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01/12/2023, 08:00 about:blank about:blank 1/6 Avaliação Final (Objetiva) - Individual (Cod.:886275) Código da prova: 74641387 Disciplina: Aritmética e Teoria dos Números (MAD108) Período para responder: 24/11/2023 - 09/12/2023 Peso: 3,00 1 - Podemos garantir que o polinômio P(n) = n² + n + 41 fornece apenas números primos? Observe a tabela a seguir, na qual estão listados alguns casos particulares e assinale a alternativa CORRETA: Valores aplicados em P(n) n P(n) n P(n) 1 43 8 113 2 47 9 131 3 53 10 151 4 61 11 173 5 71 12 197 6 83 13 223 7 97 14 251 A ) O polinômio não funciona para n = 14. B ) A afirmação é verdadeira apenas para os primeiros 39 valores de n. C ) A afirmação se verifica para todo n maior ou igual zero. D ) Esse polinômio não é capaz de gerar um número primo. 2 - Para que uma equação diofantina linear de segunda ordem tenha solução, obrigatoriamente, o MDC entre os coeficientes precisa ser um divisor do termo independente da equação. Se calcularmos o MDC dos coeficientes da equação 11x + 30y = 31, encontramos 1 como resultado, sendo então possível determinar a solução da equação. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta a solução geral: A ) x = 589 + 30t e y = 217 - 11t. B ) x = - 589 + 30t e y = 217 - 11t. 01/12/2023, 08:00 about:blank about:blank 2/6 C ) x = 217 + 30t e y = - 589 - 11t. D ) x = - 589 + 30t e y = 217 + 11t. 3 - A noção de congruência foi desenvolvida por Gauss, cuja definição nos diz que "dois números inteiros a e b são congruentes módulo m (m > 0) se os restos de suas divisões euclidianas por m são iguais". Considerando as congruência módulo m, analise as sentenças a seguir: I. 21 ≡ 15 (mod 6). II. 715 ≡ 411 (mod 10). III. -3 ≡ -8 (mod 5). IV. 24 ≡ 3 (mod 7). Assinale a alternativa que apresenta, apenas congruências CORRETAS: A ) As sentenças I e II estão corretas. B ) As sentenças II e III estão corretas. C ) As sentenças II e IV estão corretas. D ) As sentenças I, III e IV estão corretas. 4 - Um sistema completo de resíduos é um conjunto que abrange todos os diferentes restos possíveis resultantes das divisões por um número específico, expressos por meio de números. Determine quais dos conjuntos são sistemas completos de restos módulo 4: A ) {0, 4, 8, 12}. B ) {-5, 0, 6, 22}. C ) {-2, -1, 0, 1}. D ) {-4, 0, 5, 22}. 01/12/2023, 08:00 about:blank about:blank 3/6 5 - O conceito de congruência possui e possibilita resolver diversos problemas do nosso dia a dia, como em código de barras, CPF, criptografia, entre outros. Podemos pensar em um caso de congruência módulo 24 ao relacionarmos com as horas de um dia. Então, se agora são 9 horas, daqui 226 horas serão: A ) Serão 9 dias e 10 horas a partir das 9 horas iniciais. B ) Serão 10 dias e 17 horas a partir das 9 horas iniciais. C ) Serão 9 dias e 12 horas a partir das 9 horas iniciais. D ) Serão 8 dias e 23 horas a partir das 9 horas iniciais. 6 - Os sistemas decimal, hexadecimal, octal e binário são os sistemas de numeração mais comuns, sob o ponto de vista computacional (TOCCI; WIDMER; MOSS, 2018). Contudo o sistema octal deu lugar ao sistema hexadecimal, devido às atuais necessidades dos recursos computacionais. De acordo com as características do sistema octal, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) Quantidade de símbolos admissíveis: 8. ( ) Símbolos admissíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. ( ) A conversão do valor 5461 na base 8 para a base decimal resulta em 2863. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: FONTE: TOCCI, R. J.; WIDMER, N. S.; MOSS, G. L. Sistemas Digitais: Princípios e Aplicações. 12. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2018. A ) V - F - V. B ) F - V - F. C ) F - F - V. D ) V - F - F. 7 - O máximo divisor comum pode ser calculado aplicando o algoritmo das divisões sucessivas, demonstrado por Euclides. Utilize esse método para determinar o MDC (76, 174) e encontrar r, s pertencentes ao inteiros 01/12/2023, 08:00 about:blank about:blank 4/6 tais que MDC (76, 174) = r · 76 + s · 174 e analise as sentenças a seguir: I- Aplicamos o algoritmo da divisão sucessivamente até 10 = 5 · 2 + 0, pois aqui obtemos o resto zero. II- Para encontrarmos r e s, precisamos realizar as substituições. Iniciamos o processo na penúltima linha até chegarmos na primeira. III- O MDC (76, 174) = 4. IV- Os valores de r e s são, respectivamente, 16 e 7. Assinale a alternativa CORRETA: A ) Somente a sentença IV está correta. B ) As sentenças I e III estão corretas. C ) As sentenças I, II e IV estão corretas. D ) Somente a sentença II está correta. 8 - Uma aplicação importante dos números primos e compostos, abordando a sua decomposição, é a determinação da quantidade de divisores positivos de um número natural n. Pela definição, n= ± p1a1 · … · prar, sendo p1, … ,· pr primos e a1,…, ar. naturais, temos que d(n) = (a1+1) · (a2+1) · … · (ar+1). Analisando a decomposição do número 9216, com base nas informações acima, analise as sentenças a seguir: I - O número de divisores naturais de 9216 será dado por: (10+1)·(2 + 1). II - O número 9216 tem exatamente 30 divisores. III - Os fatores do produto 210 · 32 são relativamente primos dois a dois. Assinale a alternativa CORRETA: A ) Somente a sentença II está correta. B ) Somente a sentença I está correta. C ) As sentenças I e III estão corretas. D ) As sentenças I e II estão corretas. 01/12/2023, 08:00 about:blank about:blank 5/6 9 - O algoritmo de divisão, também conhecido por algoritmo de Euclides, possibilita pensarmos da seguinte maneira: a = b . q + r (se a divisão for exata, não temos o resto). Quando b é divisor de a, podemos expressar esse fato de várias formas. Com base nas definições de divisibilidade e considerando uma divisão exata, analise as sentenças a seguir: I - a é divisível por b. II - b é um divisor de a. III - a não é um múltiplo de b. IV - A divisão de a por b tem resto 0. Assinale a alternativa CORRETA: A ) As sentenças I e III estão corretas. B ) Somente a sentença III está correta. C ) Somente a sentença II está correta. D ) As sentenças I, II e IV estão corretas. 10 - A relação de congruência entre dois números pode ser verificada por várias proposições. Uma dessa propriedade diz que, se tivermos uma congruência módulo m, um valor a será congruente a um valor b se, e somente se, m dividir a diferença de b com a. Sendo assim, analise as sentenças a seguir: I. 17 ≡ 35 (mod 5) II. 19 ≡ 25 (mod 6) III. 21 ≡ 84 (mod 4) IV. 14 ≡ 96 (mod 8) Assinale a alternativa CORRETA: A ) Somente a sentença I está correta. B ) As sentenças I e IV estão corretas. C ) Somente a sentença II está correta. D ) As sentenças II e III estão corretas. 01/12/2023, 08:00 about:blank about:blank 6/6 11 - Considerando que, dados os inteiros m e n, o mdc(m, n) é o maior divisor comum, e o mmc(m, n) é o menor múltiplo comum de m e n, avalie as afirmações a seguir. I. O resto da divisão de 7 × 18 - 2 por 7 é 5. II. Se m = 7 × 22 + 5 e n = 7 × 38 + 6, o resto da divisão de m + n por 7 é 3. III. O mmc(m, n) é um divisor do mdc(m, n). IV. mdc(m, n) × mmc(m, n) = m × n. É correto apenas o que se afirma em: A ) I e III. B ) II e III. C ) I, II e IV D ) I e IV.
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