P2 2014/2 - Jaime

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MAT0355 - Álgebra Linear I - A - Turma A2
Segunda Prova - 27/11/2014 - Fila 1
TODAS AS RESPOSTAS DEVEM SER JUSTIFICADAS
1) Considere uma matriz real A de ordem 3� 3 QUALQUER dada: Seja T : R3 ! R3 dada, para
cada v 2 R3; por
T (v) = vA;
sendo vA o produto matricial de v por A; considerando v como uma matriz 1� 3 (matriz linha).
(a) (1,0) Prove que T é linear.
Solução.
Como
T (u+ v) = (u+ v)A = uA+ vA = T (u) + T (v)
e
T (au) = (au)A = a (uA) = aT (u)
decorre que T é linear.
(b) (1,0) Supondo
A =
0@ 0 1 1�1 0 2
�1 3 5
1A
comprove que a expressão em coordenadas de T é
T (x; y; z) = (�y � z; x+ 3z; x+ 2y + 5z) :
Solução.
Temos
T (x; y; z) = (x; y; z)
0@ 0 1 1�1 0 2
�1 3 5
1A = (�y � z; x+ 3z; x+ 2y + 5z)
sendo a segunda igualdade obtida através de um simples produto matricial.
(c) (2,0) Ache todas os vetores (x; y; z) 2 R3 tais que T (x; y; z) = (2;�5;�9) resolvendo,
por escalonamento (chegando à matriz escalonada reduzida), um sistema de 3 equações a 3
incógnitas.
Solução.
A equação T (x; y; z) = (2;�5;�9) é equivalente ao sistema8<:
0x� y � z = 2
x+ 0y + 3z = �5
x+ 2y + 5z = �9
Resolvendo por escalonamento obtemos0@ 0 �1 �1 21 0 3 �5
�1 2 5 �9
1AL1 $ L3�����!
0@ 1 2 5 �91 0 3 �5
0 �1 �1 2
1A
L2 $ L2 � L1���������!
0@ 1 2 5 �90 �2 �2 4
0 �1 �1 2
1AL2 $ �L22�������!
0@ 1 2 5 �90 1 1 �2
0 �1 �1 2
1A
1
L1 $ L1 � 2L2; L3 + L2�����������������!
0@ 1 0 3 �50 1 1 �2
0 0 0 0
1A :
Logo as soluções são da forma (�3z � 5;�z � 2; z):
(d) (1,0) Sem calcular explicitamente justi…que, usando o Teorema do Núcleo e da Imagem,
que existe uma escolha de reais a; b; c para os quais não existe v 2 R3 tal que T (v) = (a; b; c):
Solução.
O núcleo de T é formado pelas ternas (x; y; z) que são soluções do sistema8<:
0x� y � z = 0
x+ 0y + 3z = 0
x+ 2y + 5z = 0
Resolvendo-o vemos que as soluções são da forma x = �3z; y = �z: Portanto, dimN(T ) = 1: Pelo
Teorema do Núcleo e da Imagem, 3 = dimN(T )+dim Im(T ) do que segue que dim Im(T ) = 2: Logo
Im(T ) não pode ser todo R3 e podemos concluir que existe (a; b; c) para o qual não existe v tal que
T (v) = (a; b; c):
2) Seja T : R2 ! R2 dada por T (x; y) = (�x
2
+ 5y
2
; 5x
2
� y
2
):
(a) (1,0) Usando a teoria da Álgebra Linear explique porque devem existir uma base B de
R2 e reais a; b tais que
T (x; y)B
(1)
= (ax; by)B:
Solução.
A matriz de T na base canônica C é
[T ]C =
� �1
2
5
2
5
2
�1
2
�
do que segue que [T ]tC = [T ]C : Logo T é um operador simétrico. Pelo teorema de diagonalização de
operadores simétricos decorre que T é diagonálizável ou seja, existem uma base B do R3 e a; b 2 R
tais que
[T ]B =
�
a 0
0 b
�
Logo, se v 2 R3 tem coordenadas x; y na base B ou seja, v = (x; y)B então tem-se (1):
(b) (1,0) Determine a e b:
Solução.
Os reais a; b são exatamente os autovalores de T; a saber, as raízes do polinômio característico
p(�) de T que é dado por
p(�) = det
� �1
2
� � 5
2
5
2
�1
2
� �
�
= �2 + �� 6:
Logo p(�) = 0, �2 + �� 6 = 0: Resolvendo a equação obtemos a = 2; b = �3:
(c) (1,5) Determine uma base B onde vale a fórmula (1).
Solução.
2
Começando com a = 2 obtemos o sistema
�x
2
+
5y
2
= 2x
5x
2
� y
2
= 2y
cujas soluções são da forma x = y: Portanto, um autovetor é u = (1; 1):
Para b = �3 obtemos o sistema
�x
2
+
5y
2
= �3x
5x
2
� y
2
= �3y
cujas soluções são da forma x = �y: Portanto, v = (1;�1) é outro autovetor de T: Sendo B =
f(1; 1); (1;�1)g temos
[T ]B =
�
2 0
0 �3
�
:
3) Dizemos que dois operadores lineares S; T : R2 ! R2 comutam se T � S = S � T; ou seja, se
T (S(x; y))) = S(T (x; y)) para todo (x; y) 2 R2:
(a) (0,5) Comprove que os operadores
T (x; y) = (�x; 2y)
S(x; y) = (3x; 4y)
comutam.
Solução
T (S(x; y)) = T (3x; 4y) = (�3x; 8y)
S(T (x; y)) = S(3x; 4y) = (�3x; 8y)
logo T (S(x; y)) = S(T (x; y)) para todo (x; y) do que segue que S e T comutam.
(b) (1,0) Sejam S; T : R2 ! R2 dois operadores QUAISQUER que comutam. Suponha que
v seja um autovetor de T associado ao autovalor � e que, importante: o conjunto dos autovetores
de T associado ao autovalor � seja gerado por v: Descubra argumentos que comprovam que v é um
autovetor de S:
Solução.
Como S e T comutam temos T (S(v)) = S(T (v)): Sendo v autovetor associado ao autovalor �
obtemos T (S(v)) = S(�v) = �S(v): Denotando w = S(v) vemos que se w = 0 então � = 0 é um
autovalor de S com autovetor v: Se w 6= 0 então, das igualdades anteriores, vemos que T (w) = �w;
de modo que w é um autovetor de T associado ao autovalor �: Por hipótese, w deve ser da forma
w = �v; ou seja, S(v) = �v: Logo v é um autovetor de S:
3