Equações Diferenciais SLIDE CONTEUDO

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Equações Diferenciais
Prof. Patrícia Tavares
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Modelos Matemáticos
PROCESSO DE SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE PRIMEIRA ORDEM
A aplicação de uma equação diferencial permite encontrar uma solução particular para um problema do cotidiano.
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Exemplo:
Um novo produto é introduzido através de uma campanha de marketing de uma empresa, junto a uma população de um milhão de clientes potenciais. Supõe-se que a taxa a qual a população ouve falar do produto seja proporcional ao número de pessoas que ainda não conhecem o produto. Ao fim de um ano, metade da população já tomou conhecimento do produto. Quantos terão ouvido falar do produto no final de dois anos?
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1º Passo: Estabelecer uma notação / observações iniciais
Observações iniciais:
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2º Passo: Separando as variáveis / integrando / determinando a solução
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2º Passo: Separando as variáveis / integrando / determinando a solução
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3º Passo: Determinando os valores de C e K
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3º Passo: Determinando os valores de C e K 
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4º Passo: Respondendo para t = 2
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1. Crescimento de um Capital: descreve o crescimento de um capital S quando uma taxa anual de juros r é composta continuamente. Logo,
Esse mesmo modelo descreve a determinação da meia vida de uma droga, a descrição de uma reação química de primeira ordem, crescimento populacional e decaimento radioativo.
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2. Disseminação de uma doença: se uma doença se espalha em uma população de L indivíduos, a taxa segundo a qual a doença se espalha dependerá de quantos indivíduos estão afetados e de quantos não estão. Logo,
onde
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3. Lei de Newton do esfriamento / aquecimento: a taxa segundo a qual a temperatura de um corpo varia é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia. Logo,
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4. Corpos em queda: considere um corpo de massa m em queda livre (vertical), influenciado apenas pela gravidade g e por uma resistência do ar proporcional a velocidade do corpo. Admita que tanto a massa quanto a gravidade permaneçam constantes e, por questão de conveniência, adote a direção para baixo como a direção positiva.
Segunda Lei de Newton: a força resultante que atua sobre um corpo é igual a taxa de variação do momento deste corpo em relação ao tempo, ou, para uma massa constante, 
 
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No problema em questão há duas forças, a gravitacional e a resistência do ar. Logo,
Se a resistência do ar for desprezível,
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5. Circuitos elétricos: a equação básica que rege a quantidade de corrente I (em amperes) em um circuito simples com uma resistência R (em ohms), uma indutância L (em henries) e uma força eletromotriz (fem) E (em volts) é dada por
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Para um circuito RC consistindo em uma resistência, uma capacitância C (em farads), uma fem e nenhuma indutância, a equação que rege a quantidade de carga elétrica q (em coloumbs) no capacitor é:
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6. Trajetórias Ortogonais: considere uma família de curvas a um parâmetro no plano x→y definida por F(x,y,c)=0, onde c representa o parâmetro. O problema consiste em determinar outras famílias de curvas a um parâmetro, chamadas trajetórias ortogonais da família e dadas analiticamente por G(x,y,k)=0 de tal forma que toda curva dessa nova família intercepte cada curva da família original.
As trajetórias ortogonais são as soluções de
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