Lista de Autovetores Autovalores e Diagonalização

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Universidade Federal da Bahia 
Instituto de Matemática 
MATA07 – Álgebra Linear 
Professora Ana Cláudia Sokolonski 
 6ª Lista de Exercícios - Semestre 2009.2 
 Autovetores, Autovalores e Diagonalização 
 
Questão 1 Seja a transformação matricial 𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 4𝑥 + 𝑧, −2𝑥 + 𝑦, −2𝑥 + 𝑧 . 
Determine: 
(a) A equação característica; 
(b) Os autovetores e autovalores; 
(c) As bases do auto-espaço; 
(d) Se existir, a matriz 𝑃 que diagonaliza a transformação e a matriz 𝐷. 
 
Questão 2 Seja a transformação linear 𝑇: ℝ2 → ℝ2, tal que 𝑇 tenha autovalores 1 e 2 
associados aos autovetores 2𝑥, −𝑥 e 𝑥, 0 , respectivamente. Determine 𝑇 𝐵
𝐴, onde 𝐴 = 
 2, −1 , 1,0 e 𝐵 = 3,4 , −1,0 . 
 
Questão 3 Dada a transformação matricial 𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑡 = (𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 + 2𝑤 −
𝑡, 3𝑦 + 6𝑧 − 3𝑡, 2𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧 + 4𝑤 + 4𝑡, 3𝑥 − 6𝑦 + 6𝑤 + 5𝑡, −2𝑥 + 9𝑦 + 2𝑧 − 4𝑤 −
5𝑡), encontre: 
(a) Uma base para o espaço anulado da matriz 
(b) Uma base para o espaço linha da matriz 
(c) Uma base para o espaço coluna da matriz 
(d) Posto e nulidade da matriz. 
 
Questão 4 Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares: 
(a) 𝑇 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 2𝑦, −𝑥 + 4𝑦 
(b) 𝑇 𝑥, 𝑦 = 5𝑥 − 𝑦, 𝑥 + 3𝑦 
(c) 𝑇 𝑥, 𝑦 = 𝑦, −𝑥 
(d) 𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧, 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 
(e) 𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤 = 𝑥, 𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 
 
Questão 5 Ache os autovalores e autovetores correspondentes da transformação T:ℝ3 →
ℝ3, dada por 𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2𝑥 − 𝑦, 𝑦 − 𝑧, 2𝑦 + 4𝑧 . 
ferna
Nota
Questão 6 Se 𝜆1 = 4 𝑒 𝜆2 = 2 são autovalores de um operador linear 𝑇: ℝ
2 → ℝ2 
associados aos autovetores 𝑢 = 2,1 𝑒 𝑣 = −1,3 , respectivamente, determinar 𝑇 3𝑢 − 𝑣 . 
 
Questão 7 Encontre a transformação linear 𝑇: ℝ2 → ℝ2 , tal que T tenha autovalores 2 e -
3 associados aos autovetores 𝑎, −𝑎 𝑒 – 𝑎, 0 , respectivamente. 
 
Questão 8 Dadas as matrizes abaixo, ache todos os autovalores reais e os autovetores 
linearmente independentes. As matrizes A e B são diagonalizáveis? Por que? 
(a) 𝐴 = 
1 0 0
−2 3 −1
0 −4 3
 
 
(b) 𝐵 = 
2 −1
1 4
 
 
 
Questão 9 Responda, justificando: 
(a) Quais são os autovalores e os autovetores da matriz identidade? 
(b) Quais são os autovalores de uma matriz triangular? 
Questão 10 Seja o operador linear 𝑇: ℝ3 → ℝ3 definido pela matriz 𝐴 = 
1 0 −2
0 0 0
−2 0 4
 . 
Determine: 
(a) Os autovalores e autovetores correspondentes. 
(b) Determine os autovalores de 𝐴𝑇 𝑒 𝐴−1. 
 
Questão 11 Seja a transformação linear 𝑇: ℝ2 → ℝ2, tal que T tenha os autovalores 1 e 2 
associados aos autovetores 𝑥,
−𝑥
2
 𝑒 𝑥, 0 , respectivamente. Determine: 
(a) 𝑇 0,3 sem usar a lei de transformação. 
(b) 𝑇 𝑥, 𝑦 . 
 
