EP13 gabarito 2016 1

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EP 13 
Gabarito 
 
 
Exercícios: 
 
1) Resolva as seguintes equações em R: 
 
a) 
0572  xx
 
 
Solução: 
Temos a = 1, b = 7 e c = 5. Daí, 

 = 
5147 2 
 = 49 – 20 = 29 
Então temos: 
2
297 
x
 (29 é primo) 
Donde 
2
297
2
297 


 xoux
 
Logo o conjunto solução desta equação é S = 





 
2
297
,
2
297
. 
 
b) (x – 5) 2 = 2x (x-5) 
 
Solução: 
Primeiro vamos colocar a equação na forma reduzida: 
(x – 5) 2 = 2x (x-5) 
025101021022510 2222  xxxxxxxx
 
0252  x
 
Temos: a = -1, b = 0 e c = 25. Daí 

 = 0 – 4 (-1) 25 = 0 + 100 = 100 
 
Então temos: 
2
100
)1(2
1000





x
 
Donde 
5
2
10
2
100
5
2
10
2
100











 xoux
 
Logo o conjunto solução desta equação é S = {-5, 5}. 
 
 
c) 
042  xx
 
 
Solução: 
Temos: a = -1, b = 4 e c = 0. Daí 

 = 
0)1(442 
 = 16 + 0 = 16 
Então temos: 
2
44
)1(2
164





x
 
Donde 
4
2
8
2
44
0
2
0
2
44











 xoux
 
Logo o conjunto solução desta equação é S = {0, 4}. 
 
d) 
012  xx
 
 
Solução: 
Temos: a = 1, b = 1 e c = 1. Daí 

 = 
11412 
= 1 – 4 = -3 
Como 

 < 0 a equação dada não possui raízes reais e portanto o seu conjunto solução é 
o conjunto vazio S = {}. 
 
 
e) 
)2(5)3( 2 xx 
 
 
Solução: 
Primeiro vamos colocar a equação na forma reduzida: 
)2(5)3( 2 xx  01095651096
22  xxxxxx
 
01112  xx
 
Temos: a = 1, b = 11 e c = -1. Daí 

 = 
4121)1(14)11( 2 
= 125 
Então temos: 
2
5511
2
5511
2
12511 2 




x
 
Donde 
2
5511
2
5511 


 xoux
 
Logo o conjunto solução da equação dada é S = 





 
2
5511
,
2
5511
 
 
f) 
0253 2  xx
 
Solução: 
Usando a fórmula de Bhaskara 
a
acbb
x
2
42 

 temos: 
6
75
6
495
6
24255
32
)2(34)5()5( 2 







x
 
Logo: 
3
1
6
2
6
75
2
6
12
6
75






 xoux
 
Logo o conjunto solução da equação dada é S = 






 2,
3
1
. 
 
 
2) Para que valores reais de m a equação: 
 
a) 
0232 2  mxx
 possui raízes reais iguais? 
 
Solução: 
Devemos ter 

 = 0 
Logo devemos ter 
224)3( 2  m
= 0 
Donde 
3
4
9
16
9
16
1690169 222  mmmm
 
Portanto devemos ter m = 
3
4
3
4
mou
 
 
 
b) 
01)32()1( 22  xmxm
 tem conjunto solução unitário? 
 
Solução: 
Para que o conjunto solução seja unitário a equação deverá ter uma única raiz. Logo 
devemos ter 

 = 0. 
Assim 
  01)1(4)32( 22  mm
 
Donde 
12
5
51205120449124 22

 mmmmmm
 
Portanto devemos ter m = 
12
5
 
 
 
3) Resolva: 
 
1) Um número inteiro multiplicado pelo seu sucessor dá o produto 156. Qual é o 
inteiro? 
 
