variação em volume DV do bloco de aço, 
quando ele é submetido a uma pressão hidrostática p = 
180 MPa. Use E = 200 GPa e v = 0,29.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Dilatação; módulo de compressibilidade volumétrica
Exercício
Solução:
Calculando o módulo de compressibilidade:
Calculando a dilatação:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Dilatação; módulo de compressibilidade volumétrica
Exercício
Solução:
O volume é:
Sabendo que e = DV / V
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Deformação de cisalhamento
As tensões de 
cisalhamento tenderão a 
deformar um elemento em 
forma de cubo do material 
transformando-o em um 
paralelepípedo oblíquo.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Deformação de cisalhamento
gxy: deformação de cisalhamento (em radianos) 
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Deformação de cisalhamento
Lei de Hooke para tensão e deformação de cisalhamento
G: módulo de rigidez ou 
módulo de elasticidade 
transversal do material 
(Pa ou PSI)
G é menos da metade, e 
mais de um terço de E.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Deformação de cisalhamento
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Deformação de cisalhamento
Exercício:
Um bloco retangular de um material com um módulo de 
elasticidade transversal G = 620 MPa é colado a duas 
placas rígidas horizontais. A placa inferior é fixa, enquanto 
a placa superior está submetida a uma força horizontal P. 
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Deformação de cisalhamento
Exercício:
Sabendo que a placa superior se desloca 1 mm sob a ação 
da força, determine: 
(a) a deformação de cisalhamento média no material e 
(b) a força P que atua na placa superior.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Deformação de cisalhamento
Exercício:
a) Deformação de cisalhamento.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Deformação de cisalhamento
Exercício:
b) Força atuante na placa superior
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Lei de Hooke generalizada para um material isotrópico e 
homogêneo submetido a um estado de tensão mais geral
E, n e G, devem ser determinadas experimentalmente
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Outras discussões sobre deformação sob carregamento 
axial; relação entre E, v e G
• A força axial P provoca 
nesse elemento uma 
deformação de 
cisalhamento g´ igual ao 
valor pelo qual aumenta 
ou diminui cada um dos 
ângulos mostrados.
• t e g´ são máximas em 
um plano que forma um 
ângulo de 45 com o eixo 
da força.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Outras discussões sobre deformação sob carregamento 
axial; relação entre E, v e G
• Considerando o elemento prismático temos que:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Outras discussões sobre deformação sob carregamento 
axial; relação entre E, v e G
• Aplicando a fórmula da tg da diferença de dois ângulos:
• Como gm/2 é um ângulo muito pequeno:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Outras discussões sobre deformação sob carregamento 
axial; relação entre E, v e G
• Temos também que:
• Igualando os membros:
• Como ex << 1
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Outras discussões sobre deformação sob carregamento 
axial; relação entre E, v e G
• Lembrando que:
• Temos:
ou
• Das figuras, temos:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Relações de tensão-deformação para materiais compósitos
reforçados com fibras
• Primeiro índice indica a direção da força e o segundo a 
direção da contração 
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Relações de tensão-deformação para materiais compósitos
reforçados com fibras
• Para o carregamento multiaxial teremos 3 valores de E e
6 de n
• Anisotrópico
• Primeiro índice indica a direção da força e o segundo a 
direção da contração 
• Isotrópico
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Relações de tensão-deformação para materiais compósitos
reforçados com fibras
• Considerando que os coeficientes das componentes de 
tensão são simétricos:
• Temos que embora diferentes, nxy e nxy não são 
independentes; qualquer um deles pode ser obtido a 
partir do outro se os valores correspondentes do módulo 
de elasticidade forem conhecidos.
• O mesmo vale para nyz e nzy, e para nzx e nxz.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Relações de tensão-deformação para materiais compósitos
reforçados com fibras
• Para o caso de cisalhamento para materiais 
anisotrópicos temos que:
• Lembrando que pra isotrópicos temos:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
A placa homogênea ABCD está submetida a um 
carregamento biaxial. Sabe-se que sz = s0 e que a 
variação no comprimento da placa na direção x deve ser 
zero, ou seja, e x = 0. 
Designando por E o 
módulo de elasticidade 
e por n o coeficiente 
de Poisson, determine 
(a) a intensidade 
necessária de sz e
(b) a relação s0 /ez.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução
Temos:
Então
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução
a) Temos que:
b) Temos que:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Distribuição de tensão e deformação específica sob
carregamento axial; princípio de Saint-Venant
Se:
constantes, e se as s não 
exceder o limite de 
proporcionalidade, temos:
Temos que a distribuição 
de s em qualquer ponto
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Distribuição de tensão e deformação específica sob
carregamento axial; princípio de Saint-Venant
Se as forçasforem concentradas, 
os elementos nas vizinhanças imediatas 
dos pontos de aplicação das forças 
estarão submetidos a tensões muito 
grandes,
os outros elementos próximos das 
extremidades do componente não serão 
afetados pelo carregamento.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Distribuição de tensão e deformação específica sob
carregamento axial; princípio de Saint-Venant
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Distribuição de tensão e deformação específica sob
carregamento axial; princípio de Saint-Venant
1. O carregamento real e o utilizado para calcular as 
tensões devem ser estaticamente equivalentes.
2. As tensões não podem ser calculadas dessa maneira 
nas vizinhanças imediatas dos pontos de aplicação das 
forças. Métodos teóricos avançados ou experimentais 
devem ser utilizados para determinar a distribuição de 
tensões nessas regiões.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Concentrações de tensão
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Concentrações de tensão
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Concentrações de tensão
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Deformações plásticas
Material elásticoplástico
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Deformações plásticas
Exemplo
A barra é submetida a 
uma força axial até que 
seja atingido um 
alongamento de 7 mm e a 
força é então removida. 
Qual é a deformação 
permanente resultante?
região elástica e sE = 
300 MPa. 
Uma barra de comprimento L = 500 mm e seção transversal 
com área A = 60 mm2 é feita de um material elastoplástico
que tem um módulo de elasticidade E = 200 GPa em sua
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Deformações plásticas
Exemplo
Solução
O ponto de maior deformação específica é o ponto C
Também:
Após a remoção da força:
dD correspondente a eD
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Deformações plásticas
Exemplo
As extremidades da barra 
e do tubo são fixadas a 
um suporte rígido em um 
dos lados e a uma placa 
rígida no outro, como 
mostra a seção 
longitudinal. 
Uma barra cilíndrica com 800 mm de comprimento e seção 
transversal com área A = 48 mm2 é colocada dentro de um 
tubo de mesmo comprimento e seção transversal de área 
At = 60 mm2. 
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Deformações plásticas
Exemplo
Supõe-se que a barra e o tubo sejam ambos elastoplás-
ticos, com módulos de elasticidade Eb = 200 GPa e Et = 80 
GPa, e as tensões de escoamento (sb)E = 250 MPa e (st)E =
300 MPa. 
Desenhe o diagrama 
força-deslocamento do 
conjunto constituído por 
barra e tubo quando P é 
aplicada à placa, 
conforme mostra a 
figura. 
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Deformações plásticas
Exemplo
Solução
Determinando a força interna e o alongamento da barra 
quando ela começa a escoar
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Deformações plásticas
Exemplo
Solução
Determinando a força interna e o alongamento do tubo 
quando começa a escoar
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Deformações plásticas
Exemplo
Solução
Considerando que:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Deformações plásticas
Exemplo
Se a força P aplicada ao conjunto constituído pela barra e 
pelo tubo do exemplo anterior é aumentada de zero a 24 kN
e diminuída de volta a zero, determine: 
(a) o alongamento máximo do conjunto e 
(b) a deformação permanente depois que a força é 
removida.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Deformações plásticas
Exemplo
Solução
Alongamento máximo:
Considerando que com 
P = 24kN, a barra está 
na região plástica com:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Deformações plásticas
Exemplo
Solução
Alongamento máximo
Considerando que com 
P = 24kN o tubo ainda 
está na região elástica 
temos que:
Temos também:
O alongamento máximo 
do conjunto é:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Deformações plásticas
Exemplo
Solução
Alongamento máximo
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Deformações plásticas
Exemplo
Solução:
Deformação permanente:
A força Pb diminui ao 
longo da linha CD
paralela à parte inicial da 
curva de carregamento,
A força Pt diminui ao 
longo da curva de 
carregamento original, 
pois a tensão de 
escoamento não foi 
excedida no tubo.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Deformações plásticas
Exemplo
Solução:
Deformação permanente:
P = Pb + Pt, diminuirá ao 
longo de uma linha CE
paralela à parte OEb da 
curva de força-
deslocamento do conjunto 
Calculando a inclinação de 
Oeb:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Deformações plásticas
Exemplo
Solução:
Deformação permanente:
FE representa a 
deformação do conjunto 
durante a fase de 
descarregamento d ´, 
OE representa a 
deformação permanente 
dp depois que a força P foi 
removida. 
Do triângulo CEF temos:
A deformação permanente:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Deformações plásticas
Exemplo
Solução:
Deformação permanente:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Deformações plásticas
Lembrando que:
Temos que:
Para que smax não exceda sE: 
Temos: 
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Deformações plásticas
Quando:
Temos que:
Podemos concluir que:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Tensões residuais
Exemplo
Determine as tensões 
residuais na barra e no 
tubo dos exemplos 
anteriores depois da 
carga P ser aumentada 
de zero até 24 kN e 
diminuída de volta a 
zero.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Tensões residuais
Exemplo
Solução:
Da figura temos que as 
forças internas Pb e Pt não 
voltam a zero.
As tensões correspondentes 
também não são iguais a 
zero depois que o conjunto
foi descarregado.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Tensões residuais
Exemplo
Solução:
Determinando as tensões 
reversas s b´ e s t´. 
provocadas pelo
descarregamento e 
somando-as às tensões 
máximas s b 250 MPa e s t
200 Mpa encontradas 
anteriormente.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Tensões residuais
Exemplo
Solução:
Temos que:
As tensões reversas são:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Tensões residuais
Exemplo
Solução:
As tensões residuais são:
CONSIDERAÇÕES DE PROJETO
Exercício Proposto
Duas barras cilíndricas de seção transversal cheia AB e BC
são soldadas uma à outra em B e submetidas a um 
carregamento conforme mostra a figura. 
Determine a intensidade da força P para a qual a tensão 
normal de tração na barra AB é duas vezes a intensidade da 
tensão de compressão da barra BC.
CONSIDERAÇÕES DE PROJETO
Exercício Proposto
Solução
CONSIDERAÇÕES DE PROJETO
Exercício Proposto
Solução
CONSIDERAÇÕES DE PROJETO
Exercício Proposto
Solução
Igualando sAB a 2sBC
CONSIDERAÇÕES DE PROJETO
Exercício Proposto
Um medidor de deformação localizado em C 
na superfície do osso AB indica que a tensão 
normal média no osso é 3,80 MPa, quando o 
osso está submetido a duas forças de 1200 N 
como mostra a figura. 
Supondo que a seção transversal do osso em 
C seja anular e sabendo que seu diâmetro 
externo é 25 mm, determine o diâmetro 
interno da seção transversal do osso em C.
CONSIDERAÇÕES DE PROJETO
Exercício Proposto
Solução
Temos:
Também:
CONSIDERAÇÕES DE PROJETO
Exercício Proposto
A barra rígida EFG é suportada pelo sistema de treliça 
mostrado na figura. Sabendo que a componente CG é uma 
haste circular sólida de 18,0 mm de diâmetro, determine a 
tensão normal em CG.
CONSIDERAÇÕES DE PROJETO
Exercício Proposto
Solução
Utilizando a parte 
EFGCB:
Comprimento de AE
Então:
FAB
FAE
FDE
 y+
CONSIDERAÇÕES DE PROJETO
Exercício Proposto
Solução
Utilizando a parte EFG:
Temos
Então:
FAE
FDE
FBF FCG
FCF
 F+CONSIDERAÇÕES DE PROJETO
Exercício Proposto
Quando a força P alcançou 8 kN, o corpo de prova de madeira 
mostrado na figura falhou sob cisalhamento ao longo da 
superfície indicada pela linha tracejada.
