Análise dimensional e o teorema pi de Buckingham

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
ANÁLISE DIMENSIONAL E O TEOREMA PI DE BUCKINGHAM
TOLEDO/PR
2014
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
MATHEUS ALLAN MAIOR
MATHEUS PIASECKI
ANÁLISE DIMENSIONAL E O TEOREMA PI DE BUCKINGHAM
Trabalho entregue como requisito parcial de avaliação da disciplina de Fenômenos de Transporte I do curso de Engenharia Química da Universidade Estadual do Oeste do Paraná – Campus Toledo.
Prof. Me. Fabiano Bisinella Scheufele.
TOLEDO/PR
2014
INTRODUÇÃO
Muitas vezes, na modelagem matemática ou no tratamento algébrico de um sistema, pode-se encontrar algum parâmetro cujas dimensões não são conhecidas, ou não se sabe sobre sua dependência em relação a outras variáveis, ou ainda não se tem conhecimento físico sobre o mesmo. Nessas situações, faz-se necessária a aplicação de uma análise dimensional, equacionando o parâmetro a ser analisado com outras grandezas fundamentais, determinando-se assim a integridade, a homogeneidade e a validade física de tal parâmetro. Os dois principais teoremas a respeito da análise dimensional são os teoremas de Buckingham e de Bridgman.
ANÁLISE DIMENSIONAL
Análise dimensional consiste na previsão, verificação e resolução de equações que relacionam grandezas físicas, de forma a garantir a validade física das mesmas. A fim de proporcionar homogeneidade nas análises, trata-se as grandezas físicas de modo algébrico, e emprega-se unidades de medida arbitrárias, impedindo erros de conversão ou medidas sem sentido físico (MARTINS, 2008).
No sistema internacional, são sete as grandezas, ou dimensões, fundamentais: comprimento, massa, tempo, intensidade de corrente elétrica, temperatura absoluta, intensidade luminosa e quantidade de matéria. A partir delas, grandezas mais complexas podem ser expressas (HALLIDAY et al., 1996). Alguns exemplos são a vazão mássica, que pode ser descrita em função da massa e do tempo, e a aceleração, descrita em função do comprimento e do tempo.
Há vários jeitos de se representar as grandezas fundamentais, como o Sistema Internacional (SI), o sistema inglês, entre outros. A fim de se utilizar uma representação mais genérica, o sistema MLT é muito empregado na análise dimensional (HALLIDAY et al., 1996).
EQUAÇÕES DIMENSIONAIS
Para fazer-se uma análise dimensional, faz-se necessário determinar as equações dimensionais para a grandeza a ser analisada. Uma equação dimensional, também chamada de função dimensional ou identidade dimensional, é uma função binária que associa uma certa grandeza à sua dimensão (ou unidade de medida) a partir de uma operação matemática. Elas são o instrumento mais empregado na análise dimensional, permitindo verificar-se a consistência e a homogeneidade das dimensões de uma certa grandeza (MARTINS, 2008).
As equações dimensionais apresentam quatro propriedades importantes na sua aplicação em uma análise dimensional. São elas o fechamento, onde todas as grandezas definidas no sistema de unidades adotado pertencem ao sistema analisado; a consistência, onde o sistema de unidades adotado é sempre consistente internamente em relação às grandezas; a neutralidade, propriedade de uma grandeza que apresente dimensão unitária; e a assimetria, na qual se duas grandezas apresentem as mesmas dimensões analíticas, não necessariamente as duas grandezas são iguais (p.e. energia e torque) (GASPAR, 2003).
SISTEMAS DE TIPOLOGIA
Para simplificar o estudo de sistemas particulares, tais como a mecânica ou a eletrostática, que não envolvem todas as sete grandezas fundamentais, define-se sistemas de tipologia menores. Os mais comuns são os sistemas ternários. Nele, escolhe-se três grandezas primordiais, escrevendo-se todas as outras em função destas (SALMERON, 1963). Um exemplo é o estudo da mecânica, que envolve três grandezas primordiais: massa, comprimento e tempo (HALLIDAY et al., 1996). Assim, para analisar-se grandezas mecânicas, define-se o sistema ternário LMT (junção das três letras que representam as grandezas primordiais).
Assim, uma grandeza [G] analisada em um sistema ternário genérico ABC, deve ser descrita como
onde α, β e γ são as dimensões das grandezas fundamentais em [G].
	Sistemas quaternários, envolvendo comprimento, massa, tempo e carga elétrica (ou corrente elétrica) também tem boa aplicação na análise dimensional.
TEOREMA π DE BUCKINGHAM
O teorema π de Buckingham é um dos teoremas centrais dentro da análise dimensional (MARTINS, 2008). Quando a grandeza possui um número muito grande de variáveis, aplica-se a análise dimensional a um grupo de variáveis auxiliares, simplificando a resolução.
O teorema π de Buckingham enuncia que, em vez de fazer-se a análise dimensional de uma grandeza que é função f de n variáveis, aplica-se a técnica a uma função g de n – k variáveis auxiliares, aonde k é o número de grandezas fundamentais do sistema. Essas variáveis auxiliares são chamadas de grupos adimensionais π ou números π (BARBOSA, 2014).
Assim, quanto maior o número de grandezas fundamentais envolvidas, mais simples é a resolução do sistema por meio do teorema π. Reitera-se que os grupos adimensionais encontrados não são únicos para uma grandeza, mas existem conjuntos diferentes de grupos que podem ser obtidos (BARBOSA, 2014).
A aplicação do teorema π de Buckingham segue seis passos simples, descritos abaixo:
1º) Listar-se todas as n variáveis que influenciam a grandeza a ser analisada;
2º) Selecionar-se o conjunto mínimo de k grandezas fundamentais necessário;
3º) Escrever-se as variáveis anteriores em função das grandezas fundamentais escolhidas;
4º) Selecionar-se k das n variáveis, de forma que todas as grandezas fundamentais estejam representadas. Nessa etapa, não seleciona-se variáveis cuja dimensão é potência de outra (tal como área e volume), nem a própria grandeza analisada. Dá-se preferência a grandezas que possam ser facilmente medidas experimentalmente;
5º) Para as demais variáveis, tomar-se grupos conforme o passo anterior, elevando-se as variáveis escolhidas anteriormente a um expoente incógnita;
6º) Resolver-se as equações dimensionais resultantes e determinar-se os expoentes incógnitas definidas no passo anterior.
Os números π obtidos no teorema π de Buckingham podem ou não ter sentido físico. Muitos dos números adimensionais empregados na engenharia foram obtidos de análises dimensionais (INCROPERA e DEWITT, 1998).
APLICAÇÃO DO TEOREMA π DE BUCKINGHAM
Exemplo 1) Faz-se a aplicação do teorema π de Buckingham para analisar-se a tensão de cisalhamento em um escoamento em duto circular, para obter-se uma expressão a partir das variáveis. Sabe-se que a tensão de cisalhamento depende da densidade do fluido em escoamento, da ação da gravidade sobre o mesmo, da diferença de altura manométrica medida, do diâmetro da tubulação e da largura total do duto. Assim, tem-se
	
