Aula07 Rev1

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULA 7 – Capítulo 4 – Carga Axial
Membros Estaticamente 
Indeterminados
11
MEMBROS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS
∑∑∑ === 0;0;0 .. MFF VertHoriz
Vamos tentar resolver essa estrutura 
utilizando as equações de equilíbrio:
2
O D.C.L. ao lado mostra as 
reações nos apoios A (FA) e B (FB), 
e os respectivos esforços internos. 
MEMBROS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS
Como não temos cargas horizontais e como as cargas e 
reações são axiais, a primeira e a terceira equações são 
automaticamente satisfeitas. 
∑∑∑ === 0;0;0 .. MFF VertHoriz
Aplicando o equilíbrio das forças verticais, chegamos a:
3
Ou seja, temos somente uma equação de equilíbrio 
disponível e duas incógnitas FA e FB.
Matematicamente, esse é um sistema 
indeterminado.
PFF
PFFF
BA
BAVert
=+∴
=−+⇒=↑+ ∑ 00.
Aplicando o equilíbrio das forças verticais, chegamos a:
MEMBROS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS
∑ = 0.VertF
Estruturas estaticamente indeterminadas (hiperestáticas), 
são assim conhecidas, pelo fato das equações de equilíbrio 
não serem suficientes para resolvê-las.
A grande maioria das estruturas reais é hiperestática.....
4
A grande maioria das estruturas reais é hiperestática.....
Como resolver um sistema com mais incógnitas do que 
equações disponíveis ?
MEMBROS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS
∑ = 0.VertF
Como resolver um sistema com mais incógnitas do que 
equações disponíveis ?
RESPOSTA : adicionando mais equações !!!!
5
- Porém, não existem outras equações de equilíbrio .....
- Então, vamos incluir outro tipo de equação ....
- Uma equação que caracterize como a estrutura se 
desloca. Por exemplo, sabemos que o deslocamento 
relativo entre os pontos A e B é zero, uA/B=0
- Esse tipo de equação recebe o nome de “equação de 
compatibilidade de deslocamentos”
MEMBROS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS
SOLUÇÃO
o Equilíbride Equação
∑
6
0)(
)(0
ntos Deslocamede idadeCompatibil de Equação
0
//
.
==⇒=
=+⇒=↑+
∫
∑
dx
xEA
xN
uu
PFFF
B
A
BABA
BAVert
MEMBROS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS
SOLUÇÃO
0)(
)(
ntos Deslocamede idadeCompatibil de Equação
/ =+== ∫∫∫
C
B BCBC
BC
C
A ACAC
AC
B
A
BA dxAE
Ndx
AE
Ndx
xEA
xN
u
7
0
0
/
/
=+=
=+= ∫∫
BC
BCBC
BC
AC
ACAC
AC
BA
C
BBCBC
BC
C
AACAC
AC
BA
B BCBCA ACACA
L
AE
NL
AE
N
u
dx
AE
Ndx
AE
N
u
MEMBROS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS
SOLUÇÃO
0
ntos Deslocamede idadeCompatibil de Equação
/ =+= BC
BCBC
BC
AC
ACAC
AC
BA LAE
NL
AE
N
u
8
BCBCACAC AEAE
Observando que NAC=FA e NBC=-FB 
EAC=EBC=E (mesmo material)
AAC=ABC=A (mesma seção transversal)
Temos:
MEMBROS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS
SOLUÇÃO
0
ntos Deslocamede idadeCompatibil de Equação
/ =+= BC
BCBC
BC
AC
ACAC
AC
BA LAE
NL
AE
N
u
9
BCBCACAC AEAE
AC
BC
BA
BC
B
AC
A
BC
B
AC
A
L
LFF
L
EA
FL
EA
FL
EA
FL
EA
F
=
=∴=− 0
ntos Deslocamede idadeCompatibil de Equação
MEMBROS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS
SOLUÇÃO
ntos Deslocamede idadeCompatibil de Equação
PFF BA =+
o Equilíbride Equação
10
AC
BC
BA L
LFF =
ntos Deslocamede idadeCompatibil de Equação
Agora temos duas equações disponíveis e duas 
incógnitas FA e FB.
Matematicamente, esse é um sistema 
determinado.
MEMBROS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS
SOLUÇÃO
BCACBC
BB
AC
BC
B LL
P
L
L
PFPF
L
LF
+
=
+
=∴=+
1
: temos,equilíbrio de equaçãona 
idadecompatibil de equaçãoa se-doSubstituín
11
ACAC
BCAC
B
AC
BCAC
AC
BCAC
L
L
PL
LL
PF
L
LL
L
LL
=
+
=
++1
BC
AC
A
ACABA
L
L
P
L
LLPF
L
L
PPFPFF
=
−
=
−=∴=+
)(
: temos,equilíbrio de equaçãona resultado esse se-doSubstituín
RIGIDEZ E FLEXIBILIDADE
Definição de Rigidez e flexibilidade – Equivalência entre elemento com 
carregamento axial e mola
l
l
∆⋅