Determine a tensão de cisalhamento média ao longo daquela 
superfície no instante da falha.
CONSIDERAÇÕES DE PROJETO
Exercício Proposto
Solução
A área sob 
cisalhamento é:
Então:
CONSIDERAÇÕES DE PROJETO
Exercício Proposto
Uma barra de aço AB de 15,88 mm de diâmetro está encaixada 
em um furo redondo próximo à extremidade C de uma vigota de 
madeira CD. Para o carregamento mostrado, determine
(a) a tensão normal média 
máxima na madeira, 
(b) a distância b para a qual a 
tensão de cisalhamento média 
é 690 kPa nas superfícies 
indicadas pelas linhas 
pontilhadas e 
(c) a tensão de esmagamento 
média na madeira. 
CONSIDERAÇÕES DE PROJETO
Exercício Proposto
Solução:
a) Temos:
então
CONSIDERAÇÕES DE PROJETO
Exercício Proposto
Solução:
b) Temos:
CONSIDERAÇÕES DE PROJETO
Exercício Proposto
Solução:
c) Temos:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Uma barra de alumínio de 1,5 m de comprimento não deve se 
alongar mais que 1 mm e a tensão normal não deve exceder 
40 MPa quando a barra está submetida a uma força axial de 3 
kN. 
Sabendo que E = 70 GPa, determine o diâmetro necessário 
para a barra.
Resp: d = 9,77 mm.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução:
Temos que:
Tensão:
Deformação:
ିଷ ଺ ଽ
ଷ
ଷ
଺
ି଺ ଶ ଶ
ଷ
ଽ ିଷ
ି଺ ଶ
ଶ
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução:
Considerando o maior valor
ଶ
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Ambas as partes da barra ABC 
são feitas de um alumínio para o 
qual E = 70 GPa. Sabendo que a 
intensidade de P é 4 kN, determine 
(a) o valor de Q de modo que o 
deslocamento em A seja zero e
(b) o deslocamento 
correspondente de B.
Resp: (a) 32,8 kN. 
(b) 0,0728 mm 
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução:
a)
O membro AB está em tração: 
஺஻ ஺஻
ଶ ଶ
ି଺ ଶ
஻஼ ஻஼
ଶ ଶ
ିଷ ଶ
஺஻
஺஻
஺஻
ଷ
ଽ ି଺
஺஻
ି଺
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução:
a) O membro BC está em 
compressão: 
஻஼
஻஼
஻஼
ଽ ିଷ
஻஼
ିଽ
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução:
a) Para ter um deslocamento em 
A = 0 temos: 
ିଽ ି଺
ଷ
ଷ ଷ
ଷ
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução:
b) Temos que: 
஺஻ ஻஼
஻
ି଺
஻
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Cada uma das barras AB e CD é feita de alumínio (E = 75 GPa) 
e tem uma seção transversal com área de 125 mm2. 
Sabendo que elas suportam a barra rígida BC, determine o 
deslocamento do ponto E. Resp: 0,1095 mm 
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução
Diagrama de corpo livre em BC
FAB FCD
 C+
 B+
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução
Para as barras temos:
஺஻
ଷ
ଽ ି଺
஺஻
ି଺
஻
஼஽
ଷ
ଽ ି଺
஼஽
ି଺
஼
FAB FCD
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução
Deslocamento em E:
Então:
B E C
θ
஻ ஼
ି଺
ି଺
ா ஼ )
ா
ି଺ ି଺)
ா
ି଺
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Uma barra de 250 mm de comprimento e seção transversal 
retangular de 15 X 30 mm é formada por duas camadas de 
alumínio de 5 mm de espessura, e uma camada central de 
latão de mesma espessura. 
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Se o conjunto é submetido a forças centradas de intensidade 
P = 30 kN, e sabendo que Ealum = 70 GPa e Elatão = 105 GPa, 
determine a tensão normal (a) nas camadas de alumínio e (b) 
na camada de bronze. Resp: (a) -57,1 Mpa (a) -85,7 MPa
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução
Para cada camada temos:
Designando: 
A deformação é:
ଶ ି଺ ଶ
௔
௟
௔
௔
௟
௟
௟
௟
௔
௔ ௔ ௔
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução
A força total é:
Resolvendo para Pa e Pl: 
a) Temos:
b) Temos:
௔ ௟ ௔
௔ ௟
௔
௔
ଷ
ି଺
଺
௟
௟
ଷ
ି଺
଺
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Forças de compressão centradas de 178 kN são aplicadas em 
ambas as extremidades do conjunto mostrado na figura por 
meio de placas rígidas. Sabendo que Eaço = 200 GPa e Ealum = 
69,6 GPa, determine (a) as tensões normais no núcleo de aço e 
no tubo de alumínio (b) a deformação do conjunto.
Resp: (a) saço = 124,2 MPa, salum = 43,2 MPa. (b) 0,1577 mm.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução:
Designando:
Temos que:
Força total:
௡
௧
௧
௧ ௧
௧
௧ ௧
௡
௡ ௡
௡
௡ ௡
௧ ௡ ௧ ௧ ௡ ௡
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução:
Lembrando que:
Temos que:
pode ser expressa como:
Calculando as áreas:
௧ ௧ ௡ ௡
௧ ௧ ௡ ௡
௔ ௘
ଶ
௜
ଶ ଶ ଶ ଶ
௡ ௜
ଶ ଶ ଶ
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução:
Temos que:
a) Temos:
b) Então:
ଷ
ଽ ଽ
ି଺
௔ ௔
ଽ ି଺)
௡ ௡
ଽ ି଺)
ି଺) ି଺
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
O bloco de plástico mostrado está colado a uma base fixa e a 
uma chapa horizontal rígida à qual é aplicada uma força P. 
Sabendo que o plástico utilizado tem módulo de elasticidade 
transversal G = 379,2 MPa, determine o deslocamento da 
chapa quando P = 40,0 kN. Resp: 0,475 mm.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução:
Calculando a área:
Tensão de cisalhamento:
Deformação de cisalhamento:
ଷ
ିଷ
ିଷ
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercícios
Solução:
Então:
P
P
d
h
PRIMEIRA PROVA
RESOLUÇÃO
Exercício 1
O vínculo horizontal BC tem 6,4 
mm de espessura e é feito de 
aço. 
Qual deverá ser a largura w do 
vínculo, se a estrutura mostrada 
for projetada para suportar uma 
carga P = 36 kN com um 
coeficiente de segurança igual a 
3?. (2,5 pontos)
PRIMEIRA PROVA
RESOLUÇÃO
Exercício 1
Solução:
Do gráfico temos
Então:
Comportamento tensão-deformação para 
um corpo de provas de aço
PRIMEIRA PROVA
RESOLUÇÃO
Exercício 1
Solução
FCB
஼஻
஼஻
 D+
Dx
Dy
Primeira Prova
Resolução
Exercício 2
A variação no diâmetro 
de um grande parafuso 
de latão é 
cuidadosamente 
medida enquanto a 
porca é apertada. 
Sabendo que n = 0,29, 
determine a força 
interna no parafuso, 
quando se observa que 
o diâmetro diminuiu em 
13 mm. (2,5 pontos).
Primeira Prova
Resolução
Exercício 2
Solução
Temos que:
Primeira Prova
Resolução
Exercício 2
Solução:
Temos que:
Também:
௬
ି଺
௬
௬
ି଺
ିଷ
௬
ି଺
௬
௫
௫
௬ ି଺ ି଺
Primeira Prova
Resolução
Exercício 2
Solução:
Então:
Também:
Temos:
௫ ௫
௫
ଽ ି଺
ଶ
ଷ ଶ
௫
଺
ଶ
ିଷ ଶ
௫
଺ ିଷ ଷ
Primeira Prova
Resolução
Exercício 3
Duas barras cilíndricas, uma de aço e outra de latão, são 
unidas em C e contidas por apoios rígidos em A e E. Para o 
carregamento indicado na figura, determine (a) as reações em 
A e E e (b) o deslocamento do ponto C (3,0 pontos).
PRIMEIRA PROVA
RESOLUÇÃO
Exercício 3
Solução:
Do gráfico temos
Do exercício 2 
temos:
Comportamento tensão-deformação para 
um corpo de provas de aço
௔ç௢
௔ç௢
௟௔௧ã௢
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercício 3
Solução:
Temos:
RERA஺஻ ஻஼
஼஽ ஽ா
஺஻
஻஼
஼஽ ஽ா
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercício 3
Solução:
• De A a B:
஺ RERA
஺஻
஺஻
஺
ଽ ିଷ
஺஻
ିଵ
୅
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercício 3
Solução:
• De B a C:
஺
ଷ
஻஼
஻஼
஺
ଷ
ଽ ିଷ
஻஼
ିଵଶ
஺
ି଺
RERA
TENSÃOE DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercício 3
Solução:
• De C a D:
஺
ଷ
஼஽
஼஽
஺
ଷ
ଽ ି଺
஼஽
ିଽ
஺
ି଺
RERA
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercício 3
Solução:
• De D a E:
஺
ଷ
஼஽
஼஽
஺
ଷ
ଽ ି଺
஼஽
ିଽ
஺
ି଺
RERA
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercício 3
Solução:
• De A a E:
• Sabendo que
a)
஺ா ஺஻ ஻஼ େୈ େୈ
஺ா
ିଽ
஺
ି଺
஺ா
ିଽ
஺
ି଺
஺
ா ஺
ଷ
஺
஽
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
CARREGAMENTO AXIAL
Exercício 3
Solução:
b) Lembrando que:
஼ ஺஻ ஻஼
஼
ିଽ ି଺
஼
ି଺
஼
ିଷ
FLEXÃO
Flexão pura
Elemento prismático submetido a momentos fletores
atuando no plano de simetria
FLEXÃO
Flexão pura
FLEXÃO
Flexão pura
FLEXÃO
Flexão pura
• Essencial no estudo de 
vigas 
• Intensidade de M dada 
por M = Px
FLEXÃO
Barra simétrica em flexão pura
• Barra submetida aos conjugados M e M´.
• Positivo quando a concavidade estiver para cima.
FLEXÃO
Barra simétrica em flexão pura
• Barra submetida aos conjugados M e M´.
• O conjugado é chamado de momento fletor;
FLEXÃO
Barra simétrica em flexão pura
• A soma das componentes em qualquer direção é 0
• Componentes em x
• Momentos em torno de y
• Momentos em torno de z
• Negativo (horário)
FLEXÃO
Deformações em uma barra de seção simétrica em flexão 
pura
• Haverá flexão no plano de simetria mas permanecerá 
simétrico no outros.
• Como M é o mesmo em 
qualquer seção 
transversal, a flexão será 
uniforme.
• Linha AB muda para 
arco.
FLEXÃO
Deformações em uma barra de seção simétrica em flexão 
pura
Seção vertical, longitudinal
Seção horizontal, 
longitudinal
FLEXÃO
Deformações em uma barra de seção simétrica em flexão 
pura
Seção vertical, longitudinal
Seção transversal
: Raio do arco DE
DE: Comprimento da viga L
FLEXÃO
Deformações em uma barra de seção simétrica em flexão 
pura
Temos que:
(DE)
(JK)
FLEXÃO
Deformações em uma barra de seção simétrica em flexão 
pura
O valor de ex atinge o 
valor máximo quando o 
valor de y é máximo:
c: maior distância da 
superfície neutra 
(superfície superior ou 
inferior da viga).
Então temos: 
FLEXÃO
Tensões e deformações no regime elástico
Lembrando que:
E fazendo:
Temos:
Onde
sm: valor máximo absoluto da tensão
FLEXÃO
Tensões e deformações no regime elástico
Lembrando que:
Temos:
Então:
a linha neutra passará pelo centro geométrico, ou 
centroide, da seção transversal.
