Estatística - Resumo teórico 14

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ECO 1721 - Introdução à Estatística Econômica 
 
14 – Testes sobre Proporções 
Resumo Teórico 
Professores: Thadeu Keller Filho e Juarez Figueiredo 
14.1 Universo 
 Represente-se por p a proporção de objetos de uma população finita que possuem 
certo atributo A. Represente-se também por p a probabilidade de que um objeto es-
colhido ao acaso de uma população infinita venha a apresentar o atributo A. 
 Nos testes de hipóteses sobre p o universo é definido de forma a quantificar a pre-
sença ou ausência do atributo A em um objeto escolhido ao acaso da população. 
Esse universo corresponde ao número de objetos que possuem o atributo A em um 
único elemento escolhido ao acaso da população. Assim, o universo
X
é definido 
por 
 0 seocorre
1 seocorre
A
X =
A



 
 Portanto, o universo possui distribuição de Bernoulli de parâmetro p. 
 (1) 
X
~Bernoulli (
p
) 
 Recordemos que 
 (2) 
  E X p 
 
   2 1 Var X p p pq   
 
14.2 Estatística de Decisão 
 Seja 
 1 2 nX ,X ,...,X
 uma amostra aleatória de tamanho n do universo
X
e repre-
sente-se por n
A
=1
n i
i
X
a variável aleatória que representa o número eventual de 
objetos que possuem o atributo A na amostra considerada. A estatística 
 (3) 
Anpˆ
n

 
 representa a proporção de objetos que possuem o atributo A na amostra. Essa variá-
vel aleatória é adotada como estatística de decisão nos testes sobre P. 
 Considere-se uma amostra efetiva 
 1 2 nx ,x ,...,x
 sobre o universo
X
e represente-se 
por 
*
An
 o número de objetos que nessa amostra apresentam o atributo A. Então, a 
estatística de decisão tem a seguinte determinação: 
 (4) *
* Anpˆ
n

 
 2 
 
14.3 Distribuição da Estatística de Decisão 
 Note-se que a variável aleatória
pˆ
pode ser escrita 
 (5) 
 
j
j=1
1
n
pˆ X
n
 
 
 Portanto, 
 (6) 
   j
j=1 j=1
1 1
n n
n p
ˆE p E X p p
n n n
    
 
 (7) 
   
2 2
j 2
j=1 j=1
1 1
n n
n pq pq
ˆVar p Var X pq
n n nn
   
      
   
 
 
 Se o tamanho da amostra for suficientemente grande, o Teorema do Limite Central 
permite afirmar que a distribuição de
pˆ
é aproximada por uma distribuição normal: 
a) No caso de Amostra Aleatória Simples (AAS) 
 (8a) 
pq
pˆ N p ;
n
 
  
 
 
b) No caso de Amostra Aleatória sem Reposição (ASR) 
(8b) 
1
pq N n
pˆ N p;
n N
 
  
 
 
 Para que a aproximação normal seja boa é suficiente que seja 
 (9) 
5 e 5np nq 
 
14.4 Estatística do Teste 
 Considere-se um teste de hipóteses no qual a hipótese nula especifica que uma pro-
porção possui determinado valor 
0:p
 
 (10) 
0 o:H p p
 
 Se essa hipótese for verdadeira e for atendida a condição (9), tem-se, aproximada-
mente: 
a) No caso de Amostra Aleatória Simples (AAS) 
 (11a) 
o o
o
p q
pˆ N p ;
n
 
  
 
 onde 
0 1 oq p 
 
b) No caso de Amostra Aleatória sem Reposição (ASR) 
(11b) 
1
o o
o
p q N n
pˆ N p ;
n N
 
  
 
 onde 
0 1 oq p 
 
 
 3 
 
 Efetue-se a transformação: 
a) No caso de Amostra Aleatória Simples (AAS) 
(12a) 
o
o o
pˆ p
p q
n

Z
 
 b) No caso de Amostra Aleatória sem Reposição (ASR) 
(12b) 
1
o
o o
pˆ p
p q N n
Nn




Z
 
Essa variável aleatória é adotada como Estatística do Teste. Note-se que, em qual-
quer dos casos, 
 (13) 
Z
~
 0 1N ,
 
 
 Nota: 
 Se a hipótese nula definida em (10) é verdadeira, então a variância do universo é 
igual a 
0 0p q . 
Assim, nos testes sobre proporções, a variância do universo é sempre 
conhecida. 
14.5 Erro de amostragem 
 Procedendo tal como nos testes sobre médias, determina-se a expressão do erro de 
amostragem nos testes sobre proporções: 
a) No caso de Amostra Aleatória Simples (AAS) 
 (14a) 
0 0
z p q
n

 
b) No caso de Amostra Aleatória sem Reposição (ASR) 
(14b) 
0 0
1
z p q N n
Nn
 


 
 
14.6 Construção dos Testes 
 14.6.1 Teste Bilateral 
 Especificação: 
o 1 0: :oH p p H p p 
 
 
 
 
 4 
 
a) No caso de Amostra Aleatória Simples (AAS) 
 Números críticos: 
2 0 0
1 0 0
 /z p qc p p
n
  
 
 
2 0 0
2 0 0
 /z p qc p p
n
  
 
 onde 
 2 0 5000 2/z , /  
 
 Regra de decisão: (i) Se 
1 2
*ˆc p c , 
aceita-se
oH ,
ao nível de significância 
;
 
 (ii) caso contrário, rejeita-se
oH ,
ao nível de significância 
.
 
 
b) No caso de Amostra Aleatória sem Reposição (ASR) 
Números críticos: 
2 0 0
1 0 0
1
/z p q N n
c p p
Nn
   


 
 
2 0 0
2 0 0
1
/z p q N n
c p p
Nn
   


 
 onde 
 2 0 5000 2/z , /  
 
 Regra de decisão: (i) Se 
1 2
*ˆc p c , 
aceita-se
oH ,
ao nível de significância 
;
 
 (ii) caso contrário, rejeita-se
oH ,
ao nível de significância 
.
 
