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4 2 Flexao Pura

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Problema resolvido 4.2
SOLUÇÃO:
• Baseado na geometria da seção 
transversal, calcular a localização do 
centroide e momento de inércia.
( ) +=


= 
2dAII
A
Ay
Y x
• Aplicar a fórmula da flexão elástica 
para encontrar as tensões máximas de 
tração e compressão.
I
Mc
m =
• Calcular a curvatura
EI
M
=

1
A peça de máquina de ferro fundido é 
atendida por um momento M = 3 kN m. 
Sabendo-se que o módulo de elasticidade 
E = 165 GPa e desprezando os efeitos dos 
adoçamentos, determine (a) as tensões 
máximas de tração e compressão, (b) o 
raio de curvatura.
Problema resolvido 4.2
SOLUÇÃO:
Baseado na geometria da seção transversal, 
calcular a localização do centróide e momento 
de inércia.
mm 38
3000
10114 3
=

=


=
A
Ay
Y
 ==
=
=
3
3
3
32
101143000
104220120030402
109050180090201
mm ,mm ,mm Area,
AyA
Ayy
( ) ( )
( ) ( )
49-43
23
12
123
12
1
23
12
12
m10868 mm10868
18120040301218002090
==
+++=
+=+= 
I
dAbhdAIIx
Problema resolvido 4.2
• Aplicar a fórmula da flexão elástica para 
encontrar as tensões máximas de tração e 
compressão.
49
49
m10868
m038.0mkN 3
m10868
m022.0mkN 3
−
−


−=−=


==
=
I
cM
I
cM
I
Mc
B
B
A
A
m



MPa 0.76+=A
MPa 3.131−=B
• Calcular a curvatura
( )( )49- m10868GPa 165
mkN 3
1


=
=
EI
M

m 7.47
m1095.20
1 1-3
=
= −


Flexão de Barras Constituidas de Vários 
Materiais
• Deformação normal varia linearmente.


y
x −=
• Tensões normais variam linearmente

yE
E
yE
E xx
2
22
1
11 −==−==
• Eixo neutro não passa pelo centroide da 
sessão composta.
• As forças que atuam no elemento são:
dA
yE
dAdFdA
yE
dAdF  222111 −==−==
• Considere uma barra composta por dois 
materiais E1 e E2.
xx
x
n
I
My


==
−=
21 ( )
( )
1
211
2
E
E
ndAn
yE
dA
ynE
dF =−=−= 
• Definir uma seção transformada de tal forma 
que:
Problema Resolvido 4.3
SOLUÇÃO:
• Transformar a barra em uma seção 
equivalente feita inteiramente de latão.
• Avaliar as propriedades da seção 
transversal da barra transformada.
• Calcular a tensão máxima na seção 
transformada. Esta é a tensão máxima 
correta para a parte de latão da barra.
• Determine a tensão máxima na parte de 
aço do barra, multiplicando a tensão 
máxima para a seção transformada pela 
razão entre os módulos de elasticidade.
Uma barra feita da união de duas 
peças de aço (Eaço = 203GPa) e latão 
(Elatão = 105 GPa). Determinar a 
tensão máxima no aço e no latão, 
quando um momento M= 4,5 KN.m 
estiver aplicado.
Problema Resolvido 4.3
• Calcular o momento de inércia da seção 
trasformada.
( )( ) 463
12
13
12
1 m 10.2m 0,076m 567,0 −=== hbI T
SOLUÇÃO:
• Transformar a barra em uma seção equivalente 
feita inteiramente de latão.
mm 7,36)933.1.( mm 19
933.1
GPa 105
 GPa 203
==
===
T
latão
aço
b
E
E
n
• Calcular as tensões máximas
( )( )
MPa 5,85
m 2.10
m 038,0KN 5,4
46-
===
I
Mc
m
( )
( ) MPa 85,5 933,1
max
max
==
=
maço
mlatão
n

