Estatística - Combinação linear geral

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ECO 1721 – Introdução à Estatística Econômica 
Professor: Juarez da Silveira Figueiredo 
Combinações Lineares de Variáveis Aleatórias 
 
Definição 
Considerem-se n variáveis aleatórias quaisquer 
1 2 3 nX ,X ,X , ... ,X
e n números reais 
1 2 3 na ,a ,a , ... ,a
. Faça-se 
 n
i i
i=1
Y a X 
 (1) 
A variável aleatória Y denomina-se combinação linear de 
1 2 3 nX ,X ,X , ... ,X
. 
 
Média (Expectância) e Variância da Combinação Linear 
Adotando a notação: 
2 2
Y Y i i i iμ E(Y) σ V(Y) μ E(X ) σ V(X ) i 1,2,3,...,n    
 
i jij i j ij X X i j
σ Cov(X ,X ) ρ ρ Cor(X ,X ) i, j 1,2,3,...,n   
 
 
a média (expectância) de Y é dada por 
 n n n
Y i i i i i i
i=1 i=1 i=1
μ E(Y) E a X a E(X ) a μ
 
    
 
  
 (2) 
e a variância de Y é dada por 
 
   
2 2
n n n
22
Y Y i i i i i i i
i=1 i=1 i=1
σ V(Y) E Y-μ E a X - a μ E a X μ
                            
  
 
      
n n n n
2
Y i i i j j j i j i i j j
i=1 j=1 i=1 j=1
σ E a X μ a X μ E a a X -μ X -μ
     
        
      
  
 
 
2 
 
    
n n n n
2
Y i j i i j j i j i j
i=1 j=1 i=1 j=1
σ a a E X -μ X -μ a a Cov X ,X    
 
ou seja, 
 
n n n n
2
Y i j i j i j ij
i=1 j=1 i=1 j=1
σ a a Cov X ,X a a σ  
 (3) 
 
Notando que 
 
ij i j j i ji
2
ii i i i i
σ Cov(X ,X ) Cov(X ,X ) σ i, j 1,2,3,..., n e
σ Cov(X ,X ) V( X ) i 1,2,3,..., n
   
   
 (4) 
 
podemos desmembrar a expressão anterior na soma de duas parcelas, a primeira das 
quais se refere aos índices de somação que são iguais 
(i j)
e a segunda relativa aos 
índices de somação que são diferentes 
(i j)
, obtendo a seguinte expressão: 
 
n n n n n n
2 2 2 2
Y i i i j i j i i i j ij
i=1 i=1 j=1 i=1 i=1 j=1
j>i j >i
σ a V(X ) 2 a a Cov X ,X a σ 2 a a σ      
 (5) 
Lembrando a definição de coeficiente de correlação linear, temos: 
i j
i j ij
ij X X
i ji j
Cov(X ,X ) σ
ρ ρ
σ σV(X )V(X )
  
 o que implica 
ij ij i jσ ρ σ σ
 (6) 
Assim, podemos reescrever a expressão (5), alternativamente, na forma: 
n n n
2 2 2
Y i i i j i j ij
i=1 i=1 j=1
j>i
σ a σ 2 a a σ σ ρ  
 (7) 
Se as variáveis 
1 2 3 nX ,X ,X , ... ,X
forem não correlacionadas (linearmente), o que 
evidentemente ocorre no caso mais particular de serem independentes, verifica-se, tanto 
de (5) quanto de (6), que a expressão da variância se reduz ao caso já estudado 
anteriormente, isto é: 
n
2 2 2
Y i i
i=1
σ a σ 
 
 
 
3 
 
Exemplo 1 
Sejam 
1 2X eX
duas variáveis aleatórias, 
1 2a ea
 dois números reais e Y uma 
combinação linear dessas duas variáveis, isto é 2
i i 1 1 2 2
i=1
Y a X a X a X  
. 
Então, tem-se: 
2
Y i i 1 1 2 2
i=1
μ E(Y) a μ a μ a μ   
 
e 
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
Y i i i j ij 1 1 2 2 1 2 12
i=1 i=1 j=1
j>i
σ V(Y) a σ 2 a a σ a σ a σ 2a a σ      
 
 
Exemplo 2 
Sejam 
1 2 3X ,X eX
tres variáveis aleatórias, 
1 2 3a ,a e a
 tres números reais e Y uma 
combinação linear dessas tres variáveis, isto é 3
i i 1 1 2 2 3 3
i=1
Y a X a X a X a X   
 