Questão 12 Seja 𝑇: ℝ2 → ℝ2 uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor 
𝑢 = 2,1 e triplica o comprimento do vetor 𝑣 = 1,2 , sem alterar as direções nem inverter 
os sentidos. 
(a) Determine 𝑇 𝑥, 𝑦 . 
(b) Calcule 𝑇 0,3 . 
 
Questão 13 Dada a matriz A abaixo, determine os autovalores e suas respectivas 
multiplicidades, além dos autovetores e de uma matriz diagonal correspondente a A. 
𝐴 = 
4 −7 0
0 3 −4
0 0 3
 
2
6
−8
0 0 0 1
 
 
Questão 14 Sejam 𝐴 = 
1 2 1
0 −1 1
0 0 −1
 𝑒 𝐵 = 
1 3 1
0 2 0
0 0 3
 . 
(a) Verifique se elas são invertíveis. 
(b) Calcule AB e BA. Determine os autovalores de AB e BA. O que podemos afirmar? 
 
Questão 15 Dadas as matrizes abaixo, determine se elas são diagonalizáveis. 
(a) 
2 0
1 2
 
(b) 
2 −3
1 −1
 
(c) 
3 0 0
0 2 0
0 1 2
 
(d) 
−1 0 1
−1 3 0
−4 13 −1
 
(e) 
2 −1 0
0 2 1
0 0 3
 
1
−1
2
0 0 0 3
 
 
Questão 16 Nas matrizes abaixo, encontre uma matriz P que diagonaliza A e determine 
𝑃−1𝐴𝑃. 
(a) 𝐴 = 
−14 12
−20 17
 
(b) 𝐴 = 
1 0
6 −1
 
(c) 𝐴 = 
1 0 0
0 1 1
0 1 1
 
(d) 𝐴 = 
2 0 −2
0 3 0
0 0 3
 
 
Questão 17 Encontre as equações características, os autovalores, os autovetores e as bases 
dos auto-espaços das matrizes abaixo: 
(a) 
3 0
8 −1
 
(b) 
10 −9
4 −2
 
(c) 
4 0 1
−2 1 0
−2 0 1
 
(d) 
3 0 −5
1
5
−1 0
1 1 −2
 
(e) 
5 0 1
1 1 0
−7 1 0
 
(f) 
5 6 2
0 −1 −8
1 0 −2
 
(g) 
10 −9 0 0
4 −2 0 0
0 0 −2 −7
0 0 1 2
 
 
Questão 18 Para as matrizes abaixo encontre os autovalores a as bases dos autoespaços de: 
(a) 𝐴9, onde 𝐴 =
 
 
 
 
1 3 7 11
0
1
2
3 8
0 0 0 4
0 0 0 2 
 
 
 
 
(b) 𝐴25, onde 𝐴 = 
−1 −2 −2
1 2 1
−1 −1 0
 
 
Questão 19 Nas proposições abaixo determine se 𝐴 é diagonalizável. Se for encontre a 
matriz 𝑃 que diagonaliza 𝐴 e determine 𝑃−1𝐴𝑃: 
(a) 𝐴 = 
19 −9 −6
25 −11 −9
17 −9 −4
 
