Estatística - Resumo teórico 1.0

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ECO 1721 - Introdução à Estatística Econômica 
1- Axiomas e Teoremas Fundamentais do 
Cálculo de Probabilidades 
R e s u m o Teórico 
Professores: Thadeu Keller Filho e Juarez Figueiredo 
1.1 Noções Preliminares 
 1.1.1 Experiência aleatória 
 É toda experiência cujos resultados não podem ser previstos, devido à incerteza de 
 sua ocorrência. 
 1.1.2 Espaço Amostral 
 É o conjunto dos resultados possíveis de uma experiência aleatória. O espaço amostral é 
 representado por S 
 1.1.3 Evento 
 É qualquer subconjunto do espaço amostral. 
 1.1.4 Evento Certo 
 É um evento que ocorre sempre, qualquer que seja o resultado da experiência aleatória. 
 Um evento certo é representado por S, pois é equivalente ao espaço amostral. 
 1.1.5 Evento Impossível 
 É um evento que nunca ocorre, qualquer que seja o resultado da experiência aleatória. 
 Um evento impossível é representado por 
.
 
 1.1.6 Eventos Contrários 
 A todo evento E associa-se um evento 
E
, dito “Contrário de E” ou “Complementar de E” 
que corresponde à não ocorrência de E. 
1.2 Composição de Eventos 
 1.2.1 Interseção de eventos 
 AB = A e B (ocorrência conjunta ou ocorrência de ambos) 
 Se 
AB A e B ,
se dizem “mutuamente exclusivos” ou “disjuntos” 
 1.2.2 Reunião de eventos 
 A = Aou/e BB (ocorrência de A ou B ou ocorrência de pelo menos um dos eventos A 
e B) 
2 
 
 1.2.3 Diferença de eventos 
 A-B = 
AB
 = A e não B (ocorre o evento A e não ocorre o evento B) 
1.3 Axiomas do Cálculo de Probabilidades 
 (I) 
 P A 0
 
 (II) 
 P S 1
 
 (III) Se 
     AB P A B P A P B    
 No caso de espaços amostrais infinitos, por razões matemáticas, torna-se necessário subs-
tituir o terceiro axioma por outro, indicado a seguir. 
 (III)* 
 1 2 3 nSe A ,A ,A ,....,A ,.... éumasequência infinita enumerável de eventos disjuntos
 
 i j i i
i=1i=1
isto é, se A A para todo i, j 1,2,3,... com i j, então P A P A        
 

 
1.4 Teoremas Básicos do Cálculo de Probabilidades 
 1.4.1 Teorema do Evento Impossível 
  P 0  
 
 Demonstração: 
 S S S    
 
(III) 
   P S P P(S)  
 
 P 0  
 1.4.2 Teorema do Evento Contrário (ou Complementar) 
    P A 1 P A  
 
Demonstração: 
 
S A A AA =  (III)    P S P A P(A)   
 (I) 
     P S 1 P A P(A) P(A) 1 P A      
 
 1.4.3 Teorema da Monotonia 
 Se A e B são dois eventos tais que 
A B
 então 
   P A P B
 
 Demonstração: 
 Se 
A B
 então AB = A e portanto 
B A BA
, logo 
3 
 
 
         P B P A BA P A P BA pois A BA     
 e como 
     P BA 0 peloaxioma1, entãoresulta queP B P A 
 
 1.4.4 Teorema do Evento Diferença 
 Se A e B são dois eventos quaisquer e A-B é o evento diferença, então 
 
     P A-B P A P AB 
 
 Demonstração: 
 Quaisquer que sejam os eventos A e B verifica-se que 
 A-B AB e que A AB AB  
 Portanto 
        P A P AB AB P AB P AB pois AB e AB são eventos disjuntos   
 Logo 
        P A-B P AB P A P AB   
 1.4.5 Teorema da Reunião de Eventos 
 a) Reunião de dois eventos 
 
       P A B P A P B P AB   
 
 Demonstração: 
 (i) 
 A B A BA A(BA)   
 (III) 
 P(A B) P(A) P BA  
 
 (ii) Pelo Teorema do Evento Diferença 
 
 P BA P(B) P(BA) 
 
 Logo 
 
   A B P(A) P B P ABP( )  
 
 (b) Reunião de três eventos 
 
             P A B C P A P B P C P AB P AC P BC      P ABC
 
 Demonstração: 
 
       P A B C P A B P C P C A B     
 
4 
 
 = 
         P A +P B P AB +P C P CA CB 
 
                P A +P B P AB P C P CA +P CB P CA BC          
 
 
             P CP A +P B + P AB P CA P CB P ABC    
 (c) Extensão para qualquer número finito n de eventos 
 
     
n n n
i i i j i j k
i=1 i<j i<j<ki=1
n
P A P A P A A P A A A ...
 
