RM_Class_Vinculos_Reaçoes_completo

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LEIS DE NEWTON
EQUILÍBRIO DE PARTÍCULA
ESTÁTICA DOS CORPOS RÍGIDOS
VÍNCULOS ESTRUTURAIS
AÇÕES E REAÇÕES
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E URBANISMO
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS
AÇÕES E REAÇÕES
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira
MORFOLOGIA E CLASSIFICAÇÃO DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS
GRAU DE HIPERESTATICIDADE
Leis de Newton
1ª Lei:
Se um corpo se encontra inicialmente em
repouso, ele continua em repouso. 
Se em movimento retilíneo uniforme, ele 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 2
Se em movimento retilíneo uniforme, ele 
continua em movimento
retilíneo uniforme, para sempre. 
Não existe um "parar naturalmente".
2ª Lei:
A aceleração adquirida por um corpo é 
diretamente proporcional à intensidade da 
resultante das forças que
atuam sobre o corpo, tem direção e sentido 
Leis de Newton
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 3
atuam sobre o corpo, tem direção e sentido 
dessa força resultante e é inversamente 
proporcional à sua massa.
Leis de Newton
3ª Lei:
É de fundamental importância. 
Para cada ação existe uma reação igual e 
contrária.
As forças manifestam-se em pares. Se A exerce 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 4
As forças manifestam-se em pares. Se A exerce 
uma força sobre B, este, reagirá com outra força 
de mesmo módulo, mesma direção e sentido
contrário. 
Não existe ação sem reação.
Força é uma grandeza física vetorial criada 
pela interação entre dois corpos.
Forças ocorrem em pares. Uma das forças 
do par é chamada ação e a outra reação
Força
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 5
do par é chamada ação e a outra reação
Linha de Ação
 (direção)
Sentido
Magnitude
Equilíbrio de partícula
Uma partícula está em equilíbrio quando a 
resultante das forças que atuam sobre
ela é nula.
F
F1 No plano
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 6
Observe que as linhas de ação de todas as forças 
passam pela partícula, isto é, por um mesmo ponto.
F
F
F2 3
n
Exemplo
Determine as forças de tração nos cabos e 
o peso do semáforo C sabendo-se que o 
peso do semáforo B é de 35 Kg.
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 7
Resolução
Diagramas de corpo livre:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 8
Ponto B Ponto C
Resolução
Para o diagrama de corpo livre no ponto B: 
Adotar aceleração da gravidade de 9,81m/s2 
Assim PB=m·g=35·9,81=343,35 N 
∑�� = 0
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 9
∑�� = 0 (para direita +) 
 TBC·COS 5°-TBA·COS 50°=0 
 TBC=
TBA·COS 50°
COS 5° Equação (I) 
Resolução
∑�� = 0 (para cima +) 
 TBA·SIN 50°-TBC·SIN 5°-PB=0 
 Substituindo (I) 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 10
 Substituindo (I) 
 TBA·SIN 50°=
TBA·COS 50°
COS 5° ·SIN 5°+343,35 
 TBA=483,72 N 
 TBC=312,12 N 
Resolução
Para o diagrama de corpo livre no ponto C: 
TBC=TCB 
∑�� = 0 (para direita +) 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 11
∑�� = 0 (para direita +) 
 TCD·COS 30°-TCB·COS 5°=0 
 TCD=359,03 N 
Respostas
∑�� = 0 (para cima +) 
 TCD·SIN 30°+TCB·SIN 5°- PC=0 
 P =206,72 N 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 12
 PC=206,72 N 
 Peso C= 206,729,81 =21,07 kg 
Classificação do tipo de carga 
•Força concentrada – Força idealizada como 
atuando num ponto da estrutura. Ex: a carga do 
pilar sobre o bloco de fundação, reação de uma 
viga sobre outra...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 13
viga sobre outra...
•Força distribuída – Força que se apresenta distribuída ao 
longo de uma peça estrutural, dando a impressão de um 
número infinitos de cargas concentradas aplicadas em pontos 
infinitamente próximos uns dos outros. Ex: peso de uma parede 
de alvenaria sobre uma viga ou uma laje...
Classificação do tipo de carga 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 14
Uniforme Triangular Trapezoidal
A resultante é igual a área formada pela força e deverá 
ser aplicada no seu CG.
Classificação do tipo de carga 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 15
Classificação do tipo de carga 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 16
Idealização de um corpo rígido
•Pode ser considerado como sendo a combinação de grande 
número de partículas no qual todas elas permanecem a uma 
distância fixa umas das outras, tanto antes como depois da 
aplicação de uma carga.
Teorema para os corpos rígidos:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 17
Teorema para os corpos rígidos:
O ponto de aplicação de uma força pode ser deslocado 
sobre a sua linha de ação sem alterar a contribuição da 
mesma para o equilíbrio do corpo rígido.
P
Momento
•Momento de uma força P em relação a um ponto O 
é definido como o produto da intensidade da força 
pelo braço b, perpendicular a linha de ação da força.
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O
b
PMO = P . b
Calcular o diagrama de momento fletor da viga em balanço 
abaixo.
Resolução:
M=100 . x Equação da reta
0 < x < 4
x
1m 1m 1m 1m
ABCD
E
100kN
Exemplo
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 19
0 < x < 4
MA(x=0)=100 . 0 = 0
MB(x=1)=100 . 1 = 100kN.m
MC(x=2)=100 . 2 = 200kN.m
MD(x=3)=100 . 3 = 300kN.m
ME(x=4)=100 . 4 = 400kN.m
1m 1m 1m 1m
E
1
0
0
2
0
0
4
0
0
0
3
0
0
Diagrama de momento fletor
Graus de liberdade são o número 
de movimentos rígidos possíveis 
e independentes que um corpo 
rígido pode executar.
Graus de liberdade
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 20
rígido pode executar.
Caso plano: possuem 3 graus de liberdade (2 translações e 1
rotação em torno do eixo perpendicular ao plano que contém
as forças externas).
Caso espacial: possuem 6 graus de liberdade (3 translações e
3 rotações).
•Então, as condições necessárias e suficientes para o 
equilíbrio de um corpo rígido são:
•Um corpo rígido esta em equilíbrio quando a resultante de 
todas as forças que agem sobre ele é nula. 
Equações de Equilíbrio
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 21
•Quando isso acontece não tem movimento de translação, 
nem movimento de rotação, por isso não tem graus de 
liberdade.








