Derivada + interpretações e ordem superior

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Problema 1:Problema 1: Dada uma função Dada uma função f e um ponto f e um ponto 
P( xP( x0 0 ,, yyo o ) no seu gráfico, ache uma equação ) no seu gráfico, ache uma equação 
da reta que é tangente ao gráfico em Pda reta que é tangente ao gráfico em P
DERIVADADERIVADA
 
h
xfhxfxf h
)()(lim)´( 0
−+
= →
x x+ ∆x 
y
y+ ∆y
∆x
∆y
rs
rt
x x+h
f(x)
f(x+h)
rs
f
f
h
xfhxf
x
ymm
x
y
adjacentecateto
opostocatetom
h
xrsxrt
rs
)()(lim
limlim
 
 
0
00
−+
=
∆
∆
==
∆
∆
==
→
→∆→∆
Interpretação geométrica – Interpretação geométrica – 
Coeficiente angular da reta Coeficiente angular da reta 
tangentetangente
Interpretação geométrica – Interpretação geométrica – 
Coeficiente angular da reta Coeficiente angular da reta 
tangentetangente
Interpretação geométrica – Interpretação geométrica – 
Coeficiente angular da reta Coeficiente angular da reta 
tangentetangente
 Problema 3:Problema 3: Dada a curva posição versus tempo Dada a curva posição versus tempo 
para uma partícula movimentando-se ao longo para uma partícula movimentando-se ao longo 
de um eixo coordenado, ache a velocidade da de um eixo coordenado, ache a velocidade da 
partícula num partícula num instanteinstante de tempo especificado. de tempo especificado.
Outra interpretação:Outra interpretação:
Derivada – Taxa de variaçãoDerivada – Taxa de variação
 Considere o movimento de um objeto através Considere o movimento de um objeto através 
de um eixo coordenado segundo a lei de de um eixo coordenado segundo a lei de 
movimento movimento 
S(t)=3+6t-5tS(t)=3+6t-5t22+t+t33 
ExemploExemplo
Velocidade médiaVelocidade média
0
02
)0()2(
=
−
−
=
SSVm
36,0
2,08,1
)2,0()8,1(
−=
−
−
=
SSVm
Derivada - VelocidadeDerivada - Velocidade
64,0
4,06,1
)4,0()6,1(
−=
−
−
=
SSVm
Derivada - VelocidadeDerivada - Velocidade
84,0
6,04,1
)6,0()4,1(
−=
−
−
=
SSVm
Derivada - VelocidadeDerivada - Velocidade
Limites – Uma Introdução IntuitivaLimites – Uma Introdução Intuitiva
96,0
8,02,1
)8,0()2,1(
−=
−
−
=
SSVm
9999,0
99,001,1
)99,0()01,1(
−=
−
−
=
SSVm
Derivada – Velocidade Derivada – Velocidade 
instatâneainstatânea
t
tsttststv t ∆
−∆+
== →∆
)()(lim)´()( 0
Derivada de ordem superior - 
Aceleração
• Aceleração média:
t
V
tt
VV
a
if
if
m ∆
∆
=
−
−
=
• Aceleração instantânea:
)´()( :OBS )´´()´(lim)(
)()(lim
)(
)()(lim
0
00
tstvtstv
t
vv
ta
h
tvhtv
tht
tvhtva
if
t
ht
===
∆
−
=
=
−+
=
−+
−+
=
→∆
→→∆
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