Exercício de Integrais Triplas

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CENTRO DE EDUCAC¸A˜O SUPERIOR DE BRASI´LIA
CENTRO UNIVERSITA´RIO INSTITUTO DE EDUCAC¸A˜O SUPERIOR DE BRASI´LIA
Curso: Engenharia Civil Turma:
Professor: Aristo´teles Soares Ben´ıcio Ju´nior Data:
Disciplina: Ca´lculo 2
Aluno(a): Matr´ıcula:
LISTA 9
1) Nos casos abaixo, a equac¸a˜o de uma superf´ıcie e´ dada em coordenadas retangulares.
Determine uma equac¸a˜o em coordenadas cil´ındricas.
a) z = 3
b) z = 3x2 + 3y2
c) x2 + y2 = 4
d) x2 + y2 + z2 = 9
e) 2x+ 3y + 4z = 1
f) x2 = 16− z2
2) Seja D a regia˜o limitada abaixo pelo plano z = 0, acima pela esfera x2 + y2 + z2 = 4
lateralmente pelo cilindro x2 + y2 = 1. Monte uma integral tripla usando a ordem de
integrac¸a˜o dz dr dθ
3) Converta a integral
∫ 1
−1
∫ √1−y2
0
∫ x
0
(x2 + y2) dz dx dy em uma integral equivalente em
coordenadas cil´ındricas e avalie o resultado.
4) Monte uma integral iterada para calcular o volume da regia˜o D em que D e´ o cilindro
reto cuja base no plano xy e´ a circunfereˆncia de centro em x = 0 e y = 1 e raio 1 da pela
equac¸a˜o r = 2senθ e cujo topo esta´ no plano z = 4− y
5) Calcule
∫ ∫ ∫
D
z dx dy dz, em que D e´ o so´lido acima do plano xy e interior simultane-
amente ao cilindro x2 + y2 = 1 e a esfera x2 + y2 + z2 = 4
6) Calcule o volume do so´lido acima do plano xy, exterior ao parabolo´ide z = x2 + y2 e
interior ao cilindro x2 + y2 = 16
7) Calcule
∫ ∫ ∫
D
zx2+zy2 dx dy dz, em que D e´ o so´lido limitado pelo cilindro x2+y2 = 1,
pelo plano z = 0 e pelo parabolo´ide z = 4− x2 − y2
8) Determine o volume do conjunto D = {(x, y, z) ∈ R3 : x > 0, y > 0ex2 + y2 < z <√
x2 + y2}.
9) Suponha eu um reservato´rio na forma de um hemisfe´rio de raio R esteja cheio de a´gua
ate´ uma altura H. Denote por D a regia˜o ocupada pela a´gua e por V o seu volume.
a) Obtenha uma descric¸a˜o de D em coordenadas cartesianas.
b) Obtenha uma descric¸a˜o de D em coordenadas cil´ındricas.
c) Calcule o volume V .
10) Nos casos abaixo, a equac¸a˜o de uma superf´ıcie e´ dada em coordenadas retangulares.
Determine uma equac¸a˜o em coordenadas esfe´ricas.
a) z = 3
b) z = 3x2 + 3y2
c) x2 + y2 = 4
d) x2 + y2 + z2 = 9
e) 2x+ 3y + 4z = 1
f) x2 = 16− z2
11) Mostre que o volume de uma esfera de raio R e´
4
3
piR3.
12) Calcule
∫∫∫
D
√
x2 + y2 + z2 dx dy dz, em que D e´ a esfera x2 + y2 + z2 ≤ 1.
13) Converta a integral
∫∫∫
D
z dz dx dy em uma integral equivalente em coordenadas esfe´ricas,
em que D = {(x, y, z) ∈ R3;x2 + y2 ≤ z ≤√x2 + y2}.
14) Determine o volume de D = {(x, y) ∈ R2;x ≥ 0; y ≥ 0; 0 ≤ z ≤√x2 + y2 e x2+y2+z2 ≤
1}.
15) Encontre o volume da menor regia˜o cortada de uma esfera so´lida de raio ρ = 2 pelo plano
z = 1.
16) a) Resolva o sistema u = x − y, v = 2x + y para x e y em termos de u e v e depois
encontre o jacobiano J(u, v).
b) Encontre a imagem pela transformac¸a˜o u = x−y, v = 2x+y da regia˜o triangular com
ve´rtices (0, 0), (1, 1) e (1,−2) no plano xy. Esboce no plano uv a regia˜o transformada.
17) a) Resolva o sistema u = 3x + 2y, v = x + 4y para x e y em termos de u e v e depois
encontre o jacobiano J(u, v).
b) Encontre a imagem pela transformac¸a˜o u = 3x + 2y, v = x + 4y da regia˜o triangular
no plano xy limitada pelo eixo x, pelo eixo y e pela reta x + y = 1. Esboce no plano
uv a regia˜o transformada.
18) Seja D a regia˜o limitada pelas retas x + y = 1, x + y = 4, x − y = −1 e x − y = 1.
