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Ca´lculo Nume´rico: Lista de Exerc´ıcios 2 Me´todos para Encontrar Ra´ızes Reais de Func¸o˜es Reais 1. (a) x6 = 0.6485 (b) x6 = 0.5704 2. (a) x6 = 2.04375 (b) x6 = 1.46406 3. Bissec¸a˜o: x7 = 2.649; Falsa Posic¸a˜o: x3 = 2.646 4. (a) Em x ∈ [0.0, 1.0] : x6 = 0.60938 (b) Em x ∈ [−1.0, 1.0] : x5 = −0.8125 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 f(x ) = ex − 3x x Cálculo Numérico: Lista de Exercícios 2 − Exercício 4A f(x) −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 f(x ) = x3 + c o s(x ) x Cálculo Numérico: Lista de Exercícios 2 − Exercício 4B f(x) 5. (a) O me´todo divergira´ se ϕ(x) = − ln(x). (b) O me´todo convergira´ se ϕ(x) = e−x. 6. (a) O me´todo convergira´ para a raiz α ∈ [0.0, 0.5]. (b) O me´todo divergira´. (c) O me´todo na˜o pode ser usado pois ϕ(x) e ϕ′(x) na˜o esta˜o definidas ∀x ∈ [0.0, 0.5]. 7. Newton-Raphson (x0 = 2.0): x3 = 2.8298; Secante (x0 = 2.0 e x1 = 3.0): x6 = 2.8353 8. (a) Newton-Raphson (x0 = 1.0): x3 = 0.865474; Secante (x0 = 0.0 e x1 = 1.0): x6 = 0.865466 (b) Newton-Raphson (x0 = 2.0): x4 = 1.33084; Secante (x0 = 1.0 e x1 = 2.0): x6 = 1.33084 9. (a) xk+1 = xk − tan(xk) (b) xk+1 = xk + cos(xk) + 1 sin(xk) O me´todo de Newton-Raphson tem dificuldade em convergir quando f ′(ξ) = 0, que e´ o que acontece em (b). 1 10. (a) xk+1 = 2xk − ax2k (b) Demonstrac¸a˜o. (c) Para utilizar este me´todo, deve-se escolher x0 ∈ (1/2a, 3/2a) e calcular uma aproximac¸a˜o para 1/9 com o resultado do item (a). Multiplica-se enta˜o a aproximac¸a˜o obtida para 1/9 por 10 para obter 10/9 nesse computador. 11. (a) xk+1 = x2k + b 2xk (b) Newton-Raphson (x0 = 1.0): x3 = 1.4142 12. xk+1 = xk − 1 3 (xk − 2); Newton-Raphson (x0 = 2.5): x10 = 2.0087 A convergeˆncia demora por f(x) = (x− 2)3 ter 2.0 como raiz mu´ltipla. 13. (a) Demonstrac¸a˜o. (b) A sequeˆncia na˜o converge. (c) Sim, pois qualquer que seja f(x), |ϕ′(x)| deve ser menor que 1 para que o me´todo possa convergir. 14. (a) Em x ∈ [−0.5, 0.5], Newton-Raphson (x0 = 0.5): x4 = 0.0 (b) Em x ∈ [0.0, 2.0], Newton-Raphson (x0 = 2.0): x5 = 0.90479 (c) Em x ∈ [0.0, 2.0], Newton-Raphson (x0 = 2.0): x4 = 1.431002 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 f(x ) = x/ 2 − ta n(x ) x Cálculo Numérico: Lista de Exercícios 2 − Exercício 14A f(x) −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 −1 −0.5 0 0.5 1 f(x ) = 2c os (x) − ex /2 x Cálculo Numérico: Lista de Exercícios 2 − Exercício 14B f(x) −10 −5 0 5 10 15 20 25 30 0 0.5 1 1.5 2 f(x ) = x5 − 6 x Cálculo Numérico: Lista de Exercícios 2 − Exercício 14C f(x) 2 15. Deduc¸a˜o. 16. (a) x8 = 0.71475 (b) x4 = 0.71480 17. Pode-se utilizar o me´todo de Newton-Raphson para deduzir que xk+1 = xk(1− ln(xk)) xk + 1 . Estabelecendo, por exemplo, que a raiz α ∈ [0.4, 0.9], x0 = 0.9, � = 10−4 tem-se que x4 = 0.567143. 3
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