16 teste da comparação

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16 - Teste da comparação
Cálculo II
Rodrigo Câmara
1 de Abril de 2018
Rodrigo Câmara 16 - Teste da comparação
Objetivos desta aula
Objetivo principal
Aumentar a quantidade de séries que sabemos analisar.
Objetivo específico
Apresentar a técnica da comparação.
Rodrigo Câmara 16 - Teste da comparação
A ideia é comparar uma série que está sendo analisada com
uma conhecida.
Exemplo 16.1
Verifique se a série
∞∑
n=1
1
2n + 1
é convergente.
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Exemplo 16.2
Verifique se a série
∞∑
n=1
ln(n)
n
é convergente.
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Resumindo,
Teorema 16.1 (Teste da comparação)
Sejam
∑
an e
∑
bn séries com termos positivos.
I Se
I
∑
bn for convergente e
I an ≤ bn para todo n (a partir de algum n)
I então ∑
an é convergente.
I Se
I
∑
bn for divergente e
I an ≥ bn para todo n (a partir de algum n)
I então ∑
an é divergente.
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Dica
Na maioria das vezes vamos comparar com a Série P ou com a
Série Geométrica.
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Exemplo 16.3
Verifique se a série
∞∑
n=1
5
2n2 + 4n + 3
converge.
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Atenção
Cuidado com a ordem de comparação.
Não adianta nada falar que “uma série é menor que uma
divergente”.
Exemplo 16.4
Observe
1
2n − 1 >
1
2n
para todo n e que
∑ 1
2n é convergente.
No entanto isso não prova que
∑ 1
2n−1 é convergente.
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Atenção
Cuidado com a ordem de comparação.
Não adianta nada falar que “uma série é menor que uma
divergente”.
Exemplo 16.4
Observe
1
2n − 1 >
1
2n
para todo n e que
∑ 1
2n é convergente.
No entanto isso não prova que
∑ 1
2n−1 é convergente.
Rodrigo Câmara 16 - Teste da comparação
Atenção
Cuidado com a ordem de comparação.
Não adianta nada falar que “uma série é menor que uma
divergente”.
Exemplo 16.4
Observe
1
2n − 1 >
1
2n
para todo n e que
∑ 1
2n é convergente.
No entanto isso não prova que
∑ 1
2n−1 é convergente.
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Às vezes a forma alternativa do Teorema da Comparação é
útil.
Teorema 16.2 (Teste da Comparação (forma
alternativa))
Sejam
∑
an e
∑
bn séries com termos positivos.
Se
lim
n→∞
an
bn
= c ,
onde c é um número real e c > 0 então
I ambas convergem ou
I ambas divergem.
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Exemplo 16.5
Verifique se
∞∑
n=1
1
2n − 1
é convergente.
Exemplo 16.6
Verifique se
∞∑
n=1
2n2 + 3n√
5+ n5
é convergente.
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