(S2) Introdução à Geometria Analítica

Prévia do material em texto

PROBLEMÁTICA.
1) Encontre a equação reduzida de cada uma das retas, dadas abaixo na forma vetorial. Esboce o gráfico de cada uma delas:
	a) (x, y) = t(2, 3) b) (x, y) = (1, 1) + t(1, –1) 
c) (x, y) = (2, 0) + t(1, 1).
Solução: a) x = 2t	y = 3t		t = x/2		y = 3t/2.
	b) x = 1 + t	y = 1 – t	t = x – 1		y = –x + 2.
	c) x = 2 + t	y = t		t = x – 2		y = x – 2.
2) Encontre as equações paramétricas da reta determinada pelos pontos:
	a) (0, 0) e (3, 3) b) (1, –1, 1) e (2, 1, 1) 
c) (1, 2, –4) e (3, –1, 1).
Solução: a) v = (3, 3)	x = 3t,	y = 3t
	b) v = (1, 2, 0)		x = 2 + t	y = 1 + 2t	z = 1
	c) v = (2, –3, 5)	x = 1 + 2t	y = 2 – 3t	z = –4 + 5t	
3) Encontre as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto (1, 6, 2) e é paralela ao vetor
r = (5, –2, 1).
Solução: x = 1 + 5t	y = 6 – 2t	z = 2 + t
4) Encontre uma equação vetorial da reta cujas equações paramétricas são:
	x = 2 + 4t, y = –1 + t, z = t.
Solução: (x, y, z) = (2, –1, 0) + t(4, 1, 1)
5) Encontre uma equação vetorial e as equações paramétricas do plano que passa pelos pontos:
	a) (1, 1, 4), (2, –3, 1) e (3, 5, –2) 
b) (3, 2, 1), (–1, –1, –1) e (6, 0, 2)
Solução: a) v1 = (1, –4, –3)	v2 = (2, 4, –6)
	(x, y, z) = (1, 1, 4) + t1(1, –4, –3) + t2(2, 4, –6)
	x = 1 + t1 + 2t2		y = 1 – 4t1 +4t2		z = 4 –3t1 – 6t2
	b) v1 = (–4, –3, –2)	v2 = (3, –2, 1)
	(x, y, z) = (3, 2, 1) + t1(–4, –3, –2) + t2(3, –2, 1)
	x = 3 – 4t1 + 3t2		y = 2 – 3t1 –2t2 		z = 1 –2t1 + t2. 
6) Encontre equações paramétricas do plano 3x + 4y – 2z = 4.
Solução: x = t1	y = t2		z = 3t1/2 + 2t2 – 2 
7) Encontre a equação geral do plano que passa pelo ponto 
P(3, 5, –2) e é normal ao vetor n = (1, 1, 4).
Solução: ax + by + cz = d	x + y + 4z = d		d = 3 + 5 + 4(–2) = 0
	(: x + y + 4z = 0 
8) Encontre um vetor normal ao plano 4x + 2y – 5z = –25.
Solução: n = (4, 2, –5) 
9) Encontre equações paramétricas do plano que é paralelo ao plano 3x + 2y – z = 1 e passa pelo ponto P(1, 1, 1).