FLEXÃO
Tensões e deformações no regime elástico
Lembrando também que:
Temos:
Então:
FLEXÃO
Tensões e deformações no regime elástico
Lembrando que em flexão pura a linha neutra passa pelo 
centro geométrico da seção transversal. 
Sabendo que:
Temos:
Então:
pode ser escrita como 
FLEXÃO
Tensões e deformações no regime elástico
A relação I/c depende somente da geometria da seção
transversal. Essa relação é chamada de módulo de
resistência e é representada por W
Então:
Como sm é inversamente proporcional W, está claro que 
as vigas devem ser projetadas com um valor de W o maior 
possível. 
FLEXÃO
Tensões e deformações no regime elástico
Temos que:
FLEXÃO
Tensões e deformações no regime elástico
Perfis americanos tipo S e W
Com esses valores podemos determinar:
• A maior parte de suas 
seções transversais está 
localizada bem longe da 
linha neutra
• Proporcionam valores 
altos de I e 
consequentemente de W.
• W achado em tabelas
FLEXÃO
Tensões e deformações no regime elástico
• A deformação da viga provocada por M é medida pela 
curvatura da superfície neutra. 
• A curvatura é definida como o inverso do raio de 
curvatura . Lembrando que:
• Temos:
• No regime elástico temos que em = sm/E, então:
• ou 
FLEXÃO
Exercício
• Uma barra de aço de seção transversal retangular
medindo 20,3 mm x 63,5 mm está submetida a dois
momentos fletores iguais e opostos atuando no plano
vertical de simetria da barra.
• Determine o valor do momento fletor M que provoca
escoamento na barra. Considere sE = 248 MPa.
FLEXÃO
Exercício
Solução:
FLEXÃO
Exercício
• Uma barra de alumínio com uma seção transversal
semicircular de raio r = 12 mm é flexionada até atingir a
forma de um arco de circunferência de raio médio  =
2,5 m.
• Sabendo que a face plana da barra está virada para o
centro de curvatura do arco, determine as tensões
máximas de tração e compressão na barra. Use E = 70
GPa.
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Calculando o centroide:
A linha neutra é:
Então:
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Aplicando a lei de Hooke obtemos a sm a tração:
sm a compressão:
FLEXÃO
Exercício
O tubo retangular mostrado na figura é um extrudado de 
uma liga de alumínio para a qual sE = 275 MPa, sL = 414 
MPa e E = 73 GPa. 
FLEXÃO
Exercício
Desprezando o efeito dos adoçamentos, determine
a) o momento fletor M para o qual o coeficiente de 
segurança será de 3,00 e
b) o raio de curvatura 
correspondente do tubo.
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Momento de Inercia:
Tensão admissível: 
FLEXÃO
Exercício
Solução:
a) Momento Fletor:
Temos que:
Então:
FLEXÃO
Exercício
Solução:
b) Raio de curvatura:
FLEXÃO
Exercício
Solução Alternativa:
b) Raio de curvatura:
Lembrando que:
FLEXÃO
Deformações em uma seção transversal
• Lembrando que: 
• E também que:
• Temos:
FLEXÃO
• As deformações na direção z 
horizontal, a expansão dos 
elementos localizados acima da 
superfície neutra e a correspondente 
contração dos elementos localizados 
abaixo daquela superfície resultarão 
em várias linhas horizontais 
encurvadas em arcos de 
circunferência.
• A seção transversal se curvara em 
um arco de circunferência de raio:
Deformações em uma seção transversal
FLEXÃO
• O inverso do raio de curvatura ´
representa a curvatura da seção 
transversal e é chamado de 
curvatura anticlástica
• Caso ideal:
Deformações em uma seção transversal
Resistência à Flexão: É a tensão no momento da fratura
M = momento fletor
máximo
c = distância do centro 
do corpo de provas 
até as fibras mais 
externas
I = momento de inércia 
da seção 
transversal 
F = carga aplicada
FLEXÃO
Ensaio de Flexão
FLEXÃO
Ensaio de Flexão – Exercício Prático
Um ensaio de flexão em três pontos é realizado em uma 
amostra de vidro (E = 69 GPa) que possui uma seção 
transversal retangular com altura d = 5 mm e largura b= 10 
mm; a distância entre os pontos de apoio é de 45 mm.
a) Calcule a resistência à flexão (tensão no momento da 
fratura) se a carga na fratura é de 290 N.
b) O ponto com deflexão máxima Δy ocorre no centro da 
amostra e pode ser descrito pela relação
Calcule Δy para uma carga de 266 N
FLEXÃO
Ensaio de Flexão – Exercício Prático
Solução
a) Resistência à flexão
Para uma amostra retangular temos que:
FLEXÃO
Ensaio de Flexão – Exercício Prático
Solução
b) Calculando a deflexão (Δy)
Lembrando que:
Então:
FLEXÃO
FLEXÃO
Exercício
Uma peça de máquina feita de ferro fundido está
submetida a um momento fletor de 3 kNm conforme
mostra a figura. Sabendo que E = 165 GPa e desprezando
o efeito dos adoçamentos, determine
(a) as tensões de tração e compressão máximas na peça
fundida e
(b) o raio de curvatura dessa peça.
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Centroide
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Momento de inercia
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Tensão de tração máxima
Tensão de compressão máxima
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Raio de curvatura
FLEXÃO
Exercício Proposto
Duas forças verticais são 
aplicadas à viga com a 
seção transversal mostradana figura. 
Determine as tensões de 
tração e de compressão 
máximas na parte BC da 
viga.
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Considerando:
Calculando 
A
1 11612,88 127 1474836
2 11612,88 25,4 294967,2
 23225,76 1769803
1
2
1
2଴
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Calculando I:
1
2
1
2଴
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Calculando I:
1
2
1
2଴
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Temos que:
Calculando M:
1
2
1
2଴P
P =
M
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Calculando as tensões:
Compressão Tração
FLEXÃO
Exercício Proposto
Duas forças verticais são 
aplicadas à viga com a 
seção transversal 
mostrada na figura. 
Determine as tensões de 
tração e de compressão 
máximas na parte BC da 
viga.
Resp: 106,18 MPa; 
71,61 MPa.
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Considerando:
Calculando 
A
1 5161,28 190,5 983223,84
2 3870,96 101,6 393328,54
3 2580,64 12,7 32774,17
 11612,88 1409287,5
1409287,5 
11612,88 
଴
1
2
3
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Calculando I:
1
2
3
଴
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Calculando I:
଴
1
2
3
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Calculando I:
1
2
3
଴
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Temos que:
Calculando M:
R
P =
M
1
2
3
଴
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Calculando as tensões:
Compressão Tração
FLEXÃO
Flexão de barras constituídas de vários materiais
FLEXÃO
Flexão de barras constituídas de vários materiais
• Não podemos supor que a L.N passe pelo centroide;
• Como os E, são diferentes, temos:
FLEXÃO
Flexão de barras constituídas de vários materiais
• Temos que a força dF1 que atua no elemento de área dA
a parte superior é:
• E a força dF2 que atua no 
elemento de área dA a parte 
inferior é:
FLEXÃO
Flexão de barras constituídas de vários materiais
• Chamando n a relação de E2/E1 temos:
• Comparando com:
• Temos:
• se n > 1, alargamento 
• se n < 1, estreitamento 
FLEXÃO
Flexão de barras constituídas de vários materiais
• A linha neutra será traçada através do centroide da 
seção transformada
• a tensão sx em qualquer 
ponto da seção da barra 
homogênea fictícia será:
s1 = sx
s2 = sx*n
• A curvatura da barra é:
FLEXÃO
Flexão de barras constituídas de vários materiais
Exemplo
Uma barra obtida 
unindo-se duas peças 
de aço (Eaço = 203 
GPa) e latão (Elatão = 
105 GPa) tem a seção 
transversal da figura. 
Determine a tensão 
máxima no aço e no 
latão quando a barra 
estiver em flexão pura 
com um momento 
fletor M = 4,5 kNm.
FLEXÃO
Flexão de barras constituídas de vários materiais
Exemplo
Solução:
Calculando n:
A largura da parte 
central é:
FLEXÃO
Flexão de barras constituídas de vários materiais
Exemplo
Solução:
Calculando I:
FLEXÃO
Flexão de barras constituídas de vários materiais
Exemplo
Solução:
Calculando sm:
Então:
FLEXÃO
Flexão de barras constituídas de vários materiais
Exemplo
Duas placas de aço foram 
soldadas para formar uma 
viga em forma de T que foi 
reforçada aparafusando-se 
firmemente a ela duas 
pranchas de carvalho, 
conforme mostra a figura. O 
módulo de elasticidade é de 
12,5 GPa para a madeira e 
de 200 GPa para o aço. 
FLEXÃO
Flexão de barras constituídas de vários materiais
Exemplo
Sabendo que um momento 
fletor M = 50 kNm é aplicado 
à viga composta, determine:
(a) a tensão máxima na 
madeira e 
(b) a tensão no aço ao longo 
da borda superior.
FLEXÃO
Flexão de barras constituídas de vários materiais
Exemplo
Solução:
Seção transformada:
Linha neutra:
FLEXÃO
Flexão de barras constituídas de vários materiais
Exemplo
Solução:
Momento de inercia:
FLEXÃO
Flexão de barras constituídas de vários materiais
Exemplo
Solução:
a) Tensão máxima na 
madeira:
FLEXÃO
Flexão de barras constituídas de vários materiais
Exemplo
Solução:
b) Tensão no aço:
FLEXÃO
Flexão de barras constituídas de vários materiais
• Concreto reforçado 
Momento estático deve ser zero
ou 
FLEXÃO
Flexão de barras constituídas de vários materiais
Exemplo
Uma laje de piso de 
concreto é reforçada por 
barras de aço de 16 mm 
de diâmetro colocadas 40 
mm acima da face inferior 
da laje, com 150 mm de 
espaço entre seus 
centros. O módulo de 
elasticidade é de 25 GPa
para o concreto usado e 
de 205 GPa para o aço. 
FLEXÃO
Flexão de barras constituídas de vários materiais
Exemplo
Sabendo que é aplicado 
um momento fletor de 4,5 
kNm a cada 300 mm de 
largura da laje, determine
(a) a tensão máxima no 
concreto e 
(b) a tensão no aço. 
FLEXÃO
Flexão de barras constituídas de vários materiais
Exemplo
Solução:
Seção transformada:
Então:
FLEXÃO
Flexão de barras constituídas de vários materiais
Exemplo
Solução:
Linha Neutra:
Momento de inercia 
centroidal:
FLEXÃO
Flexão de barras constituídas de vários materiais
Exemplo
Solução:
a) Tensão máxima no concreto:
b) Tensão no aço:
FLEXÃO
Flexão de barras constituídas de vários materiais
Exercício
A viga de concreto reforçado mostrada na figura está 
submetida a um momento fletor positivo de 175 kNm. 
Sabendo que o módulo 
de elasticidade é de 25 
GPa para o concreto e 
de 200 GPa para o aço, 
determine 
(a) a tensão no aço e 
(b) a tensão máxima no 
concreto.
FLEXÃO
Flexão de barras constituídas de vários materiais
Exercício
Calculando n
Área do aço:
FLEXÃO
Flexão de barras constituídas de vários materiais
Exercício
Achando L.N.
480 mm
x
௔ç௢
FLEXÃO
Flexão de barras constituídas de vários materiais
Exercício
Achando I
Lembrando que:
480 mm
x
௔ç௢
FLEXÃO
Flexão de barras constituídas de vários materiais
Exercício
Achando as tensões
Para o aço:
480 mm
x
௔ç௢
FLEXÃO
Flexão de barras constituídas de vários materiais
Exercício
Achando as tensões
Para o concreto:
480 mm
x
௔ç௢
Flexão de barras constituídas de vários materiais
Exercício
750 mm
600 mm
125 mm
300 mm
25
60 mm
FLEXÃO
Sabendo que o momento 
fletor em uma viga de 
concreto reforçado é de 
+200 kNm e que o 
módulo de elasticidade é 
de 25 GPa para o 
concreto e 200 GPa para 
o aço, determine
(a) a tensão no aço e
(b) a tensão máxima no 
concreto. 
Flexão de barras constituídas de vários materiais
Exercício
Solução
Temos:
Tensão máxima
௔ç௢
௖௢௡௖
ଽ
ଽ
750 mm
600 mm
125 mm
300 mm
25
60 mm௔ç௢
ଶ ଶ
௔ç௢
ଶ
௔ç௢
ଶ
FLEXÃO
Flexão de barras constituídas de vários materiais
Exercício
Solução
Achando a linha neutra
ଵ ଶ
௔ç௢
௔ç௢
1
2
ଶ
ଶ
3
FLEXÃO
Flexão de barras constituídas de vários materiais
Exercício
Solução
Calculando I
௔ç௢
1
2
ଵ ଵ ଵ
ଷ
ଵ ଵ
ଶ
3
ଵ
ଷ
ଶ
ଵ
ଶ ଶ ଶ
ଷ ଷ
ଶ
ସ
ଷ ଷ ଷ
ଶ ସ ଶ ଺ ସ
ଵ ଶ ଷ
ଽ ସ
FLEXÃO
Flexão de barras constituídas de vários materiais
Exercício
Solução
a) Tensão no aço:
b) Tensão no concreto
௔ç௢
1
2
3
௔ç௢
ଷ
ିଷ
௔ç௢
௖௢௡௖
ଷ
ିଷ
௖௢௡௖
FLEXÃO
FLEXÃO
Concentrações de Tensão
FLEXÃO
Concentrações de Tensão
FLEXÃO
Concentrações de Tensão
Exemplo
Devem ser feitas 
ranhuras de 10 mm de 
profundidade em uma 
barra de aço que tem 
60 mm de largura e 9 
mm de espessura. 
FLEXÃO
Concentrações de Tensão
Exemplo
Determine a menor 
largura admissível das 
ranhuras considerando 
que a tensão na barra 
não deve ultrapassar 
150 Mpa quando o 
momento fletor for 
igual a 180 Nm.
FLEXÃO
Concentrações de Tensão
Exemplo
Solução:
Temos que:
Calculando I
FLEXÃO
Concentrações de Tensão
Exemplo
Solução:
Então:
Lembrando que:FLEXÃO
Concentrações de Tensão
Exemplo
Solução:
Temos:
Temos também:
FLEXÃO
Concentrações de Tensão
Exemplo
Solução:
Da figura temos:
A menor largura 
possível é:
FLEXÃO
Carregamento axial excêntrico em um plano de simetria 
FLEXÃO
Uma força P aplicada no 
centroide da seção e um 
conjugado M, cuja 
intensidade é dada pelo 
momento M=P*d.
Carregamento axial excêntrico em um plano de simetria 
FLEXÃO
Carregamento axial excêntrico em um plano de simetria 
FLEXÃO
Carregamento axial excêntrico em um plano de simetria
Representação das tensões: 
FLEXÃO
Carregamento axial excêntrico em um plano de simetria
Representação das tensões: 
Nesse último caso, haverá uma linha na seção ao longo da 
qual sx = 0. Essa representa a linha neutra da seção.
Notamos que a linha neutra não coincide com o eixo que 
passa pelo centroide da seção, pois sx ≠ 0 para y = 0.
Superposição será sempre no limite de proporcionalidade.
FLEXÃO
Carregamento axial excêntrico em um plano de simetria
Exemplo 
Uma corrente de elos 
abertos é obtida dobrando-
se barras de aço de baixo 
teor de carbono, de 12 mm 
de diâmetro, na forma 
mostrada na figura. 
Sabendo que a corrente 
suporta uma força de 750 N,
FLEXÃO
Carregamento axial excêntrico em um plano de simetria
Exemplo 
determine 
(a) as tensões máximas de 
tração e compressão na 
parte reta de um elo e 
(b) a distância entre o eixo 
que passa pelo centroide 
e a linha neutra de uma 
seção transversal.
FLEXÃO
Carregamento axial excêntrico em um plano de simetria
Exemplo 
Solução:
(a) Tensões de tração e de 
compressão máximas.
FLEXÃO
Carregamento axial excêntrico em um plano de simetria
Exemplo 
Solução:
(a) Tensões de tração e de 
compressão máximas.
FLEXÃO
Carregamento axial excêntrico em um plano de simetria
Exemplo 
Solução:
(a) Tensões de tração e de 
compressão máximas.
FLEXÃO
Carregamento axial excêntrico em um plano de simetria
Exemplo 
Solução:
(b) Distância entre o eixo que 
passa pelo centroide e a 
linha neutra.
FLEXÃO
Carregamento axial excêntrico em um plano de simetria
Exemplo
Sabendo que para a peça de 
ferro fundido mostrada as 
tensões admissíveis são 30 
MPa na tração e 120 MPa na 
compressão,
determine a maior força P 
que pode ser aplicada à 
peça. 
FLEXÃO
Carregamento axial excêntrico em um plano de simetria
Exercício
Solução:
Centroide
FLEXÃO
Carregamento axial excêntrico em um plano de simetria
Exercício
Solução:
Momento de inercia
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Força e momento em C
Substituímos P por um sistema equivalente força e
momento no centroide C.
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Força e momento em C
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Superposição
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Maior força admissível
Em A:
Em B:
Então:
FLEXÃO
Exercício
Sabendo que a tensão admissível é de 150 MPa na seção
a-a do pendural mostrado na figura, determine (a) a maior
força vertical P que pode ser aplicada no ponto A e (b) a
localização correspondente da linha neutra da seção a-a.
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Considerando:
Calculando 
A
1 1200 30 36 x 103
2 1200 70 84 x 103
 2400 120 x 103
1 2
 
2400 
଴
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Momento:
Calculando I:
1 2
଴
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Calculando I:
1 2
଴
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Então:
1 2
଴
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Achando L.N.:
1 2
଴
FLEXÃO
Exercício Proposto
Sabendo que a tensão admissível é de 150 MPa na seção
a-a do pendural mostrado na figura, determine (a) a maior
força vertical P que pode ser aplicada no ponto P e (b) a
localização correspondente da linha neutra da seção a-a.
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Considerando:
Calculando 
A
1 1200 30 36 x 103
2 1200 70 84 x 103
 2400 120 x 103
1 2
 
2400 
଴
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Momento:
Calculando I:
1 2
଴
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Calculando I:
1 2
଴
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Considerando y = 30:
1 2
଴
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Achando L.N.:
1 2
଴
FLEXÃO
Flexão assimétrica:
Flexão pura limitada a barras que possuem pelo menos 
um plano de simetria e submetidas a momentos fletores
atuando naquele plano.
FLEXÃO
Flexão assimétrica:
Momentos fletores não atuam em um plano de simetria da 
barra, ou porque eles atuam em um plano diferente ou 
porque a barra não possui nenhum plano de simetria.
FLEXÃO
Flexão assimétrica:
FLEXÃO
Flexão assimétrica:
no limite de proporcionalidade
FLEXÃO
Flexão assimétrica:
Lembrando que a linha neutra da seção transversal, em 
geral, não coincidirá com a direção do momento fletor.
E, como a tensão normal é zero em qualquer ponto da 
linha neutra, a equação que define aquela linha pode ser 
obtida considerando sx = 0.
Podemos escrever:
Como: 
FLEXÃO
Flexão assimétrica:
Resolvendo para y e usando Mz e My das equações:
Temos:
Lembrando que:
Temos que o ângulo  é
definido pela relação:
FLEXÃO
Um momento de 180 Nm é 
aplicado a uma viga de 
madeira, de seção transversal 
retangular de 38 x 90 mm em 
um plano formando um ângulo 
de 30° com a vertical. 
Determine 
(a) a tensão máxima na viga e
(b) o ângulo que a superfície 
neutra forma com o plano 
horizontal
Flexão assimétrica:
Exemplo
FLEXÃO
Solução:
a) Tensão máxima:
Calculando I:
Flexão assimétrica:
Exemplo
FLEXÃO
Solução:
a) Tensão máxima:
A maior tensão de tração 
provocada por Mz ocorre ao 
longo de AB
Flexão assimétrica:
Exemplo
FLEXÃO
Solução:
a) Tensão máxima:
A maior tensão de tração 
provocada por My ocorre ao 
longo de AD
Então:
Flexão assimétrica:
Exemplo
FLEXÃO
Solução:
b) Ângulo da superfície neutra 
com o plano horizontal:
Flexão assimétrica:
Exemplo
FLEXÃO
Solução:
A distribuição das 
tensões ao longo da 
seção é:
Flexão assimétrica:
Exemplo
FLEXÃO
Caso geral de carregamento axial excêntrico
Temos que:
e
Quando 
então:
temos:
FLEXÃO
Caso geral de carregamento axial excêntrico
Exemplo
Uma força vertical de 4,80 kN
é aplicada em um poste de 
madeira de seção transversal 
retangular de 80 x 120 mm, 
conforme mostra a figura. 
(a) Determine as tensões nos 
pontos A, B, C e D.
(b) Localize a linha neutra da 
seção transversal.
FLEXÃO
Caso geral de carregamento axial excêntrico
Exemplo
Solução:
Tensões
Calculando A:
FLEXÃO
Caso geral de carregamento axial excêntrico
Exemplo
Solução:
Calculando I:
FLEXÃO
Caso geral de carregamento axial excêntrico
Exemplo
Solução:
Tensões
FLEXÃO
Caso geral de carregamento axial excêntrico
Exemplo
Solução:
Tensões
Temos que:
Então:
FLEXÃO
Caso geral de carregamento axial excêntrico
Exemplo
Solução:
Tensões
FLEXÃO
Caso geral de carregamento axial excêntrico
Exemplo
Solução:
Calculando L.N.
FLEXÃO
Caso geral de carregamento axial excêntrico
Exemplo
Solução:
A distribuição de tensões ao longo da seção é:
FLEXÃO
Caso geral de carregamento axial excêntrico
Exercício
Uma força horizontal P é 
aplicada a uma seção 
curta de uma viga de aço 
laminado S250 x 37,8, 
conforme mostra a 
figura. Sabendo que a 
tensão de compressão 
na viga não pode 
ultrapassar 82 MPa, 
determine a maior força 
P admissível.
FLEXÃO
Caso geral de carregamento axial excêntrico
Exercício
Solução:
Propriedades da seção transversal
Da tabela temos:
Força e momento em C.
FLEXÃO
Caso geral de carregamento axial excêntrico
Exercício
Solução:
Tensões normais:
FLEXÃO
Caso geral de carregamentoaxial excêntrico
Exercício
Solução:
Superposição:
FLEXÃO
Caso geral de carregamento axial excêntrico
Exercício
Solução:
Superposição:
FLEXÃO
Caso geral de carregamento axial excêntrico
Exercício
Solução:
Maior força admissível:
Exercício
Uma força axial P de 
intensidade de 75 kN é 
aplicada, conforme mostra 
a figura, a uma seção de 
uma viga curta de aço 
laminado W150 x 24. 
Determine a maior 
distância a para a qual a 
máxima tensão de 
compressão não 
ultrapasse 90 MPa. (2 
pontos).
FLEXÃO
Exercício
Solução
Da tabela temos que:
Então:
ି଺ ଶ
௫
ି଺ ସ
௬
ି଺ ସ
௙
x
y
FLEXÃO
Exercício
Solução
Também:
Então
x
y
௫
௫
௬
௬
௬
௬ ௫
௫
௫
ିଷ
௬
௬
ି଺
ିଷ
ିଷ ିଷ
ି଺
ଷ
ି଺
଺
௫
ିଷ
FLEXÃO
Exercício
Solução
Resolvendo:
Lembrando que:
Então:
x
y
௬
ଷ
௬
௬
ଷ
ଷ
ିହ
FLEXÃO
VIGAS EM FLEXÃO
Introdução
VIGAS EM FLEXÃO
Introdução
Vigas estaticamente determinadas
VIGAS EM FLEXÃO
Introdução
Vigas estaticamente indeterminadas
VIGAS EM FLEXÃO
Introdução
Vigas articuladas
VIGAS EM FLEXÃO
Diagramas de força cortante e momento fletor
VIGAS EM FLEXÃO
Diagramas de força cortante e momento fletor
VIGAS EM FLEXÃO
Diagramas de força cortante e momento fletor
Exemplo
Trace os diagramas de força cortante e momento fletor
para uma viga AB simplesmente apoiada de vão L, 
submetida a uma única força concentrada P em seu ponto 
médio C.
VIGAS EM FLEXÃO
Diagramas de força cortante e momento fletor
Exemplo
Solução
Diagrama de corpo livre
VIGAS EM FLEXÃO
Diagramas de força cortante e momento fletor
Exemplo
Solução
Corte em D
Da soma dos 
componentes verticais 
e a soma dos 
momentos em D iguais 
a zero, temos:
VIGAS EM FLEXÃO
Diagramas de força cortante e momento fletor
Exemplo
Solução
Corte em E
Da soma dos 
componentes verticais 
e a soma dos 
momentos em E iguais 
a zero, temos:
VIGAS EM FLEXÃO
Diagramas de força cortante e momento fletor
Exemplo
Solução
Diagramas de força cortante e momento fletor
VIGAS EM FLEXÃO
Diagramas de força cortante e momento fletor
Exemplo
Trace os diagramas de força cortante e momento fletor
para a viga em balanço AB de vão L suportando uma força 
w uniformemente distribuída
VIGAS EM FLEXÃO
Diagramas de força cortante e momento fletor
Exemplo
Solução
Corte em C
VIGAS EM FLEXÃO
Diagramas de força cortante e momento fletor
Exemplo
Solução
Diagrama de força cortante
VIGAS EM FLEXÃO
Diagramas de força cortante e momento fletor
Exemplo
Solução
Diagrama de momento fletor
VIGAS EM FLEXÃO
Diagramas de força cortante e momento fletor
Exemplo
Para a viga de madeira e o carregamento mostrado na 
figura, trace os diagramas de força cortante e momento 
fletor, e determine a tensão máxima provocada pelo 
momento fletor.
VIGAS EM FLEXÃO
Diagramas de força cortante e momento fletor
Exemplo
Solução
Reações
Na seção 1
VIGAS EM FLEXÃO
Diagramas de força cortante e momento fletor
Exemplo
Solução
Na seção 2
VIGAS EM FLEXÃO
Diagramas de força cortante e momento fletor
Exemplo
Solução
Seção 3
Seção 4
VIGAS EM FLEXÃO
Diagramas de força cortante e momento fletor
Exemplo
Solução
Seção 5
Seção 6
VIGAS EM FLEXÃO
Diagramas de força cortante e momento fletor
Exemplo
Solução
Seção 7
VIGAS EM FLEXÃO
Diagramas de força cortante e momento fletor
Exemplo
Solução
Diagramas de força 
cortante e momento fletor
Calculando W
VIGAS EM FLEXÃO
Diagramas de força cortante e momento fletor
Exemplo
Solução
A tensão normal máxima 
ocorre em B
VIGAS EM FLEXÃO
Diagramas de força cortante e momento fletor
Exemplo
A estrutura mostrada na figura consiste em uma viga AB, 
que é um perfil de aço laminado W250 x 167 e de dois 
membros curtos soldados entre si e a viga. 
VIGAS EM FLEXÃO
Diagramas de força cortante e momento fletor
Exemplo
(a) Trace os diagramas de força cortante e momento fletor
para a viga para o carregamento dado. 
(b) Determine a tensão normal máxima em seções 
imediatamente à esquerda e à direita do ponto D.
VIGAS EM FLEXÃO
Diagramas de força cortante e momento fletor
Exemplo
Solução
De A a C
VIGAS EM FLEXÃO
Diagramas de força cortante e momento fletor
Exemplo
Solução
De C a D
VIGAS EM FLEXÃO
Diagramas de força cortante e momento fletor
Exemplo
Solução
De D a B
VIGAS EM FLEXÃO
Diagramas de força cortante e momento fletor
Exemplo
Solução
Diagramas de força 
cortante e momento fletor
0,9 1,5
VIGAS EM FLEXÃO
Diagramas de força cortante e momento fletor
Exemplo
Solução
Tensão normal máxima à 
esquerda do ponto D.
0,9 1,5
VIGAS EM FLEXÃO
Diagramas de força cortante e momento fletor
Exemplo
Solução
Tensão normal máxima à 
direita do ponto D.
0,9 1,5
VIGAS EM FLEXÃO
Relações entre força, força cortante e momento fletor
VIGAS EM FLEXÃO
Relações entre força, força cortante e momento fletor
Relações entre força e força cortante
Dividindo ambos os membros da 
equação por Dx e depois fazendo 
Dx se aproximar de zero, temos:
indica que, para uma viga 
carregada conforme mostra a 
Figura, a inclinação dV/dx da 
curva de força cortante é negativa.
VIGAS EM FLEXÃO
Relações entre força, força cortante e momento fletor
Relações entre força e força cortante
Integrando a equação:
entre os pontos C e D, 
temos:
Temos que:
VIGAS EM FLEXÃO
Relações entre força, força cortante e momento fletor
Relações entre força cortante e momento fletor
indica que a inclinação dM/dx da curva do momento fletor
é igual ao valor da força cortante
Dividindo ambos os membros da 
equação por Dx e fazendo Dx se 
aproximar de zero, temos:
VIGAS EM FLEXÃO
Relações entre força, força cortante e momento fletor
Relações entre força e força cortante
Integrando a equação:
entre os pontos C e D, 
temos:
Temos que:
VIGAS EM FLEXÃO
Relações entre força, força cortante e momento fletor
Exemplo
Trace os diagramas de força cortante e momento fletor
para a viga simplesmente apoiada da figura, e determine o 
valor máximo do momento fletor.
VIGAS EM FLEXÃO
Relações entre força, força cortante e momento fletor
Exemplo
Temos que:
VIGAS EM FLEXÃO
Relações entre força, força cortante e momento fletor
Exemplo
Temos que:
VIGAS EM FLEXÃO
Relações entre força, força cortante e momento fletor
Exemplo
A viga AC formada pelo perfil de aço laminado W360 x 79 é 
simplesmente apoiada e tem uma força uniformemente 
distribuída conforme mostra a figura. 
Trace os diagramas de força cortante e momento fletor
para a viga e determine a localização e a intensidade da 
tensão normal máxima provocada pelo momento fletor.
VIGAS EM FLEXÃO
Relações entre força, força cortante e momento fletor
Exemplo
Diagrama de força cortante
VIGAS EM FLEXÃO
Relações entre força, força cortante e momento fletor
Exemplo
Diagrama de momento fletor
Calculando M:
VIGAS EM FLEXÃO
Relações entre força, força cortante e momento fletor
Exemplo
Tensão normal máxima
VIGAS EM FLEXÃO
Relações entre força, força cortante e momento fletor
Exemplo
Trace os diagramas de força cortante e momento fletor
para a viga e o carregamento mostrados
VIGAS EM FLEXÃO
Relações entre força, força cortante e momento fletor
Exemplo
Solução
Reações:
VIGAS EM FLEXÃO
Relações entre força, força cortante e momento fletor
Exemplo
Solução:
Achando V:
VIGAS EM FLEXÃO
Relações entre força, força cortante e momento fletor
Exemplo
Solução:
Diagrama de força cortante:
Como dV/dx = -w, sabemos 
que, entre as forças e as 
reações concentradas,a 
inclinação do diagrama da 
força cortante é zero (isto
é, a força cortante é 
constante).
VIGAS EM FLEXÃO
Relações entre força, força cortante e momento fletor
Exemplo
Solução:
Diagrama do momento fletor:
VIGAS EM FLEXÃO
Relações entre força, força cortante e momento fletor
Exemplo
Esboce os diagramas de força cortante e momento fletor
para a viga em balanço mostrada na figura.
VIGAS EM FLEXÃO
Relações entre força, força cortante e momento fletor
Exemplo
Solução
Diagrama de força cortante
Como dV/dx = -w, e entre 
A e B, o carregamento 
diminui linearmente, e o 
diagrama de força 
cortante é parabólico.
VIGAS EM FLEXÃO
Relações entre força, força cortante e momento fletor
Exemplo
Solução
Diagrama do momento fletor
Como dV/dx = V, e entre A e 
B, temos uma curva de 
terceiro grau com inclina-
ção zero em A, e entre B e 
C por uma linha reta
VIGAS EM FLEXÃO
Relações entre força, força cortante e momento fletor
Exemplo
A viga simplesmente apoiada AC é carregada por um 
momento T aplicado no ponto B. Trace os diagramas de 
força cortante e momento fletor da viga.
VIGAS EM FLEXÃO
Relações entre força, força cortante e momento fletor
Exemplo
Solução
Determinando as reações:
Diagrama de força cortante
VIGAS EM FLEXÃO
Relações entre força, força cortante e momento fletor
Exemplo
Solução
Diagrama do momento fletor
Como é aplicado um 
momento em B, o diagrama 
de momento fletor é 
descontínuo em B; ele é 
representado por duas linhas 
retas inclinadas e diminui 
repentinamente em B por um 
valor igual a T.
VIGAS EM FLEXÃO
Projeto de vigas prismáticas em flexão
Temos que:
Então podemos
escrever:
VIGAS EM FLEXÃO
Projeto de vigas prismáticas em flexão
Metodologia
1. Determine o valor de sadm para o material selecionado.
2. Trace os diagramas da força cortante e do momento 
fletor e determine o valor máximo absoluto Mmáx do 
momento fletor na viga.
3. Determine da o valor mínimo admissível do módulo de 
resistência Wmín da seção da viga.
VIGAS EM FLEXÃO
Projeto de vigas prismáticas em flexão
Exemplo
Selecione uma viga de mesa larga para suportar uma força 
de 66 kN, como mostra a figura. A tensão normal 
admissível para o aço utilizado é de 165 MPa.
VIGAS EM FLEXÃO
Projeto de vigas prismáticas em flexão
Exemplo
Solução
1. A tensão normal admissível é dada:
2. A força cortante é constante e igual a 66 kN. O momento 
fletor é máximo em B. Temos
VIGAS EM FLEXÃO
Projeto de vigas prismáticas em flexão
Exemplo
Solução
3. O módulo de resistência da seção mínimo admissível é:
VIGAS EM FLEXÃO
Projeto de vigas prismáticas em flexão
Exemplo
Solução
4. Consultando a tabela das Propriedades de Perfis 
Laminados no Anexo II, notamos que os perfis são 
dispostos em grupos da mesma altura e que, em cada 
grupo, eles são listados em ordem decrescente de 
peso. Escolhemos em cada grupo a viga mais leve que 
tenha um módulo de resistência da seção W = I/c pelo 
menos tão grande quanto Wmín, e anotamos os 
resultados na tabela a seguir:
VIGAS EM FLEXÃO
Projeto de vigas prismáticas em flexão
Exemplo
Solução
Escolhemos W410 x 60, 
com 60 kg/m e, mesmo 
assim, ele tem um W 
maior do que dois dos 
outros perfis. 
O peso total da viga será 
(2,4 m) x (60 kgm x 9,8 
m/s2) = 1411 N. Esse peso 
é pequeno comparado 
com a força de 66000 N e 
pode ser desprezado
VIGAS EM FLEXÃO
Exercício
Uma viga AC biapoiada com balanço, de madeira, com 3,6 
m de comprimento, com um vão AB de 2,4 m, deve ser 
projetada para suportar as forças distribuídas e 
concentradas mostradas na figura. 
VIGAS EM FLEXÃO
Exercício
Sabendo que será utilizada madeira com 100 mm de 
largura nominal (largura real 90 mm) e uma tensão 
admissível de 12 MPa, determine a altura h mínima 
necessária para a viga.