=
=
∑
∑
0M
0F
Equações de equilíbrio.
No plano (x;y)












=
=
=
∑
∑
∑
0M
0F
0F
z
y
x
No espaço (x;y;z)




















=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
0M
0M
0F
0F
0F
y
x
z
y
x
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 22
 =∑ 0Mz






 =∑
∑
0Mz
y
y
x
y
x
z
Reações de Apoio
•A função dos apoios é restringir os graus de liberdade, ou 
seja, os movimentos possíveis de um corpo.
•Essas restrições dão origem ao aparecimento de reações 
na estrutura, nas direções dos movimentos que eles 
impedem.
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 23
impedem.
•Estas reações de apoio se oporão às cargas aplicadas à 
estrutura. 
•Este conjunto de cargas e reações forma um sistema 
de forças em equilíbrio, e regidas pelas equações de 
equilíbrio. 
Para estruturas planas os 
apoios são classificados em
•Apoio móvel - Impede apenas translação na
direção Oy, permitindo livre translação na
direção de Ox e livre rotação em torno de Oz
(Apoio de 1º. gênero).
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 24
(Apoio de 1º. gênero).
y
xO
V V V
OU OU
V
OU
•Apoio fixo - Impede duas translações na
direção Ox e Oy e permanecendo livre apenas
a rotação em torno de Oz (Apoio de 2º.
gênero).
Para estruturas planas os 
apoios são classificados em
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 25
gênero).
y
xO
V V
OU
H H
V
HOU
•Engaste fixo - Impede duas translações na
direção Ox e Oy e também impede a rotação em
torno de Oz (Apoio de 3º. gênero).
y
Para estruturas planas os 
apoios são classificados em
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 26
y
xO OU OU
V VV
H HH
M M M
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•Apoio fixo de uma estrutura pré-fabricada de 
concreto, este tipo de apoio permite apenas a 
rotação.
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•Rótula de uma viga gerber(dente gerber), 
utilizada em uma estrutura pré-fabricada de 
concreto
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 29
Engaste em uma estrutura de concreto, 
este tipo de apoio não permite translação e 
rotação.
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 30
Apoio Móvel de uma ponte, onde é 
utilizado uma placa de neoprene entre 
a junção entre o pilar e a ponte
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 31
Apoio Móvel entre uma estrutura de 
concreto e aço
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 32
Engaste em uma estrutura metalica, este 
tipo de apoio não permite translação e 
rotação
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 33
Engaste em uma estrutura metalica, 
este tipo de apoio não permite 
translação e rotação
MORFOLOGIA E 
CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS
•Elementos lineares (Barras - uma dimensão preponderante em 
relação as outras): viga, arco, pilar, tirante…
ARCO
VIGA
ARCO
PILAR Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
TIRANTE
(Só aceita tração)
MORFOLOGIA E 
CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
•Elementos de superfície (Folhas - duas dimensões 
preponderantes em relação a uma): viga-parede, 
placa, casca…
MORFOLOGIA E 
CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 36
VIGA PAREDE
(Altura não desprezível)
PLACA
CASCA
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 37
•Elementos de volume (Blocos – todas as 
dimensões de mesma grandeza ): bloco de 
fundação…
MORFOLOGIA E 
CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 38
BLOCO
MORFOLOGIA E 
CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 39
Esforços solicitantes 
em estruturas planas
Exercício 01
Calcular as reações de apoio da viga 
isostática abaixo.
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 40
isostática abaixo.
2m 2m
100kN
Esforços solicitantes 
em estruturas planas
Resolução:
V
H
A
A
VB
2 2
100kN
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ΣFx = 0 =>HA = 0 (para direita +)
B
ΣMz (A) = 0 =>VB . 4 – 100 . 2 = 0 (anti-hor. +)
VB=200/4=50 kN
ΣFy = 0 =>VA + VB – 100 = 0 =>VA=100-50=50 kN (para cima +)
Grau de Hiperestaticidade (GH) é 
o número de incógnitas a mais 
do que equações de equilíbrio.
Grau de hiperestaticidade
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 42
do que equações de equilíbrio.
Classificação das estruturas 
quanto ao grau de sujeição 
•Estrutura isostática – O número de
equações é igual ao número de incógnita.
V V
H
1 2
GH=0
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
•Estrutura hiperestática - O número de
equações é menor que o número de incógnita.
H H1 2
Classificação das estruturas 
quanto ao grau de sujeição 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 44
V V
H
1 2
H1 2
GH=1
•Estrutura hipostática - O número de
equações é maior que o número de incógnita
(Forma um mecanismo).
Classificação das estruturas 
quanto ao grau de sujeição 
V V1 2
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira