exercicio_resolvido_atividade_I

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS
FACULDADE DE MATEMÁTICA
TUTORIA À DISTÂNCIA
Tutora: Liliane Silva Nascimento.
Disciplina: Álgebra I.
Exercício Resolvido - Atividade I
Questão 1: Prove que o inverso aditivo de cada elemento a ∈ Z é único. Denotaremos este inverso
por −a.
Solução:
Para todo a ∈ Z, existe o inverso aditivo, x ∈ Z, tal que a+ x = x+ a = 0. Vamos mostrar que este
inverso aditivo é único.
Suponha que exista x′ ∈ Z, tal que a+ x′ = x′ + a = 0. Daí, temos:
a+ x = a+ x′ ⇒ [−a+ a] + x = [−a+ a] + x′ [propriedade do inverso aditivo]
⇒ 0 + x = 0 + x′ [propriedade do elemento neutro]
⇒ x = x′
Portanto, x é único.
Questão 2: Prove por indução que é válida a fórmula 1 + 8 + ...+ n3 =
[
n(n+1)
2
]2
,∀ n ≥ 1.
Solução:
(i) Para n = 1 temos: 13 = 1 e
(
1·(1+1)
2
)2
= 12 = 1.
Logo a fórmula é válida para n = 1.
(ii) Suponha que a fórmula é válida para A(n). Vamos mostrar que vale para A(n+ 1):
1
13 + 23 + ...+ n3 + (n+ 1)3 =
(
n · (n+ 1)
2
)2
+ (n+ 1)3
=
n2 · (n+ 1)2
4
+ (n+ 1)3
=
n2 · (n+ 1)2 + 4(n+ 1)3
4
=
n2 · (n+ 1)2 + 4(n+ 1)(n+ 1)2
4
=
(n+ 1)2 · (n2 + 4 · (n+ 1))
4
=
(n+ 1)2 · (n2 + 4n+ 4)
4
=
(n+ 1)2 · (n+ 2)2
4
=
(
(n+ 1) · (n+ 2)
4
)2
.
Logo, a fórmula vale para todo n ∈ Z.
Questão 3: Determine, usando o algortimo de Euclides, os seguintes MDC's:
(a)MDC{35, 101}
Solução:
Utilizando o algortimo de Euclides, temos que:
101 = 2× 35 + 31
35 = 1× 31 + 4
31 = 7× 4 + 3
4 = 1× 3 + 1
Daí, MDC{101, 35} =MDC{35, 31} =MDC{31, 4} =MDC{4, 3} = 1.
(b)MDC{1478, 263}
Solução:
2
Utilizando o algortimo de Euclides, temos que:
1478 = 5× 263 + 163
263 = 1× 163 + 100
163 = 1× 100 + 63
100 = 1× 63 + 37
63 = 1× 37 + 26
37 = 1× 26 + 7
26 = 3× 7 + 5
7 = 1× 5 + 2
5 = 2× 2 + 1
Daí, MDC{1478, 263} =MDC{263, 163} =MDC{163, 100} =MDC{100, 63} =MDC{63, 37} =
MDC{37, 26} =MDC{26, 7} =MDC{7, 5} =MDC{5, 2} = 1.
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