=
EA
F
l
EA
k eq =
12
RIGIDEZ E FLEXIBILIDADE
RIGIDEZ
l
l
∆⋅





=
EA
F l∆⋅= eqkF
l
EA
k eq =
RIGIDEZ
Observando a equação acima, podemos notar que para 
um deslocamento ∆l =1, a rigidez keq , corresponde à 
força necessária para produzir um deslocamento 
unitário. Dessa forma quanto maior for keq, maior será 
a força necessária para produzir um deslocamento 
unitário, ou seja mais rígido será a estrutura.
13
RIGIDEZ E FLEXIBILIDADE
l
l
∆⋅





=
EA
F Feq ⋅=∆ flFEA
⋅





=∆ ll
Feq ⋅=∆ fl
EAeq
l
=f
FLEXIBILIDADE
Observando a equação acima, podemos notar que para 
uma força F=1, a flexibilidade feq , corresponde ao 
deslocamento causado por uma força unitária. Dessa 
forma, quanto maior for feq, maior será a deslocamento 
causado pela força unitária e portanto mais flexível é a 
estrutura.
EA
14
RIGIDEZ E FLEXIBILIDADE
l∆⋅= eqkF
l
EA
k eq =
RIGIDEZ
Feq ⋅=∆ fl
EAeq
l
=f
FLEXIBILIDADE
eq
eq
1
k
f
=
15
MÉTODOS PARA SOLUÇÃO DE ESTRUTURAS ESTATICAMENTE 
INDETERMINADAS
Para a solução de estruturas estaticamente indeterminadas, o 
conceito explicado acima pode ser formulado através de dois 
métodos:
16
•Método das Forças (Método da Flexibilidade) 
Incógnitas � FORÇAS
•Método dos Deslocamentos (Método da Rigidez) 
Incógnitas � DESLOCAMENTOS
MÉTODO DAS FORÇAS
A idéia principal do método das forças, é transformar a estrutura 
estaticamente indeterminada em uma estrutura estaticamente 
determinada, pela remoção de restrições;
1. A essa estrutura estaticamente determinada, são aplicadas, numa 
primeira etapa, as ações externas (forças, variação de temperatura, 
etc..), e deslocamentos são calculados (p.e. na extremidade onde a 
17
etc..), e deslocamentos são calculados (p.e. na extremidade onde a 
restrição foi removida);
2. Numa segunda etapa, a reação (incógnita) associada à restrição 
removida, é aplicada na estrutura estaticamente determinada e 
novamente os deslocamentos são calculados;
3. Finalmente os deslocamentos das duas etapas anteriores deverão ser 
compatíveis com os deslocamentos da estrutura original estaticamente 
indeterminada.
MÉTODO DAS FORÇAS
P
BAu /
AF
BAu /+ = 0
Equação de compatibilidade de 
deslocamentos 3
=
18
FA
1 2
Estrutura Estaticamente 
Indeterminada
MÉTODO DAS FORÇAS
ETAPA 1 - Determinação do deslocamento da 
extremidade causado pela ações externas
x
D
i
a
g
r
a
m
a
 
d
e
 
E
s
f
o
r
ç
o
s
 
N
o
r
m
a
i
s
NN
Cálculo do deslocamento relativo entre os 
pontos A e B (extremidade livre e apoio)
19
N
(
x
)
-
P
D
i
a
g
r
a
m
a
 
d
e
 
E
s
f
o
r
ç
o
s
 
N
o
r
m
a
i
s
BC
BC
AC
ACP L
EA
NL
EA
N
u
BA
+=
/
Como NAC=0 e NBC=-P, temos
BC
P L
EA
P
u
BA
−=
/
FA
MÉTODO DAS FORÇAS
ETAPA 2 - Determinação do deslocamento da 
extremidade causado pela reação removida
x
+
F
A
D
i
a
g
r
a
m
a
 