 
 Nota: 
 Se 
oH
for rejeitada ao nível de significância

diz-se que a proporção observada na 
amostra é significantemente diferente de 
op ,
 ao nível de significância 
.
 
 
 14.6.2 Teste Unilateral à Direita 
 Especificação: 
0 0 1 0: : >H p p H p p
 
 
a) No caso de Amostra Aleatória Simples (AAS) 
 Número crítico: 
0 0
0 0
 z p qc p p
n
  
 
 onde 
  0 5000z ,  
 
 Regra de decisão: (i) Se 
*pˆ c,
 rejeita-se 
oH ,
ao nível de significância 
;
 
 (ii) caso contrário, aceita-se 
oH ,
ao nível de significância 
.
 
 
 
 
 5 
 
b) No caso de Amostra Aleatória sem Reposição (ASR) 
 
Número crítico: 
0 0
0 0
1
z p q N n
c p p
Nn
   


 
 onde 
  0 5000z ,  
 
 Regra de decisão: (i) Se 
*pˆ c,
 rejeita-se 
oH ,
ao nível de significância 
;
 
 (ii) caso contrário, aceita-se 
oH ,
ao nível de significância 
.
 
 
 Nota: 
 Se 
oH
for rejeitada ao nível de significância

diz-se que a proporção observada na 
amostra é significantemente maior que 
op ,
 ao nível de significância 
.
 
 
 14.6.3 Teste Unilateral à Esquerda 
 Especificação: 
o 1 0: :oH p p H p p 
 
 
a) No caso de Amostra Aleatória Simples (AAS) 
 Número crítico: 
0 0
0 0
 z p qc p p
n
  
 
 onde 
  0 5000z ,  
 
 Regra de decisão: (i) Se 
*pˆ c,
 rejeita-se 
oH ,
ao nível de significância 
;
 
 (ii) caso contrário, aceita-se 
oH ,
ao nível de significância 
.
 
 
 b) No caso de Amostra Aleatória sem Reposição (ASR) 
 
Número crítico: 
0 0
0 0
1
z p q N n
c p p
Nn
   


 
 onde 
  0 5000z ,  
 
 Regra de decisão: (i) Se 
*pˆ c,
 rejeita-se 
oH ,
ao nível de significância 
;
 
 (ii) caso contrário, aceita-se 
oH ,
ao nível de significância 
.
 
 
 Nota: 
 Se 
oH
for rejeitada ao nível de significância

diz-se que a proporção observada na 
amostra é significantementemenor que 
op ,
 ao nível de significância 
.
 
 6 
 
14.7 Testes sobre o Número de Elementos da População que tem certo Atributo 
Os testes sobre o número de elementos da população que tem certo atributo seguem, 
com grande analogia, os correspondentes testes sobre a proporção. 
14.7.1. Estatística de Decisão e Distribuição de Probabilidade 
Estatística de Decisão 
A estatística de decisão nos testes relativos ao número de elementos da população 
que tem certo atributo é 
(15) 
Anˆ ˆNp N
n
  
 
Distribuição de Probabilidade 
Acompanhando a estatística proporção amostral, a distribuição de probabilidade des-
sa estatística de decisão é aproximadamente normal: 
 
(16) 
2
1
pq N n
ˆ ˆN p N ;N
n N
      
 
 
Supondo a hipótese nula verdadeira 
(17) 
ˆ
~
2 0 0
0
1
p q N n
N ;N
n N
   
 
 e 
0 0
0 0 0 0
1 1
ˆˆNp
p q p qN n N n
N N
N Nn n
   
 
 
 
Z
 
14.7.2. Construção da Regra de Decisão 
Erro de amostragem 
 Procedendo tal como nos testes sobre médias, determina-se a expressão do erro de 
amostragem nos testes sobre proporções: 
(18) 
0 0
1
z p q N n
Nn
N 


 
14.7.3 Teste Bilateral 
Números críticos: 
2 0 0
1 0 0
1
/z p q N n
c N
Nn
    


 
 
2 0 0
2 0 0
1
/z p q N n
c N
Nn
    


 
 onde 
 2 0 5000 2/z , /  
 
 Regra de decisão: (i) Se 
1 2
*ˆc p c , 
aceita-se
oH ,
ao nível de significância 
;
 
 (ii) caso contrário, rejeita-se
oH ,
ao nível de significância 
.
 
 
 7 
 
14.7.4 Teste Unilateral à Esquerda 
Números críticos: 
2 0 0
0 0
1
/z p q N n
c N
Nn
    


 
 onde 
 2 0 5000 2/z , /  
 
 Regra de decisão: (i) Se 
*pˆ c,
aceita-se
oH ,
ao nível de significância 
;
 
 (ii) caso contrário, rejeita-se
oH ,
ao nível de significância 
.
 
14.7.5 Teste Unilateral à Direita 
Números críticos: 
2 0 0
0 0
1
/z p q N n
c N
Nn
    


 
 onde 
 2 0 5000 2/z , /  
 
 Regra de decisão: (i) Se 
*pˆ c,
aceita-se
oH ,
ao nível de significância 
;
 
 (ii) caso contrário, rejeita-se
oH ,
ao nível de significância 
. 
 
 
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