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Estudo do momento de inércia de sistemas discretos 
pelo método científico 
 
 
 
 
 
 
 
 
Juliana Tavares Zanuzzo 
Larissa Jonaly Rodrigues 
Mário Freitas Dalpian 
 
 
 
 ​Física Experimental A 
 Flávio Paulo Milton 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Carlos 
12 de Junho de 2018 
 1.0 Resumo 
 
Nesse experimento foram realizadas medições do momento de inércia de cinco corpos 
de diferentes massas e materiais . Para os dados aferidos obtemos que ​momento de inércia 
total e do corpo seguido de suas respectivas incertezas quando a distância (r) ao eixo foi 
mantida constante foram: 
Conjunto de Madeira: = (3,42 0,24) / = (1,9 0,5) I t ± .mg 2 Ic ± .mg 2 
C​onjunto de Alumínio: = (5,8 0,4) / = (4,4 0,6) I t ± .mg 2 Ic ± .mg 2 
C​onjunto de Latão I: = (8,43 0,24) / = (6,9 0,6) I t ± .mg 2 Ic ± .mg 2 
C​onjunto de Latão II: = (10,56 0,27) / = (9,1 0,6) I t ± .mg 2 Ic ± .mg 2 
Conjunto de Ferro: = (12,9 0,5) / = (11,4 0,7) I t ± .mg 2 Ic ± .mg 2 
Além disso, foram construídos três gráficos, sendo um em papel milimetrado 
(mostrou-se a relação linear da massa com o ) e os demais em papel di-log. Foi utilizado o Ic 
método visual e os dois gráfico di-log para determinar os valores das constantes (k,n),sendo: 
k=1 n= 2 
Utilizando o Método dos Mínimos Quadrados (Atividade complementar), foi 
determinado o C com sua respectiva incerteza u(C) = 0,87 0,08.± 
Com isso , montou-se a equação obtida empiricamente do momento de inércia de um 
sistema discreto dado por: . Comparando tal equação empírica com a rI t = 1 ∑
N
i=1
M i
1
i
2 
literatura, tivemos que a geometria que melhor descreve o sistema estudado no experimento é 
o anel cilíndrico. 
 
2.0 Objetivos 
O principal objeto da prática é determinar a equação que relaciona momento de 
inércia, massa e a distribuição de massa de sistemas discretos utilizando o método científico. 
Além disso, mensurar o momento de inércia e analisar quais variáveis são mais importantes 
para encontrar a incerteza das medições do momento de inércia. 
 
3.0 Fundamentos Teóricos 
Para tal experimento foi necessário uma base teórica sobre o Momento de Inércia mas 
antes desse, foi necessário a ideia de Momento angular (L) : 
Para entender a ideia de momento angular “p​odemos imaginar uma bicicleta em 
movimento. Os pedais realizam um movimento em torno de um eixo fixo. E, enquanto 
pedalamos a bicicleta (ou a Terra gira em torno do Sol), o equilíbrio se mantém temos, assim, 
um corpo com determinada massa realizando um movimento; no entanto, agora é de rotação, 
em volta de um eixo fixo. Logo, esse movimento tem uma determinada ​velocidade angular 
associada a ele, essa relação entre massa e velocidade angular gera uma grandeza chamada 
momento angular. Assim, o momento angular (L) é um vetor perpendicular à quantidade de 
movimento associada a um corpo em movimento de rotação em torno de um ponto fixo. 
Dessa forma, associa-se o momento angular L com a velocidade angular do movimento de 
rotação: 
( Equação 1)ωL = I 
velocidade angularω = 
I= momento de inércia 
L= momento angular 
A existência de momento L origina uma variação do momento angular do objeto 
dada por : 
 ( Equação 2)ατ = dt
dL = I 
torqueτ = 
aceleração angularα = 
A equação 2 rege a dinâmica do movimento de rotação de um objeto em torno de um 
eixo, sendo considerada a Segunda Lei de Newton para o momento de rotação. Para modo de 
comparação, segue a Segunda Lei de Newton do movimento de translação : 
 ( Equação 3)aF = dt
dp = M 
M= massa 
Quando falamos de corpos em movimento circular, podemos relacionar a sua 
distribuição de massa no corpo e como essa distribuição se relaciona com o raio do 
movimento. Essa grandeza se chama momento de inércia​: Momento de Inércia ou inércia 
rotacional, é o nome dado a uma rotação análoga a massa para um movimento linear. Os 
corpos em movimento rotacional devem ter um eixo de base para a rotação. Por exemplo, 
para um centro de massa, o momento de inércia é apenas a massa elevado ao quadrado da 
distância perpendicular ao eixo de rotação : 
r (Equação 4).I = m 2 
A equação 4 é a base para todos os outros momentos de inércia, de acordo com o 
corpo estudado. Em síntese, o momento de inércia está relacionado à dificuldade para alterar 
o momento angular L do corpo. 
A partir da equação 2, podemos tirar algumas conclusões: 
Se o momento das forças externas aplicadas for nulo, o momento angular é constante. 
De modo geral, o momento de inércia de uma única partícula é : 
(Equação 5) M= massa / k e n= números inteirosM r I = C K n 
 