Solução: 3x + 2y – z = d	d = 3(1) + 2(1) – 1 = 4	3x + 2y – z = 4
	x = t1		y = t2		z = 3t1 + 2t2 – 4 
10) Encontre equações paramétricas da reta que é perpendicular ao plano x + y + z = 0 e passa pelo ponto (2, 0, 1).
Solução: v = (1, 1, 1)		(x, y, z) = (2, 0, 1) + t(1, 1, 1)
	x = 2 + t		y = t		z = 1 + t
11) Mostrar que o ponto P1(2, 2, 3) é eqüidistante dos pontos P2(1, 4, –2) e P3(3, 7, 5).
Solução: ||P1P2|| = ||P1P3|| 		P1P2 = (–1, 2, –5)		P1P3 = (1, 5, 2)
	||P1P2|| = (30 = ||P1P3|| 
12) Determinar, no eixo y, um ponto eqüidistante de A(1, 1, 4) e B(–6, 6,4).
Solução: No eixo y: P(0, y, 0)	||PA| = ||PB||	
PA = (1, 1 – y, 4)		PB = (–6, 6 – y, 4)
	||PA||2 = 1 + (1 – y)2 + 16		||PB||2 = 36 + (6 – y)2 + 16
	||PA||2 = ||PB||2		y = 7		P(0, 7, 0)
13) Calcular a distância do ponto P(1, 2, 3) à reta r dada por:
	r: x = 1 – 2t, y = 2t, z = 2 – t.
Solução: um ponto da reta é P1(1, 0, 2).	Um vetor da reta é v = (–2, 2, –1)
	P1P = (0, 2, 1)		||v|| = 3	v(P1P = (4, 2, –4)	||v(P1P|| = 6
	d = ||v(P1P|| / ||v|| = 6/3 = 2.		
14) Seja o triângulo ABC de vértices A(–3, 1, 4), B(–4, –1, 0) e C(–4, 3, 5). Calcular a medida da altura relativa ao lado BC.
Solução: formamos um paralelogramo de lados BA e BC cuja altura é a procurada.
BA = (1, 2, 4)		BC = (0, 4, 5)		||BC|| = (41		||BA(BC|| = (78
	h = ||BA(BC|| / ||BC|| = (78 / (41 = 1,38.
15) Calcular a distância entre as retas r e s nos seguintes casos:
	a) r: x = 0, y = z		s: y = 3, z = 2x.
	b) r passa pelos pontos A(1, 0, 1) e B((–1, –1, 0) e s pelos pontos C(0, 1, –2) e D(1, 1, 1).
	c) r: x = 3, y = 2		s: x = 1, y = 4.
	d) r: x = 1 – t, y = 2 + 3t, z = –t		s: eixo dos x.
	e) r: x = y = z – 2 	s: y = x + 1, z = x – 3.
Solução: a) vetor da reta r: r = (0, 1, 1).	Vetor da reta s: s = (1, 0, 2). As retas não são paralelas
	Vetor de uma reta a outra: Pr(0, 0, 0)	Ps(0, 3, 0)	PrPs = (0, 3, 0)
	Produto misto: (r, s, PrPs) = 3 ( 0. Logo, as retas são reversas (não coplanares)
	||r(s|| = (6	d = |(r, s, PrPs)| / ||r(s|| = 3 / (6 = 1,22.
	