VIGAS EM FLEXÃO
Exercício
Solução
Reações
VIGAS EM FLEXÃO
Exercício
Solução
Diagrama de força cortante
Como não há nenhuma carga 
aplicada entre B e C, V se 
mantém constante entre 
esses dois pontos.
VIGAS EM FLEXÃO
Exercício
Solução
Determinação de Mmáx
Módulo de resistência à 
flexão da seção mínima 
admissível.
VIGAS EM FLEXÃO
Exercício
Solução
Altura mínima necessária da
viga
VIGAS EM FLEXÃO
Exercício
Uma viga de aço AD simplesmente apoiada, de 5 m de 
comprimento, deve suportar as forças distribuídas e 
concentradas mostradas na figura. Sabendo que a tensão 
normal admissível para a classe do aço a ser utilizado é de 
160 MPa, selecione o perfil de mesa larga que deverá ser 
utilizado.
VIGAS EM FLEXÃO
Exercício
Solução
Reações
VIGAS EM FLEXÃO
Exercício
Solução
Diagrama de força cortante
E
VIGAS EM FLEXÃO
Exercício
Solução
Determinação de Mmáx
Módulo de resistência da 
seção mínimo admissível
VIGAS EM FLEXÃO
Exercício
Solução
Seleção do perfil de mesa
larga
Selecionando o mais leve 
temos:
VIGAS EM FLEXÃO
Exercício Proposto
Trace os diagramas de força cortante e momento fletor
para a viga e carregamento mostrados, e determine o valor 
máximo absoluto 
(a) da força cortante e 
(b) do momento fletor.
VIGAS EM FLEXÃO
Exercício
Solução
Calculando as reações:
 ீ
 ௫
௫
௫
 ௬
௬
௬
A
Gy
Gx
C
VIGAS EM FLEXÃO
Exercício
Solução
Diagrama de força 
cortante
-1,6 kN
-8 kN
1,6 kN
A D E F B
V
A
Gy
Gx
C
V
M
VIGAS EM FLEXÃO
Exercício
Solução
Diagrama de momento 
fletor
Em A e B
Em D teremos dois 
momentos
A
Gy
Gx
C
 ஽
V
M
VIGAS EM FLEXÃO
Exercício
Solução
Diagrama de momento 
fletor
Em D teremos dois 
momentos
A
Gy
Gx
C
 ஽
VIGAS EM FLEXÃO
Exercício
Solução
Diagrama de momento 
fletor
Em E
A
Gy
Gx
C
 ா
VIGAS EM FLEXÃO
Exercício
Solução
Diagrama de momento 
fletor
Em F teremos dois 
momentos
A
Gy
Gx
C
V
M
 ி
VIGAS EM FLEXÃO
Exercício
Solução
Diagrama de momento 
fletor
Em F teremos dois 
momentos
A
Gy
Gx
C
V
M
 ி
VIGAS EM FLEXÃO
Exercício
Solução
Diagrama de momento 
fletor
Então:
Força cortante 
máxima
Vmax = 8 kN
Momento fletor
máximo
Mmax = 1,92 kNm
-0,48
-1,92
-0,48
A D
E
F B
M (kNm) 0,96
0,48
A
Gy
Gx
C
RESOLUÇÃO SEGUNDA PROVA
Questão 1
Uma laje de concreto 
é reforçada por 
barras de 16 mm de 
diâmetro colocadas 
com distanciamento 
de 140 mm entre os 
centros, conforme 
mostra a figura. O 
módulo de 
elasticidade é de 20 
GPa para o concreto 
e de 200 GPa para o 
aço. 
RESOLUÇÃO SEGUNDA PROVA
Questão 1
Usando uma tensão 
admissível de 9 MPa 
para o concreto e de 
140 MPa para o aço, 
determine o maior 
momento fletor por 
metro de largura que 
pode ser aplicado 
com segurança à laje. 
(2,5 pontos)
Questão 1
Solução
Considerando 140 mm temos que
Área do aço:
ଶ
RESOLUÇÃO SEGUNDA PROVA
Questão 1
Solução
Achando L.N.
ଶ
RESOLUÇÃO SEGUNDA PROVA
Questão 1
Solução
Achando I
Lembrando que:
RESOLUÇÃO SEGUNDA PROVA
Questão 1
Solução
Achando as tensões
Para o concreto:
RESOLUÇÃO SEGUNDA PROVA
Questão 1
Solução
Achando as tensões
Para o aço:
RESOLUÇÃO SEGUNDA PROVA
RESOLUÇÃO SEGUNDA PROVA
Questão 2
Uma força horizontal P 
de intensidade 100 kN é 
aplicada à viga mostrada 
na figura. Determine a 
maior distância para a 
qual a tensão de tração 
máxima na viga não 
ultrapasse 75 MPa. (3 
pontos). 
Questão 2
Solução
Considerando:
Calculando 
A
1 2000 10 20 x 103
2 1200 -10 -12 x 103
 3200 8 x 103
 
 
RESOLUÇÃO SEGUNDA PROVA
2,5
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Calculando Ix:
2,5FLEXÃO
Exercício
Solução:
Calculando Iy:
2,5
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Então:
FLEXÃO
Exercício
Solução:
Então:
2,5
RESOLUÇÃO SEGUNDA PROVA
Questão 3
Trace os diagramas de força cortante e momento fletor para a 
viga e o carregamento mostrados, e determine o valor máximo 
absoluto (a) da força cortante e (b) do momento fletor c) 
Selecione a viga de mesa larga mais econômica sabendo que 
a tensão admissível para o aço utilizado é de 160 MPa (2,5 
pontos). 
75 kN 75 kN
Questão 3
Solução
RA
 ஻
஺
஺
 ௬
஺
஻
RB
75 kN 75 N
3,75 kNm
RESOLUÇÃO SEGUNDA PROVA
75 kN 75 kN
3,75 Nm
Questão 3
Solução
Diagrama de Força Cortante
De A a C
De C a D
De D a B
85 kN
-65
21,25
A DC B
V (N)
102,5
-16,5
RESOLUÇÃO SEGUNDA PROVA
85 kN
-65
21,25
A DC B
V (N)
102,5
-16,5
M (Nm)
A DC B
17,5
21,25
16,25
20,0
Questão 3
Solução
Diagrama de Momento Fletor
Temos que:
஺
௖ି
௖ା
஽ି
஽ା
஻
RESOLUÇÃO SEGUNDA PROVA
Questão 3
Solução
Temos que:
Então:
Escolhemos o perfil W200 x 19,3
௠á௫
RESOLUÇÃO SEGUNDA PROVA
௠í௡
௠á௫
௔ௗ௠
௠í௡
௠í௡
ଷ ଷ
Perfil W 103 mm3
W 250 x 23,8 139
W 250 x 28,1 166
W 150 x 24,0 168
W 200 x 19,3 164
W 200 x 22,5 194
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Introdução
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Introdução
Se o eixo z for escolhido como perpendicular a essas 
faces temos:
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Introdução
Considerando uma placa fina.
Na superfície livre de um elemento estrutural
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Transformação do estado plano de tensão
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Transformação do estado plano de tensão
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Transformação do estado plano de tensão
Aplicando somatória de forças em x’ e y’ temos:
Resolvendo a primeira equação para sx´ e a segunda para 
tx´y´, temos
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Transformação do estado plano de tensão
Usando as relações trigonométricas
Temos que:
pode ser escrita como:
ou: 
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Transformação do estado plano de tensão
Usando as relações trigonométricas:
na equação:
temos:
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Transformação do estado plano de tensão
Obtemos substituindo θ por θ + 90 na equação:
e considerando que:
Obtemos a expressão para a tensão normal:
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Transformação do estado plano de tensão
Somando membro a membro, as seguintes equações: 
obtemos
como sz = sz’ = 0 temos que, no caso de estado plano de 
tensão, a soma das tensões normais que atuam no 
elemento de volume do material é independente da 
orientação desse elemento.
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Tensões principais e tensão de cisalhamento máxima
As equações: 
são as equações paramétricas de uma circunferência. 
Isso significa que, se escolhermos um sistema de eixos 
cartesianos ortogonais e representarmos um ponto M de 
abscissa sx´ e ordenada tx´y´ para um dado valor do 
parâmetro θ, todos os pontos assim obtidos pertencerão a 
uma circunferência.
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Tensões principais e tensão de cisalhamento máxima
Passando (sx + sy)/2 para o primeiro membro da equação:
e elevando ao quadrado ambos membros da equação: 
e somando membro a membro temos:
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Tensões principais e tensão de cisalhamento máxima
Definindo:
e
podemos expressar a equação:
como: 
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Tensões principais e tensão de cisalhamento máxima
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Tensões principais e tensão de cisalhamento máxima
Os pontos A e B correspondem a um valor zero de tx´y´.
Os valores θp do parâmetro θ que correspondem aos 
pontos A e B podem ser obtidos fazendo-se tx´y´ = 0 na 
equação:
temos:
define 2 valores de 2θp
desfasados 180. Então 2 
valores θp desfasados 90.
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Tensões principais e tensão de cisalhamento máxima
Temos que:
substituindo smed e R:
temos:
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Tensões principais e tensão de cisalhamento máxima
D e E correspondem ao 
maior valor numérico da 
tensão de cisalhamento tx´y´
Possuem valor de abcissa:
Podemos obter os valores 
de θC fazendo:
na equação:
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Tensões principais e tensão de cisalhamento máxima
Concluindo que os dois últimos membros da equação 
anterior são iguais a 0
Para
temos:
ou
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Tensões principais e tensão de cisalhamento máxima
A equação:
define 2 valores de 2θc
desfasados 180. Então 2 
valores θc desfasados 90.
Qualquer um desses valores 
pode ser utilizado para 
determinar a orientação do 
elemento correspondente à 
tensão de cisalhamento 
máxima.
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Tensões principais e tensão de cisalhamento máxima
Observando que o valor 
máximo da tensão de 
cisalhamento é igual ao raio 
R da circunferência, e 
lembrando que:
temos:
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Exemplo
Para o estado plano de tensão mostrado na figura, 
determine (a) os planos principais, (b) as tensões 
principais e (c) a tensão de cisalhamento máxima e a 
tensão normal correspondente.
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Exemplo
Solução
Planos principais
e
e
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Exemplo
Solução
Tensões principais
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Exemplo
Solução
Tensões principais
Fazendo θ = 26,6 na equação:
Verificamos que a tensão 
normal que atua na face BC do 
elemento é a smax
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Exemplo
Solução
Tensão de cisalhamento máxima
Como smax e smin têm 
sinais opostos, o valor 
obtido para tmax
realmente representa o 
valor máximo da tensão 
de cisalhamento no 
ponto considerado.
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Exemplo
Solução
Tensão de cisalhamento máxima
A orientação dos planos de 
tmax e o sentido das t são 
melhor determinados 
cortando-se o elemento ao 
longo do plano diagonal 
AC do elemento.
Como as faces AB e BC do 
elemento estão contidas 
nos planos principais, o 
plano diagonal AC deve 
ser um dos planos de tmax
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Exemplo
Solução
Tensão de cisalhamento máxima
O elemento de volume 
correspondente à tmax é 
mostrado na figura. 
A tensão normal em cada 
uma das quatro faces
do elemento é dada pela 
equação
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Exercício Proposto
Para o estado de tensão dado, determine as tensões 
normal e de cisalhamento depois que o elemento 
mostrado sofreu uma rotação de (a) 25° no sentido horário 
e (b) 10° no sentido anti-horário.