d
e
 
E
s
f
o
r
ç
o
s
 
N
o
r
m
a
i
s
NN
Cálculo do deslocamento relativo entre os 
pontos A e B (extremidade livre e apoio)
20
N
(
x
)
+
F
D
i
a
g
r
a
m
a
 
d
e
 
E
s
f
o
r
ç
o
s
 
N
o
r
m
a
i
s
BC
BC
AC
ACF L
EA
NL
EA
N
u A
BA
+=
/
Como NAC=+FA e NBC=+FA,temos
EA
LF
u
LL
EA
FL
EA
FL
EA
F
u
AF
BCAC
A
BC
A
AC
AF
A
BA
A
BA
=
+=+=
/
/
)(
MÉTODO DAS FORÇAS
ETAPA 3 – Aplicar a equação que 
compatibiliza os deslocamentos 
das etapas anteriores (1 e 2) com 
o deslocamento da estrutura 
estaticamente indeterminada. 0
/
=
BA
u
Os deslocamentos da estrutura estaticamente 
determinada foram calculados nas etapas 1 e 2. 
Observamos da figura ao lado que o deslocamento 
relativo entre os pontos A e B é zero, já que eles 
representam apoios fixos:
21
determinada foram calculados nas etapas 1 e 2. 
Como a reação FA é a incógnita do problema, ela 
será determinada pela imposição da equação de 
compatibilidade:
L
PLF
EA
LF
EA
PL
uuu
BC
A
ABC
FP A
BABABA
=⇒=+
−
=+=
0
0
///
L
PLFPFF ACBBA =⇒=+
Por equilíbrio determinamos a reação FB:
MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
A idéia principal do método dos deslocamentos é aplicar um 
deslocamento (incógnita) em um ponto da estrutura estaticamente 
indeterminada, e determinar os esforços internos em função desse 
deslocamento. Depois, impondo-se o equilíbrio, o deslocamento é 
determinado e portanto os esforços internos e conseqüentemente as 
reações de apoio. 
22
reações de apoio. 
MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
Vamos arbitrar que o deslocamento relativo entre os 
pontos A e C uA/C é “δ”. Assim sendo, o deslocamento 
relativo entre C e B uC/B é “-δ”, podemos então 
escrever:
δδ ⋅=∴==
AC
ACAC
AC
L
EANL
EA
N
u
CA /
23
ACLEA
e
δδ ⋅−=∴−==
CB
CBCB
CB
L
EANL
EA
N
u
BC /
δ
MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
δ
Observamos da figura ao lado que, NAC=FA e 
NCB=-FB , e que por equilíbrio temos:
PFF BA =+
Substituíndo-se as equações anteriores (em 
função do deslocamento) na expressão 
acima, chegamos a:
24
)(
).(
CBAC
CBAC
CBAC
LLEA
LLP
P
L
EA
L
EA
+
=
=⋅+⋅
δ
δδ
acima, chegamos a:
MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
δ
Com o deslocamento determinado, as 
reações do problema são:
L
LP
LLEA
LLP
L
EA
L
EAN BC
BCAC
BCAC
ACAC
AC =+
⋅
=⋅= )(
)(
.δ
25
L
LP
LLEA
LLP
L
EA
L
EAN AC
BCAC
BCAC
BCBC
BC −=+
⋅
−=⋅−= )(
)(
.δ
Como NAC=FA e NCB=-FB , temos:
L
LPF BCA =
L
LPF ACB =
EXEMPLOS DE MEMBROS ESTATICAMENTE 
INDETERMINADOS
26
EXEMPLOS DE MEMBROS ESTATICAMENTE 
INDETERMINADOS
27
Três incógnitas (FA,FC e FE) e duas equações:
∑∑ == 0;0. MFVert
Problema estaticamente indeterminado.
EXEMPLOS DE MEMBROS ESTATICAMENTE 
INDETERMINADOS
28
EXEMPLOS DE MEMBROS ESTATICAMENTE 
INDETERMINADOS
29∑ = 0.VertF
Problema estaticamente indeterminado.
Duas incógnitas (Fb e Ft) e uma equação de 
equilíbrio:
tb FF =
EXEMPLOS DE MEMBROS ESTATICAMENTE 
INDETERMINADOS
30
EXEMPLOS DE MEMBROS ESTATICAMENTE 