Seja ainda g(u, v) = 1
2
(u + v, u − v) uma mudanc¸a de coordenadas e R a regia˜o tal que
D = g(R) (ou seja x = 1
2
(u+ v), e y = 1
2
(u+ v)).
a) Esboce as regio˜es R e D.
b) Calcule a integral
∫∫
D
(x+ y)2e(x−y) dx dy usando a mudanc¸a de coordenadas g(u, v).
19) Use a mudanc¸a de coordenadas dada em cada caso e calcule a integral:
a)
∫∫
D
2x2 − xy − y2dx dy em que D e´ a regia˜o no primeiro quadrante limitada pelas
retas y = −2x + 4, y = −2x + 7, y = x − 2 e y = x + 1; transformac¸a˜o: u = x − y,
v = 2x+ y [Use o exerc´ıcio 7].
b)
∫∫
D
x2dx dy, em que D e´ tal que D = {(x, y) ∈ R2; 1 ≤ x ≤ 2 e x2 ≤ y ≤ x2 + 1};
transformac¸a˜o: u = x e v = y − x2.
c)
∫∫
D
ey+x
2
dx dy, em que D = {(x, y) ∈ R2;x ≥ 0;−x2 ≤ y ≤ 3 − x2 − 3x}; trans-
formac¸a˜o: u = x e v = y + x2. .
20) Use uma mudanc¸a de coordenadas para calcular:
a)
∫∫
D
cos(x− y)
sen (x+ y)
dx dy, em que D e´ tal que 1 ≤ x+ y ≤ 2 e x ≥ 0, y ≥ 0.
b)
∫ 2/3
0
∫ 2−2y
y
(x+ 2y)ey−xdx dy.
21) Um modelo simplificado para estimar o volume de um lago e´ assumir que a sua superf´ıcie
seja limitada pela elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1 em que a profundidade em cada ponto (x, y) da
superf´ıcie seja dada pela func¸a˜o p(x, y) = H cos
(
pi
2
√
x2
a2
+
y2
b2
)
, em que H e´ a profun-
didade ma´xima. Uma vez estimado o volume, a profundidade me´dia e´ a raza˜o entre o
volume e a a´rea da superf´ıcie do lago.
a) Expresse o volume do lago por meio de uma integral dupla.
b) Use uma mudanc¸a de varia´veis para transformar a integral do item anterior em uma
integral sobre um disco de raio um.
c) Calcule o volume do lago usando o item b).
d) Verifique que a profundidade me´dia do lago e´ independente das constantes a e b.
GABARITO
1. a) z = 3
b) z = 3r2
c) r = 2
d) r2 + z2 = 9
e) 2r cos θ + 3rsen θ + 4z = 1
f) r2 cos2 θ = 16− z2
2.
∫ 2pi
0
∫ 1
0
∫ √4−r2
0
r dz dr dθ
3.
∫ pi/2
−pi/2
∫ 1
0
∫ r cos θ
0
r3 dz dr dθ = 2/5
4.
∫ pi
0
∫ 2sen θ
0
∫ 4−rsen θ
0
r dz dr dθ
5. 7pi/4
6. 128pi
7. 37pi/6
8. pi/24
9. a) D = {(x, y, z) ∈ R3;x2 + y2 + z2 ≤ R2e0 ≤ z ≤ H}.
b) D = {(r, θ, z); 0 ≤ θ ≤ 2pi, 0 ≤ z ≤ He0 ≤ r ≤ √R2 − z2}.
c) V = piH(3R2 −H2)/3
10. a) ρ = 3 secφ
b) ρ = 1
3
cscφcotgφ
c) ρ = 2 cscφ
d) ρ = 3
e) 2ρsenφ cos θ + 3ρsenφsen θ + 4ρ cosφ = 1
f) ρ2(1− sen 2φsen θ) = 16)
11.
12.
∫ 2pi
0
∫ pi
0
∫ 1
0
(ρ2senφ) dρ dφ dθ = pi
13.
∫ 2pi
0
∫ pi/2
pi/4
∫ cosφ
sen 2φ
0
(ρ cosφ)(ρ2senφ) dρ dφ dθ
14.
∫ pi/2
0
∫ pi/2
pi/4
∫ 1
0
(ρ2senφ) dρ dφ dθ = pi
√
2/12.
15.
∫ 2pi
0
∫ pi/3
0
∫ 2
1/ cosφ
(ρ2senφ) dρ dφ dθ = 5pi/3.
16. a) x =
u+ v
3
; y =
v − 2u
3
e J(u, v) = 1/3.
b) Regia˜o triangular com fronteiras u = 0, v = 0 e u+ v = 3.
17. a) x =
2u− v
5
; y =
3v − u
10
e J(u, v) = 1/10.
b) Regia˜o triangular com fronteiras u = 3v, v = 2u e 3u+ v = 10.
18. a)
b) (21/2)(e− e−1).
19. a) 33/4
b) 3
c) (e3 − 4)/3)
20. a) 1
b)
1
3
(1 +
3
e2
)
21. a) volume =
∫∫
D
p(x, y) dx dy, onde D e´ a regia˜o limitada pela elipse.
b) volume =
∫∫
R
H cos(
pi
2
√
u2 + v2)ab du dv, em que R = {(u, v) ∈ R2 : u2 + v2 = 1}
c) volume = 4abH(1− 2/pi).
d) profundidade me´dia = (4H/pi)(1− 2/pi).