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Exercício Proposto
Solução
Tensões principais
Temos que:
௫
௬
௫௬
௫ ௬
௫ ௬
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Exercício Proposto
Solução
Tensões principais
Para θ = -25 e 2θ = -50
௫ᇲ
௫ ௬ ௫ ௬
௫௬
௫ᇲ
௫ᇲ
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Exercício Proposto
Solução
Tensões principais
Para θ = -25 e 2θ = -50
௫ᇲ௬ᇲ
ఙೣିఙ೤
ଶ ௫௬
௫ᇲ௬ᇲ
௫ᇲ௬ᇲ
௬ᇲ
௫ ௬ ௫ ௬
௫௬
௬ᇲ
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Exercício Proposto
Solução
Tensões principais
Para θ = 10 e 2θ = 20
௫ᇲ
௫ ௬ ௫ ௬
௫௬
௫ᇲ
௫ᇲ
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Exercício Proposto
Solução
Tensões principais
Para θ = 10 e 2θ = 20
௫ᇲ௬ᇲ
ఙೣିఙ೤
ଶ ௫௬
௫ᇲ௬ᇲ
௫ᇲ௬ᇲ
௬ᇲ
௫ ௬ ௫ ௬
௫௬
௬ᇲ
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Exemplo
Uma única força horizontal P 
de intensidade de 670 N é 
aplicada à extremidade D da 
alavanca ABD. Sabendo que a 
parte AB da alavancatem um 
diâmetro de 30 mm, determine 
(a) as tensões normal e de 
cisalhamento em um 
elemento localizado no ponto 
H e que possui lados 
paralelos aos eixos x e y e 
(b) os planos e tensões 
principais no ponto H.
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Exemplo
Solução
Sistema de força e momento:
Tensões sx, sy, txy no ponto H:
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Exemplo
Solução
Planos principais e tensões 
principais
e
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Exemplo
Solução
Planos principais e tensões 
principais
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Círculo de Mohr para o estado plano de tensão
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Círculo de Mohr para o estado plano de tensão
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Círculo de Mohr para o estado plano de tensão
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Círculo de Mohr para o estado plano de tensão
Construção do círculo de Mohr
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Para o estado plano de tensão, 
(a) construa o círculo de Mohr, 
(b) determine as tensões 
principais e 
(c) determine a tensão de 
cisalhamento máxima e a 
tensão normal 
correspondente.
Círculo de Mohr para o estado plano de tensão
Exemplo
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Círculo de Mohr para o estado plano de tensão
Exemplo
Solução
X
50
s (MPa)
t
10
Y
20
t (MPa)
C
O
-40
40
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Círculo de Mohr para o estado plano de tensão
Exemplo
Solução
X
40
50
s (MPa)
t
10
Y
20
t (MPa)
G C F
O
A
B
R
40
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Círculo de Mohr para o estado plano de tensão
Exemplo
Solução
X
40
50
s (MPa)
t
10
Y
20
t (MPa)
40
G C F
O
A
B
R
Planos principais e 
tensões principais
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Círculo de Mohr para o estado plano de tensão
Exemplo
Solução
X
40
50
s (MPa)
t
10
Y
20
t (MPa)
40
G C F
O
A
B
R
Planos principais e tensões 
principais
2qp
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Círculo de Mohr para o estado plano de tensão
Exemplo
Solução
Tensão de cisalhamento 
máxima
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Círculo de Mohr para o estado plano de tensão
Exemplo
Solução
Planos principais e tensões 
principais
Como a rotação que faz CX
coincidir com CA na figura 
é anti-horária, a rotação 
que faz Ox coincidir com o 
eixo Oa correspondente a 
smáx na figura também será 
anti-horária.
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Exercício Proposto
Para o estado de tensão dado, determine as tensões 
normal e de cisalhamento depois que o elemento 
mostrado sofreu uma rotação de (a) 25° no sentido horário 
e (b) 10° no sentido anti-horário.
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Exercício Proposto
Solução pelo Círculo de Mohr
Temos:
X (55,2, 
-41,4)
s (MPa)
t
t (MPa)
C F
AB
R
Y (-82,7, 
-41,4)
2θp
௠௘ௗ
௫ ௬
௠௘ௗ
ଶ ଶ
ଶ ଶ
௣
௣
O
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Exercício Proposto
Solução pelo Círculo de Mohr
Para θ = -25 e 2θ = -50
X (55,2, 
-41,4)
s (MPa)
t
t (MPa)
C FO
AB
R
Y (-82,7, 
-41,4)
2θp
X’
Y’
2θ
௣

௫ᇲ ௠௘ௗ
௫ᇲ
௬ᇲ ௠௘ௗ
௬ᇲ
௫ᇲ௬ᇲ
௫ᇲ௬ᇲ
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Exercício Proposto
Solução pelo Círculo de Mohr
Para θ = 10 e 2θ = 20
X (55,2, 
-41,4)
s (MPa)
t
t (MPa)
C FO
AB
R
Y (-82,7, 
-41,4)
2θp
X’
Y’
2θ
௣

௫ᇲ ௠௘ௗ
௫ᇲ
௬ᇲ ௠௘ௗ
௬ᇲ
௫ᇲ௬ᇲ
௫ᇲ௬ᇲ
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Círculo de Mohr para o estado plano de tensão
Exemplo
Para o estado plano de tensão mostrado, determine (a) os 
planos e tensões principais e (b) as componentes de 
tensão que atuam no elemento obtido pela rotação do 
elemento dado no sentido anti-horário de 30°.
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Círculo de Mohr para o estado plano de tensão
Exemplo
Solução
Construção do círculo de 
Mohr
X (100, 48)
s (MPa)
t
t (MPa)
C
F
O AB
R
Y (60, -48)
smed = 80 MPa
smin =
28 MPa
2θp
tm =
52 MPa
smáx = 132 MPa
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Círculo de Mohr para o estado plano de tensão
Exemplo
Solução
Planos principais e 
tensões principais
X (100, 48)
s (MPa)
t
t (MPa)
C
F
O AB
R
Y (60, -48)
smed = 80 MPa
smin =
28 MPa
2θp
tm =
52 MPa
smáx = 132 MPa
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Círculo de Mohr para o estado plano de tensão
Exemplo
Solução
As tensões principais 
são representadas 
pelas abscissas dos 
pontos A e B
X (100, 48)
s (MPa)
t
t (MPa)
C
F
O AB
R
Y (60, -48)
smed = 80 MPa
smin =
28 MPa
2θp
tm =
52 MPa
smáx = 132 MPa
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Círculo de Mohr para o estado plano de tensão
Exemplo
Solução
Planos principais e tensões principais
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Círculo de Mohr para o estado plano de tensão
Exemplo
Solução
Componentes de 
tensão no elemento 
rodado de 30°
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Círculo de Mohr para o estado plano de tensão
Exemplo
Solução
Componentes de 
tensão no elemento 
rodado de 30°
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Círculo de Mohr para o estado plano de tensão
Exemplo
Solução
Como X' está localizado acima do eixo horizontal, a tensão 
de cisalhamento na face perpendicular a Ox' tende a girar 
o elemento no sentido horário.
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Círculo de Mohr para o estado plano de tensão
Exemplo
Um estado plano de tensão consiste em uma tensão de 
tração s0 = 56 MPa que atua nos planos verticais e em 
tensões de cisalhamento desconhecidas. 
Determine
(a) a intensidade da 
tensão de 
cisalhamento t0 para 
que a maior tensão 
normal seja 70 Mpa e
(b) a tensão de 
cisalhamento máxima 
correspondente.
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Círculo de Mohr para o estado plano de tensão
Exemplo
Solução
Construção do círculo 
de Mohr.
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Círculo de Mohr para o estado plano de tensão
Exemplo
Solução
Tensão de cisalhamento 
t0.
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Círculo de Mohr para o estado plano de tensão
Exemplo
Solução
Tensão de cisalhamento 
máxima
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Círculo de Mohr para o estado plano de tensão
Exemplo
Solução
Tensão de cisalhamento 
máxima
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Estado geral de tensão
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Estado geral de tensão
Dividindo essa equação por DA e resolvendo para sn, 
temos:
A expressão obtida para a tensão normal sn é uma forma 
quadrática em lx, ly e lz. Os 
Os eixos de coordenadas a, b, c são chamados de eixos 
principais de tensão.
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Aplicação do círculo de Mohr na análise tridimensional da 
tensão
AB rotação em torno do eixo c, BC e CA em torno dos 
eixos a e b
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Aplicação do círculo de Mohr na análise tridimensional da 
tensão
Em um diagrama do círculo 
de Mohr, o eixo z
corresponde à origem O,
Se A e B estão localizados 
em lados opostos da origem 
O, as tensões principais 
correspondentes 
representam as tensões 
normais máxima e mínima 
no ponto Q.
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Aplicação do círculo de Mohr na análise tridimensional da 
tensão
Os planos de tensão de cisalhamento máxima correspon-
dem aos pontos D e E do círculo de Mohr e estão a 45° dos 
planos principais que correspondem aos pontos A e B.
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Aplicação do círculo de Mohr na análise tridimensional da 
tensão
Se A e B estiverem no 
mesmo lado de O, ou seja, 
se sa e sb tiverem o mesmo 
sinal, então o círculoque 
define smáx, smín e tmáx não 
será o círculo 
correspondente a uma 
transformação de tensão 
dentro do plano
xy.
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Aplicação do círculo de Mohr na análise tridimensional da 
tensão
Os planos de tensão de cisalhamento máxima são:
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Exemplo
Para o estado plano de tensão mostrado na figura, 
determine (a) os três planos principais e as tensões 
principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima.
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Exemplo
Solução
Circulo de Mohr
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Exemplo
Solução
Circulo de Mohr
As tensões principais no 
plano das tensões são
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Exemplo
Solução
Circulo de Mohr
As tensões principais no 
plano das tensões são
ANÁLISE DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕES
Exemplo
Solução
Tensão de cisalhamento máxima
Como os pontos D' e E', que 
definem os planos de tensão
de cisalhamento máxima, 
estão localizados nas 
extremidades do diâmetro 
vertical do círculo, 
correspondendo a uma 
rotação em torno do eixo b.
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Deformação de uma viga sob carregamento transversal
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Deformação de uma viga sob carregamento transversal
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Deformação de uma viga sob carregamento transversal
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Equação da linha elástica
O cálculo elementar que a curvatura de uma curva plana 
em um ponto Q(x,y) pode ser expressa como
dy/dx e d2y/dx2 são a primeira e a segunda derivadas da 
função y(x) representada por essa curva. No caso da linha 
elástica de uma viga, a inclinação dy/dx é muito pequena, 
e seu quadrado é desprezível comparado com a unidade.
Então temos:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Equação da linha elástica
Substituindo 1/ de
na equação: 
temos:
O produto EI é conhecido como rigidez à flexão
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Equação da linha elástica
Multiplicando ambos os membros da equação
por EI e integrando em x temos:
em que C1 é uma constante de integração.
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Equação da linha elástica
Chamando de θ(x) o ângulo, medido em radianos, que a 
tangente com a linha elástica em Q forma com a 
horizontal, e lembrando que esse ângulo é muito pequeno 
temos:
podemos escrever
como:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Equação da linha elástica
Integrando em x ambos os membros da equação:
temos:
As constantes C1 e C2 são determinadas pelas condições 
de contorno ou, mais precisamente, pelas condições 
impostas à viga pelos seus apoios.
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Equação da linha elástica
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Equação da linha elástica
Exemplo
A viga em balanço AB tem seção transversal uniforme e 
suporta uma força P na sua extremidade livre A. 
Determine a equação da linha elástica, a deflexão e a 
inclinação em A. 
Multiplicando por EI ambos os 
membros da equação:
Temos:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Equação da linha elástica
Exemplo
Solução
Diagrama de corpo livre
Observamos agora que na 
extremidade engastada B 
temos que:
e 
então temos:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Equação da linha elástica
Exemplo
Solução
Integrando em x obtemos:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Equação da linha elástica
Exemplo
Solução
Substituindo o valor de C1 em
temos:
Integrando ambos membros temos:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Equação da linha elástica
Exemplo
Solução
Em B temos: 
Substituindo em
temos:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Equação da linha elástica
Exemplo
Solução
Substituindo o valor de C2 em:
obtemos a equação da linha elástica:
ou
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Equação da linha elástica
Exemplo
Solução
A deflexão e a inclinação em A são obtidas fazendo x = 0 
nas equações
obtendo:
e
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Equação da linha elástica
Exemplo
A viga prismática biapoiada AB está submetida a uma 
força w uniformemente distribuída por unidade de 
comprimento. 