( )
( ) MPa) ,5(1,933)(85 
MPa 5,85
max
max
=
=
aço
latão


Vigas de Concreto Armado
• Vigas de concreto submetida a momentos fletores são 
reforçadas por barras de aço.
• Para determinar a localização do eixo neutro,
( ) ( )
0
0
2
2
2
1 =−+
=−−
dAnxAnxb
xdAn
x
bx
ss
s
• As barras de aço resistem à carga de tração abaixo da 
superfície neutra. A parte superior da viga de concreto 
resiste à carga de compressão.
• Na seção transformada, a área transversal do aço, As, 
passa a ter a área equivalente nAs onde n = Es/Ec.
• As tensão normais no concreto e no aço
xsxc
x
n
I
My


==
−=
Problema resolvido 4.4
SOLUÇÃO:
• Transformar em uma seção feita 
inteiramente de concreto.
• Avaliar as propriedades geométricas 
da seção transformada.
• Calcular as tensões máximas no 
concreto e no aço.
•A laje de piso de concreto é reforçada 
com barras de aço 16 mm de diâmetro. O 
módulo de elasticidade é de 205 GPa para 
o aço e 25 GPa para o concreto. Com um 
momento fletor aplicado de 4,5 KN.m a 
cada 300mm de largura da laje, determinar 
a tensão máxima no concreto e no aço.
Problema resolvido 4.4
• Avaliar as propriedades geométricas da seção 
transformada.
( )
( )( ) ( ) 4623
3
1 mm 10.15,181,37100329637,1300
mm 37,101003296
2
300
=−+=
==−−





I
xx
x
x
SOLUÇÃO:
• Transformar em uma seção feita inteiramente de 
concreto.
22
s mm 3296)mm 8,2.(402nA
8,2
GPa 25
GPa 205
==
===
c
s
E
E
n
• Calcular as tensões máximas.
s c =
Mc1
I
=
4500KN.m´37,1mm
18,15´106mm4
s s = n
Mc2
I
= 8, 2
(4500KN.m)(62, 9mm)
18,15´106mm4
s c = 9,2MPa
s s =127,9MPa
Concentração de Tensão
Concentrações de tensão pode ocorrer :
• nas proximidades dos pontos onde as 
cargas são aplicadas
I
Mc
Km =
• nas proximidades de mudanças 
abruptas na seção transversal
Deformações Plásticas
• No caso de elemento que possui planos de simetria 
vertical e horizontal, composto de material 
caracterizado pela mesma relação tensão-deformação 
em tração e em compressão a linha neutra coincidirá 
com a linha de simetria horizontal da seção.
• Para qualquer elemento submetido à flexão pura a 
tensão varia linearmente com a deformação:
mx
c
y
 −=
• Se o elemento é feito de um material elástico linear, 
a linha neutra passa pelo centroide da seção e
I
My
x −=
• Para um material com uma curva de tensão-
deformação não-linear, a localização da linha neutra é 
encontrada através da expressão:
 −= == dAyMdAF xxx  0
Deformações Plásticas
• O valor máximo do momento fletor, Ml, provoca 
falha do elemento. Esse valor pode ser 
determinado quando a tensão máxima é igual à 
resistência última do material. 
• RB pode ser usado para determinar o limite de 
momento fletor, Ml, de qualquer elemento feito 
do mesmo material e com uma seção transversal 
da mesma forma, mas com dimensões 
diferentes.
• O módulo de ruptura em flexão, RB , é encontrado 
a partir de um valor determinado 
experimentalmente de Ml considerando uma 
distribuição linear fictícia de tensões.
RB =
M lc
I
Barras Constituídas de Material Elastoplástico
• Barra retangular em flexão feita de um material 
elastoplástico
s x £s E sm =
Mc
I
sm =s E ME =
I
c
sY = momento elástico máximo
• A medida que o momento fletor M aumenta, as zonas 
plásticas expandem-se até que, no limite, a 
deformação é totalmente plástica.
elástico núcleo do espessura da metade 1
2
2
3
1
2
3 =





−= E
E
E y
c
y
MM
• A medida que yE se aproxima de zero, o momento 
fletor se aproxima do valor limite.
M p =
3
2
ME = momento plástico
k =
M p
ME
= fator de forma (depende apenas da forma da seção)