Questão 1 da AD2 2018.1

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da Questa˜o 1 da AD 1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-1
A margem de erro ε de uma pesquisa e´ a diferenc¸a ma´xima, em mo´dulo, entre o valor obtido pela
pesquisa e o valor real da grandeza que se esta´ tentando estimar. Assim, se o valor correto de uma
grandeza e´ vc e uma pesquisa indica o valor vp, tem-se
|vc − vp| < ε.
Por exemplo, se uma pesquisa estima que a renda per capita R em uma certa cidade e´ de e´ de
R$1500,00, com margem de erro de R$80,00, ter´ıamos
|R− 1500| < 80.
Questa˜o 1 (2,5 pontos) Um fabricante contratou treˆs consultorias para tentar descobrir o prec¸o
de venda ideal de um produto que pretende lanc¸ar no mercado, para que o lucro seja ma´ximo.
(i) A primeira consultoria apontou o prec¸o de venda ideal como sendo R$110,00, com a margem
de erro de R$5,00.
(ii) A segunda consultoria apontou o prec¸o de venda ideal R$117,00, com margem de erro de
R$10,00.
(iii) A terceira consultoria apontou R$112,00 como prec¸o de venda ideal, com margem de erro de
R$8,00.
Suponha que as pesquisas feitas pelas consultorias sejam confia´veis, isto e´ que os prec¸os apontados
estejam realmente dentro das margens de erro indicadas.
(a) Sendo P o prec¸o de venda ideal do produto, escreva, para cada pesquisa acima, uma inequac¸a˜o
modular satisfeita por P .
(b) Deˆ o menor intervalo poss´ıvel ao qual pertence o valor de P , de forma que satisfac¸a simultane-
amente a`s treˆs pesquisas.
(c) Determine a e b para que a inequac¸a˜o modular |P − a| < b represente o intervalo obtido no
item (b).
Soluc¸a˜o:
(a) A primeira consultoria aponta que o prec¸o de venda ideal P e´ de R$110,00, com margem de erro
de R$5,00, logo
|P − 110| < 5.
A segunda, aponta o valor de P , em reais, como 117, com margem de erro de R$10,00. Temos,
portanto
|P − 117| < 10.
Ja´, pela terceira consultoria, temos
|P − 112| < 8.
Me´todos Determin´ısticos I Crite´rio de Correc¸a˜o da Questa˜o 3 da AD 1 – 2018-1 2
(b) As pesquisas indicam que
|P − 110| < 5 ∴ −5 < P − 110 < 5 ∴ 105 < P < 115.
|P − 117| < 10 ∴ −10 < P − 117 < 10 ∴ 107 < P < 127.
|P − 112| < 8 ∴ −8 < P − 112 < 8 ∴ 104 < P < 120.
As treˆs desigualdades sa˜o satisfeitas se, e somente se,
107 < P < 115,
ou ainda P ∈ (107, 115).
(c) Note que a me´dia entre 107 e 115 e´
107 + 115
2
= 111, com 107 = 111 − 4 e 115 = 111 + 4.
Assim,
111− 4 < P < 111 + 4.
Subtraindo 111, temos
−4 < P − 111 < 4,
ou ainda
|P − 111| < 4.
Com isso, nas condic¸o˜es do enunciado, a = 111 e b = 4.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