b) r = AB = (–2, –1, –1)		s = CD = (1, 0, 3)	As retas não são paralelas.
 	Vetor de uma reta a outra: AC = (–1, 1, –3)
	Produto misto: (r, s, AC) = –1 ( 0. Logo, as retas são reversas
	||r(s|| = (35	d = |(r, s, PrPs)| / ||r(s|| = 1 / (35 = 0,17
	c) r = (0, 0, 1)	s = (0, 0, 1)	As retas são paralelas
	Vetor de uma reta a outra: Pr(3, 2, 0)	Ps(1, 4, 0)	PrPs = (–2, 2, 0)
	||r(PrPs|| = 2(2		||r|| = 1		d = 2(2 / 1 = 2(2 = 2,83.
	
d) r = (–1, 3, –1)		s = (1, 0, 0)
	Vetor de uma reta a outra: Pr(1, 2, 0)	Ps(0, 0, 0)	PsPr = (1, 2, 0)
	Produto misto: (r, s, PsPr) = –2.	As retas são reversas
	||r(s|| = (10	d = 2 / (10 = 0,63.
	
e) r = (1, 1, 1)	s = (1, 1, 1)	As retas são paralelas
	Pr(0, 0, 2)	Ps(0, 1, –3)	PrPs = (0, 1, –5)
	||r(PrPs|| = (62		||r|| = (3		d = (62 / (3 = 4,55. 	
16) Determinar a distância do ponto P(2, –3, 5) a cada um dos planos:
	a) π1: 2x – 2y – z + 3 = 0.
	b) π2: x + y + z = 0.
	c) π3: 2x + y = 3.
Solução: 
	a) d = 8/3		b) 4/(3		c) 2/(5
17) Achar a distância da origem a cada um dos planos:
	a) π1: 3x – 4y + 20 = 0.
	b) π2: x = 2 – h + 2t, y = 1 + 3h – t, z = –t.
Solução: 
	a) d = 4
	b) v1 = (–1, 3, 0)	v2 = (2, –1, –1)	n = v1(v2 = (–3, –1, –5)
	(2: 3x + y + 5z = 7	d = 7/(35 
18) Dado o tetraedro de vértices A(1, 2, 1), B(2, –1, 1), C(0, –1, –1) e D(3, 1, 0), calcular a medida da altura baixada do vértice D ao plano de face ABC.
Solução: consiste em calcular a distância do ponto D ao plano da face ABC
	AB = (1, –3, 0)		AC = (–1, –3, –2)	AB(AC = (6, 2, –6)
	Plano da face ABC: 6x + 2y – 6z = 4
	d = 16/(76	
19) Calcular a distância entre os planos paralelos:
	
	a) π1: 2x + 2y + 2z = 5, π2: x + y + z = 3.
	b) π1: x – 2z = -1, π2: 3x – 6z = 8.
Solução: Como os plano são paralelos, o problema consiste em calcular a distância de um ponto, em um dos plano, ao outro plano.
	a) n1 = (2, 2, 2)		P2((2 = (0, 0, 3)
		d = 1/2(3 = 0,87
	b) n2 = (3, 0, –6)		P1((1 = (–1, 0, 0)
		d = 11/(45 = 1,64
20) Determinar a distância da reta r: x = 3, y = 4, aos seguintes planos:
	a) xz		b) yz		c) π: x + y = 12.
Solução: a) a reta é paralela ao eixo z, logo ela fura o plano XY, então d = 0
	b) d = 3
	c) r = (0, 0, 1)	n = (1, 1, 0)	r.n = 0. Logo a reta é paralela ao plano. Então
		Pr(r = (3, 4, 0)		d = 5/(2 = 3,54
21) A tensão elétrica em função da corrente elétrica numa determinada bateria de um carro é dada pela reta mostrada na figura P2-1. Encontre a equação da reta no plano, v(i.
Fig. P2-1.
Solução: inclinação da reta: m = –2/75,	v = –2i/75 + 12 (com i em mA e v em V) 
22) Um plano π intersecta os eixos coordenados em (2, 0, 0), 
(0, 3, 0) e (0, 0, 5). Encontre a equação geral deste plano.
Solução: a equação segmentária do plano é
	x/2 + y/3 + z/5 = 1, donde tiramos
	15x + 10y + 6z = 30
23) Encontre a distância da origem ao plano do problema 22.
Solução: d = 30/(361 = 30/19 = 1,58
24) Encontre as interseções dos seguintes planos com os planos coordenados:
a) 2x + 4y = 5;		b) x + 2y + 6z = 12;		c) y + 2z = 4.
Solução: a) com o plano x = 0:	
y = 5/4 (reta paralela ao eixo z, passando em (0, 5/4, 0)
	 Com o plano y = 0:	
x = 5/2 (reta paralela ao eixo z, passando em (5/2, 0, 0)
	 Com o plano z = 0:	2x + 4y = 5 (reta ortogonal ao eixo z)
	b) Com o plano x = 0:	2y + 6z = 12
	 Com o plano y = 0:	x + 6z = 12
	 Com o plano z = 0:	x + 2y = 12
	
c) Com o plano x = 0:	y + 2z = 4
	 Com o plano y = 0:	z = 2
	 Com o planoz = 0:	y = 4.
25) Dada a reta (x – 1)/2 = (y + 3)/4 = (z – 4)/( –2), encontre os pontos onde ela “fura “ os planos coordenados.
Solução: No plano x = 0:		(0, –5, 5)
	 No plano y = 0:		(5/2, 0, 5/2)
	 No plano z = 0:		(5, 5, 0)
26) Encontre a mediana relativa ao vértice A do triângulo formado pelos pontos A(1, 1), B(2, 3) e C(4, 1).
[Obs: mediana de um triângulo é o segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto].
Solução: ponto médio do segmento BC: M = (3, 2). Então a mediana é a distância de A até M
	d = (5 = 2,35.
_1362411360.unknown