Então, tem-se: 
3
Y i i 1 1 2 2 3 3
i=1
μ E(Y) a μ a μ a μ a μ    
 
e 
3 3 3
2 2 2
Y i i i j ij
i=1 i=1 j=1
j>i
σ V(Y) a σ 2 a a σ    
 
 
 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3 1 2 12 1 3 13 2 3 23a σ a σ a σ 2 a a σ a a σ a a σ     
 
 
Matriz de Covariâncias e Matriz de Correlações 
Considere-se a variável aleatória multidimensional 
 1 2 3 nX ,X ,X , ... ,X
e representem-
se por 
ij
e por 
ijρ
, respectivamente, a covariância e o coeficiente de correlação linear 
entre as variáveis aleatórias 
i jX eX , para i, j 1,2,3,...,n
. Então: 
A matriz 
4 
 
 
11 12 1n
21 22 2n
C
n1 n2 nn
σ σ ... σ
σ σ ... σ
M
... ... ... ...
σ σ ... σ
 
 
 
 
 
 
 (8) 
denomina-se matriz de covariâncias associada a 
 1 2 3 nX ,X ,X , ... ,X
. Observe-se, de 
acordo com (4), que 
CM
é simétrica e que os elementos da sua diagonal principal são as 
variâncias das variáveis aleatórias 
1 2 3 nX ,X ,X , ... ,X
, nessa ordem. Prova-se, ainda, 
que o determinante de 
CM
é não-negativo. 
A matriz 
 
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
ρ ρ ... ρ
ρ ρ ... ρ
R
... ... ... ...
ρ ρ ... ρ
 
 
 
 
 
 
 (9) 
denomina-se matriz de correlações associada a 
 1 2 3 nX ,X ,X , ... ,X
. Observe-se, de 
acordo com (6), que R é simétrica e que os elementos da sua diagonal principal são 
todos iguais a 1. Prova-se, ainda, que o determinante de R é não-negativo. 
 
Exemplo 3 
Uma carteira de investimentos deverá ser formada apenas pelos ativos A e B. Sejam X e 
Y, respectivamente, os retornos de A e B para uma aplicação durante certo período de 
tempo (por exemplo um mês). Sabendo-se que a variância de X é igual a 25, a variância 
de Y é igual a 16 e o coeficiente de correlação linear entre x e Y é igual a 0,5 , 
determinar a proporção dos recursos da carteira que devem ser investidos em cada um 
desses ativos, de sorte a minimizar a variância do retorno (também denominada risco) 
da carteira. 
Sejam: 
R
= retorno da carteira e 
2
RV(R) σ
 a variância do retorno da carteira 
α
= proporção dos recursos investidos no ativo A; sendo 
0 α 1 
 
O retorno da carteira é uma combinação linear dos retornos de A de de B, podendo ser 
expresso por: 
 
R αX + (1-α)Y ; para 0 α 1  
 
Empregando a expressão (7), tem-se: 
5 
 
 
2 2 2 2
R 1 1 1 2 12V(R) σ α σ + (1- α) σ + 2α(1- α)σ σ ρ  
 
 
2 225α + 16(1- α) + 2α(1- α) 25 16 . 0,5 
 
 
2 2 225α + 16 32α + 16α 20α 20α    
 
 
221α 12α 16  
 
; para 0 α 1 
 
Se não levarmos em consideração a restrição 
0 α 1 
 vemos que a expressão anterior 
é um trinômio do segundo grau em
α
, não negativo (uma vez que
2
Rσ 0
), cujo 
coeficiente de 
2α
é positivo. Portanto, esse trinômio do segundo grau apresenta um 
mínimo em todo o campo real, correspondente ao valor de
α
em que se anula a primeira 
derivada da expressão da variância do retorno da carteira,
2
Rσ
. Após a obtenção desse 
valor, deve-se verificar se ele pertence ou não ao intervalo [0,1], para se concluir qual é 
a solução adequada. 
No caso, tem-se: 
 
 
2
2Rdσ d 21α 12α + 16 42 α 12 0
dα dα
    
 
logo 
 
42
α 0,286
12
 
 
Assim, em todo o campo real, o mínimo do trinômio corresponde a um valor de
α
que 
pertence ao intervalo [0,1]. Portanto, deve-se investir 28,6% dos recursos no ativo A e 
71,4% no ativo B, para que o risco de mercado da carteira seja mínimo. 
 
