Aula 3 Revisao Transformada de Laplace

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AULA 03 - LTC36B
Controle 01
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Prof. Leandro Castilho Brolin
UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná
DAELN – Departamento de Eletrônica
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RESUMO
(1) Introdução
(2) A Transformada de Laplace
(3) Exercício Sala de Aula
 
INTRODUÇÃO
● O método de transformada de Laplace é uma metodologia operacional que pode ser 
utilizado com vantagens para resolver equações integro-diferenciais lineares;
● Utilizando a transformada de Laplace podemos converter muitas funções, tais como 
senoides, em uma função algébrica de uma variável complexa;
● Permite o uso de técnicas gráficas para prever o desempenho de sistemas, sem a 
necessidade de resolver equações diferenciais;
● Após a resolução via transformada de Laplace, pode-se obter a resposta completa do 
sistema (transitória + regime).
 
A TRANSFORMADA DE LAPLACE
A TRANSFORMADA
➢ é uma função do tempo; 
➢ é a variável complexa;
➢ A regra associa a função do tempo a uma função na 
frequência complexa;
➢ A transformada de Laplace a direita é delimitada tal que para ;
➢ Portanto, a transformada de Laplace de é dada como:
f (t)
s=σ + jω
L [ f (t)]=F (s) f (t) F (s)
f (t)
f (t)=0 t<0
 
A TRANSFORMADA DE LAPLACE
➢ Condições suficientes de existência:
➢ D(s)={s E C / F(s) Existe};
➢ deve ser contínua por partes;
➢ é de ordem exponencial;
A maioria das funções que utilizaremos em controle possuem a TL.
f (t)
f (t)
 
EXEMPLO 01
➢ Resolver a Transformada de Laplace de uma Função Exponencial.
 
A TRANSFORMADAD DE LAPLACE
➢ Função Degrau:
➢ Função Rampa:
➢ Função seno:
 
TEOREMAS
➢ Função Transladada:
 
TEOREMAS
➢ Multiplicação de por 
➢ Mudança na escala de tempo:
➢ Da base de tempo para 
f (t)
t t /α
 
TEOREMAS
➢ Teorema da diferenciação
➢ Generalizando:
 
TEOREMAS
➢ Teorema do valor final
➢ Se e forem transformáveis por Laplace, se for a 
transformada de Laplace de e se existir, então 
➢ Para que o exista, os polos de devem estar situados no 
semiplano esquerdo.
➢ Função seno?
➢ Polo duplo na origem?
f (t) df (t)/dt F (s)
f (t) lim t→∞ f (t)
lim t→∞ f (t) sF (s)
 
TEOREMAS
➢ Teorema do valor inicial
➢ Se e forem transformáveis por Laplace, se for a 
transformada de Laplace de e se existir, então 
➢ Não possui restrições quanto a posição dos polos de . 
➢ Estes teoremas possibilita a observação direta conveniente da solução no domínio s 
sem a necessidade da transformação da resposta para o domínio do tempo.
 . 
f (t) df (t)/dt F (s)
f (t) lim s→∞ sF (s)
sF (s)
 
TEOREMAS
➢ Teorema da Integração real
sendo , avaliada em . 
➢ Integral no domínio do tempo corresponde a uma divisão no domínio da frequência. 
 . 
f −1(0)=∫ f (t)dt t=0
 
TEOREMAS
➢ Teorema da derivada complexa
➢ Se for transformável por Laplace, então. Exceto nos polos de 
Generalizando, 
 . 
f (t) F (s)
 
TRANSFORMADA DE 
LAPLACE INVERSA
Onde ; e é qualquer valor dentro da região de convergência de . 
 . 
s=σ + jω σ F (s)
f (t)= 1
2π∫−∞
+∞
F (s)est dω
 
Exercícios
Ex 1) Determine a transformada de laplace inversa das funções a seguir:
a) caso 01: F(s)=(s+3) / (s+1)(s+2)
b) caso 02: F(s) = s / (s^2+2s+2)
c) caso 03: F(s) = (4s^2-1) / (s+2)^3
Ex2) Determine a expressão da resposta no tempo da equação diferencial a seguir (x(t)). 
Considere a função forçante u(t) como um delta de dirac e condições iniciais nulas (m e k 
são constantes).
 
 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO
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