Provas Resolvidas 1

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Gabarito da 1a Prova de SMA301 - Ca´lculo I
Prof.: Alexandre Nolasco de Carvalho 13/05/2007
Nome:
No. USP:
Questo˜es Notas
1.a
2.a
3.a
4.a
5.a
Total
1.a Questa˜o. (Valor: 4.0) Diremos que uma sequ¨eˆncia {xn} e´ de Cauchy se, e somente se, dado
² > 0, existe N = N(²) ∈ N tal que |xn − xm| < ², ∀ m,n ≥ N. Mostre que se {xn} e´ uma sequ¨eˆncia
de Cauchy, enta˜o
• {xn} e´ limitada,
• {xn} tem uma subsequ¨eˆncia convergente e
• {xn} e´ convergente.
Use estes resultados para mostrar que
• {n sen( 1n)} e´ convergente.
Soluc¸a˜o: • Dado ² = 1 seja N ∈ N tal que |xn − xm| < 1, ∀ m,n ≥ N . Tomando M =
max{|x1|, · · · , |xN−1|, |xN |+ 1} temos que
|xn| ≤M, ∀n ∈ N.
Logo, {xn} e´ limitada.
• Como {xn} e´ limitada, segue de um resultado provado em sala de aula que {xn} tem uma
subsequ¨eˆncia convergente.
• Seja h : N → N estritamente crescente e ` ∈ R tal que {xh(n)} e´ convergente com limite ` ∈ R.
Dado ² > 0 seja N ∈ N tal que |xh(n) − `| < ²2 for all n ≥ N e |xn − xm| < ²2 for all m,n ≥ N . Assim,
se n ≥ N temos que
|xn − `| ≤ |xn − xh(n)|+ |xh(n) − `| < ², ∀n ≥ N.
Provando que {xn} e´ convergente com limite `.
• Note que sen(x) < x < tg(x) e portanto, tomando x = 1n e x = 1m ,
|n sen
(
1
n
)
−m sen
(
1
m
)
| ≤ max{1− cos
(
1
m
)
, 1− cos
(
1
n
)
} ≤ max{ 1
m
,
1
n
}.
Segue que
{
nsen
(
1
n
)}
e´ uma sequ¨eˆncia de Cauchy, portanto convergente.
2.a Questa˜o. (Valor: 2.0) Em cada um dos casos verifique se a func¸a˜o e´ limitada, par, ı´mpar ou
perio´dica. Justifique sua resposta.
(a) f(s) = |s+ 3|+ |s− 3|
(b) f(θ) = cos(piθ) cos(2piθ)
Soluc¸a˜o: (a) Note que
f(s) =

2s, se s ≥ 3,
6, se − 3 ≤ s ≤ 3,
− 2s, se s ≤ −3.
Segue que f e´ par, limitada inferiormente e na˜o e´ perio´dica. Para ver que f na˜o e´ limitada superiomente
basta notar que f(n) = 2n para todo n ∈ N, n ≥ 3. Por fim, note que f(s) = 2s, se s ≥ 3, portanto
na˜o pode ser perio´dica.
(b) Note que
f(θ) =
1
2
[cos(3piθ) + cos(piθ)] .
Logo, f e´ limitada, par e 2−perio´dica.
3.a Questa˜o: (Valor 2.0)
• Mostre que se a sequ¨eˆncia {an} e´ convergente com limite a enta˜o, a sequ¨eˆncia {|an|} e´ convergente
com limite |a|. Vale a rec´ıproca? Se a resposta for afirmativa prove, caso contra´rio deˆ um contra-
exemplo. O que ocorre se a = 0?
• Mostre que se |r| < 1 enta˜o {rn} e´ convergente com limite 0.
Soluc¸a˜o: • Como {an} e´ convergente com limite a, dado ² > 0 existe n ∈ N tal que |an − a| <
², ∀n ≥ N . Segue que
||an| − |a|| ≤ |an − a| < ², ∀n ≥ N.
Isto mostra que {|an|} e´ convergente com limite |a|.
A rec´ıprova na˜o vale pois a sequ¨eˆncia {(−1)n} na˜o e´ convergente e {|(1−)|n} e´ convergente (pois
e´ a sequ¨eˆncia constante e igual a 1).
Se {|an|} e´ convergente com limite 0, dado ² > 0 existe N ∈ N tal que
|an − 0| = ||an| − |0|| < ², ∀n ≥ N.
Logo {an} e´ convergente com limite 0.
• Se r = 0 na˜o ha´ nada a provar. Seja 0 6= r ∈ R tal que |r| < 1. Note que {|r|n} e´ uma
sequ¨eˆncia decrescente e limitada (portanto convergente com limite `) e que |r|n = |r||r|n−1. Segue das
propriedades do limite que
` = |r|`⇒ ` = 0.
4.a Questa˜o. (Valor: 2.0) Prove, utilizando a definic¸a˜o ou propriedades, que a sequ¨eˆncia dada e´
convergente:
(a)
{
n2
[
1− cos
(
1
n
)]}
(b)
(1 + n)cos
3
(√
n2 + tg(n3)
)
+ (n+ 1)2
n2

Soluc¸a˜o: (a) Note que
n2
[
1− cos
(
1
n
)]
= n2sen
(
1
n
)2 1
1 + cos
(
1
n
) .
e que (da Questa˜o 1) {nsen ( 1n)} e´ convergente com limite ` ∈ R. Segue das propriedades do limite
que
{
n2
[
1− cos ( 1n)]} e´ convergente com limite `22 .
(b) Note que
xn :=
(1 + n)cos3
(√
n2 + tg(n3)
)
+ (n+ 1)2
n2
=
1
n
(1 + n)cos3
(√
n2 + tg(n3)
)
n
+
(n+ 1)2
n2
.
Observando que, { 1n} e´ convergente com limite 0, n+1n = 1 + 1n e que
{
(1+n)cos3
“√
n2+tg(n3)
”
n
}
e´
limitada, segue das propriedades do limite que {xn} e´ convergente com limite 1.
Questa˜o Extra: (Valor 1.0) Assumindo que todo conjunto limitado de nu´meros reais tem supremo,
mostre que, para todo x 6= 0, o conjunto
A = {nx : n ∈ N}
e´ ilimitado.
Soluc¸a˜o: Tratemos, primeiramente, o caso x > 0. E´ claro que, neste caso, A e´ limitado inferiormente.
Suponhamos, por absurdo, que A seja limitado superiormente. Enta˜o existira´ L = supA. Logo, das
propriedades do supremo, dado ² = x existira´ m ∈ N tal que L−x < mx (nenhum nu´mero menor que
L e´ limitante superior de A). Portanto L < (m+ 1)x o que e´ um absurdo pois L e´ limitante superior
de A. Isto prova que o conjunto A e´ ilimitado sempre que x > 0. O caso x < 0 e´ semelhante.