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Problema resolvido 4.2 SOLUÇÃO: • Baseado na geometria da seção transversal, calcular a localização do centroide e momento de inércia. ( ) += = 2dAII A Ay Y x • Aplicar a fórmula da flexão elástica para encontrar as tensões máximas de tração e compressão. I Mc m = • Calcular a curvatura EI M = 1 A peça de máquina de ferro fundido é atendida por um momento M = 3 kN m. Sabendo-se que o módulo de elasticidade E = 165 GPa e desprezando os efeitos dos adoçamentos, determine (a) as tensões máximas de tração e compressão, (b) o raio de curvatura. Problema resolvido 4.2 SOLUÇÃO: Baseado na geometria da seção transversal, calcular a localização do centróide e momento de inércia. mm 38 3000 10114 3 = = = A Ay Y == = = 3 3 3 32 101143000 104220120030402 109050180090201 mm ,mm ,mm Area, AyA Ayy ( ) ( ) ( ) ( ) 49-43 23 12 123 12 1 23 12 12 m10868 mm10868 18120040301218002090 == +++= +=+= I dAbhdAIIx Problema resolvido 4.2 • Aplicar a fórmula da flexão elástica para encontrar as tensões máximas de tração e compressão. 49 49 m10868 m038.0mkN 3 m10868 m022.0mkN 3 − − −=−= == = I cM I cM I Mc B B A A m MPa 0.76+=A MPa 3.131−=B • Calcular a curvatura ( )( )49- m10868GPa 165 mkN 3 1 = = EI M m 7.47 m1095.20 1 1-3 = = − Flexão de Barras Constituidas de Vários Materiais • Deformação normal varia linearmente. y x −= • Tensões normais variam linearmente yE E yE E xx 2 22 1 11 −==−== • Eixo neutro não passa pelo centroide da sessão composta. • As forças que atuam no elemento são: dA yE dAdFdA yE dAdF 222111 −==−== • Considere uma barra composta por dois materiais E1 e E2. xx x n I My == −= 21 ( ) ( ) 1 211 2 E E ndAn yE dA ynE dF =−=−= • Definir uma seção transformada de tal forma que: Problema Resolvido 4.3 SOLUÇÃO: • Transformar a barra em uma seção equivalente feita inteiramente de latão. • Avaliar as propriedades da seção transversal da barra transformada. • Calcular a tensão máxima na seção transformada. Esta é a tensão máxima correta para a parte de latão da barra. • Determine a tensão máxima na parte de aço do barra, multiplicando a tensão máxima para a seção transformada pela razão entre os módulos de elasticidade. Uma barra feita da união de duas peças de aço (Eaço = 203GPa) e latão (Elatão = 105 GPa). Determinar a tensão máxima no aço e no latão, quando um momento M= 4,5 KN.m estiver aplicado. Problema Resolvido 4.3 • Calcular o momento de inércia da seção trasformada. ( )( ) 463 12 13 12 1 m 10.2m 0,076m 567,0 −=== hbI T SOLUÇÃO: • Transformar a barra em uma seção equivalente feita inteiramente de latão. mm 7,36)933.1.( mm 19 933.1 GPa 105 GPa 203 == === T latão aço b E E n • Calcular as tensões máximas ( )( ) MPa 5,85 m 2.10 m 038,0KN 5,4 46- === I Mc m ( ) ( ) MPa 85,5 933,1 max max == = maço mlatão n ( ) ( ) MPa) ,5(1,933)(85 MPa 5,85 max max = = aço latão Vigas de Concreto Armado • Vigas de concreto submetida a momentos fletores são reforçadas por barras de aço. • Para determinar a localização do eixo neutro, ( ) ( ) 0 0 2 2 2 1 =−+ =−− dAnxAnxb xdAn x bx ss s • As barras de aço resistem à carga de tração abaixo da superfície neutra. A parte superior da viga de concreto resiste à carga de compressão. • Na seção transformada, a área transversal do aço, As, passa a ter a área equivalente nAs onde n = Es/Ec. • As tensão normais no concreto e no aço xsxc x n I My == −= Problema resolvido 4.4 SOLUÇÃO: • Transformar em uma seção feita inteiramente de concreto. • Avaliar as propriedades geométricas da seção transformada. • Calcular as tensões máximas no concreto e no aço. •A laje de piso de concreto é reforçada com barras de aço 16 mm de diâmetro. O módulo de elasticidade é de 205 GPa para o aço e 25 GPa para o concreto. Com um momento fletor aplicado de 4,5 KN.m a cada 300mm de largura da laje, determinar a tensão máxima no concreto e no aço. Problema resolvido 4.4 • Avaliar as propriedades geométricas da seção transformada. ( ) ( )( ) ( ) 4623 3 1 mm 10.15,181,37100329637,1300 mm 37,101003296 2 300 =−+= ==−− I xx x x SOLUÇÃO: • Transformar em uma seção feita inteiramente de concreto. 22 s mm 3296)mm 8,2.(402nA 8,2 GPa 25 GPa 205 == === c s E E n • Calcular as tensões máximas. s c = Mc1 I = 4500KN.m´37,1mm 18,15´106mm4 s s = n Mc2 I = 8, 2 (4500KN.m)(62, 9mm) 18,15´106mm4 s c = 9,2MPa s s =127,9MPa Concentração de Tensão Concentrações de tensão pode ocorrer : • nas proximidades dos pontos onde as cargas são aplicadas I Mc Km = • nas proximidades de mudanças abruptas na seção transversal Deformações Plásticas • No caso de elemento que possui planos de simetria vertical e horizontal, composto de material caracterizado pela mesma relação tensão-deformação em tração e em compressão a linha neutra coincidirá com a linha de simetria horizontal da seção. • Para qualquer elemento submetido à flexão pura a tensão varia linearmente com a deformação: mx c y −= • Se o elemento é feito de um material elástico linear, a linha neutra passa pelo centroide da seção e I My x −= • Para um material com uma curva de tensão- deformação não-linear, a localização da linha neutra é encontrada através da expressão: −= == dAyMdAF xxx 0 Deformações Plásticas • O valor máximo do momento fletor, Ml, provoca falha do elemento. Esse valor pode ser determinado quando a tensão máxima é igual à resistência última do material. • RB pode ser usado para determinar o limite de momento fletor, Ml, de qualquer elemento feito do mesmo material e com uma seção transversal da mesma forma, mas com dimensões diferentes. • O módulo de ruptura em flexão, RB , é encontrado a partir de um valor determinado experimentalmente de Ml considerando uma distribuição linear fictícia de tensões. RB = M lc I Barras Constituídas de Material Elastoplástico • Barra retangular em flexão feita de um material elastoplástico s x £s E sm = Mc I sm =s E ME = I c sY = momento elástico máximo • A medida que o momento fletor M aumenta, as zonas plásticas expandem-se até que, no limite, a deformação é totalmente plástica. elástico núcleo do espessura da metade 1 2 2 3 1 2 3 = −= E E E y c y MM • A medida que yE se aproxima de zero, o momento fletor se aproxima do valor limite. M p = 3 2 ME = momento plástico k = M p ME = fator de forma (depende apenas da forma da seção)
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