	(1)
As grandezas analisadas tem as seguintes dimensões:
Tensão de cisalhamento – [ML-1T-2]
Densidade (ρ) – [ML³]
Aceleração da gravidade (g) – [LT-2]
Diâmetro da tubulação (D) – [L]
Largura da tubulação (L) – [L]
Altura manométrica (h) – [L]
	Observando-se as dimensões das variáveis, define-se o sistema ternário MLT como o sistema de grandezas fundamentais. Assim, k = 3. Reescreve-se a equação (1):
	
	(2)
	Escolhe-se a densidade, a gravidade e a largura da tubulação como grupo de parâmetros. Define-se, então, três grupos π para análise:
	
	(3a)
	
	(3b)
	
	(3c)
Então, faz-se a análise dimensional das três equações anteriores, chegando-se às equações 4a, 4b e 4c.
	
	(4a)
	
	(4b)
	
	(4c)
Assim, para cada equação, faz-se a análise de cada grandezafundamental separadamente, chegando-se a 3 equações para cada equação anterior:
	
	(5a)
	
	(5b)
	
	(5c)
	
	(6a)
	
	(6b)
	
	(6c)
	
	(7a)
	
	(7b)
	
	(7c)
Resolvendo-se as nove equações, encontra-se:
a = –1, b = –1 e c = 1
d = 0, e = 0, f = –1
g = 0, h= 0, i = –1
 Isolando-se as dimensões de tensão de cisalhamento na equação (4), e retornando-se na equação (1), tem-se que
	
	(8)
Assim, sabe-se que a tensão de cisalhamento é linearmente dependente de todas as variáveis analisadas, sendo inversamente proporcional ao comprimento da tubulação, e diretamente proporcional às demais variáveis. Vale notar que a tensão de cisalhamento pode não ser numericamente igual à expressão do lado direito da equação, por isso coloca-se a notação de função.
Nota-se também que os números π são parâmetros adimensionais que podem (ou não) ter sentido físico.
Exemplo 2) Procura-se determinar os números π para a velocidade de escoamento de um fluido em um duto circular. Sabe-se que a velocidade depende da densidade do fluido, da viscosidade do mesmo e do diâmetro do tubo. Assim,
	
	(1)
	
	(2)
Analisando-se as dimensões das variáveis da equação (2):
Velocidade de escoamento (v) – [LT-1]
Densidade (ρ) – [ML-3]
Viscosidade dinâmica (µ) – [ML-1T-1]
Diâmetro de tubulação (D) – [L]
A partir das unidades, percebe-se que o sistema de grandezas fundamentais necessário é o sistema MLT, um sistema ternário. Como a velocidade, função a ser analisada, não pode ser escolhida, monta-se o grupo de parâmetros base com a densidade, a viscosidade e o diâmetro. Assim:
	
	(3)
	
	(4)
Resolvendo-se a equação 4, tem-se que a = 1, b = –1 e c = 1. Dessa forma, define-se o número π como sendo
	
	(5)
Analisando-se fisicamente o número π, percebe-se que ele é a razão entre forças inerciais (ρv) e forças viscosas (µ/D). Esse número π é chamado de número de Reynolds (Re) e é empregado na determinação de regimes de escoamento (LIVI, 2004).
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BARBOSA, M.P. Mecânica de fluidos – Análise dimensional. Disponível em <http://www.demec.ufmg.br/Grupos/Labbio/AnaliseDimensional.pdf>. Acesso em 25 out 2014.
GASPAR, A. Física, volume 3. 1ª edição, Editora Ática, 2003.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KRANE, K.S. Física I. 4ª edição, Editora LTC, 1996.
INCROPERA, F.P.; DEWITT, D.P. Fundamentos de transferência de calor e de massa. 4ª edição, Editora LTC, 1998.
LIVI, C.P. Fundamentos de fenômenos de transporte. 1ª edição, Editora LTC, 2004.
MARTINS, R.A. A busca da ciência a priori no final do século XVIII e a origem da Análise dimensional. 2ª edição, Editora UNICAMP, 2008.
SALMERON, R.A. Introdução à eletricidade e ao magnetismo. 4ª edição, Editora São Paulo, 1963.