Exemplo 4 
Admita-se, no exemplo anterior, que se tenha:2 2
1 2 12σ 1 , σ 9 e ρ 0,6  
 
Neste caso, 
 
2 2 2
RV(R) σ 1α + 9(1- α) + 2α(1- α) 1 9 . 0,6  
 
 
2 2 21α + 9 18α 9α 3,6α 3,6α     
 
 
26,4α 14,4α 9  ; para 0 α 1 
 
do que resulta 
6 
 
 
 
2
2Rdσ d 6,4α 14,4α + 9 12,8 α 14,4 0
dα dα
    
 
ou seja 
 
14,4
α 1,125
12,8
 
 
Assim, verifica-se que 
α 1
 e, portanto, o trinômio 
2 2
Rσ 6,4α 14,4α 9  
é 
decrescente para 
α 1,125
. Portanto, o valor de 
α [0,1]
 que minimiza 
2
Rσ
 é igual a 
1. Logo deve-se investir todos os recursos da carteira no ativo A. 
 
Exemplo 5 
Admita-se, agora, que no exemplo 3 anteriormente apresentado se tenha: 
 
2 2
1 2 12σ 4 , σ 1 e ρ 0,8  
 
Neste caso, 
 
2 2 2
RV(R) σ 4α + 1(1- α) + 2α(1- α) 4 1 . 0,8  
 
 
2 2 24α + 1 2α α 3,2α 3,2α     
 
 
21,8α 1,2α 1  ; para 0 α 1 
 
do que resulta 
 
 
2
2Rdσ d 1,8α 1,2α + 1 3,6 α 1,2 0
dα dα
    
 
ou seja 
 
1,2
α 0,333
3,6

  
 
Logo, verifica-se que 
α 0
 e, portanto, o trinômio 
2 2
Rσ 1,8α 1,2α 1  
é crescente 
para 
α 0,333 
. Assim sendo, o valor de 
α [0,1]
 que minimiza 
2
Rσ
 é igual a 0. 
Logo deve-se investir todos os recursos da carteira no ativo B. 
 
Exemplo 6 Uma carteira de investimentos é composta por 20% do ativo A, 30% do 
ativo B e 50% do ativo C. O retorno semanal desses ativos possui distribuição normal 
com as seguintes características: 
7 
 
Vetor de médias: 
t
A B Cμ (μ ,μ ,μ ) (3,6,2) 
 
Matriz de covariâncias: 
C
4.0 1,6 1,8
M 1,6 16,0 4,8
1,8 4,8 9,0
 
 
 
  
 
Pede-se: 
a) Calcular a probabilidade de que a carteira venha a apresentar prejuízo em 
determinada semana; 
b) Determinar o VAR (Value at Risk) semanal da carteira, ao nível de confiança de 95% 
(VAR(95%) = perda ma´xima da carteira com probabilidade 5%) 
 
A B CR 0,2X + 0,3X + 0,5X
 
       R A B Cμ E R 0,2E X + 0,3E X + 0,5E X 0,2.3 0,3.6 0,5.2 3,4     
 
   2 2 2 2Rσ V R (0,2) 4,0 (0,3) 16,0 (0,5) 9,0 2 (0,2)(0,3)1,6 (0,2)(0,5)1,8 (0,3)(0,5)4,8       
donde 
2
Rσ 5,8420
 e 
Rσ 5,8420 2,4170 
 
Portanto, o retorno da carteira tem distribuição normal de média 
Rμ 3,4
 e desvio 
padrão 
Rσ 2,417
 
Então, segue: 
a) 
   
0 3,4
P R <0 P Z P Z 1,41 0,5 H(1,41) 0,0793
2,417
 
       
 
 
b) Seja v o value at risk, então 
 
v 3,4
P R < v P Z 0,05
2,417
 
   
 
 
Verifica-se que 
v-3,4
z 0
2,417
 
 logo 
 
v 3,4 (v 3,4)
P R < v P Z P Z 0,05
2,417 2,417
     
       
   
 
E assim 
(v 3,4) (v 3,4)
P Z 0,5 H 0,05
2,417 2,417
      
      
   
 
Consequentemente, 
8 
 
(v 3,4)
H 0,500 0,05 0,4500 H(1,645)
2,417
  
    
 
 donde 
v 1,34
1,645
2,417


 e finalmente 
v 3,4 1,645.2,417 3,4 3,976 0,576 0,58     
 
Então VAR(95%) = 0,58 
 
 
 
 
Bibliografia 
Keller Filho, Thadeu: Combinações Lineares de Várias Variáveis Aleatórias 
Nota Didática elaborada para o curso da disciplina ECO 1722 – Estatística Econômica e 
Introdução à Econometria, Rio de Janeiro, 2003 
 
Goldberger, A.: A Course in Econometrics 
Harvard University Press, London, 1991 
 
Securato, J. R.: Decisões Financeiras em Condições de Risco 
Editora Atlas, São Paulo, 1996 
 
Jorion, P.: Value at Risk – A Nova Fonte de Referência para o Controle do Risco do 
Mercado – Bolsa de Mercadoria & Futros, agosto de 2001