 
C=constante adimensional 
r= distância ao eixo de rotação 
Já para um sistema discreto de N partículas, teremos: 
IT ( Equação 6)1 2 3 .. i ri= I + I + I + . = C ∑
N
i=1
M k n 
Se o momento das forças externas aplicadas não for nulo, não ocorrerá conservação 
do momento angular, assim analisemos o sistema experimental abaixo: 
 
Figura 1: Representação esquemática do sistema experimental de obtenção de momento de 
inércia de sistemas discretos. (Fonte: Apostila Física Experimental A). 
Pela Figura 1, podemos aplicar a Segunda Lei de Newton e obtemos a seguinte 
equação para o movimento de queda vertical: 
 (Equação 7)a gm = m − T 
É importante ressaltar que a ideia da figura 1 é a mesma que utilizamos para realizar o 
experimento pelo sistema mostrado na figura 2. Teremos que a aceleração será dada por : A= 
( Equação 8) e a força tangencial (ângulo de 90 ) dado por:
t2
2h ° 
T= ( Equação 9)F tangencial= =τ(D/2) Iα(D/2) 
O momento de inércia unindo as equações 7,8 e 9 é dado por: 
 ​ (Equação 10) I
T = −14
mD2[ 2hgt2 ]
 
Por fim, levando-se em conta que o momento de inércia pode ser obtido para o 
sistema girante, “com” ou “sem” os corpos a serem estudados e pelo princípio da 
superposição, temos que o momento de inércia de um sistema discreto é : 
( Equação 11)IT =I +Is c 
ou 
= ( Equação 12) Ic IT − Is 
Para incerteza combinada utilizada para os cálculos do u(Ic),usou-se a equação a 
seguir: 
 ( Equação 13)(d) s = √u(a) (e) 2 + u 2 
Onde: s(d): é a incerteza combinada 
u(a): é a incerteza do It 
u(e): é a incerteza do Is 
 
Para construção dos gráficos e análise dos dados pelos métodos visual e método dos 
mínimos quadrados tivemos como base teórica que a seguinte função linear é usada Y= ax+b 
(Equação 14) 
Onde Y : variável dependente 
 x: variável independente 
a: coeficiente angular 
b: coeficiente linear 
Como os gráficos foram realizados em papel di-log tivemos que aplicar o logaritmo 
na equação 5,obtendo-se : 
log(I) = log + K log(M) (Equação 15)C 
sendo C uma constante que engloba CR N 
Sendo assim, no método visual, tivemos que : 
 
 (Equação 16) (visual)a = Δlog(x)
Δlog(y) 
Onde: a(visual)= inclinação da reta 
x variação de log (x)Δ = 
y variação de log(y)Δ = 
e b é o local onde a reta corta o eixo x, determinado pelo gráfico, ou seja , onde log(x=1)= 0Já para o método dos mínimos quadrados, utilizou-se as seguintes equações: 
 (Equação 17)a =
n i −( i) ∑
n
i=1
x 2 ∑
n
i=1
x 2
n iyi− i i∑
n 
i=1
x ∑
n
i=1
x ∑
n
i=1
y
 
( Equação 18)b = ∑
n
 
i=1 n
i− a i∑
 
 
y ∑
 
 
x
 
 ( Equação 19)(a) u = √ n−2i−(axi+b)∑
n
i=1
y 2
√
n
n i −( i) ∑
n
i=1
x 2 ∑
n
i=1
x 2
1 
 ( Equação 20)(b) u = √ n−2i−(axi+b)∑
n
i=1
y 2√ i ∑
n
i=1
x 2
n i −( i) ∑
n
i=1
x 2 ∑
n
i=1
x 2
 
Para o cálculo do Is inicial, fizemos uma média dos tempos de queda mensurados pela 
equação a seguir: 
 
 (Equação 21) 
 
Onde: 
𝑋𝑖: São as variáveis 
X: É a média aritmética das variáveis 𝑋𝑖 
𝑛: É a quantidade de variáveis 
Para o cálculo do u(It) utilizamos a ideia de propagação da incerteza, logo usou-se a 
seguinte equação: 
 ​(Equação 22) 
 
Onde: : É a derivada parcial de em relação a 𝑋 da i-ésima grandezaf /σxσ f 
 𝜎𝑋: É o erro total da i-ésima grandeza 
 𝜎 : É o valor da propagação de erro para ”f f 
( [1][2][3][4][5][6][7][8][9]) 
4.0 Material utilizado 
Nesse experimento foram utilizados um sistema para medir momento de inércia, uma 
balança da marca JB BALANÇAS, papéis de gráfico di-log e milimetrado, um paquímetro da 
marca Kingtools (150 X 0,02 mm), uma trena da marca WORKER, um cronômetro da marca 
KENKO, 5 conjuntos com corpos de massas diferentes e massas para suspensão. 
 
 
 Figura 2 : Sistema para medição do momento de inércia. ( Fonte: elaborado pelo autor) 
 
Figura 3: Paquímetro. (Fonte: elaborado pelo autor​) 
 
 
 ​Figura 4: Balança do tipo comercial mecânica. (Fonte: elaborado pelo autor.) 
 
 
Figura 5: Cinco conjuntos de corpos de diferentes materiais. ( Fonte: elaborado pelo 
autor) 
 
 
 
Figura 6: Trena. ( Fonte: elaborado pelo autor) 
 
 
Figura 7: Cronômetro. (Fonte: elaborado pelo autor) 
 
 
5.0 Procedimento experimental 
Iniciou-se o experimento compreendendo como funciona o sistema para medir o 
momento de inércia . Ainda com o sistema vazio, anotou-se o valor de uma altura h=242,00 ± 
0,05 cm de uma massa de m: 65,6 0,1 g ,fora isso, mediu-se o valor do diâmetro do ± 
carretel de D= 3,80 0,05 cm . Com os valores pré-determinados nessa primeira etapa, foi ± 
mensurado o tempo de queda para a massa suspensa m três vezes,o valor médio encontrado 
está na primeira coluna e terceira linha da Tabela 2 utilizando a equação 21 . Com esses 
dados foi encontrado o momento de inércia (Is) do sistema vazio e sua incerteza u(Is) usando 
as equações 10,11 e 12. Em seguida, foi mensurado as massas de cada uma das peças dos 
cinco conjuntos analisados os quais foram apresentados na Tabela 1. Após obter-se o valor de 
Is, foi fixado as peças de cada conjunto nas extremidades das cruzetas do sistema,de modo 
que, a distância r das peças ao eixo de rotação tenha sido mantido constante em r= 14,00 ±
0,05 cm. Logo após foi efetuado a medição do tempo de queda t para a massa m e a altura h 
já mencionadas anteriormente ( foi importante tomar cuidado no final do percurso, para que o 
sistema girante ao ser travado não rompesse a corda de suporte), tais valores foram 
mensurados para os cinco conjuntos e apresentados na Tabela 2 com suas respectivas 
incertezas. Com esses dados foi encontrado o momento de inércia (It) do sistema de cada 
corpo e sua incerteza u(It) usando a equação 10 e para determinar o Ic de cada corpo foi 
utilizado a equação 11 e/ou 12 e para sua incerteza u(Ic) a equação 13. Posteriormente, 
selecionou-se o conjunto de maior massa ( no nosso caso, o conjunto de peças de Ferro), 
fixou-o nas extremidades das cruzetas , e foi realizado o mesmo procedimento anterior, no 
entanto, variando quatro valores diferentes de r, todos os resultados foram anotados na Tabela 
3. Com esses dados foi encontrado o momento de inércia (It) do sistema de Ferro sua 
incerteza u(It) usando a equação 10 e para determinar o Ic de cada situação foi utilizado a 
equação 11 e/ou 12 e para sua incerteza u(Ic) a equação 13. Posteriormente foram construídos 
dois gráficos em papel di-log e aplicou-se o critério de ajuste da reta mais provável pelo 
método visual obtendo-se os valores dos coeficientes k e n . Por fim, foi construído o gráfico 
em papel milimetrados do momento de inércia das peças Ic, aplicando o critério de ajuste da 
reta mais provável pelo MMQ (Método dos Mínimos Quadrados), com este, encontrou-se o 
valor da constante C e sua respectiva incerteza associada. Com todos os dados encontrados, 
montou-se a equação empírica para o cálculo do momento de inércia de um sistema discreto. 
7.0 Conclusão 
Com o fim do experimento, notou-se que o momento de Inércia está relacionado a 
massa e a distância (r) entre a massa e o eixo de rotação, sendo diretamente proporcional a 
massa e diretamente proporção ao quadrado da distância. Isso pode ser concluído, pois 
quando calculamos o momento de inércia para os sistemas de massas e materiais diferentes os 
valores deste aumentaram com o aumento da massa. Já quando fez-se o experimento 
utilizando apenas um sistema (ferro), ou seja , mantendo a massa constante, obteve-se que o 
momento de inércia diminui com o decréscimo da distância r. Fora isso, pelos cálculos 
realizados notamos que para o cálculo das incertezas de inércia as variáveis relevantes são a 
massa, o diâmetro D do carretel, o tempo t para a queda do corpo e a altura h que é a altura da 
queda, sendo que também temos um fator do ambiente que é a aceleração da gravidade g 
dada em São Carlos por .Dentre essas, o que é mais importante é a massa 78, , cm/s 9 5 ± 0 5 2 
pois esta possui uma relação linear com o momento de inércia isso foi observado através do 
gráfico 3 em papel milimetrado). Sendo assim, os resultados do experimento coincidiram 
com fundamentos teóricos apresentados no ínicio deste relatório. 
 
 9.0 Bibliografia 
[1] HALLIDAY, D.; RESNICK,; WALKER, J. ​F​undamentos de Física: Mecânica 8. ed. 
Rio de Janeiro: LTC- Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 2009. 278p. 
[2] NUSSENZVEIG, H.M. ​Curso de Física Básica : 1 Mecânica​. 4.ed. São Paulo: Editora 
Edgard Blucher LTDA, 2002. 338p. 
[3] KITTEL, C. KNIGHT, W.D.; RUDERMAN, M. A. ​Curso de Física de Berkeley​. 4. ed. 
São Paulo: Editora Edgard Blucher LTDA, 1973. 455p. 
[4] EBAH. Disponível em 
<​http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAbDQAF/relatorio-movimento-duas-dimensoes​.
>​>.​Acesso em: 12 de junho de 2015. 
[5] DEPARTAMENTO DE FÍSICA – UFBB. Disponível 
em<​http://www.fisica.ufpb.br/~romero/pdf/11_rotacao.pdf​>.Acesso em: 8 de junho de 2018. 
[6] UNESP BAURU. Disponível 
em<​http://www2.fc.unesp.br/experimentosdefisica/mec31.ht​>Acesso em: 14 de junho de 
2018. 
[7] ACADEMIA EDU. Disponível 
em<​http://www.academia.edu/8081448/RELATORIO_MOMENTO_DE_INERCIA​>. 
Acesso em: 10 de junho de 2018. 
[8] TIPLER, Paulo A. ​Física paraCientistas e Engenheiros​- Vol 2- Terceira Edição - LTC- 
Livros Técnicos e Científicos Editora S.A, 1995, 86 p. 
[9] TIPLER, Paulo A. ​Física para Cientistas e Engenheiros - Vol - Quarta Edição- LTC- 
Livros Técnicos e Científicos Editora S.A, 1995, 242p.