     
 
  
 
 
   
n 1
1 2 n... 1 P A A ...A

  
 
 (Demonstração omitida) 
 1.4.6 Teorema da Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos e Equiprováveis 
 
     , ,..., n n1 2 1 2S {e e e } P e = P e = ... = P e = p
 
 
   
n n
i j
j i j j
j=1j=1
S e e e P S P e np 1 p 1/ n        
 
 Aplicação: 
     
1 2 r ij j j j
r
i = 1
r
E e , e , . . . , e P E P e r p
n
    
 r Númerodecasosfavoráveisa E n = Número de casos possíveis 
 
1.5 Probabilidades Condicionais (ou Condicionadas) 
 
 
 
 
 
P AB
P A|B para P B 0
P B
  
 
 
1.6 Independência de Eventos 
 (a) Independência de dois eventos 
 Diz-se que os eventos 
A e B
são independentes se e somente se 
 
     P AB = P A P B
 
 ou, equivalentemente, 
   P A =P A|B para P(B) > 0
 
 ou, ainda, também equivalentemente, 
   P B =P B|A para P(A) 0
 
 
 
5 
 
 (b) Independência de n eventos 
 Diz-se que os eventos 
1 2 nA ,A , ... ,A
são independentes se e somente se 
 
       j j j j j j
1 2 1 2k k
P A A ... A P A P A ...P A
 quaisquer que sejam 
 
   2 k1j , j , ..., j 1,2,3, ... ,n k=2,3,...,n 
 
 
1.7 Teorema sobre a Independência de Eventos 
 Se A e B são dois eventos independentes, então também são independentes os seguintes 
pares de eventos: 
 i) 
A e B
; 
 ii) 
A e B
 
 iii) 
A e B
 
 Demonstração: 
 O primeiro item é demonstrado a seguir. 
 
                   P AB =P A P AB P A P A P B P A 1 P B P A P B       
 
 Os demais podem ser demonstrados de modo similar. 
 
1.8 Teorema da Interseção de Eventos (ou Teorema da Multiplicação)
 
 (a) Interseção de dois eventos 
      P AB P A P B|A 
 (b) Interseção de n eventos (n=2,3,...) 
 
       1 2 n-1 n 1 2 1 3 1 2P A A ... A A P A P A |A P A |A A ... n 1 2 n -1P A |A A ...A
 
 
 Demonstração: 
 Admita-se o teorema válido para n-1 eventos (para n = 3,4, ...) 
  1 2 n-2 n-1P A A ... A A        1 2 1 3 1 2 n-1 1 2 n -2P A P A |A P A |A A ... P A |A A ...A
 
 Então, 
      1 2 n-1 n 1 2 n-2 n-1 n 1 2 n-2 n-1P A A ... A A P A A ... A A P A |A A ... A A
 
 
       1 2 1 3 1 2 n 1 2 n -1P A P A |A P A |A A ... P A |A A ...A
 
 
 
6 
 
1.9 Teorema da Probabilidade Total 
 Sejam 
1 2 nA ,A , ...,A , B n+1 eventos tais que
:
 
 (i) n
i
i = 1
A S
 (os eventos 
1 2 nA ,A , ... ,A
 são exaustivos) 
 (ii) 
i jA A = i j 
 (os eventos 
1 2 nA ,A , ... ,A
são mutuamente exclusivos) 
 (iii) 
 P B 0 
 Então, 
     
n
j j
j=1
P B P A P B|A
 
 Demonstração: 
 
  i j
n n
j j
j=1 j=1
B BS B A BA BA BA i j     
 
       
nn n
j j j j
j=1 j=1j=1
P B P BA P BA P A P B|A
 
 
   
  
 
 
 
1.10 Teorema de Bayes 
 Nas condições do teorema anterior, 
 
 
   
   
j
j j
n
i i
i=1
P A P B|A
P A |B para j=1,2,3, ... ,n
P A P B|A


 
 Demonstração: 
 
 
 
 
   
   
j
j
j j
n
i i
i=1
P A P B|AP BA
P A | B para j=1,2,3, ... ,n
P B
P A P B|A
 

 
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