(b) 𝐴 = 
0 0 0
0 0 0
3 0 1
 
(c) 𝐴 = 
1 2 1
−1 0 1
1 1 0
 
(d) 𝐴 = 
1 0 0
2 2 1
3 0 1
 
(e) 𝐴 = 
−2 0 0 0
0 −2 0 0
0 0 3 0
0 0 1 3
 
(f) 𝐴 = 
2 0 0 2
0 3 2 1
0 0 3 0
0 0 0 1
 
 
Questão 20 Determine se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique as 
falsas. 
(a) Uma matriz quadrada com vetores-coluna linearmente independentes é diagonalizável. 
(b) Seja 𝐴 uma matriz 𝑛 × 𝑛, se 𝐴𝑥 = 𝜆𝑥 para algum escalar não-nulo 𝜆, então 𝑥 é um 
autovetor de 𝐴. 
(c) Se A é diagonalizável, então existe uma única matriz P tal que 𝑃−1𝐴𝑃 é uma matriz 
diagonal. 
(d) Seja 𝐴 uma matriz 𝑛 × 𝑛, se 𝜆 não é um autovalor de 𝐴, então o sistema linear 𝐴 −
𝜆𝐼 𝑥 = 0 só tem a solução trivial. 
(e) Se 𝑣1, 𝑣2 𝑒 𝑣3 são vetores de auto-espaços distintos de A, então é impossível expressar 𝑣3 
como combinação linear de 𝑣1 𝑒 𝑣2. 
(f) Se A é diagonalizável e invertível, então A-1 é diagonalizável. 
 
Questão 21 Ache todos os valores (reais) de 𝑘 para os quais 𝐴 é diagonalizável. 
(a) 𝐴 = 
1 1
0 𝑘
 
(b) 
1 0 𝑘
0 1 0
0 0 1
 
(c) 
1 𝑘 0
0 2 0
0 0 1
 
(d) 
1 1 𝑘
1 1 𝑘
1 1 𝑘
 
Resposta: 
(a) 𝑘 ≠ 1 
(b) ∀𝑘 
(c) ∀𝑘 
(d) 𝑘 ≠ −2 
 
Questão 22 Seja 𝐴 = 1 4
2 3
 . Determine: 
(a) Todos os autovalores de 𝐴 e os correspondentes autovetores; 
(b) Uma matriz invertível 𝑃 tal que 𝐷 = 𝑃−1𝐴𝑃 seja diagonal; 
 
 
Questão 23 Seja 𝐵 = 
−3 1 −1
−7 5 −1
−6 6 −2
 . Determine: 
(a) O polinômio característico e os autovalores de 𝐵; 
(b) Um conjunto máximo de autovetores linearmente independentes de 𝐵; 
(c) 𝐵 é diagonalizável? Em caso afirmativo, ache 𝑃 tal que 𝑃−1𝐵𝑃 seja diagonalizável; 
(d) Ache as multiplicidades algébrica e geométrica do autovalor 𝜆1 = −2. 
 
Questão 24 Seja 𝐶 = 
11 −8 4
−8 −1 −2
4 −2 −4
 . Determine: 
(a) O polinômio característico de 𝐶; 
(b) Os autovalores de 𝐶; 
(c) Um conjunto máximo de autovetores ortogonais não-nulos de 𝐶; 
(d) Uma matriz ortogonal 𝑃 tal que 𝑃−1𝐶𝑃 seja diagonal. 
 
Questão 25 Seja 𝐴 = 𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
 . Ache as condições necessárias e suficientes sobre 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑒 𝑑 
para que 𝐴 seja diagonalizável, isto é, tenha dois autovetores LI. 
 
Questão 26 Seja 𝐴 uma matriz simétrica 2 × 2 com autovalores 2 e 3, e seja 𝑢 = (1, 2) um 
autovetor pertencente a 2. Ache um autovetor 𝑣 pertencente a 3 e ache 𝐴. 
 
Questão 27 Sejam 𝐴 𝑒 𝐵 matrizes 𝑛 × 𝑛, cada uma com 𝑛 autovalores distintos. Prove que 
𝐴 𝑒 𝐵 têm os mesmos autovalores se, e somente se, 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴. 
 
Questão 28 Nas proposições abaixo mostre que 𝐴 𝑒 𝐵 são semelhantes indicando que elas 
são semelhantes a uma mesma matriz diagonal. Depois, encontre uma matriz invertível𝑃 tal 
que 𝑃−1𝐴𝑃 = 𝐵. 
(a) 𝐴 = 
3 1
0 −1
 , 𝐵 = 
1 2
2 1
 
(b) 𝐴 = 
2 1 0
0 −2 1
0 0 1
 , 𝐵 = 
3 2 −5
1 2 −1
2 2 −4
 
(c) 𝐴 = 
1 0 2
1 −1 1
2 0 1
 , 𝐵 = 
−3 −2 0
6 5 0
4 4 −1