Solução: 
Seja m o inteiro procurado. Devemos ter: m (m + 1) = 156 
Logo: 
01562  mm
 
Então temos: a = 1, b = 1 e c = -156. Daí 

 = 1 – 4.1.(-156) = 1 + 624 = 625 
Assim 
2
251
2
6251 


m
 
Donde 
13
2
26
2
251
12
2
24
2
251






 moum
 
Verificando: se m = 12 então m + 1 = 13 e daí m (m + 1) = 12 . 13 = 156 
Se m = -13 então m + 1 = -12 e daí m (m + 1) = (-13).(-12) = 156 
Portanto m = 12 ou m = -13. 
 
 
2) Determine dois números inteiros e consecutivos tais que a soma de seus quadrados é 
85. 
 
Solução: 
Considere os números inteiros e consecutivos m e m + 1. 
Devemos ter: 
85)1( 22  mm
 
Logo 
084220851228512 2222  mmmmmmm
 
Nesta equação temos: a = 2, b = 2 e c = -84. Daí 

 = 
6766724)84(2422 
 
Então 
4
262
4
6762 


m
 
Donde 
7
4
28
4
262
6
4
24
4
262






 moum
 
Verificando: se m = 6 teremos: 
85493676 22 
 
Se m = -7 teremos: 
853649)6()7( 22 
 
Portanto os números podem ser 6 e 7 ou -7 e -6. 
 
 
3) O perímetro de um quadro de forma retangular é 56 cm, e a área, 192 cm 2 . Quais são 
as dimensões desse quadro? 
 
Solução: 
Sejam x e y as dimensões do quadro. Então temos 2x + 2y = 56. Logo x + y = 28 e daí 
y = 28 – x. 
Como a área é dada pelo produto das dimensões temos: x (28 – x) = 192 
Ou seja: 
01922819228 22  xxxx
 
Logo: 
2
428
2
1628
2
76878428
)1(2
)192()1(42828 2











x
 
Portanto as raízes são: 
16
2
32
2
428
12
2
24
2
428












 xoux
 
Assim se x = 12 cm devemos ter y = 28 -12 = 16 cm. 
Se x = 16 cm devemos ter y = 28 – 16 = 12 cm.. 
 
 
4) Os alunos de uma turma fizeram uma coleta para juntar 405 reais, custo de uma 
excursão. Todos contribuíram igualmente. Na última hora, dois alunos desistiram. Com 
isso, a parte de cada um sofreu um aumento de R$ 1,20. Quantos alunos têm a turma? 
 
Solução: 
Com x alunos a parte de cada um seria 
x
405
 reais. 
Com x – 2 alunos, cada um daria 
2
405
x
 reais. 
Então 
2
405
x
= 
x
405
 + 1,20 
x
x
x
2,1405
2
405 



 
Donde 
xxxxxxx 4,28102,1405405)2,1405()2(405 2 
 
08104,22,1 2  xx
0810
10
24
10
12 2  xx
. Multiplicando ambos os lados da 
equação por 
12
10
 obtemos: 
067522  xx
 
 
Temos 

 = (-2) 2 - 4 . 1. (-675) = 4 + 2700 = 2704 
Assim temos: 
2
522
2
2704)2( 


x
 
Daí 
25
2
50
2
522
27
2
54
2
522






 xoux
 
Como a única raiz positiva desta equação é 27 temos que a turma tem 27 alunos. 
 
 
5) O lucro de uma empresa é dado por 
)2)(10(10)(  xxxL
 onde x é a quantidade 
de produtos vendida. Qual é a quantidade de produtos que a empresa deve vender para 
obter um lucro de R$1.800,00? 
 
Solução: 
Queremos encontrar x tal que L(x) = 1800. Ou seja: 
1800)2)(10(10  xx
 
Simplificando obtemos: (x -10) (x -2) = 180 
01601218020102 22  xxxxx
 
Temos: 

 = (-12)
 )160(142
 144 + 640 = 784 
Donde 
2
2812
2
784)12( 


x
 
Assim temos: 
8
2
16
2
2812
20
2
40
2
2812






 xoux
 
Como a única raiz positiva desta equação é 20 temos que a quantidade procurada é 20 
produtos.