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Lista 8 Autovalores e autovetores 1. Considere as matrizes A = 2 1 22 2 −2 3 1 1 e x = x1x2 x3 (a) Mostre que a equac¸a˜o Ax = λx pode rescrita como (λI− A)x = 0 (b) Resolva o sistema Ax = 2x. (c) Resolva o sistema Ax = 4x. (d) Escreva a equac¸a˜o caracteristica de A e resolva-a. (e) Comente os resultados obtidos. 2. Expresse os sistemas lineares seguintes na forma (λI − A)x = 0. (a) { x1 + 2x2 = λx1 2x1 + x2 = λx2 (b) { 2x1 + 3x2 = λx1 4x1 + 3x2 = λx2 3. Para cada uma das seguintes matrizes, encontre a equac¸a˜o caracter´ıstica, os autovalores e os autovetores correspondentes a cada autovalor. (a) A = [ 1 0 2 1 ] (b) B = [ 1 2 2 1 ] (c) C = 1 −2 36 7 −1 0 0 4 (d) D = 4 0 1−2 1 0 −2 0 1 (e) E = 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1 −2 0 0 0 0 1 4. Encontre os autovalores de A9 se A = 1 3 7 11 0 1 2 3 8 0 0 0 4 0 0 0 2 5. Encontre os autovalores e bases dos auto-espac¸os de A25 se A = −1 −2 −21 2 1 −1 −1 0 6. Seja A uma matriz 6 × 6 com equac¸a˜o carater´ıstica λ2(λ − 1)(λ − 2)3 = 0. Quais sa˜o as poss´ıveis dimenso˜es geome´tricas dos autovalores de A ? 1 7. Seja A = 4 0 12 3 2 1 0 4 (a) Encontre os autovalores de A. (b) Para cada autovalor λ, encontre o posto de λI − A e indique nul(A) (recorde que nul(A) = n− pos(A)). (c) A e´ diagonaliza´vel? 8. Verifique se as matrizes seguintes sa˜o diagonaliza´veis. Se necessa´rio use o me´todo do exerc´ıcio anterior. (a) [ 1 0 2 1 ] (b) 3 0 00 2 0 0 1 2 (c) −1 0 1−1 3 0 −4 13 −1 (d) 2 −1 0 1 0 3 1 −1 0 0 4 2 0 0 0 1 9. Verifique se as matrizes sa˜o diagonaliza´veis. Caso sejam, determine a matriz P que as diagonaliza, determine tambe´m as matrizes diagonais respectivas. (a) A = [ 1 0 6 −1 ] (b) B = 5 0 01 5 0 0 1 5 (c) C = 0 0 00 0 0 3 0 1 (d) D = −2 0 0 0 0 −2 0 0 0 0 3 0 0 0 1 3 10. Determine A2014, onde [ 1 0 6 −1 ] 11. Em cada parte, calcule a poteˆncia indicada de A = 1 −2 80 −1 0 0 0 −1 (a) A1000 (b) A−1000 (c) A2014 (d) A−2014 (e) Ak, k ∈ Z 12. Verifique se as matrizes sa˜o diagonaliza´veis ortogonalmente . Caso sejam, determine a matriz P que as diagonaliza, determine tambe´m as matrizes diagonais respectivas. (a) A = [ 3 1 1 3 ] (b) B = [ 6 2 √ 3 2 √ 3 7 ] (c) C = 1 1 01 1 0 0 0 0 (d) D = 2 −1 −1−1 2 −1 −1 −1 2 (e) E = 3 1 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2
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