Determine a equação da linha elástica e a deflexão máxima 
da viga.
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Equação da linha elástica
Exemplo
Solução
Diagrama de corpo livre
Aplicando a equação:
e multiplicando ambos os membros por EI, temos: 
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Equação da linha elástica
Exemplo
Solução
Integrando duas vezes em x temos:
Em x = 0 e y = 0 temos C2 = 0
Em x = L e y = 0 temos:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Equação da linha elástica
Exemplo
Solução
Substituindo C1 e C2 em:
temos
ou
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Equação da linha elástica
Exemplo
Solução
Para L/2 temos:
Então:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Equação da linha elástica
Exemplo
Para a viga prismática e o carregamento mostrados, 
determine a inclinação e a deflexão no ponto D.
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Equação da linha elástica
Exemplo
Solução
De A a D (x < L/4)
Somatória de momentos em E
usando a equação:
temos: 
Integrando temos:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Equação da linha elástica
Exemplo
Solução
De D a B (x > L/4)
usando a equação:
temos: 
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Equação da linha elástica
Exemplo
Solução
De D a B (x > L/4)
Integrando a equação:
temos:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Equação da linha elástica
Exemplo
Solução
Determinando as constantes:
Com x = 0, y1 = 0 em
temos que C2 = 0
Com x = L, y2 = 0 em
temos:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Equação da linha elástica
Exemplo
Solução
Determinando as constantes:
x = L/4, θ1 = θ2 em
e em
temos:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Equação da linha elástica
Exemplo
Solução
Determinando as constantes:
x = L/4, y1 = y2 em
e em
temos:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Equação da linha elástica
Exemplo
Solução
Determinando as constantes:
Resolvendo simultaneamente as equações:
Temos:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Equação da linha elástica
Exemplo
Solução
Substituindo C1 e C2 em:
para x L/4 temos:
Usando x = L/4 nas equações anteriores temos:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Determinação direta da linha elástica com base na força 
distribuída
Lembrando que:
Diferenciando:
Diferenciando novamente
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Determinação direta da linha elástica com base na força 
distribuída
Multiplicando por EI e integrando 4 vezes:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Determinação direta da linha elástica com base na força 
distribuída
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Determinação direta da linha elástica com base na força 
distribuída
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Determinação direta da linha elástica com base na força 
distribuída
Exemplo
A viga prismática biapoiada AB suporta uma força 
uniformemente distribuída w por unidade de comprimento.
Determine a equação da linha elástica e a deflexão máxima 
da viga.
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Determinação direta da linha elástica com base na força 
distribuída
Exemplo
Solução
Como w constante, as 
primeiras três equações 
resultam em:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Determinação direta da linha elástica com base na força 
distribuída
Exemplo
Solução
Nas extremidades temos 
que M = 0, e 
considerando x = 0 na 
equação:
temos que C2 = 0
Com M = 0, x = L temos:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Determinação direta da linha elástica com base na força 
distribuída
Exemplo
Solução
Utilizando C1 e C2 em:
e integrando 2 vezes: 
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Determinação direta da linha elástica com base na força 
distribuída
Exemplo
Solução
Com x = 0 e y = 0 em:
temos C4 = 0 
Com x = L e y = 0 temos:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Determinação direta da linha elástica com base na força 
distribuída
Exemplo
Solução
Utilizando C3 e C4 em:
temos:
Com x = L/2 temos que:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
ExercícioPara a viga e o carregamento mostrados, determine 
(a) a equação da linha elástica, 
(b) a inclinação na extremidade A, 
(c) a deflexão máxima.
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Exercício
Solução:
Equação diferencial da 
linha elástica:
Integrando 2 vezes
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Exercício
Solução:
Condições de 
contorno:
Para (x = 0, M = 0) e 
(x = L, M = 0) na 
equação: 
temos C2 = 0, então:
C1 = 0, então
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Exercício
Solução:
Condições de 
contorno:
Integrando 2 vezes a 
equação: 
temos:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Exercício
Solução:
Condições de 
contorno:
Para (x = 0, y = 0) e 
(x = L, y = 0) na 
equação: 
temos que:
C4 = 0,
C3 = 0
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Exercício
b) Inclinação na extremidade A: Para x = 0, temos
c) Deflexão máxima: Para x = ½(L)
Solução:
a) Equação da linha 
elástica:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Exercício
A viga de aço biapoiada com balanço ABC suporta uma 
força concentrada P na extremidade C. Para a parte AB da 
viga, (a) determine a equação da linha elástica, (b) 
determine a deflexão máxima e (c) avalie ymáx para os 
seguintes dados:
W 360 X 101
I = 302 X 106 mm4
E = 200 GPa
P = 220 kN
L = 4,5 m
a = 1,2 m
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Exercício
Solução:
Digrama de corpo livre:
para (0 < x < L) 
Equação diferencial da linha 
elástica:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Exercício
Solução:
Integrando duas vezes a 
equação:
temos:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Exercício
Solução:
Determinando as constantes:
Para (x = 0, y = 0) e 
(x = L, y = 0) em:
temos que C2 = 0 e
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Exercício
Solução:
a) Equação da linha elástica:
Substituindo as constantes 
nas 2 equações temos:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Exercício
Solução:
b) Deflexão máxima na parte 
AB
Fazendo dx/dy = 0 em:
temos:
substituindo xm/L = 0,577 em:
temos
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Exercício
Solução:
c) ymáx para os dados:
W 360 X 101
I = 302 X 106 mm4
E = 200 GPa
P = 220 kN
L = 4,5 m
a = 1,2 m
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Vigas estaticamente indeterminadas
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Vigas estaticamente indeterminadas
Equações de equilíbrio
Equação da linha elástica
Resolvendo para M e substituindo em
temos 
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Vigas estaticamente indeterminadas
Integrando em x temos:
Para x = 0, θ = 0 na primeira equação temos e x = 0, y = 0 
na segunda equação temos que C1 e C2 = 0
Então temos:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Vigas estaticamente indeterminadas
Usando y = 0, x = L em
temos:
ou
resolvendo a equação anterior com as equações:
temos:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Vigas estaticamente indeterminadas
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Método da superposição
Exemplo
Determine a inclinação e a deflexão em D para a viga e o 
carregamento mostrados na figura, sabendo que a rigidez à 
flexão da viga é EI = 100 MNm2.
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Método da superposição
Exemplo
Solução
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Método da superposição
Exemplo
Solução
Utilizando os resultados do problema do slide 665 temos:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Método da superposição
Exemplo
Solução
Utilizando os resultados do problema da slide 678 temos:
Derivando em relação a x temos:
Fazendo w = 20 kNm, x = 2 m, e 
L = 8 nas equações anteriores:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Método da superposição
Exemplo
Solução
Combinando as inclinações e as deflexões produzidas 
pelas forças concentradas e distribuídas, temos:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Aplicação da superposição para vigas estaticamente 
Indeterminadas
Exemplo
Para a viga prismática e o carregamento mostrados na 
figura, determine as reações de apoio.
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Aplicação da superposição para vigas estaticamente
Indeterminadas
Exemplo
Solução:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Aplicação da superposição para vigas estaticamente
Indeterminadas
Exemplo
Solução:
Da tabela do Anexo IV (casos 
2 e 1), concluímos que:
Em B temos que:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Aplicação da superposição para vigas estaticamente
Indeterminadas
Exemplo
Solução:
Digrama de corpo livre:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Exercício
Para a viga uniforme e o carregamento mostrados na 
figura, determine 
(a) a reação em cada apoio e 
(b) a inclinação na extremidade A.
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Exercício
Solução
Superposição
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Exercício
Solução
Superposição
Exercício
Solução
Para o carregamento 
distribuído do Anexo IV 
(Caso 6) temos:
No ponto B para x = 2/3(L)
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Exercício
Solução
Carregamento da reação 
redundante do Anexo IV (Caso 
5) e considerando a = (2/3)L e 
b = (1/3)L temos:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Exercício
Solução
a) Reações nos apoios:
Para yB = 0
Por estática:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Exercício
Solução
b) Inclinação na extremidade A:
Do Anexo IV
Carregamento distribuído:
Carregamento da reação 
redundante.
Temos: 
e
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Exercício
Solução
b) Inclinação na extremidade A:
Então:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Exercício
Para a viga e o carregamento mostrados na figura, 
determine a inclinação e a deflexão no ponto B
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Exercício
Solução
Superposição
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Exercício
Solução
Superposição
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Exercício
Solução
Utilizando o Anexo IV temos:
Carregamento I
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Exercício
Solução
Utilizando o Anexo IV temos:
Carregamento II
Entre CB, M = 0, então
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Exercício
Solução
Inclinação em B
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Exercício
Solução
Deflexão em B
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Exercício
Para a viga uniforme AB, (a) determine a reação em A, 
(b) determine a equação da linha elástica e 
(c) determine a inclinação em A. 
(Note que a viga é estaticamente indeterminada com um 
grau de indeterminação.)
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Exercício
Equação diferencial da linha elástica:
Integrando 2 vezes
Solução:
Momento fletor
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Exercício
temos que C2 = 0.
Para (x = L, θ = 0) em:
temos:
Para (x = L, y = 0) em:
temos:
Solução:
Condições de contorno
Para (x = 0, y = 0) na 
equação:
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Exercício
e subtraindo o resultado membro a membro da equação:
temos:
(independente de E e I )
Também 
Solução:
a) Reação em A:
Multiplicando por L a 
equação 
DESLOCAMENTOS EM 
VIGAS
Exercício
temos:
c) Inclinação: Derivando a equação anterior:
e x = 0
Solução:
b) Equação da linha 
elástica:
Substituindo RA, C1, e 
C2 na equação: 
EMENTA
Número Nome
32 Resistência dos Materiais
Carga Horária Pré-Requisito (s)
Semanal Total Teórica Prática
Mecânica Aplicada04 64 64 -
Ementa
Tensão e deformação; propriedades mecânicas dos materiais; carregamento axial; flexão; análise de
tensões e deformações; deslocamentos em vigas.
Bibliografia Básica
BEER, F.P.; JONSTON, E.R; DEWOLF, J.T., Resistência dos Materiais. 4ª ed. São Paulo: McGraw-Hill
Interamericana. 2006
HIBBELER, R.C., Resistência dos Materiais, 5ª. Ed. São Paulo, Prentice Hall. 2004.
TIMOSHENKO, S. e GERE, J. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos- LTC. 1983.
Bibliografia Complementar:
BOTELHO M. H. C. Resistência dos Materiais. Edgard Blucher Ltda, São Paulo, Brasil. 2008.
CRAIG, R. Jr, Mecânica dos Materiais, Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos- LTC. 2003.
GERE, J. Mecânica dos Materiais, São Paulo, Thompson Learning. 2003.
POPOV, E, Introdução à Mecânica dos sólidos. São Paulo: Edgard Blucher, 1978.
TIMOSHENKO, S. P. Mecânicados Sólidos. Rio de Janeiro: LTC, 1994.
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
ANEXO I
Centroides
ANEXO I
Centroides
ANEXO I
Centroides
ANEXO II
Momentos de Inercia
ANEXO II
Momentos de Inercia
ANEXO II
Momentos de Inercia
ANEXO II
Momentos de Inercia
ANEXO II
Momentos de Inercia
Reações e apoios para estruturas bidimensionais:
ANEXO III
Reações e apoios para estruturas bidimensionais:
ANEXO III
Reações e apoios para estruturas bidimensionais:
ANEXO III
Reações em apoios e conexões para uma estrutura 
tridimensional 
ANEXO III
Reações em apoios e conexões para uma estrutura 
tridimensional 
ANEXO III
Reações em apoios e conexões para uma estrutura 
tridimensional 
ANEXO III
Deflexões e inclinações de vigas
ANEXO IV
Deflexões e inclinações de vigas
ANEXO IV