INDETERMINADOS
©2004 by Pearson Education 31
EXEMPLOS DE MEMBROS ESTATICAMENTE 
INDETERMINADOS
32
EXEMPLOS DE MEMBROS ESTATICAMENTE 
INDETERMINADOS
∑ = 0.VertF
Problema estaticamente indeterminado.
Duas incógnitas (FAÇO e FCONCRETO) e uma 
equação de equilíbrio:
33
Problema estaticamente indeterminado.
kNFF ConcretoAço 800=+
TENSÕES TÉRMICAS
Tensão térmica: A tensão térmica ocorre em componentes ou 
sistemas nos quais peças com diferentes coeficientes de 
dilatação térmica são usadas, em casos em que a deformação 
térmica de uma peça esteja bloqueada ou em casos de 
aquecimento não-uniforme.
34
LTT ⋅∆⋅=αδ
O deslocamento devido a uma 
variação de temperatura 
constante é dado para um 
material isotrópico e linear, 
pela fórmula:
δT
TENSÕES TÉRMICAS
LTT ⋅∆⋅=αδ
δT
35
TENSÕES TÉRMICAS
Se a mudança da
temperatura varia em todo o
comprimento, isto é:
∆T= ∆T(x)
36
Então o deslocamento é dado
por:
JUNTAS DE DILATAÇÃO
� A junta de dilatação é uma separação física entre duas partes de 
uma estrutura, para que estas possam se movimentar sem 
transmitir esforços entre si.
37
JUNTAS DE DILATAÇÃO
� Caso este espaçamento tenha presença de algum material rígido ou que 
tenha perdido suas propriedades de elasticidade, o mesmo produzirá 
tensões indesejáveis na estrutura, e assim impedir ou restringir o 
movimento decorrente da dilatação térmica previsto para a mesma, movimento decorrente da dilatação térmica previsto para a mesma, 
originando tensões superiores aquelas a serem absorvidas, logo poderá 
ocasionar fissuras nas lajes adjacente à junta, ocasionando a 
possibilidade de se propagar às vigas e pilares próximos.
38
JUNTAS DE DILATAÇÃO
A largura da junta depende do deslocamento previsto, geralmente está entre
2 e 3 cm, podendo ter larguras maiores. Algumas de suas aplicações mais
comuns são em; lajes, viadutos, pontes, calçadas, quadras poliesportivas, e
etc. 39
TENSÕES TÉRMICAS
Coeficientes lineares 
de dilatação térmica
40
40
EXEMPLO
Calcular o deslocamento do ponto A em relação ao ponto B causado 
por uma variação de temperatura ∆T, para os casos (a) e (b).
A A
(a)
B
(b)
B
41
EXEMPLO
Caso (a)
A
∫ ⋅=
L
0
B/A dx)x(u ε
)x()x()x( térmicamecânica εεε +=
T)x(;
)x(A)x(E
)x(N
)x( térmicamecânica ∆⋅== αεε
(a)
A
B
)x(A)x(E
Como N(x)=0, pois não existem cargas aplicadas, a 
parcela mecânica da deformação é nula.
T)x()x( térmica ∆⋅== αεε
LTdxTdxTdx)x(u
L
0
L
0
L
0
B/A ⋅∆⋅=∆⋅=⋅∆⋅=⋅= ∫∫∫ αααε
42
EXEMPLO
Caso (b)
∫ ⋅=
L
0
B/A dx)x(u ε
)x()x()x( térmicamecânica εεε +=
T)x(;
)x(A)x(E
)x(N
)x( térmicamecânica ∆⋅== αεε
A
RA
)x(A)x(E
Como a barra está presa nos pontos A e B, reações aparecem 
nesses apoios, que por equilíbrio deverão ser iguais, sendo 
elas as responsáveis pela deformação mecânica. RA=RB=R
T
EA
N
)x()x()x( térmicamecânica ∆⋅+=+= αεεε
LT
EA
LR
dxT
EA
N
dx)x(u
L
0
L
0
B/A ⋅∆⋅+
⋅−
=⋅




 ∆⋅+=⋅= ∫∫ ααε
(b)
B
RB
TAER0LT
EA
LR
u B/A ∆⋅⋅=∴=⋅∆⋅+
⋅−
= αα 43